高中數(shù)學必修第一冊《第二章 等式與不等式》單元測試卷(含解析)

高中數(shù)學必修第一冊《第二章等式與不等式》單元測試卷

一、單選題(本大題共12小題，共60.0分)

1.已知/"(X)=如，g(x)=Isin^x-切，則八(x)=f(%)-h(x)的零點個數(shù)為()

A.8B.9C.10D.11

2.若關于x的方程產(chǎn)+%x+l=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(-2,2)

C.(-oo,-2)U(2,+oo)D.(-oo,-l)u(1,+oo)

3.若關于x的方程瞿=人久2有4個不同的實根，則左的取值范圍為()

11

A.[0,4]B.[4,+oo)C.(-/+°°)D.(―8,,

4.設%1、％2是方程/一5%+771=0的兩個根，且+%2-=2,則根的值是()

A.-3B.3C.-7D.7

5.設娜?二輔y題?<1則下列不等式成立的是()

A.序襄醒B.141C.D.峙ye

6.已知減函數(shù)3=頻禽-:1是定義在嬴上的奇函數(shù)，則不等式/@-璘/?的解集為()

A.:我.書碑：B.:尊書碑：C.：衛(wèi)一睢頤D.:鯽<書?磷：

7.關于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+8),則關于x的不等式(2ax+b)(x-3)>0的解集是

()

A.(—8,1)u(3,+8)B.(1,3)

C.u(3,+8)D.(-1,3)

8.方程=5的解集是()

A.{2}B.{2,-2}C.{1,-1}D.{i,-i}

9.方程組If二?二?*的解集是()

1

A.{(3,5)}B.{(2,-j)}C.{(2,3)}D.{(3,15))

10.對任意實數(shù)羽不等式(a-2)/+2(a—2)力一4<0恒成立，則。的取值范圍是()

A.(—2,2]B.[—2,2]

C.(-8,—2)U[2,+8)D.(—8,—2]U(2,+8)

11.已知正實數(shù)滿足a+2b=1,貝嚀+前勺最小值為()

A.8B.9C.10D.11

12.若函數(shù)/(x)=x+—-—(x>2)在x=a處取最小值，則a=()

x-2

A.1+點B.1+用C.3D.4

二、單空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.已知集合/=｛x|-1<%<1],B=(x\x>a｝,若/C\B=0,則實數(shù)a的取值范圍是.

14.若關于x的方程好-(a-l)x+a2=0的兩根互為倒數(shù)，則a=.

15.已知函數(shù)用磁=潑用(痛為常數(shù)),若/'(感在區(qū)間:：u畸上是單調增函數(shù),則儂的取值范圍是_。

16.若實數(shù)x,y滿足X?+>2+0=1,則彳+y的最大值是.

三、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

17.已知函數(shù)/(%)=|3x—2|—kx.

(1)若々=1,求不等式/(%)<3|x-1|的解集;

(2)設函數(shù)/(%)的圖象與無軸圍成的封閉區(qū)域為。，證明：當2<k<3時，。的面積大于蓑.

18.已知數(shù)列｛a九｝滿足%=2*1+2”-1(;?EN\n》2),且囪=81,

(1)求數(shù)列的前三項。1、藥、。3的值；

(2)是否存在一個實數(shù)九使得數(shù)列｛誓｝為等差數(shù)列？若存在，求出2的值；若不存在，說明理由；

求數(shù)列｛5｝通項公式.

19.已知函數(shù)/(%)=怎.

⑴解不等式f⑺<1；

(2)求函數(shù)f(x)值域.

20.某個集團公司下屬的甲、乙兩個企業(yè)在2012年1月的產(chǎn)值都為。萬元，甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值與

前一個月相比增加的產(chǎn)值相等，乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的百分數(shù)相等，到2013

年1月兩個企業(yè)的產(chǎn)值再次相等.

(1)試比較2012年7月甲、乙兩個企業(yè)產(chǎn)值的大小，并說明理由；

(2)甲企業(yè)為了提高產(chǎn)能，決定投入3.2萬元買臺儀器，并且從2013年2月1日起投入使用.從啟用

的第一天起連續(xù)使用，第〃天的維修保養(yǎng)費為若元OeN*),求前幾天這臺儀器的日平均耗費

(含儀器的購置費)，并求日平均耗資最小時使用的天數(shù)？

21.對長為800:%寬為600加的一塊矩形土地進行綠化，要求四周種花(花帶寬度相等)，中間種草

坪，要求草坪面積不少于總面積的一半，求花帶寬度的取值范圍.

22.國家規(guī)定個人稿費納稅方法為:不超過800兀的不納稅,超過800且不超過4000兀的按超過800

元的部分14%納稅，超過4000元的按全部稿費的11%納稅，

(1)試根據(jù)上述規(guī)定建立某人所得稿費x元與納稅額y元的函數(shù)關系；

(2)某人出了一本書，獲得20000元的個人稿費，則這個人需要納稅是多少元？

(3)某人發(fā)表一篇文章共納稅70元，則這個人的稿費是多少元？

【答案與解析】

1.答案：C

解析：解:由h(x)=/(x)-h(x)=。得f(久)=

g(x)=|sin(^x-^)|=|cos^x|,

作出函數(shù)/'(x)與g(x)的圖象如圖：

v/(10)=IglO=1,g(10)=\cos5n\=1,

兩個圖象有10個交點，

即函數(shù)h(x)的零點個數(shù)為10個，

故選：C.

利用函數(shù)與方程的關系，由h(x)=。得/■(>)=/，作出函數(shù)/'(x)與9(尤)的圖象，利用數(shù)形結合進

行求解即可.

本題主要考查函數(shù)與方程的應用，利用函數(shù)與方程的關系轉化為兩個函數(shù)圖象交點個數(shù)問題是解決

本題的關鍵.

2.答案：C

解析：

:方程/+?u+l=0有兩個不相等的實根，:/=?"2一4>0.."〃2>%即m>2或相<—2.

3.答案：C

解析：解：、?恩=k/

???%=0是方程的一個實數(shù)解,

又???關于X的方程號=人力2有4個不同的實根,

.??瞿=k/有三個不同的非零實數(shù)解.

(1)當x>0時,

由喜="2,

可得《=%(X+4)；

(2)當x<0時,

由一M2,

可得:=-x(x+4)；

/、（（）

?■?g（x）=i"[xrx（x++44,%）,x><00，如,圖1，

要使塔=k/有三個不同的非零實數(shù)解，

x+4

則0<[<4,

k>-4.

故選：c.

首先判斷出X=。是方程的一個實數(shù)解，所以瞿=有三個不同的非零實數(shù)解；然后判斷出g(x)=

^=fx(x+4)%>0根據(jù)其函數(shù)圖象，要使鑒="2有三個不同的非零實數(shù)解，求出k的取值范

圍即可.

此題主要考查了分式方程的解，要熟練掌握，注意數(shù)形結合方法的應用，解答此題的關鍵是判斷出:

g(x)+尸：+:如考查數(shù)形結合的應用?

八，k(.-%(%+4),x<0

4.答案:B

解析:

本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“兩根之和等于兩根之積等于?是解題的關鍵.

aa

由根與系數(shù)的關系可得%1+%2=5、%1%2=M，結合%1+%2-X1X2=2可得出關于m的一元一次方

程，解之即可得出結論.

解：?.?%]、工2是方程一一5%+血=0的兩個根，

???%1+&=5,=m-

%1+%2—xrx2=5—m=2,

.?.m=3.

故選：B.

5.答案：D

解析：試題分析：由磔":姑所以露曠,A錯；由顫*:磔/國，則工演3,B錯；因為由考察麋:域:=：潦,

:臧凝

因為峋<<.-：：a,故函數(shù)..施礴在虛內單調遞減，且輸>?，所以瀚志<1,c錯；因為郵<魏/頷":1,所

以御":賴一的*：1，故崛制-緯嗎副，。正確.

考點：1、不等式的性質；2、函數(shù)的單調性.

6.答案：B

解析:試題分析：因為函數(shù)般1=￥1常一翻是定義在疆上的奇函數(shù),所以有函數(shù)般1二頻夕：-霞過點姆吸，

所以.巽卜囂=?1，又因為般'=.1!>：一讖在費上為減函數(shù)，不等式網(wǎng)-建A砥7CI-需“:一%^慝觸乳

故選B.

考點：本題考查利用抽象函數(shù)的性質解不等式.

7.答案：D

解析：解：關于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+8),

.1?a<0,且2=2,

a

則b=2a；

?,?關于x的不等式(2a%+b)(x-3)>0,

可化為(2a%+2a)(%-3)>0,

即(％+1)(%-3)<0,

解得一1<%V3,

???所求不等式的解集是(-1,3).

故選：D.

由不等式a=-b<。的解集知a<0且=2,

a

代入關于尤的不等式(2ax+b)(x-3)>0中求解即可.

本題考查了不等式與對應方程的應用問題，是基礎題.

8.答案：B

解析：解：根據(jù)題意得2/-3=5,解得x=±2,

故選：B.

由題列出方程2/—3=5,求解即可

本題考查矩陣方程的求解，屬于基礎題.

9.答案：B

解析：解：已知出:二道包

方程①可變形為(2x-3y)(2%+3y)=15,③

把②代入③中，得5(2x+3y)=15,即2x+3y=3,

于是，原方程組化為片+?=：,

(2%—3y=5

(x=2

解這個二元一次方程組，得1，

[y--3

方程組的解集為{(2,—}}.

故選：B.

通過方程組的求解，得到直線與雙曲線的焦點坐標，即可得到選項.

本題考查直線與雙曲線的位置關系的應用，方程組的解法，是基礎題.

10.答案：A

解析：解:不等式(a—2)^2+2(a—2)x—4<0

當a—2=0,即a=2時，-4<0恒成立，合題意.

當a—240時，要使不等式恒成立，需a—2<0,且△<0

解得一2<a<2.

所以。的取值范圍為(—2,2].

故選：A.

結合二次函數(shù)的圖象與性質解決，注意對二次項系數(shù)分類討論.

本題考查求不等式恒成立的參數(shù)的取值范圍，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題.

11.答案：B

解析：

本題考查利用基本不等式求最值，考查變形能力和運算能力，屬于基礎題.由題意可得5+：=(a+

26)弓+6，展開后，運用基本不等式可得所求最小值.

解：正實數(shù)滿足a+2b=1,則：+￡=(a+2b)*+6

=5+^+->5+2

ba

當且僅當a=b時，上式取得等號,

則上+［的最小值為9.

ab

故選：B.

12.答案C

解析：J(^)=X—2+-------+2,2>0,

x-2

二一2+-------之2,

x-2

當且僅當了一2=^—,即％=3時“=”成立，故。=3.

x-2

13.答案：［1,+8)

解析：解：由集合4=(x|-1<%<1］,B=(x\x>a］,

又丁AC\B=0,

?,?實數(shù)。的取值范圍為：a>1.

故答案為：［L+8).

直接由已知集合A、集合5以及/八8=。求出實數(shù)。的取值范圍.

本題考查了交集及其運算，是基礎題.

14.答案：—1

解析：

此題考查了根與系數(shù)的關系，倒數(shù)的定義，以及一元二次方程解的判定，一元二次方程a/=

hc

0(a*0),當廬—4ac>0時，方程有解，設此時方程的解為％和小，則有久i+不=-1/叼=晟設

方程的兩根分別為m與n,由m與n互為倒數(shù)得到nm=1,再由方程有解，得到根的判別式大于等

于0,列出關于a的不等式，求出不等式的解集得到。的范圍，然后利用根與系數(shù)的關系表示出兩根

之積，可得出關于。的方程，求出方程的解得到。的值即可.

解：設已知方程的兩根分別為機，n,

由題意得：，〃與〃互為倒數(shù)，即nm=1,

由方程有解，得到忸=b2-4ac=(a-I)2-4a2>0,

1

解得：-1WaW7

又血九=a2,-??a2=1,

解得：a=1(舍去)或a=-1,

故答案為-1.

則a=-1.

故答案為-1

15.答案：：窗,鴛11.。

解析：試題分析：因為-=套在k上是單調增函數(shù)，詭=歸-蜀在卜理礴上單調減函數(shù)，在,!j■堿上

單調增函數(shù)，所以就磁=>問在g'M上單調減函數(shù)，在也!J?減上單調增函數(shù)，因此要使淮勒在

區(qū)間4融沖上是單調增函數(shù)，需滿足勰噬H。

考點：本題考查復合函數(shù)的單調性。

點評：判斷復合函數(shù)的單調性，只需要滿足四個字：同增異減，但一定要注意先求函數(shù)的定義域。

16.答案：述

3

解析：x2+y2+xy=1,(x+y)2=xy+1.

又,:xy<(^^)2---(x+y)2<+1-即3(x+A2《1.

,,、2J2g,,2班

???(x+y)<x+.y<—

???x+y的最大值為與g.

3

17.答案:解:⑴若k=1,不等式/'(x)<3|x-1|,即為|3x-

2|-3|x—1|<%,

-1或［與<X<1或

-2-3久+3W遭0-2+3x-3G

12—3x+3%—3<x

解得X>1或|<X<1或一1<X<|,

則原不等式的解集為［-1,+8);

(2)證明：f(x)=\3x-2\-kx,

77

當%>，時，f(x)=0,解得x=—；

7o

當x<,時，f(x)=0,解得x=—.

當2<k<3時，作出y=/(x)的圖象與x軸圍成的三角形區(qū)域0,

可得B(捻,0),*0),嗚-沁

v,12,22、4k241

可得面積為5々人z(言一肅)=而而=二言，

由2<k<3,可得4<必<9,-1G(0,7),

k2'4y

41、4416

則￡手>爐片怎

R

所以當2<k<3時，0的面積大于1|.

解析：(1)由題意可得|3比-2|-3|x-1|Wx,運用絕對值的概念，由零點分區(qū)間法，去絕對值符號，

解不等式，求并集，可得所求解集；

(2)可令/(x)=0,求得零點，畫出當2<k<3時，y=/(x)的圖象與無軸圍成的三角形區(qū)域0,運

用三角形的面積公式和不等式的性質，即可得證.

本題考查絕對值不等式的解法，注意運用分類討論思想，考查函數(shù)的圖象與x軸圍成的區(qū)域的面積

的范圍，注意運用數(shù)形結合思想，考查運算能力，屬于中檔題.

18.答案：解：⑴由廝=2%_i+2"-1(/1€N.n>2)

4

可得=2a3+2—1=>a3=33,

同理可得=13,cii=5.

(2)假設存在一個實數(shù)；I符合題意，

則誓-深厚必為一個與n無關的常數(shù)，

an+A.(^n-i+4。九一2a九一1一A

"2n2n-1―2^

2n-l-A1+A

=^^=41-k

要使嶗-深空與"無關，

則炭=0,可得2=—1,

故存在實數(shù)4=-1,使數(shù)列｛嶗｝為等差數(shù)列，

數(shù)列｛嘮｝的公差d=1,首項為m=2,

則竽=2+5—1)?l=n+l,

則口幾=(n+1)2"+1.

解析：本題主要考查的等差數(shù)列的判定與證明，數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項，屬于中檔題.

(1)根據(jù)已知的遞推關系代入n=4,求出C13,依次求出a2,與即可；

(2)假設存在;I符合題意，則答-深乎與〃無關，可得嘮-竽3=1-黑，從而得到4的值,

進而得到數(shù)列斯的通項公式.

19.答案：解：(1)將f(x)的解析式代入不等式得：

4X-11

整理得：3-4天—3<鏟+1,即鏟=22工<2=2］，

???2%<1,

解得：X<

則不等式的解集為｛小<|);

(2)法一:((%)晟=1+舟

4X>0,4X+1>1,

，T<1+品<1，

則f(x)的值域為(-L1);

法二:4J

y=/W4X+1，

...鏟=絲>0,即空<0,

1-yy-1

可化為:口黑或國，

解得：一1<y<1,

則八支)的值域為(—1,1).

解析：(1)把/(%)的解析式代入不等式，整理后得到關于牛的不等式，把不等式左右兩邊化為底數(shù)為

2的幕形式，根據(jù)指數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，得到關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到原不等式的

解集;

(2)法一：把函數(shù)解析式整理為f(x)=l+-f-,由4工大于0,得到4工+1的范圍，可得到莪合的范圍,

進而確定出1+的范圍，即為函數(shù)f(x)的值域;

法二：設y=/Q),從函數(shù)解析式中分離出4%根據(jù)空大于。列出關于y的不等式，變形后得到y(tǒng)+1

與y-1異號，轉化為兩個一元一次不等式，求出不等式的解集，即為函數(shù)的值域.

此題考查了其他不等式的解法，涉及的知識有：指數(shù)函數(shù)的單調性，指數(shù)函數(shù)的定義域與值域，以

及一元一次不等式的解法，利用轉化的思想，是高考中常考的題型.

20.答案：解：（1）設從2012年1月到2013年1月甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為由，a2,a3,a13,

乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為瓦，b2,b13,

???甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的產(chǎn)值相等，

｛即｝成等差數(shù)列,

???乙企業(yè)每個月的產(chǎn)值與前一個月相比增加的百分數(shù)相等，

｛匕｝成等比數(shù)列,

根據(jù)等差數(shù)列的等差中項和等比數(shù)列的等比中項，

1a+?13）>b7=j瓦,如，

"的=b,a13=b13,

a=aa=

72+13）>V-13=Jb]，瓦3b7,即a7>匕7,

到7月份甲企業(yè)的產(chǎn)值比乙企業(yè)的產(chǎn)值要大；

（2）設一共使用了〃天，〃天的平均耗資為p（m，

1+492+493+49n+4949nn（n+1）I--------

-2onnn_i_rj_j_j_.A-2onnnj__i_32000

...p（n]=320°°+（,+,+,+…+力=32000+R^-=32000十二十”2X—+—=—,

n-n-n十20十20一個n20十20?20’

當且僅當誓=為，即n=800時，Pg取得最小值，

???日平均耗資最小時使用了800天.

解析：（1）設從2012年1月到2013年1月甲企業(yè)每個月的產(chǎn)值分別為由,a2,a3,a13,乙企業(yè)

每個月的產(chǎn)值分別為瓦，b2,仇3,根據(jù)題意可以確定｛a"成等差數(shù)列，｛%｝成等比數(shù)列，利用等

差中項和等比中項求出和岳，