云南省昆明市2023-2024學(xué)年高三三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

昆明市2024屆“三診一模”高考模擬考試

數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號、座位號填寫在答題

卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好

條形碼.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.如圖，已知集合"Ui'""},'={3,4,5,6},則圖中陰影部分所表示的集合為(

{34}C.{5,6}D,{3,4,5,6}

【答案】A

【解析】

【分析】結(jié)合韋恩圖，根據(jù)集合的運(yùn)算和表示法即可求解.

【詳解】由題可知陰影部分表示集合為：3》64且％正可，即{1,2}.

故選：A.

2.已知點(diǎn)4(1,2)在拋物線。：丁2=20*(0>0)的圖象上，產(chǎn)為。的焦點(diǎn)，則|”|=()

A.V2B.2C.3D.20

【答案】B

【解析】

【分析】先根據(jù)點(diǎn)A(L2)在拋物線上求出p,再根據(jù)拋物線的定義求出焦半徑即可.

【詳解】將4（1,2）代入丁=2"，即2?=2xpxl,

所以夕=2,

所以|A典=1+U=1+1=2.

故選：B.

3.已知一ABC中，AB=3,BC=4,AC=逐,則的面積等于（）

A.3B.711C.5D.2逐

【答案】B

【解析】

【分析】由余弦定理及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系得出sinB,再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可.

【詳解】由余弦定理得，co.g/八叱一g=32+42―陰=5,因?yàn)?為三角形內(nèi)角，

2ABBC2x3x46

則sinB-A/1-COS2B=日工，

所以SA”=LA3.3C-sin3=Lx3x4x?=7n，

"C226

故選:B.

4.某學(xué)校邀請A3,C2E五個(gè)班的班干部座談，其中A班有甲、乙兩位班干部到會，其余班級各有一位

班干部到會，會上共選3位班干部進(jìn)行發(fā)言，則A班至少選到一位班干部的不同的選法種數(shù)為（）

A.10B.12C.16D.20

【答案】C

【解析】

【分析】由分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算即可.

【詳解】由題分兩類討論，當(dāng)A班選到1位班干部發(fā)言有C；種選法，其余班級有Cj種選法；

當(dāng)A班選到2位班干部發(fā)言有C1種選法，其余班級有C；種選法；

故共有C；C；+C；C；=2x6+lx4=16種選法，

故選：C.

5.已知W是兩條不重合的直線，6是兩個(gè)不重合的平面，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.若貝!!”〃〃1"是"”的必要條件

B.若機(jī)Ucz,〃ua,貝仁相〃“”是“加〃戊”的充分條件

C.若7”J_a,則“小，，”是“a〃6''的充要條件

D.若加〃［，則“加〃""是的既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】利用線面垂直的性質(zhì)可判斷A；利用線面平行的判定和性質(zhì)可判斷B；利用線面垂直的性質(zhì)和面面

平行的判定可判斷C；利用線面平行的性質(zhì)可判斷D.

【詳解】對于A,若772，。，貝是“加，〃”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；

對于B,mua,n<=a,貝“優(yōu)，"平行或異面，

所以加〃〃是根〃cr的充分條件，故B正確；

對于C,m±a,貝廣m_L，"o“c〃A”，

則，”是“a〃分”的充要條件，故C正確;

對于D,m//a,貝!T加〃〃1或〃ua”,

n"a"n"m,〃相交、平行或異面”，

所以“m//n”是“n//a”的既不充分也不必要條件，故D正確.

故選：A.

37

6.在定點(diǎn)投籃練習(xí)中，小明第一次投籃命中的概率為弓，第二次投籃命中的概率為一，若小明在第一次

510

命中的條件下第二次命中的概率是。，在第一次未命中的條件下第二次命中的概率是:p,則。=

【答案】B

【解析】

【分析】利用全概率公式即可求解.

【詳解】設(shè)事件A表示“小明第一次投籃命中”，事件3表示“小明第二次投籃命中

則P（A）=g,P（3）=（,P（MA）=p,pWB）=gp,

所以p⑻=P（A）P（5|A）+P閭p僅同=9°+，_個(gè)義；夕=需，

J\D）乙JLU

7

解得p=~

8

故選：B.

7.某藝術(shù)吊燈如圖1所示，圖2是其幾何結(jié)構(gòu)圖.底座ABCD是邊長為4a的正方形，垂直于底座且長度

為6的四根吊掛線AArBB},CC-一頭連著底座端點(diǎn)，另一頭都連在球。的表面上（底座厚度忽

略不計(jì)），若該藝術(shù)吊燈總高度為14,則球。的體積為（）

108K256兀500兀864兀

A.----B.----C.----D.----

3333

【答案】C

【解析】

【分析】由題意做出該藝術(shù)吊燈的主視圖，確定正方形的外接圓圓心為。一連接由勾股定

理及球體積公式計(jì)算即可.

【詳解】如圖，作出該藝術(shù)吊燈的主視圖，由已知得四邊形為正方形，則以2=8,

設(shè)正方形4片。12的外接圓圓心為?！高B接。。1交球面于點(diǎn)E,如圖所示，則用2，

所以DiOl=BlOi=4,

因?yàn)樵撍囆g(shù)吊燈總高度為14,DDi=BB]=6,所以O(shè)1E=8,

設(shè)球半徑為R，則00=8—R,

在Rt。已用中，（8—R）?+42=&,解得火=5,

44500TT

所以球。的體積為一兀&=—兀*53=——,

333

故選：C.

8.函數(shù)y=/(x)在R上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與X軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，對任意x,yeR,

/⑴+/3=/(商+/卜/⑴=1,則下列說法正確的是()

A.42)=2B."X)為奇函數(shù)

C./(%)在(0,+8)單調(diào)遞減D.若〃x)W4,則xe[—2,2]

【答案】D

【解析】

【分析】由已知條件，通過賦值法求出/(0),/(1),/(2)及奇偶性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義判斷出單調(diào)性,

即可得出判斷.

【詳解】令x=y=0得，2/(0)=/(0),則/(0)=0；

對于A,令x=y=l,有=則/(四)=2,

令x=y=0\有2/(&)=〃2),則/(2)=4w2,故A錯(cuò)誤；

y(x),%>o

對于B,令y=0,貝ij/(x)=0,x=0,,故/(無)為偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

/(-%),%<0

對于C,因?yàn)?(X)在R上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且與X軸有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，

f(0)=0JQ)=l>0,

所以當(dāng)x>0時(shí)，f(x)>0,設(shè)。<玉<尤2，令?=再,y=>0,

則/4)+/(在-竟)=f(舊+其-4)=/(%2)，即/(々)一/(^i)=)>。，

所以『⑴在(0,+。)單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤；

對于D,由上述結(jié)論得，/(X)為偶函數(shù)，且在(0,+8)單調(diào)遞增，/(0)=0,/(2)=4,

所以若/（x）W4,則xe[-2,2],故D正確；

故選：D.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.在一個(gè)有限樣本空間中，事件A5c發(fā)生的概率滿足P（A）=P（3）=P（C）=；,P（A3）=j,A與

C互斥，則下列說法正確的是（）

A.P（AC）=-B.A與B相互獨(dú)立

1Q

C.P（ABC）=—D.P（ALBUC）^!

【答案】ABD

【解析】

【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)互斥得到尸（AC）=O,P（AC）=P（A）-P（AC）=1；B選項(xiàng)，根據(jù)

P（AuB）=P（A）+P（3）—尸（AcB）求出故P（Ac5）=尸（A）尸（5）,B正確；C選

QQ

項(xiàng)，A與C互斥，故A3與C互斥，故C正確；D選項(xiàng)，根據(jù)—求出D正

確.

【詳解】A選項(xiàng)，A與C互斥，故AcC=0,P（AC）=O,則「包含事件A,故

P（AC）=P（A）=1,A正確；

B選項(xiàng),P（AoB）=P（A）+P（B）-P（AnB）,

即g+g—P（Ac3）=：，故P（AC3）=：,

故P（Ac5）=尸（A）尸（5）,A與B相互獨(dú)立，B正確；

C選項(xiàng)，A與C互斥，故與C互斥，故尸（A3C）=尸[（A3）cC]=0,C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)，P（AuBuC）=P（A）+P（B）+P（C）-P（AB）-P（BC）-P（AC）+P（ABC）

33333v791/

QQ

因?yàn)镻（3C）?0,故P（Au5uC）=g—P（5C）＜3,D正確.

故選：ABD

10.已知函數(shù)〃x）=si“s+?。?>0）的最小正周期大于T，若曲線y=/（x）關(guān)于點(diǎn)|j,oj中心對稱，

則下列說法正確的是（）

A.—手B.>=是偶函數(shù)

C.x=R是函數(shù)/（X）的一個(gè)極值點(diǎn)D./（X）在單調(diào)遞增

【答案】ABC

【解析】

【分析】由最小正周期大于m，關(guān)于點(diǎn)中心對稱，可知/（x）=sin[2x+1],對于A,直接代入函

數(shù)解析式求解即可；對于B，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷即可；對于C,通過求導(dǎo)，令導(dǎo)函數(shù)為0,求得無

JT

的值，并判斷X=—左右兩端函數(shù)的單調(diào)性即可判斷；對于D,通過求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間即可求解.

12

【詳解】因?yàn)?（x）=sin"+m}0〉0）的最小正周期大于,

2冗71

所以一〉一，即0<GV4,

32

又y=/（%）關(guān)于點(diǎn)除，0]中心對稱，

JTJT

所以4口+§=左兀（左GZ）,

所以口=—1+3左，因?yàn)?<口<4,所以當(dāng)左=1時(shí)，3=2,

所以〃x）=sin[2x+]],

g=sin[2x^+^=-sin|=-^,故A正確;

對于A，

對于B，

由85（-2%）=8S2]且苫是全體實(shí)數(shù)，所以y=x+白]是偶函數(shù)，故B正確;

對于C,/'(x)=2cos[2x+1],令/<1)=0得717,

x------ku，kwZ,

12

（5元jr\

當(dāng)時(shí)，f'（x）＞0,/（尤）單調(diào)遞增,

Ijr7jr]

當(dāng)XC五，石■時(shí)，/(%)<0,/(%)單調(diào)遞減，

所以x=2是函數(shù)/(%)的極大值點(diǎn)，故C正確；

JIJIJI

對于D,由---H2kli?2xH—V—F2kli，k￡Z,

232

得-2+E<x<—+kn,

1212

5兀

函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為-----卜尿,----Hkit,ZeZ,

,,5兀TI

當(dāng)左=0時(shí)，xe——

1212

,7兀13K

當(dāng)rk=1時(shí)，X€石~,,

顯然函數(shù)在。,三上不單調(diào),

故D不正確.

故選：ABC.

2

：2_匕=的左、右焦點(diǎn)，是左支上一點(diǎn)，且在在上方，過工作/呼叫

11.已知耳，工分別是雙曲線X：1MX

2-一

角平分線的垂線，垂足為N,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（）

JT

A.若NMFK=-,則直線MN的斜率為-6

7T

B.若/Mg、，則用”?用N=2

若貝!J|QV|二1

D.若片工=a,貝！j|ON|二cos。

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)垂直關(guān)系以及角平分線可得NM。凡=0,即可求解斜率，判斷A,根據(jù)數(shù)量積的幾何意義

3

即可根據(jù)長度求解B,根據(jù)三角形全等，以及三角形的中位線即可求解DC.

【詳解】a=l,b=gc=5不妨設(shè)/在第二象限,

當(dāng)笆=1時(shí)，則叫.工，則網(wǎng)—6,0),乙(后0),故網(wǎng)―62),

忸閭=2c=2后，|炳|=師不有=4,故/用明=’/叫《=看，

jr27r

由于NM是的角平分線，所以NM的=—，進(jìn)而可得NMOM=—，故斜率為-百，故A正

63

確，

由于小所以“"獷出詢錯(cuò)誤,

延長^N,M耳交于點(diǎn)“，連接

由于NM是/片曄的角平分線，NM±E,N,所以*MNHx.MNF2,

故N是電的中點(diǎn)，|“閘=優(yōu)閭，

由雙曲線定義可得因叫―14M=2an|HW|—閨M=2an|s|=2a,

又。是耳工的中點(diǎn)，|ON|=；|"周=a=l,故C正確，D錯(cuò)誤，

故選：AC

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z滿足達(dá)=2—i，則忖=

【答案】亞

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的運(yùn)算公式即可求解.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足iz=2—i，所以z=—=—1—2i,所以忖==

故答案為：5

13.過點(diǎn)(1,m)可以向曲線/(x)=xe，作九條切線，寫出滿足條件的一組有序?qū)崝?shù)對(和,冷

【答案】(e,l)(答案不唯一)

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(%,/e*。)，利用導(dǎo)數(shù)表示出切線方程，代入點(diǎn)(1,m)，通過構(gòu)造函數(shù)，研究新函數(shù)

的單調(diào)性和極值，對〃z的取值范圍進(jìn)行討論，得到與解的個(gè)數(shù)，可得對應(yīng)的切線條數(shù).

【詳解】/(x)=xe\f\x)=ex+xex=(x+l)er,

設(shè)所求切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(xo，5e*。)，則切線斜率為左=(%+1)6%,

%

得切線方程為y-x0^=(%0+1)6'(x-x0),

由切線過點(diǎn)。,加)，有7力_7)6為=(x0+l)e-,0(l-x0),

化簡得加=(1+X()_君卜均,

設(shè)=則g〈x)=(2-％-尤2)e",

g'(x)<0,解得x<—2或x〉l；g'(%)>0,解得—24<1,

g(x)在—2)和(1,+。)上單調(diào)遞減，在(-2,1)上單調(diào)遞增，

極大值g(l)=e,極小值g(—2)=—"

e

且％<上汽或》>上乎時(shí)g(x)<0,上衿<》<上手時(shí)，g(x)〉O,

g(x)的函數(shù)圖象如圖所示,

則當(dāng)〃z>e時(shí)，與無解，〃=o；當(dāng)加=e或根<—之時(shí)，X。有一個(gè)解，〃=1；

e

當(dāng)m=一~抵或OWm<e時(shí)，與有兩個(gè)解，〃=2；當(dāng)—■"<機(jī)<0時(shí)，％有三個(gè)解，〃=3.

ee

故答案為：(e,l)(答案不唯一)

14.以maxA表示數(shù)集A中最大數(shù).已知a>0,b>0,c>0,則A/=max,L+2,」-+仇f+c|的最

tcaacbJ

小值為__________

【答案】2

【解析】

【分析】根據(jù)題意求出知所滿足的不等式，再結(jié)合基本不等式求解即可.

【詳解】由題意可知+++

caacb

所以有2M、0+c+2+瓦2加上鄉(xiāng)+°+,+2,因?yàn)閍>0,b>0,c>0

bacbca

所以2+0+,+6226+2/工24,

bac

當(dāng)且僅當(dāng)W="c=L,a=,，即a=〃=c=l時(shí)取等號，

baca

另外—I-cH---1—24,當(dāng)且僅當(dāng)一=—,c=—即a=b,c=l時(shí)取等號，

bcabac

綜合上述，所以有2M24即〃之2，當(dāng)且僅當(dāng)。=5=。=1時(shí)取等號.

故答案為：2.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.甲、乙兩位同學(xué)組成學(xué)習(xí)小組進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)，在共同完成某個(gè)內(nèi)容的互助學(xué)習(xí)后，甲、乙都參加

了若干次測試，現(xiàn)從甲的測試成績里隨機(jī)抽取了7次成績，從乙的測試成績里隨機(jī)抽取了9次成績，數(shù)據(jù)如

下:

甲：93958172808292

乙：858277809486928485

經(jīng)計(jì)算得出甲、乙兩人的測試成績的平均數(shù)均為85.

（1）求甲乙兩位同學(xué)測試成績的方差；

（巧一1）勺5；

（2）為檢驗(yàn)兩組數(shù)據(jù)的差異性是否顯著，可以計(jì)算統(tǒng)計(jì)量々其中〃1個(gè)數(shù)據(jù)的方

—1）“2s2

差為S；,“個(gè)數(shù)據(jù)的方差為S?2,且染〉風(fēng)2.若花-1）2月），則認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著性差異，否則

不能認(rèn)為兩組數(shù)據(jù)有顯著性差異.若線的臨界值采用下表中的數(shù)據(jù):

\4一］

12345678

%-1

1161200216225230234237239

218.519.019.219.219.319.319.419.4

310.19.559.289.129.018.948.898.85

47.716.946.596.396.266.166.096.04

56.615.795.416.195.054954.884.82

65.995.144.764.534.394.284.214.15

75.594.744.354.123.973.873.793.73

85.324.464.073.843.693.583.503.44

例如：々3,5）對應(yīng)的臨界值線為5.41.請根據(jù)以上資料判斷甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)的效果是否

有顯著性差異.

432_230

【答案】（1）2

~7~,乙一丁

（2）沒有顯著性差異

【解析】

【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)求出兩位同學(xué)的均值，再結(jié)合均值用方差公式求解即可;

（2）根據(jù)題意求出々6,8）的近似值，比較々6,8）的臨界值即可求解?

【小問1詳解】

…汽遼—93+95+81+72+80+82+92—85+82+77+80+94+86+92+84+85

依題意：漏=-----------------------------=85,壇=--------------------------------------=85,

1432

所以，s甲2=-(64+100+16+169+25+9+49)=^-,

1230

S乙2=-(0+9+64+25+81+1+49+1+0)=-|^.

【小問2詳解】

43?930

2

由于臬2〉S乙2,則s；=S/=^,%=7,S2=S^=—,%=9,

7432

e8x7x

52THiS；~7-288

則%8)=不謔/蒜產(chǎn)2.50,

9

查表得々6,8)對應(yīng)的臨界值為3.58,則々6,8)82.50<3.58,

所以甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行項(xiàng)目式互助學(xué)習(xí)的效果沒有顯著性差異.

16.正項(xiàng)數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和為S“，等比數(shù)列也｝的前幾項(xiàng)和為I；,4s“=4+24+1,

口=始+2"+1

(1)求數(shù)列｛%｝,｛/｝的通項(xiàng)公式;

(2)已知數(shù)列｛c,｝滿足一，求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和H”.

anan+\

n-1

【答案】(1)4=2〃—1；bn=(-l)

1

J2〃+1，〃為偶數(shù)

2

⑵H,=

1

l+2n+l，〃為奇數(shù)

2

【解析】

【分析】(1)由。〃與s〃的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式，可得所求;

(2)求得％后，討論〃為奇數(shù)或偶數(shù)，由數(shù)列裂項(xiàng)相消求和，即可得到所求.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=1時(shí)，4S]=+2%+1,即4%=+2%+1,(%—1^2=0,

所以％=1,同理4=1.

當(dāng)〃之2時(shí)，an=Sn-S”_]=-吐)+-an_x),化簡得:

；(?！?%)(%——-2)=0,因?yàn)??！?gt;°，所以4—%=2,

即4一。,1=2，故1=2，又q=l,所以

同理，包+2_1=?；?一6,1=2,

因?yàn)橐瞹是等比數(shù)列，所以2+2-=。，即4=-1,所以2

【小問2詳解】

,zx./八〃-1。“+1/-,\n-i2n(—1)(11

由(1)知q=(-1)—二(-1)-7--------彳--------7/---+----

anan+x(2〃-1)(2〃+1)212n+\

所以當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí)，Hn=ci+c2+---+cn

1

22n+l

九

同理當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí),1-

乩4

1-為偶數(shù)

所以={22n+lJ

1+為奇數(shù)

22n+lJ

17.如圖，在三棱臺ABC-451cl中，上、下底面是邊長分別為2和4的正三角形，平面ABC,設(shè)

平面ABC/）平面A3。=/,點(diǎn)E,尸分別在直線/和直線8與上，且滿足EF，/,EF1BB,.

（1）證明：石戶工平面BCG用；

（2）若直線板和平面ABC所成角的正弦值為立，求該三棱臺的高.

3

【答案】（1）證明見解析

（2）底

【解析】

【分析】（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理及線面平行的性質(zhì)定理可得///BC,根據(jù)線面垂直的判定定理可得

結(jié)果；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面BCG4與平面ABC的法向量，利用線面角的向量求法可得結(jié)果.

【小問1詳解】

證明：由三棱臺ABC-AgG知，4。"/平面ABC，

因?yàn)?Gu平面A4G，且平面A31G平面ABC=/,所以用C]〃/,

又BG〃BC,所以//ABC,

因?yàn)轷牛?,所以EF工BC,

又EFLBB[,BCBB[=B,且5Cu平面3?！昱c，Bqu平面BCC4,

所以所上平面

【小問2詳解】

以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)三棱臺的高為人，

則網(wǎng)2,26,0）,4（1,G，M，C（-2,2A/3,0）,CB=（4,0,0）,34=（一1,—

/、f4x=0

設(shè)平面3CC圈的法向量為”=（羽y,z）,貝葉,

-x-^J3y-\-hz=0

令＞=心則Z=G，所以平面3cq四的一個(gè)法向量〃=（0,九退），

易得平面ABC的一個(gè)法向量772=（0,0,1）,

設(shè)所與平面ABC夾角為。，由（1）知"http://九，

所以由已知得sin。=Icosm,n\=二[=

11H\n\小g方3,

解得〃=#，所以三棱臺的高為".

18.已知函數(shù)/(x)=e*-sinor；

(1)當(dāng)a=—l時(shí)，證明：對任意g,+co；/(%)>0；

(2)若x=0是函數(shù)/(x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的值.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【解析】

【分析】(1)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出今］=葭彳—；〉0,結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算可得結(jié)果；

⑵求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可得/(%)在1比0卜調(diào)遞減，在(0,+")單調(diào)遞增，滿足％=0是/(%)

的極值點(diǎn)，進(jìn)而求出結(jié)果即可.

【小問1詳解】

當(dāng)〃=一1時(shí)，/(x)=ex+sinx,/f(x)=ex+cosx,

當(dāng)X￡(0,+oo)時(shí)，ex>1>-sinx，貝!J/(x)>。；

當(dāng)xe,時(shí)，cosx>0,eCO,故制x)>0,所以/(x)在［單調(diào)遞增，

因?yàn)閑<2.8<20，所以e*<e4<64，所以兀<61n2，

所以《<ln2,所以一<2，故6—g〉0；

綜上，對任意,/(%)>0.

【小問2詳解】

xeR,/,(x)=er-acosat,因?yàn)閤=0是/(尤)的極值點(diǎn)，

所以/'(0)=1—a=0,即a=l.

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=eT-siax,令g(x)=/'(x)=e*-co&x,則g'(x)=e*+sinx,

由⑴可知，對任意xe，g+co］,g'(x)>0,故g(x)在：+加單調(diào)遞增，又且(0)=0,

故當(dāng)時(shí)，g(x)<0,即r(x)<0,當(dāng)xw(0,4w)時(shí)，g(x)>0,即/4x)>0,

故/(%)在1g,o］單調(diào)遞減，在(0,+。)單調(diào)遞增，滿足x=0是/(%)的極值點(diǎn)，

綜上，實(shí)數(shù)”的值為1.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問由極值點(diǎn)求參數(shù)可先分析單調(diào)性，再由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零求參數(shù)即可.

2

19.已知曲線C由半圓％2+丁=1(%<0)和半橢圓5+>2=1g〉0)組成，點(diǎn)M在半橢圓上，人(_1,0),

5(1,0).

(1)求|4例十|加司的值；

(2)N在曲線C上，若OM：LON(。是原點(diǎn)).

(i)求的取值范圍；

TT

(ii)如圖，點(diǎn)N在半圓上時(shí)，將y軸左側(cè)半圓沿y軸折起，使點(diǎn)A到A,使點(diǎn)N到N',且滿足/A03=—,

2

求［的最大值.

【答案】(1)|M4|+|MB|=2A/2

(2)(i)(3,百］;(ii)73

【解析】

【分析】(1)AB是橢圓/+>2=1的左、右焦點(diǎn)，由橢圓的定義求的值；

(2)(i)OMLON,\MNf=\OMf+\ONf,監(jiān)N兩點(diǎn)的位置，分類討論10MJ的值，利用換

元法和二次函數(shù)的性質(zhì)可求W〃V|的取值范圍；

(ii)過N'作2V為垂直》軸，垂足為E,設(shè)NNOy=a,把表示為。的函數(shù)，利用換元法和

三角函數(shù)的性質(zhì)求W〃V|的取值范圍.

【小問1詳解】

2

由題意知，A,3是橢圓工+y2=1的左、右焦點(diǎn)，

2

由橢圓的定義知：=

【小問2詳解】

(i)由題意知，OMLON,則|肱V「=|OMf+|QN「，

當(dāng)M為半橢圓右頂點(diǎn)時(shí)，==