2025屆云南省施甸縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

2025屆云南省施甸縣第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．我國(guó)古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金錘，長(zhǎng)五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：“現(xiàn)有一根金錘，長(zhǎng)5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若該金錘從頭到尾，每一尺的重量構(gòu)成等差數(shù)列，該金錘共重多少斤？（）A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤2．如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離都等于akm，燈塔A在觀察站C的北偏東20°，燈塔B在觀察站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離為()A．a(chǎn)km B．a(chǎn)kmC．a(chǎn)km D．2akm3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,a2+a4=6,則S5等于()A．10 B．12 C．15 D．304．若，則是（）A．等邊三角形 B．等腰三角形C．直角或等腰三角形 D．等腰直角三角形5．某型號(hào)汽車使用年限與年維修費(fèi)（單位：萬元）的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表，由最小二乘法求得回歸方程．現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個(gè)數(shù)據(jù)看不清，推測(cè)該數(shù)據(jù)的值為（）使用年限維修費(fèi)A． B．C． D．6．已知數(shù)列滿足，且是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，則等于（）A．24 B．32 C．48 D．647．已知直線與相交于點(diǎn)，線段是圓的一條動(dòng)弦，且，則的最小值是（）A． B． C． D．8．在前項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，若，則=()A． B． C． D．9．已知，兩條不同直線與的交點(diǎn)在直線上，則的值為（）A．2 B．1 C．0 D．-110．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo).假設(shè)在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為，則（)A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，，則的面積是__________.12．函數(shù)，的值域是_____．13．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，的前項(xiàng)和為，則___________.14．某銀行一年期定期儲(chǔ)蓄年利率為2.25%，如果存款到期不取出繼續(xù)留存于銀行，銀行自動(dòng)將本金及80%的利息（利息須交納20%利息稅，由銀行代交）自動(dòng)轉(zhuǎn)存一年期定期儲(chǔ)蓄，某人以一年期定期儲(chǔ)蓄存入銀行20萬元，則5年后，這筆錢款交納利息稅后的本利和為________元.（精確到1元）15．對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______16．在中，角所對(duì)的邊為，若，且的外接圓半徑為，則________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是．已知，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面積的最大值．18．一扇形的周長(zhǎng)為20，當(dāng)扇形的圓心角等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？19．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離之比為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；（2）求面積的最大值；（3）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，，．（1）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；21．如圖，三棱柱的側(cè)面是邊長(zhǎng)為的菱形，，且.(1)求證:；(2)若，當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解析】

直接利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【詳解】因?yàn)槊恳怀叩闹亓繕?gòu)成等差數(shù)列，，，，數(shù)列的前5項(xiàng)和為．即金錘共重15斤，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，意在考查運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

先根據(jù)題意確定的值，再由余弦定理可直接求得的值．【詳解】在中知∠ACB＝120°，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°＝2a2－2a2×＝3a2，∴AB＝a.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．3、C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中,a2+a4=6,故a1+a5=6,所以S5===15.故選C.4、D【解析】

先根據(jù)題中條件，結(jié)合正弦定理得到，求出角，同理求出角，進(jìn)而可判斷出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，由正弦定理可得，所以，即，因?yàn)榻菫槿切蝺?nèi)角，所以；同理，；所以，因此，是等腰直角三角形.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查判定三角形的形狀問題，熟記正弦定理即可，屬于?？碱}型.5、C【解析】

設(shè)所求數(shù)據(jù)為，計(jì)算出和，然后將點(diǎn)代入回歸直線方程可求出的值.【詳解】設(shè)所求數(shù)據(jù)為，則，，由于回歸直線過樣本的中心點(diǎn)，則有，解得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用回歸直線計(jì)算原始數(shù)據(jù)，解題時(shí)要充分利用“回歸直線過樣本中心點(diǎn)”這一結(jié)論的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】試題分析：依題意可知，，，，所以.即，故，，，.，所以，又可知.,故.考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)、數(shù)列的遞推公式7、D【解析】

由已知的所給的直線，可以判斷出直線過定點(diǎn)（3，1），直線過定點(diǎn)（1，3），兩直線互相垂直，從而可以得到的軌跡方程，設(shè)圓心為M，半徑為，作直線,可以求出的值，設(shè)圓的半徑為，求得的最小值，進(jìn)而可求出的最小值.【詳解】圓的半徑為,直線與直線互相垂直，直線過定點(diǎn)（3，1），直線過定點(diǎn)（1，3），所以P點(diǎn)的軌跡為：設(shè)圓心為M，半徑為作直線,根據(jù)垂徑定理和勾股定理可得：，如下圖所示：的最小值就是在同一條直線上時(shí)，即則的最小值為，故本題選D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，考查了圓與圓的位置關(guān)系，考查了平面向量模的最小值求法，運(yùn)用平面向量的加法的幾何意義是解題的關(guān)鍵.8、C【解析】

利用公式的到答案.【詳解】項(xiàng)和為的等差數(shù)列中，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的前N項(xiàng)和，等差數(shù)列的性質(zhì)，利用可以簡(jiǎn)化計(jì)算.9、C【解析】

聯(lián)立方程求交點(diǎn)，根據(jù)交點(diǎn)在在直線上，得到三角關(guān)系式，化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】交點(diǎn)在直線上觀察分母和不是恒相等故故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程，三角函數(shù)運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.10、D【解析】

可得.【詳解】向量，則．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的運(yùn)算和向量的數(shù)量積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

計(jì)算，等腰三角形計(jì)算面積，作底邊上的高，計(jì)算得到答案.【詳解】，過C作于D，則故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題.12、【解析】

首先根據(jù)的范圍求出的范圍，從而求出值域。【詳解】當(dāng)時(shí)，，由于反余弦函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，且所以值域?yàn)楣蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法：首先求出內(nèi)函數(shù)的值域再求外函數(shù)的值域。屬于基礎(chǔ)題。13、【解析】

計(jì)算出，再由可得出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，則，當(dāng)時(shí)，.，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列求和，解題的關(guān)鍵就是找出數(shù)列的規(guī)律，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.14、218660【解析】

20萬存款滿一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（【詳解】20萬存款滿一年到期后利息有200000×2.25%×（1-20%)，本息和共200000×2.25%×（200000×(1.018)故填218660.【點(diǎn)睛】本題主要考查了銀行存款的復(fù)利問題，由固定公式可用，本息和=本金×（1+利率×(1-15、【解析】

對(duì)a分類討論，利用判別式，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）a﹣2=0，即a=2時(shí)，﹣4＜0，恒成立；（2）a﹣2≠0時(shí)，，解得﹣2＜a＜2，∴﹣2＜a≤2故答案為：．【點(diǎn)睛】對(duì)于二次函數(shù)的研究一般從以幾個(gè)方面研究：一是，開口；二是，對(duì)稱軸，主要討論對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系；三是，判別式，決定于x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)；四是，區(qū)間端點(diǎn)值.16、或.【解析】

利用正弦定理求出的值，結(jié)合角的取值范圍得出角的值.【詳解】由正弦定理可得，所以，，，或，故答案為或.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的應(yīng)用，在利用正弦值求角時(shí)，除了找出銳角還要注意相應(yīng)的補(bǔ)角是否滿足題意，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先利用向量垂直的坐標(biāo)表示，得到，再利用正弦定理以及兩角和的正弦公式將，化為，進(jìn)而得到，由此能求出．（Ⅱ）將兩邊平方，推導(dǎo)出，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，由此求出面積的最大值．【詳解】解析：（Ⅰ）由得，則得，即由于，得，又A為內(nèi)角，因此.（Ⅱ）將兩邊平方，即所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).此時(shí)，其最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)量積的坐標(biāo)表示及運(yùn)算、兩角和的正弦公式應(yīng)用、三角形面積公式的應(yīng)用以及利用基本不等式求最值．18、；；【解析】

設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，利用周長(zhǎng)關(guān)系，表示出扇形的面積，利用二次函數(shù)求出面積的最大值，以及圓心角的大小.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，弧長(zhǎng)為，則，即，扇形的面積，將上式代入得，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值，此時(shí)，可得，所以當(dāng)時(shí)，扇形的面積取最大值，最大值為【點(diǎn)睛】本題考查了扇形的弧長(zhǎng)公式、面積公式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，需熟記扇形的弧長(zhǎng)、面積公式，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）（2）3；（3）【解析】

（1）根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式，可以得到等式，化簡(jiǎn)后得到點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式；（2）設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，求出的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍，可以求出面積的最大值；（3）恒成立，則恒成立.設(shè)，當(dāng)它與圓相切時(shí)，取得最大和最小值，利用點(diǎn)到直線距離公式，可以求出取得最大和最小值，最后可以求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)的坐標(biāo)是，由，得，化簡(jiǎn)得.（2）由（1）得，點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上.設(shè)是曲線上任一點(diǎn)，則，又，故的最大值為：.（3）由（1）得：圓的方程是若恒成立，則恒成立.設(shè)，當(dāng)它與圓相切時(shí)，取得最大和最小值，由得：，，故當(dāng)時(shí)，原不等式恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了求點(diǎn)的軌跡方程，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了求三角形面積最大值問題，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.20、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)遞推公式，得到，累加即可計(jì)算出的結(jié)果；（2）分類討論：為奇數(shù)、為偶數(shù)，然后在求和時(shí)分奇偶項(xiàng)分別求和即可得到對(duì)應(yīng)的的通項(xiàng)公式.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以上式疊加可得：，所以，又因?yàn)闀r(shí)符合的情況，所以；（2）因?yàn)?，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，,所以.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用,難度較難.(1)利用遞推公式求解數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)，對(duì)于的情況，一定要注意驗(yàn)證是否滿足時(shí)的通項(xiàng)公式，此處決定數(shù)列通項(xiàng)公式是否需要分段書寫；(2)對(duì)于奇偶項(xiàng)分別成等差數(shù)列的數(shù)列，可以分奇偶討論數(shù)列的通項(xiàng)公式.21、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用直線與平面垂直的判定，結(jié)合三角形全等判定，得到，再次結(jié)合三角形全等，即可．（2）法一：建立坐標(biāo)系，分別計(jì)算的法向量，結(jié)合兩向量夾角為直角，計(jì)算出的值，然后結(jié)合，即可．法二：設(shè)出OA=x,用x分別表示AB,BD,AD，結(jié)合，建立方程，計(jì)算x，結(jié)合，即可．【詳解】（1）連結(jié)，交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?/p>