2025優(yōu)化設(shè)計一輪課時規(guī)范練27　利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題

課時規(guī)范練27利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒(能)成立問題高考總復(fù)習優(yōu)化設(shè)計GAOKAOZONGFUXIYOUHUASHEJI20251234561.(2024·山西太原模擬)已知函數(shù)f(x)=x2-6x+4lnx+m.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求m的取值范圍.令f'(x)>0,解得0<x<1或x>2,令f'(x)<0,解得1<x<2,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)和(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,2).(2)由(1)可得,函數(shù)f(x)在(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞減,則當x∈(1,+∞)時,f(x)min=f(2)=4ln

2-8+m,又因為當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,則4ln

2-8+m>0,即m>8-4ln

2,故m的取值范圍為(8-4ln

2,+∞).1234562.(2024·四川廣安模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-2ax.(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)≤0恒成立,求a的取值范圍.1234561234561234563.(2024·陜西西安聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax-.(1)當a=2時,求f(x)的極值;(2)若不等式f(x)≤-e-ax恒成立,求a的取值范圍.1234561234564.(2024·江蘇無錫模擬)已知函數(shù)f(x)=-x+lnx,g(x)=xex-2x-m.(1)求函數(shù)f(x)的極值點;(2)若f(x)≤g(x)恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.123456解

(1)由已知可得,函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),且f'(x)=

,令f'(x)=0,解得x=1,當0<x<1時,f'(x)>0;當x>1時,f'(x)<0,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞),所以x=1是f(x)的極大值點,無極小值點.123456123456(方法2)令m(x)=ex-x-1,m'(x)=ex-1,當x<0時,m'(x)<0;當x>0時,m'(x)>0,所以m(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以m(x)≥m(0)=0,即ex≥x+1.因為xex=ex+ln

x,所以xex=ex+ln

x≥x+ln

x+1,當x+ln

x=0時,等號成立,即xex-x-ln

x≥1,當x+ln

x=0時,等號成立,所以y=xex-x-ln

x的最小值為1.若f(x)≤g(x)恒成立,則xex-x-ln

x≥m,所以當m≤1時,f(x)≤g(x)恒成立.故m的取值范圍為(-∞,1].1234565.(2024·湖南長沙模擬)已知f(x)=ex-x2-ax-1(a∈R).(1)當a=0時,求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.123456解

(1)當a=0時,f(x)=ex-x2-1,f'(x)=ex-x.由于ex≥x+1>x,所以f'(x)=ex-x>0,因此f(x)在R上單調(diào)遞增,即f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,+∞).(2)f'(x)=ex-x-a,因為f'(0)=1-a,令f'(0)=1-a=0得a=1.①當a≤1時,由于x∈[0,+∞),f'(x)=ex-x-a,令φ(x)=ex-x-a,φ'(x)=ex-1≥0,因此f'(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以f'(x)≥f'(0)=1-a≥0,因此f(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,于是f(x)≥f(0)=0恒成立.②當a>1時,由于x∈[0,+∞),f'(x)=ex-x-a,令φ(x)=ex-x-a,φ'(x)=ex-1≥0,因此f'(x)在[0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,而f'(0)=1-a<0,所以存在x0∈(0,+∞)使得當x∈(0,x0)時,f'(x)<0,即f(x)在(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,因此f(x)<f(0)=0,不滿足f(x)≥0恒成立.綜上,實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].1234566.(2024·河南鄭州模擬)已知