湖南省衡陽市某中學(xué)2021級高二年級上冊期末數(shù)學(xué)試題（解析版）

衡陽市八中2021級高二上期期末考試

數(shù)學(xué)試題

注意事項：本試卷滿分為150分，時量為120分鐘

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

?設(shè)集合A={xI—4x+3<0},B={x\2x—3>0}則AB=

A.(-3,-?B.(-3,—)C.(I；)D.(—,3)

【答案】D

【解析】

,j弋產(chǎn)

【詳解】試題分析：集合A={x|(x—l)(x—3)<0}="|1<%<3},集合點,!小,6.，，所以

AnB=|x|-|<x<3|，故選D.

考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.

2.已知復(fù)數(shù)z的共朝復(fù)數(shù)彳=二一,則復(fù)數(shù)z的虛部為().

1+1

A.-iB.iC.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運算，復(fù)數(shù)與共軌復(fù)數(shù)關(guān)系解決即可.

22(l-i)

［詳解］z=--7=-7.—~—

l+i(l+i)(l-i)

所以z=l+i，

所以復(fù)數(shù)z的虛部為1.

故選：C.

3.已知向量a力均為單位向量，且。_1_人貝！1(2；—辦).(a+4/)=(

A.2B.-2C.4D.-4

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算性質(zhì)及垂直關(guān)系的向量表示即可求解.

【詳解】解：因為向量a力均為單位向量，且a，，，

所以a=M=l,a-b=0>

所以（2a—?（a+4。）=2/—47+7a0=2卜1—4=-2,

故選：B.

1,

4.拋物線E:y=—爐的焦點到其準(zhǔn)線的距離為（）

4

11

A.—B.—C.2D.4

84

【答案】C

【解析】

【分析】將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到再根據(jù)。的幾何意義得解；

詳解】解：拋物線=即》2=4>,則2。=4,所以p=2,

所以拋物線的焦點到其準(zhǔn)線的距離為P=2.

故選：C

5.沙漏是我國古代的一種計時工具，是用兩個完全相同的圓錐頂對頂疊放在一起組成的（如圖）.在一個

圓錐中裝滿沙子，放在上方，沙子就從頂點處沫到另一個圓錐中，假定沙子漏下來的速度是恒定的（沙

堆的底面是水平的）.已知一個沙漏中沙子全部從一個圓錐漏到另一個圓錐中需用時27分鐘，則經(jīng)過19

分鐘后，沙漏上方圓錐中的沙子的高度與下方圓錐中的沙子的高度之比是（）

A.1:1B.2:1C.2:3D.3:2

【答案】B

【解析】

設(shè)平面\BD的法向量n=(a,b,c),

DB-n=3a+3b=0

則《，令。=1,解得：b=-l,c=-l,..n=(l,-l,-l),

ZMj-n=3a+3c=0

1AAi

二.A與A到平面的距離d=鳳*1

Hn\

XAA'//n>''-x-3=-y=-z,

；.x=l,y=2,z=2，；.A(L2,2),

|,R4|+|PE|=IPA'I+|PE|>\AE\=74+1+4=3(當(dāng)且僅當(dāng)4P,后三點共線時取等號)，

即歸A|+|P國的最小值為3.

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查立體幾何中距離之和的最值問題的求解，解題關(guān)鍵是能夠求得A關(guān)于平

面的對稱點A,從而利用三角形兩邊之和大于第三邊的特點確定當(dāng)三點共線時取得最小值.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

9.已知空間中三點4(0,1,0),6(2,2,0),C(—1,3,1),則下列結(jié)論正確的有()

A.ABA.AC

B.與.共線的單位向量是(LL0)

c.與AC夾角的余弦值是15

11

D.平面ABC的一個法向量是〃2=(1,-2,5)

【答案】AD

【解析】

UUUIUUIU

【分析】對于A,通過計算A3?AC來判斷，對于B,利用共線單位向量的定義求解，對于C,利用向量

的夾角公式求解，對于D,利用法向量的定義求解.

【詳解】對于A,因為A(0,1,0),3(2,2,0),C(—1,3,1),所以AB=(2,1,0),AC=(-1,2,1),

所以AB-AC=—2+2=0，所以所以A正確，

探得卜1，。)=

對于B,因為AB=(2,1,0),所以與AB共線的單位向量為

AB1［-乎，-*“，所以B錯誤,

或一網(wǎng)(2,1,0)=

對于C,因為A3=(2,1,0),AC=(—1,2,1),

所以cos("=1=°,所以C錯誤,

所以\\AB\\AC\A/5XV6

對于D,因為〃2=(1,—2,5),AB=(2,1,0),AC-(-1,2,1),

所以m?AB=2—2+0=0,根-AC=—1—4+5=0,

所以根，AC,所以平面ABC的一個法向量是〃z=(l,-2,5),所以D正確,

故選：AD.

10.己知函數(shù)/(工)=/+；X2-4x,則()

A.%=1是“力的極小值點B.7(%)有兩個極值點

C.“X)的極小值為1D.“X)在［0,2］上的最大值為2

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/(尤)的單調(diào)性與極值，可判斷ABC選項；利用函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可判

斷D選項.

【詳解】因為/(x)=x3+gf—4x,所以/'(x)=3f+x—4=(X—l)(3x+4),

當(dāng)xe］_oo,_|J(l,+oo)時，/z(x)>0；當(dāng)時，ff(x)<0,

故/(%)的單調(diào)遞增區(qū)間為1---劣和(1，+8)，單調(diào)遞減區(qū)間為,(，"，

則“X)有兩個極值點，B正確；

且當(dāng)x=l時，〃尤)取得極小值，A正確；

且極小值為/(1)=—g,C錯誤；

又"0)=0，〃2)=2,所以〃力在［0,2］上的最大值為2,D正確.

故選：ABD.

11.設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,其前和項和為S”,前"項積為力”且滿足條件。1>1,0202002021>1,

(?2020~1)(G2021-1)<0,則下列選項正確的是()

A.0<^<1B.&020+1<>?2021

C.n020是數(shù)列｛〃｝中的最大項D.7W1>1

【答案】AC

【解析】

【分析】由題意，根據(jù)。202042021>1,(。2020-1)(42021-1)<0,即可確定4的取值范圍；根據(jù)求解出的

q的取值范圍，來判斷生。21的大小，然后判斷選項B；根據(jù)己知％和9的取值，判斷數(shù)列｛斯｝的單調(diào)性，

從而可以確定前“項積的最大值；利用等比中項的性質(zhì)，將前〃項積轉(zhuǎn)化成azo2/"，從而進行判斷.

【詳解】由等比數(shù)列｛斯｝公比為q,ai>l,。2020。2021>1,(。應(yīng)2°19)5.2。2。)=(%)2/039>1,

由41>1可得">0,(612020-1)(。2021-1)<0,得

一2。2。1或f^020<l(舍去)，故q=詠<1,

綜上°=詠vi故選項A正確；

。2020

邑020+1>S2O2O+“2021=1^2021,故選項B錯誤；

由己知，o1>a2>a3>>a2020>I>a2021>->0,可知T2020是數(shù)列｛△｝中的最大項，故該選項C正

確；

由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，。］-。4041=。2?04040==。2020?！?022=。202；，所以

￡)41=%。2a3“4041=。202「°41VL故該選項D錯誤.

故選：AC.

12.公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一

條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個比值即為“黃金分

割比“，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線黃金雙曲線

E:=1(?！?,?！?)的一個頂點為人，與A不在y軸同側(cè)的焦點為歹，E的一個虛軸端點為

a~b"

B,尸。為雙曲線任意一條不過原點且斜率存在的弦，/為P。中點.設(shè)雙曲線E的離心率為e,則下

列說法中，正確的有（）

2

A.e=B.IOAIIOF|=|OB|

2

C.kOM-kPQ=eD.若OP'OQ,則+1『=e恒成立

【答案】ABC

【解析】

【分析】由黃金分割雙曲線定義求得雙曲線的離心率，判斷A,證明利用射影定理證明

\OA\\OF\=\OB\2,判斷B,利用點差法求Mpo判斷C,聯(lián)立方程求出P,Q坐標(biāo)，計算

11

------T+--------7，判斷D.

1?！?\OQ|2

ac

【詳解】由石為黃金分割雙曲線可得一二——，BPa2+ac=c2（*），對（*）兩邊同除以可得

ca+c

e2_e_1=0,則6=正義，A正確；

2

對（*）繼續(xù)變形得ac=c2-a2=b2,AlAB\2+\BF^a2+b2+c2+b2=a2+c2+2（c2-a2）=3c2-a2,

22

\AF|=(a+c)=

cr+2ac+c~=3c--a?，AB_LBF,

所以NABF=90，又NAO3=90，

所以=ZABO^ZBFO,所以BOF,

品\OA\二\O滴B所以的m=M,，

所以B正確;

設(shè)P（西，%），。（工2,%），M（x0,光），將尸，。坐標(biāo)代入雙曲線方程可得,

二―口二12

f屋,作差后整理可得三二=即三三.九=與

X

%2%*2~\/+%1〃%2一%次0a

U--2---b-2-I

所以即0.自用=匚《=?2-1=與1,故C正確；

設(shè)直線OP：y=kx,則直線OQ：y=~x,將，=近代入雙曲線方程廿必一。2y2=162,可得

則丁=4,Mopi+y'喂祟’將攵換成一?即得1?！恪?

片62(如+1)11(b2-a2)(k2+1)

----1----=----------=-&與。，〃的值有關(guān)，故D錯誤,

b2k2-a2|O尸『IOg|2a2b2(k2+1)abab

故選：ABC.

【點睛】點差法是解決中點弦問題的常用的方法.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.甲、乙、丙、丁、戊5名學(xué)生進行某種勞動技能比賽，決出第1名到第5名的名次.甲、乙兩名參賽者

去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都未拿到冠軍”，對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的”，從這個

回答分析，5人的名次排列共可能有種不同的情況.（用數(shù)字作答）

【答案】54

【解析】

【分析】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，先排乙，再排甲，其他三名同學(xué)在三

個位置上全排列，由分步乘法計數(shù)原理即可求解.

【詳解】由題意可得：甲、乙都不是第一名，且乙不是最后一名，

先排乙，有第二、三、四名3種情況，

再排甲，除第一名和乙排的名次外，甲有3種情況，

其他三名同學(xué)排在三位置全排列有A；種,

由分步乘法計數(shù)原理可知共有3x3xA；=54種，

故答案為：54.

14.已知圓。的圓心為且有一條直徑的兩個端點分別在兩坐標(biāo)軸上，若直線/:4x—2y+2=0

與C交于A,3兩點，ZACB=120，則實數(shù)2=

【答案】-1或—11

【解析】

【分析】根據(jù)直線與圓相交，圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，即可求解.

【詳解】圓C的一條直徑的兩個端點分別在兩坐標(biāo)軸上，該圓一定過原點，..?半徑為

r=7(2-0)2+(1-0)2=A/5，

又圓心為C(2,l),故圓。的方程為(x—2y+(y—1)2=5.

|C4|=|CB|=底.??圓心C到直線I的距離為d=工廠,即)：2+川=好，解得幾=T

^ACB=120,

11112716+42

或2=—11.

故答案為：T或T1

1?

15.已知。，〃為正實數(shù)，直線y=x—2a與曲線y=ln(x+6)相切，則一+—的最小值是

ab

【答案】8

【解析】

【分析】根據(jù)題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義分析可得2a+b=l,再結(jié)合基本不等式運算求解.

【詳解】由題意可得：y=ln(尤+6)的導(dǎo)數(shù)為y'=，

x+b

1

設(shè)切點為,切線斜率左=,則在該點的切線方程為

m+b

1生一,

y—ln(m+b)=-—m),即yx+ln(m+/7)----

m+bm+b

-^―=1

m+b

由題意可得《,整理得2。+6=1,

In(m+Z?)----——-2〃

m+b

則_1L+24=(_1L+2*)(2〃+b)=2+2+2b+絲4a24+2、產(chǎn)b?”4a=8,當(dāng)且僅當(dāng)2〃=b=—1時取等號,

ababab\ab2

故—H—最小值為8.

ab

故答案為：8.

16.已知函數(shù)〃為是定義在R上的偶函數(shù)，記/(%)為函數(shù)“九)的導(dǎo)函數(shù)，且滿足

/(%)+f'(x)=e-ex+2xe、，則不等式/(x)+W<e的解集為.

e

【答案】(-8,1)

【解析】

【分析】利用偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必為奇函數(shù)，可求得“X),再代入不等式構(gòu)造函數(shù)即可求解.

【詳解】因為了⑺是定義在R上的偶函數(shù)，所以/(—%)=/(%),故[/(—x)]'=/'(x)，

又[/(—X)]'=(―x)/(—x)=—八―X)，所以一/'(一幻=f'(x)，即/'(一%)=—/'(%)，

所以/‘(X)是定義在R上的奇函數(shù)；

又因為/(%)+f(x)=ex-e~x+2xsx,所以/(-x)+f'(-x)=QX-ex-2xeTx,即

/(x)-/(x)=葭—e，—2xex,

兩式相加，再整理得：f(x)=xex-xex,

所以由/(x)+?<e得北一尤eT+p<e,即xe，<e,

令/z(x)=xe"-e,則h'^x)=ex+xex=(%+l)e",

當(dāng)XV—1時，〃(x)<0；當(dāng)x>—1時，”(元)>0,

所以人(力在(—,T)上單調(diào)遞減,在(-1,+<?)上單調(diào)遞增，

又因為〃⑴=lxe-e=O,所以在(T+oo)上，^/;(%)<0=/?(1),解得％<1；

又當(dāng)xV-L時，x<O,eY>0,即xe*<0<e,故無e*-e<0，即〃(X)<0,

綜上：/?(%)=雙"-6<0的解集為{乂％<1},

故/(x)+W<e的解集為{x|x<l}.

e

故答案為：{x[x<l}.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.

17.已知”,仇c分別為《ABC內(nèi)角45c的對邊，且(2b-a)cosC=c-cosA

(1)求角C；

(2)若,2=2",A3C的面積為迅，求a+b的值.

7T

【答案】(1)-

3

⑵2A5

【解析】

【分析】(1)結(jié)合正弦定理，邊化角即可求解角C；

(2)結(jié)合三角形面積公式與余弦定理求解(a+92,即可得6的值.

【小問1詳解】

解：（2Z?-a）cosC=ccosA,

由正弦定理得(2sinB-sinA)cosC=sinCcosA,

所以2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC=sin(A+C)=sinB,

由于5￡(0,兀)，所以sinBwO,則cosC=5，又?！?0,兀)，所以C=1；

【小問2詳解】

解：由(1)MsinC=^-,S=—absinC=-abx^-=>/3,ab—4

2222

由余弦定理得/=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-3ab=lab,

/.｛a+bY=c2+3ab=5ab=20,

a+b=2^5.

18.數(shù)列｛4｝中，q=2，％=2a”+2華，設(shè)包=2?

(1)證明：數(shù)列｛2｝是等差數(shù)列并求數(shù)列｛4｝的通項公式；

(2)求數(shù)列｛%｝的前〃項和.

【答案】(1)證明過程見詳解；a“=n-2"；(2)7；,=(n-l)-2n+1+2.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，計算包+1一優(yōu)=1,根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得出結(jié)論成立；進而可求出包=〃，

從而得出｛4｝的通項公式；

(2)先記數(shù)列｛a,J的前幾項和為北，根據(jù)錯位相減法，即可求出結(jié)果.

【詳解】⑴因為。用=2%+2.，6“吟，

所以h-h-""+ia,'-2a”+2"a?_,

所以數(shù)列｛bn｝是公差為1的等差數(shù)列；

又q=2,所以々=*=1,因此優(yōu)=〃，即a"="2；

(2)記數(shù)列｛?！埃那啊椇蜑?；，

貝口=q+0+…+a“=L2+2-22+…+〃-2”①

所以27；=122+2々3+…+刀.2"+i②

p

,；D、石為分別為PC、oc的中點，

/.OP//DE,而OPa平面DEF,DEu平面DEF

；?OP//平面DE尸，又OMcOP=O,OMu平面POM,QPu平面POM,

平面POM//平面。EF,H/u平面POM,

PM//平面DEF；

【小問2詳解】

?：AB=BC,。為AC的中點，

/.OBLAC,

：OP_L平面ABC,故。B,OC,OP兩兩垂直.

分別以08,OC,OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系。一孫z.

不妨設(shè)AB=2,由N5AC=30得05=1，OA=5

：PB與平面ABC所成的角為60，而。尸，平面ABC,

/.NPBO=60，，OP=5

.?.p（o,o,⑹,坐，4“岑

易知m=（0,0,1）為平面ABC的法向量，

PE=°,當(dāng),—6,M￡=f-1,V3,ol

設(shè)5=(x,y,z)為平面AffiP的法向量,

n-PE=—y-j3z=0

n-BM=_gx+6y=0

令y=2,則〃=,6,2,1)為平面ME尸的一個法向量,

/\m-n1y/53

cos(m,n)=-；-n-r=/一=----,

網(wǎng)網(wǎng)lx,48+4+153

、斤

平角ABC與平面MEP的夾角的余弦值為—.

53

20.2022年7月1日是中國共產(chǎn)黨建黨101周年，某黨支部為了了解黨員對黨章黨史的認(rèn)知程度，針對黨

支部不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“黨章黨史”知識競賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高

),結(jié)果認(rèn)知程度高的有優(yōu)人，按年齡分成5組，其中第一組：［20,25),第二組：［25,30),第三組:

得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計這根人的平均年齡和第80百分位數(shù);

（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任“黨章黨史”的宣傳使者.若有甲（年齡

36）,乙（年齡42）兩人已確定入選宣傳使者，現(xiàn)計劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機抽取2

名作為組長，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率.

【答案】（1）32.25,37.5

⑵？

5

【解析】

【分析】（1）直接根據(jù)頻率分布直方圖求解平均年齡與第80百分位數(shù)；

（2）按照分層抽樣確定第四組抽取人數(shù)與編號，第五組抽取人數(shù)與編號，列舉樣本空間中所有樣本點及事

件“甲、乙兩人至少一人被選上”的所有符合的樣本點，結(jié)合古典概型公式計算即可得所求概率.

【小問1詳解】

解：設(shè)這根人的平均年齡為元，

貝IJ元=22.5xO.Olx5+27.5x0.07x5+32.5x0.06x5+37.5x0.04x5+42.5x0.02x5=32.25（歲）.

設(shè)第80百分位數(shù)為a,

由0.05+0.35+0.3+（?-35）x0.04=0.8,解得a==37.5.

【小問2詳解】

解:由題意得，第四組應(yīng)抽取4人，記為4B,C,甲，第五組抽取2人，記為。，乙.

對應(yīng)的樣本空間為：Q=｛（AB）,（A,C）,（A,甲），（A,乙）,（A,D）,（B,C）,（3,甲），（5,乙）,

（C,甲），（C,乙），（C,D）,（甲，乙），（【甲，。），（乙，D）］,共15個樣本點.

設(shè)事件河="甲、乙兩人至少一人被選上”，

則加=｛（4,甲），（A,乙），（3,甲），（3,乙），（C甲），（C,乙），（甲，乙），（甲，，D）,（乙，

。）｝,共有9個樣本點.

所以，P（M）=XQ=9.

“（Q）5

（5、22

21.己知點為橢圓C：三+*=l（a>b〉，0）上一點，A、3分別為C的左、右頂點，且QAB

的面積為5.

（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點P（l,0）的直線/與C相交于點M,N（點〃在x軸上方），AM,BN與y軸分別交于點G,H,

記跖，S?分別為cAOG,AAOH（點。為坐標(biāo)原點）的面積，證明：今為定值.

22

【答案】（1）土+匕=1

95

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）由的面積為5與點。（2,|

在橢圓C上得到關(guān)于。步的方程組，解之即可得到橢圓C

的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)出直線/的方程與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系、三角形面積公式進行求解

即可.

【小問1詳解】

因為QAB面積為5,點。（2,才為橢圓c：22

/+5=1上一點'

-x2ax-=5

23a=3

所以《Y,解得v

5b=E

22

----1--

U2b2=1

22

所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+匕=1.

95

【小問2詳解】

由題意可知直線/的斜率不為零，故設(shè)方程為x=my+l,

|22

土+匕=1

聯(lián)立為《95，消去打得（5療+9）V+10⑺—40=0,

x=my+1

-10m-40

設(shè)A/。,%）,N（z,%）（%>°），則%+%=——3，X%=——，故4（弘+為）=根X%，

5m2+95m2+9

-40

又因為％%=一;——<0,所以％<°，

5m+9

又A（—3,0）,5（3,0）,則直線40的方程為V-%=

%+3

令x=0,得〉=必一^^=^^,則,

%+3%1+3IXj+3）

（-3y>

同理可得：H0,-2,

、％-3,

所以Si_504必_屏_3%%-3_3%伍-3）

s?-OA-\yH\欣王+33y23%（玉+3）

=%（吵-2）=7町%-2%=4%+4y2-2%=2%+4y?=J_

%（加%+4）根%為+4%4%+4%+4%4%+8%2

因此■f1■為定值.

【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關(guān)系的題目，往往需要聯(lián)立兩者方程，利用韋達定理解決相應(yīng)

關(guān)系，其中的計算量往往較大，需要反復(fù)練習(xí)，做到胸有成竹.

22.己知函數(shù)/（x）=21nx-ar2+Z2x（a,beR）.

（1）當(dāng)z?=o時，討論〃力的單調(diào)性；

（2）設(shè)占,%為/（%）的兩個不同零點，證明：當(dāng)xe（0,+8）時，

/（X+/）<4sin（%+々）+2e小+也9.

【答案】（1）答案見解析

（2）證明見解析

【解析】

【分析】⑴求導(dǎo)后，分別在aWO和a>0的情況下，根據(jù)/'（%）的正負(fù)可得外可單調(diào)性；

%+1

）=0

（2）由<匚二八可整理得到。（X]+X,『-6（%1+%2）=2111%?3----,將所證不等式化為

了（尤2）=°

%2五_1

x2

土+1

r,+X22

21n(%+%)—21n土?%——<48^(%,+x2)+2e--,采用分析法可知只需證明

*2百__1

五+1

In+x2)-In—'---<e'+"-2-2即可；令g(x)=lnx~—(0<%<1),利用導(dǎo)數(shù)可求得

X2A-lx+l

工+1

g(x)<0,得至ijIn土.上一>2；令丸(￡)=爐一(％+1),0(x)=lnx—x+l,利用導(dǎo)數(shù)可證得

X2A-1

%

ex-2>x-l>lnx，由取等條件不同可知e*-2>lnx，由此可證得不等式.

【小問1詳解】

2-1

當(dāng)5=0時，〃x)=21nx-辦2,則/(%)定義域為(0,+8),/'(%)=-2(ax

x

①當(dāng)aW0時，a/—1<0，.../'(%)>0恒成立，\/(勾在(0,+。)上單調(diào)遞增;

②當(dāng)a>0時，令/''(%)=(),解得：%=--(舍)或％=

Vaa

/

5時，f^x)>0；當(dāng)

則當(dāng)xe0,x—,+00時，/'(力<0；

a)

(K,+81上單調(diào)遞減;

\八勾在0,-上單調(diào)遞增，在

a]a)

綜上所述：當(dāng)aWO時，/(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增；當(dāng)。>0時,上單調(diào)遞增，在

0,+ao]上單調(diào)遞減.

a)

小問2詳解】

21nxi-*2+如=0

不妨設(shè)三>占>0,則°<一且<2，

21nx2-ax2+bx2=0

21n土

兩式作差整理得: