上海市松江區(qū)2023屆高三年級(jí)下冊(cè)模擬考質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試卷（含答案與解析）

松江區(qū)2023學(xué)年度第二學(xué)期模擬考質(zhì)量監(jiān)控試卷

高三數(shù)學(xué)

（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）

考生注意：

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或

寫（非選擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分.

2.答題前，務(wù)必在答題紙上填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào).

3.答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位.

一、填空題（本大題滿分54分）本大題共有12題，第卜6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7~12

題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.

1.函數(shù)y=坨（％—2）的定義域?yàn)?/p>

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（L2）,貝.

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布“（3，^2）,且P（3KX45）=0.3,則P（X>5）=

m-

4.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為I）,將。4繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)2至°尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為____.

5已知X，=%+q（x—1）+%（*―1）2++a-j（x—I）7則％=

6.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，則此圓錐的體積為.（結(jié)果中保留兀）

7.己知等差數(shù)列｛%｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S”，若％=$5,則使得SR<4成立的〃的最大值為

8,已知函數(shù)〃制=現(xiàn)24若/.）=〃/）&口動(dòng),則4…最小值為

22

pF--7T=1（<2>0,/?>0）p

9.4，色是雙曲線ab-的左、右焦點(diǎn)，過(guò)4的直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于

A、8兩點(diǎn)，若叱網(wǎng)|：巾=3：4:5,則雙曲線的離心率為

10.己知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。滿足CD=mC4+"CB,且“>0,n>0,2m+n=l,則

ICOI的取值范圍是.

（〃一2）%+4〃+l,x<2

11.已知°<。<2,函數(shù)〔2優(yōu)，x>2,若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

12.某校高一數(shù)學(xué)興趣小組一共有30名學(xué)生，學(xué)號(hào)分別為1,2,3,…，30,老師要隨機(jī)挑選三名學(xué)生

參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求任意兩人的學(xué)號(hào)之差絕對(duì)值大于等于5,則有種不同的選擇方法.

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，第13、14

題選對(duì)得4分，第15、16題選對(duì)得5分，否則一律得零分.

13已知集合4={%|0<%<4},8={x|x=2〃,〃eZ},則AB=（）

A.{1,2}B.{2,4}

C.{0,1,2)D.[0,2,4)

14.垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進(jìn)城市精細(xì)化管理、保障可持續(xù)發(fā)展重要舉措.某小區(qū)為了倡

導(dǎo)居民對(duì)生活垃圾進(jìn)行分類，對(duì)垃圾分類后處理垃圾x（千克）所需的費(fèi)用y（角）的情況作了調(diào)研，并

統(tǒng)計(jì)得到下表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到V關(guān)于X的線性回歸方程為y=0.7x+0.4,則下

列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

2345

y22.33.4m

A.變量X、y之間呈正相關(guān)關(guān)系B,可以預(yù)測(cè)當(dāng)％=8時(shí)，y的值為6

C.m=3.9D.由表格中數(shù)據(jù)知樣本中心點(diǎn)為（3.5,2.85）

15.己知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為a、b及C,其中a<b.若b是函數(shù)7=依2-法+c的兩個(gè)零點(diǎn)，貝a

的取值范圍是（）

16.設(shè)S”為數(shù)列{4}的前〃項(xiàng)和，有以下兩個(gè)命題：①若{4}是公差不為零的等差數(shù)列且左eN,

k>2,則S/S2-S2I=O是W=0的必要非充分條件；②若｛?｝是等比數(shù)列且左eN,

左之2,則5「邑1=0的充要條件是％+。&+1=0.那么()

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，①是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.設(shè)/(x)=sin2x+A/3cosxsinx(<z>>0),函數(shù)y=/(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為

兀.

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

(2)在ABC中，設(shè)角A、3及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為。、b及c,若a=M，b=6,/(A)=-,

求角C.

18.如圖，在四棱錐尸—ABCD中，底面A3CD為菱形，平面A3CD,E為PD的中點(diǎn).

(1)設(shè)平面ABE與直線尸。相交于點(diǎn)尸，求證：EF//CD；

(2)若A3=2,ZZMB=60°,PD=4g，求直線班與平面上4。所成角大小.

19.某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派一次：如果一

個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無(wú)需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有

甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為B、22、P3,假定。1、P2、P3互不相等，

且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

321

(1)計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若R=—，P，=—，p=~，求該小組比賽勝利的概率；

4332

(2)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求X的期望E(X)；

(3)已知1〉巧〉口〉。3,若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙

誰(shuí)先派出.

20.如圖，橢圓「乙+/=1的上、下焦點(diǎn)分別為《、居，過(guò)上焦點(diǎn)及與y軸垂直的直線交橢圓于

2]一]

M、N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、。分別在直線與橢圓「上.

(2)若線段尸。的中點(diǎn)在x軸上，求△6PQ的面積；

(3)是否存在以乙。、8P為鄰邊的矩形居QEP,使得點(diǎn)E在橢圓「上？若存在，求出所有滿足條件

的點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

21.已知函數(shù)y=%?ln%+a(〃為常數(shù))，記y=/(%)=%?g(%).

(1)若函數(shù)y=g(x)在x=l處的切線過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值；

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)心求證：f(x)+f(t-x)>f(t)-t]n2+a；

x

e

(3)當(dāng)〃=1時(shí)，求證：g(x)+cosx<一.

參考答案

一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，第1~6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7~12

題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.

1.函數(shù)y=電(工—2)的定義域?yàn)?/p>

【答案】(2,+8)

【解析】

【詳解】要使函數(shù)y=ig(無(wú)一2)有意義，

則1一2>0=>%>2,

所以函數(shù)丁=坨(％—2)的定義域?yàn)?2,+8),

故答案為(2,+8).

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,2),貝//=.

【答案】-2+i##i-2

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求解即可.

【詳解】由題意知，z=l+2i,

則i-z=i<l+2i)=—2+i,

故答案為：—2+i

3.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR,。?)，且。(3<X<5)=0.3,則P(X>5)=.

【答案】0.2##!

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱性，即可求解.

【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR,。?)，且。(3<X<5)=03,

可得P(X>5)=0.5-P(3<X<5)=0.5-0.3=0.2.

故答案為：0.2.

4.已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為將。4繞坐標(biāo)原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)|■至。尸，則點(diǎn)尸的坐標(biāo)為.

【答案】［―g，；

I22J

【解析】

TTTTJi5JT

【分析】由題意可求NxOA=—,ZxOP=-+-=—,利用任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.

3326

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為可得=

所以/%。「=工+二=2，

326

-r/曰5n6.5兀1

可得九尸=cos-^-=———‘yP=sm-^-二5'

所以點(diǎn)尸的坐標(biāo)為一￡~，上，

故答案為：--T-,—

22

5.已知，=%十%(X—1)+七(％—I)?++%(X—I)，，貝!J%=.

【答案】21

【解析】

【分析】先將『變形為[1+?！?)]7的形式，再應(yīng)用二項(xiàng)式定理求解即可.

【詳解】x7=[l+(x-l)]7,

由二項(xiàng)式定理得：4=C；(X—1)5,

所以%=G=C；=7*6=21

2x1

故答案為：21.

6.若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，則此圓錐的體積為.(結(jié)果中保留兀)

【答案】-7T

3

【解析】

分析】通過(guò)側(cè)面展開圖的面積.求出圓錐的母線，底面的半徑，求出圓錐的體積即可.

【詳解】由題意一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2兀的半圓面，設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為/,底面半徑為小

1,

則2兀=—兀/2,所以/=2,則半圓的弧長(zhǎng)為2兀，

2

所有圓錐的底面半徑為271r=2兀，r=\,

2r

所以圓錐的體積為：-X7txlXA/2^T=—71.

33

故答案為：^-7T.

3

7.已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項(xiàng)和為S,,若見=55,則使得5“成立的"的最大值為.

【答案】5

【解析】

【分析】根據(jù)題意，列出方程求得％=—4,得到3=且4=2〃—6,結(jié)合列出不等

式，即可求解.

【詳解】由等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前九項(xiàng)和為若4=工，

5x4

可得q+2x2=5%+2義2,解得％=—4,

2

所以S“=—4"+Dx2=n-5n,S.an=-3+（?-1）x2=2n-6,

因?yàn)榧础?—5”<2"—6，整理得"2—7〃+6<0,解得1<〃<6,

因?yàn)椤╡N*，所以使得S”<a“成立的〃的最大值為5.

故答案為:5.

8.已知函數(shù)=,若/（玉）=/（無(wú)2）（大產(chǎn)大2），則4玉+々的最小值為-

【答案】4

【解析】

【分析】由題意及對(duì)數(shù)的運(yùn)算與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得西飛2=1，利用基本不等式即可求解.

/、??f-log?^,0<x<1

【詳解】/（%）=log2X,

［log2X,X>1

若/（玉）=/（%2）（%片為2）,不妨設(shè)。<為<1<々,

則-log,%；=log2x2,

所以lOg2玉+lOg2X2=log2%?%2=°，即再?％=1，

所以4工1+々22,4%=4,當(dāng)且僅當(dāng)無(wú)］二（,凡=2時(shí)，等號(hào)成立.

故答案為：4.

22

9.耳,鳥是雙曲線，-==1（?！?］〉0）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)片的直線/與雙曲線的左、右兩支分別交于

4、B兩點(diǎn),若巡|:|A耳卜3:4:5,則雙曲線的離心率為

【答案】A/13

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義可求得a=l,ZA5F,=90°,再利用勾股定理可求得2c=|月6|,從而可求

得雙曲線的離心率.

【詳解】解：|AB|：|8/"：|”|=3:4:5,不妨令|AB|=3,||=4,|A月|=5,

|附2+1陷|2=|和|2,.ZABF2=90°,

又由雙曲線的定義得：|84|——|A耳|=2〃，

.?.I秋|+3—4=5_|A￡|,.1A耳|=3.

.?.|AFJ_|%|=3+3_4=2a,

..—1?

2222

在心△5耳B中，IKBl=l34|2+13笈1=6+4=52,

222

■|F1F2|=4C,4c=52,/.c=y/13-

，雙曲線的離心率e=￡=屈.

a

故答案為：V13.

10.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)。滿足CD=mC4+/CB，且加〉0,n>0,2m+n=l,則

|CD|的取值范圍是.

【答案】（1,2）

【解析】

【分析】取AC的中點(diǎn)E,由題意可得CD=2加CE+〃CB，從而推得5。，石三點(diǎn)共線，進(jìn)而得出

\CE\<\CD\<\CB\,即可得出答案.

【詳解】取AC的中點(diǎn)E，則C4=2CE，

又CD=mCA+nCB=2mCE+〃C8，又因?yàn)?m+〃=1,

故5。,E三點(diǎn)共線，即點(diǎn)。在中線板上運(yùn)動(dòng),

在正三角形ABC中，BELAC，

又m>0,n>0,貝|]|。￡|<|。>|<]。@,

故「*(1,2).

故答案為：(1,2)

(〃一2)x+4a+l,x<2

7

11.已知0<〃<2,函數(shù)yx],若該函數(shù)存在最小值，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍是

2罐T,x>2

【答案】{a|O<a<g或”=1}

【解析】

【分析】令g(?=(a-2)x+4a+l,xe(-^,2],h(x)=2ax-l,xe(2,+a>),分類討論。的取值范圍，

判斷g(X?,力(%)的單調(diào)性，結(jié)合了⑺存在最小值，列出相應(yīng)不等式，綜合可得答案.

【詳解】由題意，令g(x)=(a-2)x+4a+l,xe(-oo,2],h(x)=2ax~',xe(2,-H?),

當(dāng)。<a<l時(shí)，g@)在(-8,2]上單調(diào)遞減，/?(x)在(2,+co)上單調(diào)遞減，則/z(x)在(2,+co)上的值域?yàn)?/p>

(0,2a),

因?yàn)?(x)存在最小值，故需8(2)=(。-2)*2+4。+140,解得

結(jié)合此時(shí)0<a<—；

2

當(dāng)1<。<2時(shí)，g(無(wú))在(-8,2]上單調(diào)遞減，/z(x)在(2,長(zhǎng)。)上單調(diào)遞增，則/z(x)在(2,+co)上的值域?yàn)?/p>

(2a,+oo),

3

因?yàn)?(x)存在最小值，故需g(2)W2a,即(a-2)x2+4a+lW2a,解得

這與lvav2矛盾；

當(dāng)a=l時(shí)，g(x)=-x+5在(7,2］上單調(diào)遞減，且在(—8,2］上的值域?yàn)椋?,+8),h(x)=2,此時(shí)存在

最小值2；

則實(shí)數(shù)。的取值范圍為{a|0<a或。=1}.

故答案為：{a|O<a?g或a=l}.

12.某校高一數(shù)學(xué)興趣小組一共有30名學(xué)生，學(xué)號(hào)分別為1，2,3,…，30,老師要隨機(jī)挑選三名學(xué)生

參加某項(xiàng)活動(dòng)，要求任意兩人的學(xué)號(hào)之差絕對(duì)值大于等于5,則有種不同的選擇方法.

【答案】1540

【解析】

【分析】根據(jù)題意，設(shè)挑選出三名學(xué)生的學(xué)號(hào)分別為無(wú)，y,z,不妨設(shè)x<y<z,結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為

x+(y-x-4)+(z-y-4)+(31-z)=23,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為四個(gè)正整數(shù)的和為23,結(jié)合隔板法，即可求解.

【詳解】設(shè)挑選出的三名學(xué)生的學(xué)號(hào)分別為x,y,z,不妨設(shè)x<y<z,

則有恒等式x+(y—x)+(z—y)+(30—z)=30(*),

其中y-x>5,z-y>5,30-z>0,

即y-x—4>1,z—y—4>l,31—z>1,

故(*)式為x+(y-x-4)+(z-y-4)+(31-z)=23,

上式四個(gè)正整數(shù)的和為23,相當(dāng)于23個(gè)1分成四組，運(yùn)用隔板法，在22個(gè)空中放3塊板，故有C；2=1540

種方法.

故答案為：1540.

二、選擇題(本大題滿分18分)本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，第13、14

題選對(duì)得4分，第15、16題選對(duì)得5分，否則一律得零分.

13.已知集合4={%|0<%<4},8={x|x=2〃,〃eZ},則AB=()

A.{1,2}B.{2,4}

C.{0,1,2}D.［0,2,4}

【答案】D

【解析】

【分析】直接根據(jù)交集概念求解.

【詳解】因?yàn)榧螦={%|0<%<4},B=[x\x=2n,neZ},

所以A5={0,2,4}.

故選：D.

14.垃圾分類是保護(hù)環(huán)境，改善人居環(huán)境、促進(jìn)城市精細(xì)化管理、保障可持續(xù)發(fā)展重要舉措.某小區(qū)為了倡

導(dǎo)居民對(duì)生活垃圾進(jìn)行分類，對(duì)垃圾分類后處理垃圾x（千克）所需的費(fèi)用y（角）的情況作了調(diào)研，并

統(tǒng)計(jì)得到下表中幾組對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，同時(shí)用最小二乘法得到〉關(guān)于x的線性回歸方程為y=0.7無(wú)+0.4,則下

列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

X2345

y22.33.4m

A.變量％、y之間呈正相關(guān)關(guān)系B.可以預(yù)測(cè)當(dāng)％=8時(shí)，y的值為6

C.m=3.9D.由表格中數(shù)據(jù)知樣本中心點(diǎn)為（3.5,2.85）

【答案】C

【解析】

【分析】利用回歸直線方程可判斷A選項(xiàng)；將x=8代入回歸直線方程可判斷B選項(xiàng)；計(jì)算出樣本的中心

點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合平均數(shù)公式可判斷CD選項(xiàng).

【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)榛貧w直線方程y=0.7x+0.4,故變量X、y之間呈正相關(guān)關(guān)系，A對(duì)；

對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)％=8時(shí)，y=o.7x8+o.4=6,B對(duì)；

-2+3+4+5-

對(duì)于CD選項(xiàng)，x=----------=3.5,則y=0.7x3.5+0.4=2.85,

4

故樣本的中心點(diǎn)的坐標(biāo)為（3.5,2.85）,

—2+23+34+HZ

另一方面，y=——:——:-----=2.85,解得加=3.7,C錯(cuò)D對(duì).

4

故選：C.

15.已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為。、b及c,其中a<b.若b是函數(shù)y=仆2-Bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則。

的取值范圍是（）

45-1}

B.fl

【答案】B

【解析】

【分析】由a,b為函數(shù)/（》）=?2—bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)可得依2一。（。+5）］+。2b=q2-灰+。，即可

,,4。4__修公腳上吊汨175-1

0b-----、c—------，由兩邊N和大于第二邊，結(jié)口出思可信一<a<---------

1—al—a22

【詳解】由〃力為函數(shù)/(%)=依2一區(qū)+。的兩個(gè)零點(diǎn)，故有〃(1-〃)(％-6)=依2-法+。,

22

即以之-a(<a+b)x+ab=ax-Zzx+c恒成立，

224

故Q(〃+/?)=/?,a2b=c?貝！IZ?=—^—，c—a2b=a2x——=——,

1—ci1—a1—a

由a,b,c為某三角形的三邊長(zhǎng)，且a<6,

21

故1—a〉0,且a<j,則一<。<1,因?yàn)閆>+c>a必然成立,

1-a2

a4a2

aH------------>----------布-1

a+obGn<a<-------

所以《7，即^解得<2

a+b>caa

aH------------>----------0<。<1

1—al-ci

在21V5-1

所以一(av25------

22

工

故。的取值范圍是:

2

故選：B.

16.設(shè)5“為數(shù)列｛a“｝的前九項(xiàng)和，有以下兩個(gè)命題：①若｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列且上eN,

k>2,則，卡2521=0是。/?久=0的必要非充分條件；②若｛4｝是等比數(shù)列且左eN,

k>2,則，出2S%=0的充要條件是/+%+1=0.那么（

A.①是真命題，②是假命題B.①是假命題，①是真命題

C.①、②都是真命題D.①、②都是假命題

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和性質(zhì)分析①的真假，由等比數(shù)列和等比數(shù)列的前九項(xiàng)

和性質(zhì)分析②的真假，綜合可得答案.

【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于命題①，｛%｝是公差不為零的等差數(shù)列，

若4=0，則在。1，/，?,為中，至少有一項(xiàng)為0,

假設(shè)am=0,(l<m<^),則Slm_x=°”=(2m-l)am=0,

必有S/S?S2k_x=0,

反之，在等差數(shù)列｛%｝中，若4=2〃-3,

則。1=一1,〃2=1，有S2=0,則S/S2S左=0成立,

但4?%以=0不成立，

故31?邑邑1=0是久=。的必要非充分條件，故①正確；

對(duì)于命題②，若｛4｝是等比數(shù)列，設(shè)其公比為q,若左eN,左之2時(shí)，

有RS.1=0,則耳,邑,冬中，至少有一項(xiàng)為o,則"1,

假設(shè)s很=0,則有s=q(1—q)=0,必有4加=1,

i-q

又由qwl,必有加為偶數(shù)且4=—1,故。左+以+1=0,

反之，若以+以+1=0,則“=-1,必有S2=0,則有k>2,

則S1,S2,S左=0,

若｛4｝是等比數(shù)列且左eN,k>2,則S/S2-巢=0的充要條件是4+4+1=0,

故②正確.

故選：C.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵點(diǎn)是，熟練掌握等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，從而

分析得解.

三、解答題(本大題滿分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.設(shè)/(x)=sii?￡x+指cos￡xsin￡x(0>0),函數(shù)y=f(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為

兀.

(1)求函數(shù)y=/(x)的解析式；

3

(2)在ABC中，設(shè)角A、3及。所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為“、b及c,若b=叵，/(A)=-,

求角C.

兀]

【答案】(1)/(x)=sin(x--)+-

⑵-

12

【解析】

【分析】(1)根據(jù)降幕公式，二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)73,再根據(jù)y=/(x)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之

間的距離為兀求出。即可；

(2)由/'(A)=—得出4=三，過(guò)點(diǎn)。作A5LCD于點(diǎn)O,得出乙4。=2,分別求出AD,CD的

236

長(zhǎng)，結(jié)合A5即可得出8。=CD,進(jìn)而得出/BCD,根據(jù)NACB=N3CD—NACD即可求得答案.

【小問(wèn)1詳解】

”、1-COSCOXv3../兀、1

j(x)=--------+——smcox=sin(s——)+一，

2262

因?yàn)楹瘮?shù)y=/(%)圖象的兩條相鄰對(duì)稱軸之間的距離為兀，

T2冗

所以一=兀，則T=——=2兀，解得刃=1,

2CD

jr1

所以/(%)=sin(x——)+-.

62

【小問(wèn)2詳解】

37T137171

由/(A)=]得，f(A)=sin(A-^)+-=^=>A-~=2hi+^,keZ,

7T7T即曾

因?yàn)槿恕辏?,兀），所以A—二二—，

62

cosA="+/—病=2+%—3”得c=F（舍負(fù)）,

2bc2V2c

過(guò)點(diǎn)C作A3,CD于點(diǎn)。，如圖所示,

由/。=烏,/84。=&得，ZACD=^,則A￡>=LAC=也,CD=ACxcosK=^，

2362262

所以的W3”+孝/，則皿3

TT71717r

所以,則ZACBuNBCD—NAC￡）=----=—.

44612

D

XX、

18.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A3CD為菱形，PD_L平面A3CD,E為PD的中點(diǎn).

（1）設(shè)平面ABE與直線PC相交于點(diǎn)F,求證：EF//CD；

（2）若A3=2,ZDAB=6Q°,PD=4垃,求直線班與平面上4。所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

⑵-

6

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面平行的判定定理，證出A3//平面PC。，然后根據(jù)平面ABEc平面PCD=￡F,

利用線面平行的性質(zhì)定理證出跖//CD；

（2）連接BD,取A。中點(diǎn)H,連接3H、EH,根據(jù)線面垂直的判定定理，證出5"J_平面R4。，可

得ZBEH是直線BE與平面PAD的所成角，然后在RtABEH中利用銳角三角函數(shù)的定義算出答案.

【小問(wèn)1詳解】

證明：；平面ABE與直線PC相交于點(diǎn)，平面ABEc平面尸CD=ER,

四邊形A3CD是菱形，，人與〃。，

AB<z平面PC。，CDu平面PCD,，■//平面PCD,

ABu平面ABE，平面ABEc平面尸CD=石尸，

:.EF//CD-,

【小問(wèn)2詳解】

連接6D，取AD中點(diǎn)〃，連接出/、EH,

菱形A3CD中，AB=AD,ZDAB=60°,:.AABD等邊三角形，

〃是AD中點(diǎn)，:.BH±AD，

平面ABC。，9<2平面48。，.?.9/_￡?0，

PD、ADu平面B4。，PDAD=D,二皿，平面PAD.

ZBEH是直線BE與平面PAD的所成角，

￡是尸。中點(diǎn)，PD=4yf2>：.DE=^PD=2y/2.

平面ABC。，ADu平面ABC。，二。。LAD,

一//為AD中點(diǎn)，，O"=；AO=1,RtZXDEW中，EH=1DE，+DH?=3，

等邊△ABD中，高BH=AD=s/3，

2

.-.RtBEH中,tan/BEH=^=昱,

EH3

7171

可得NBEH=7,即直線BE與平面R4。的所成角等于：.

66

19.某素質(zhì)訓(xùn)練營(yíng)設(shè)計(jì)了一項(xiàng)闖關(guān)比賽.規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，每次只派一個(gè)人，且每人只派一次：如果一

個(gè)人闖關(guān)失敗，再派下一個(gè)人重新闖關(guān)；三人中只要有人闖關(guān)成功即視作比賽勝利，無(wú)需繼續(xù)闖關(guān).現(xiàn)有

甲、乙、丙三人組隊(duì)參賽，他們各自闖關(guān)成功的概率分別為小、1%、P3,假定億、。2、P3互不相等，

且每人能否闖關(guān)成功的事件相互獨(dú)立.

321

（1）計(jì)劃依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，若P1=Z，幺=§，ft=21求該小組比賽勝利的概率；

（2）若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，則寫出所需派出的人員數(shù)目X的分布，并求X的期望E（X）；

（3）已知1>0>°2>。3,若乙只能安排在第二個(gè)派出，要使派出人員數(shù)目的期望較小，試確定甲、丙

誰(shuí)先派出.

23

【答案】（1）—

24

（2）plp2-2px-p2+3

（3）先派出甲

【解析】

【分析】（1）利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求解；

（2）由題意可知，X的所有可能取值為1,2,3,利用獨(dú)立事件的概率乘法公式求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而得

到X的分布，再結(jié)合期望公式求解；

（3）分別計(jì)算出依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)和依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，所派出人員數(shù)目的期望，再利用作差法

比較大小即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)事件A表示“該小組比賽勝利”，

…/八31211123

則P（A）=_+_x_+_x_x_=——；

—44343224

【小問(wèn)2詳解】

由題意可知，X的所有可能取值為1,2,3,

則P(X=l)=n，P(X=2)=(1—P1)P2，P(X=3)=(1—Pj(l—P2)，

所以X的分布為：

X123

PPl(1-P1)P2

所以E(X)=B+2(1-B)〃2+3(1-Pi)(l-。2)=P1P2-2。1一2+3；

【小問(wèn)3詳解】

若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為用，

由（2）可知，耳=一2。1一夕2+3,

若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為七2，

貝I]E2=-2夕3-。2+3,

2+

貝I」耳一4=（P1P2-2p-。2+3）-（p3P2-2P3-。2+3）=P1P2-P1-P3P22P3

=P2（P「P3）-2（P]-。3）=（Pl-”3）（。2-2）,

因?yàn)?〉B>%>小，所以B-°3〉0，。2一2<0,

所以g—石2<0，即E]<E2，

所以要使派出人員數(shù)目的期望較小，先派出甲.

2

20.如圖，橢圓「：乙+%2=1的上、下焦點(diǎn)分別為耳、K，過(guò)上焦點(diǎn)耳與y軸垂直的直線交橢圓于

2

M、N兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P、。分別在直線與橢圓「上.

（2）若線段P。的中點(diǎn)在x軸上，求△耳尸。的面積；

（3）是否存在以8Q、8P為鄰邊的矩形入QEP,使得點(diǎn)E在橢圓「上？若存在，求出所有滿足條件

的點(diǎn)。的縱坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)\MN\=s/2

⑵正

2

(3)一2+夜或-L

【解析】

【分析】(1)根據(jù)已知求出點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，根據(jù)對(duì)稱性可得線段的長(zhǎng)；；

(2)線段的中點(diǎn)在x軸上，得Q點(diǎn)縱坐標(biāo)，代入橢圓方程得。點(diǎn)橫坐標(biāo)，此時(shí)軸，易得其面

積；

(3)假設(shè)存在工。，為鄰邊的矩形鳥QEP，使得點(diǎn)E在橢圓C上，設(shè)P(x0,l),。(%％),

E(x2,y2),由平行四邊形對(duì)角線互相平分把E點(diǎn)坐標(biāo)用P,Q點(diǎn)坐標(biāo)表示，然后把Q,E坐標(biāo)代入橢圓方

程，利用垂直得向量的數(shù)量積為0,得出石,%的關(guān)系，結(jié)合起來(lái)可得%=0或%=-斗，再分別代入

求得為,得結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

由F：1~+x?=1可得：a=yf2>b=1,從而c=1a2-b。=1，

所以令y=i,則』+公=1,解得：％=土正，

22

所以=

【小問(wèn)2詳解】

線段P。的中點(diǎn)在X軸上，則力=1,所以y°=T,即軸，

16

所以令y=—1,則一+爐=1,解得：％=±注，

22

FFFXx2=

所以SPOF2=^\2Q\'\i2\=-~~^'

【小問(wèn)3詳解】

SPOF,=；|馬QHKBI=gx曰義2=坐，

假設(shè)存在以KQ,KP為鄰邊的矩形KQEP,使得點(diǎn)E在橢圓C上,

設(shè)P(無(wú)0,1),0(%,%),E(x2,y2),F2(0,-l),

因?yàn)樗倪呅?QEP是矩形，一定為平行四邊形，所以gP+EQ=&E,

則々=%+西，%=%+2，所以石（%+為％+2）,

"1

Q,E都在橢圓上，〈,變形得其+2玉毛+2M+2=。①,

(%+2)、

(%+%)2=1

2

又QFJPF],所以8Q.￡P(guān)=0,即(%,%+1>(玉),2)=2(%+1)+為玉)=0,

則2%+2=_占/②,

②代入①得X；+玉石=0,解得：入0=0或不=一七,

若%=0時(shí)，%=-1,%=土昱,此時(shí)尸與耳重合，。點(diǎn)坐標(biāo)為

,一1）；

2

若飛=一當(dāng)時(shí)，聯(lián)立＜

5；)+&+/)2=]

消去A可得：才+4%+2=0,解得：％=—2土JL

因?yàn)閬V€[—&,行],所以％=—2+夜,

所以存在滿足題意的。點(diǎn)，其縱坐標(biāo)為-2+夜或-L

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：對(duì)于圓錐曲線中探索性問(wèn)題，求解步驟如下:

第一步：假設(shè)結(jié)論存在；

第二步：結(jié)合已知條件進(jìn)行推理求解；

第三步：若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立即可肯定正確；若推出矛盾，即否定假設(shè);

第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)及解題規(guī)范.

21.已知函數(shù)y=x1nx+a(。為常數(shù))，記y=/(%)=x-g(x).

(1)若函數(shù)y=g(x)在x=l處的切線過(guò)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值;

(2)對(duì)于正實(shí)數(shù)求證：/(%)+/(?-%)>/(0-?ln2+a；

v