一次函數(shù)綜合題（解析版）-2024年中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)訓(xùn)練

一次看裁催含救

壓軸題密押

通用的解題思路：

（1）一次函數(shù)與幾何圖形的面積問(wèn)題

首先要根據(jù)題意畫(huà)出草圖，結(jié)合圖形分析其中的幾何圖形,再求出面積.

（2）一次函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題

通常一次函數(shù)的最值問(wèn)題首先由不等式找到①的取值范圍,進(jìn)而利用一次函數(shù)的增減性在前面范圍內(nèi)的前提

下求出最值.

（3）用函數(shù)圖象解決實(shí)際問(wèn)題

從已知函數(shù)圖象中獲取信息，求出函數(shù)值、函數(shù)表達(dá)式，并解答相應(yīng)的問(wèn)題.

壓軸題預(yù)測(cè)

題目工（2024?鼓樓區(qū)一模）如圖，直線片-&+6與。。相切，切點(diǎn)為P,與。軸9軸分別交于A、B兩

點(diǎn).0。與0軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C.

（1）求。。的半徑；

（2）求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）由OP=OA-sin60°,即可求解；

（2）由圖中陰影部分的面積=S^cop—Shpoc，即可求解.

【解答】解：（1）對(duì)于直線g——J3x+6,令g+6=0,

則x—2A/3,即04=2V3,

由一次函數(shù)的表達(dá)式知，05=6,

則?皿。=端=戰(zhàn)=用

則ABAC=60°

連接OP,則OP_LAB,

則OP=OA-sin60°=2V3X=3;

（2）過(guò)點(diǎn)P作PH_LAC于點(diǎn)H,

APOH=30°,則ZPOC=150°,

13

PH=^OP=^,

則圖中陰影部分的面積=S扇矽-S^=黑X兀x32TX3x白=叱―9.

COPPOC360224

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)和圓的綜合運(yùn)用，涉及到圓切線的和一次函數(shù)的性質(zhì)，解直角三角形，面積的

計(jì)算等，綜合性強(qiáng)，難度適中.

[題目@（2023-宿豫區(qū)三模）如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，直線h：y=c+1與直線l2:x=—2相交于點(diǎn)D,點(diǎn)

A是直線L上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)人作AB，L于點(diǎn)B,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（0,3）,連接AC,BC.設(shè)點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為

t,A4BC的面積為s.

⑴當(dāng)力=2時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）s關(guān)于t的函數(shù)解析式為s=["+區(qū)一或方）其圖象如圖②所示，結(jié)合圖①、②的信息，求

[a（t+1）（4-5）（-1<4<5）

出a與6的值；

（3）在直線12上是否存在點(diǎn)力，使得AACB=90°，若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)人的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

[分析】（1）解法一：先根據(jù)力=2可得點(diǎn)A（-2,2）,因?yàn)锽在直線人上，所以設(shè)B（x,a:+1）,利用？/=0代入"

=，+1可得G點(diǎn)的坐標(biāo)，在RtAABG中，利用勾股定理列方程可得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

解法二:根據(jù)可以使用"=t+1與多軸正半軸夾角為45度來(lái)解答；

（2）先把（7,4）代入s=jt2+M—；■中計(jì)算得6的值,計(jì)算在一1<t<5范圍內(nèi)圖象上一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)值：當(dāng)

t=2時(shí)，根據(jù)（1）中的數(shù)據(jù)可計(jì)算此時(shí)s=1■，可得坐標(biāo)（2,*）,代入s=a（t+1）（1一5）中可得a的值；

⑶存在，設(shè)BQ,c+1）,如圖5和圖6,分別根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式和勾股定理列方程可解答.

【解答】解：（1）解法一:如圖1,連接AG,

當(dāng)1=2時(shí)，力(-2,2),

設(shè)_8(力,力+1),

在。=力+1中，當(dāng)力=0時(shí)，g=l,

???G(0,l),

,/AB_Lh,

：.ZABG=90°,

???AB\BG2=AG\

即(/+2)2+3+1-2)2+/+3+I-1)2=(—2)2+(2-l)2,

解得：力1=0(舍)，/2=一2~,

???BQ4W)；

解法二:如圖1一1,過(guò)點(diǎn)B作軸于石，過(guò)點(diǎn)A作后于我,

當(dāng)N=0時(shí)，0=1,

當(dāng)g=0時(shí)，/+1=0,

則力=一1,

??.OF=OG=1,

???/GOR=90°,

??.NOGF=NOFG=45°,

：.BE=EF,

???/AB。=90°,

???/ABH=ZBAH=45°,

??.AABH是等腰直角三角形,

??.AH=BH,

當(dāng)力=2時(shí)，4(-2,2),

設(shè)8(出,力+1),

.,.37+2=2—(6+1),

(2)如圖2可知：當(dāng)力=7時(shí)，s=4,

把(7,4)代入s=[/+b1-日中得：斗~+7b—■=4,

4444

解得：b=—1,

圖2

如圖3,過(guò)石作〃"軸，交AC于

圖3

由⑴知：當(dāng)力=2時(shí)，4(—2,2),,

VC(O,3),

設(shè)AC的解析式為：y=kx+n,

則｛/「=2,

解得

[71=3

AC的解析式為：V=+3,

3

1..IQQ

s=1，°一1=豆*五X2=I，

把(2,弓)代入s=a(t+1)(t—5)得：a(2+l)(2—5)=,

解得:a=--

(3)存在，設(shè)83,2：+1),

當(dāng)乙4cB=90°時(shí)，如圖5,

NABD=90°,AADB=45°,

AXABD是等腰直角三角形，

/.AB=BD,

'''A(—2,i),Z)(—2,—1),

(x+2)2+(a?+1—t)2—(a?+2)2+3+1+1)2,

3+11)2=(￡+2)2,

x+l—t—x+2^x+l—t——x—2,

解得：t=—1(舍)或t=2a;+3,

RtAACB中，AC2+B(f^AB2,

即(一2尸+(i-3)2+/+(z+l-3)2=Q+2)2+(s+l-i)2,

把t=2a;+3代入得：a?—3a;=0,

解得：re=0或3,

當(dāng)c=3時(shí)，如圖5,則力=2X3+3=9,

.?.4—2,9);

當(dāng)①=0時(shí)，如圖6,

此時(shí)，4—2,3),

綜上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（一2,9）或（一2,3）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積、兩點(diǎn)間

距離公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.

題目區(qū)（2023?漂陽(yáng)市一模）如圖1,將矩形AOBC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。是原點(diǎn)，點(diǎn)力坐標(biāo)為（0,4）,

點(diǎn)B坐標(biāo)為（5,0）,點(diǎn)P是2軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn),連接AP,^AQP是由^AOP沿AP翻折所得到的圖形.

⑴當(dāng)點(diǎn)Q落在對(duì)角線OC上時(shí)，。_?=_孚_:

（2）當(dāng)直線PQ經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，求PQ所在的直線函數(shù)表達(dá)式；

（3）如圖2,點(diǎn)河是BC的中點(diǎn)，連接

①的最小值為；

②當(dāng)^PMQ是以PM為腰的等腰三角形時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo).

圖1圖2

【分析】（1）通過(guò)Q點(diǎn)在。。上，可以通過(guò)/B。。的三角函數(shù)和/O4P的三角函數(shù)來(lái)導(dǎo)出對(duì)應(yīng)的邊的關(guān)系，

求得結(jié)果；

（2）通過(guò)直角^AQC中，得到QC的長(zhǎng)度，然后通過(guò)OP=PQ=。，可以在R1ABCP中,得到對(duì)應(yīng)的多值然

后求出結(jié)果；

（3）通過(guò)QA=04=4,可得出Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是以A點(diǎn)為圓心，4為半徑長(zhǎng)度的圓弧，從而可知，AM的

連線上的Q點(diǎn)為最短的MQ長(zhǎng)度,

通過(guò)分類討論,PM=PQ,PM=QM,PQ=Q_M來(lái)求得對(duì)應(yīng)的P的坐標(biāo).

【解答】解：⑴如圖1,

?.?/OAP+/AOE=90°,

^BOC+AAOE=90°,

：.AOAP^ABOC,

又AAOP=AOBC=90°,

XOAP?XBOC,

.OPOA即OP=4

"BCOB'45'

.,.OP=魯

5

故答案為：羋；

⑵如圖，

AQYPQ,

ZAQC=90°,

：.QC=y/AC2-AQ2=V52-42=3,

,/AQ-AO-4,

設(shè)OP=PQ=,,則CP=3+c,PB=5—c,

:.CP?=BPABC2,

(3+a;)2=(5-X)2+42,

x—2,

??.P點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,0),

將P⑵0)和(7(5,4)代入g=far+b中,

JO=2k+b

(4=5fc+5,

k=.A

解得：3

b=_旦'

3

PQ所在直線的表達(dá)式為：y--^-x—，

OO

⑶如圖，

①：4。=4。=4,

.?.Q點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，是以A為圓心，4為半徑的圓弧，

MQ的最小值在AM■的連線上,如圖，即為所求,

”是BC中點(diǎn)，CM=gBC=2,

：.AM^y/52+22^V29,

MQ,=AM-AQ,=V29-4,

故答案為：，藥一4;

②如圖，

設(shè)OP=PQ=x,BP=5—a;,

PM?=(5-a;)2+22=x2-10x+29,

當(dāng)PM=PQ時(shí)，

PM2=PQ2,

：.a;2—10rc+29=x2,

_29

J而，

同魯。)，

圖四

當(dāng)皿尸=MQ時(shí)，如圖，若點(diǎn)Q在人。上，

則AQ=OA=4,

?：MP=MQ,MB=MC,APBM=^QCM,

APMBx\QMC〈HL),

：.PB=QC,

QC—AC—AQ=5—4=1,

PB=1,

.?.OP=BO-PB=5—1=4,

/.P(4,0);

若點(diǎn)Q在AC上方時(shí)，

由對(duì)稱性可知OM=MQ,

,:MQ=MQ,

：.P(10,0);

當(dāng)MQ=PQ時(shí)，不符合題意，不成立，

故P點(diǎn)坐標(biāo)為P(需，0)或P(4,0)或(10,0).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的圖象及應(yīng)用，通過(guò)一次函數(shù)坐標(biāo)圖象的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，全等三角形的

性質(zhì)和勾股定理，來(lái)求得對(duì)應(yīng)的解.

(2022*啟東市模擬)我們知道一次函數(shù)"=mx+n與"=—mx+n(m#0)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所

以我們定義：函數(shù)"=mx+幾與g=—mx+n(mW0)互為“7W”函數(shù).

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出函數(shù)V=2宓+5的函數(shù)；

⑵如果一對(duì)"A1"函數(shù)9=?na:+九與y——mx+n（m#0）的圖象交于點(diǎn)A,且與立軸交于B,。兩點(diǎn)，如圖

所示，若90°,且^ABC的面積是8,求這對(duì)“AT函數(shù)的解析式；

（3）在（2）的條件下，若點(diǎn)。是沙軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)RABD為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo).

【分析】⑴根據(jù)互為“AT函數(shù)的定義，直接寫(xiě)出函數(shù)？/=2a;+5的函數(shù)；

（2）現(xiàn)根據(jù)已知條件判斷^ABC為等腰直角三角形，再根據(jù)互為函數(shù)的圖象關(guān)于沙軸對(duì)稱，得出04

=OB=OC,再根據(jù)函數(shù)解析式求出點(diǎn)力、B、C的坐標(biāo)，再根據(jù)^ABC的面積是8求出m、n的值,從而求

出函數(shù)解析式；

（3）AABL>為等腰三角形，分以4為頂點(diǎn)，以B為頂點(diǎn)，以。為頂點(diǎn)三種情況討論即可.

【解答】⑴解:根據(jù)互為函數(shù)的定義，

函數(shù)y=2x+5的“AT'函數(shù)為y=-2x+5;

（2）解：根據(jù)題意，y=mx+n^y=—mx+n為一'對(duì)"M'函數(shù)

：.AB=AC,

又；ZBAC=90°,

A4BC為等腰直角三角形，

/ABC=乙4cB=45°,

-：OB=OC,

：.ZBAO=ZCAO=45°,

OA—OB—OC,

又SXABC=yxBCx=8且BC=2AO,

AO=2V2,

A>B、。是一次函數(shù)y—mx+n與y——mx+"（m#0）的圖象于坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，

:.4。,九）,B（一■—,0）,C（—,0）,

\m）vm）

'：OA=OB=n,

A—=2A/2,

m

m=1,

.\y=x+2A/2和y——x+2A/2;

（3）解:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分情況，

AO—BO=2V2,

??.AB=4,

由（2）知，4。，2V2）,B（-2V2,0）,C（2A/2,0）,

??.①以A為頂點(diǎn)，則AB=AD,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)A上方時(shí)，人。=22+4,

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)4下方時(shí)，AD=2，^—4,

A（0,2V2+4）,A（0,2V2-4）,

②以B為頂點(diǎn)，則區(qū)4=BD,

此時(shí)點(diǎn)。在V軸負(fù)半軸，

.-.￡）3（0,-272）,

③以。為頂點(diǎn)，則DA=DB,

此時(shí)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

D點(diǎn)坐標(biāo)為。/0,2V2+4）,4（0,2V2-4）,D3（O,-2V2），,D4（0,0）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，以及新定義、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是理解新定義，用新定

義解題.

題目可（2024-新北區(qū)校級(jí)模擬）如圖①，動(dòng)點(diǎn)P從矩形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，以%的速度沿折線A-B-

。向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以”2的速度沿。。向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另

一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接PE,PQ,記&EPQ的面積為S,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t,其函數(shù)

圖象為折線MN—NP和曲線FG（圖②），已知，。"=4,9=1,點(diǎn)3的坐標(biāo)為（8,0）.

⑴點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度之比色的值為_(kāi)搭_；嘿的值為；

v2—5—AD----------

（2）如果OM=15.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

②求FG所在曲線的函數(shù)表達(dá)式；

【分析】（1）由函數(shù)圖象可知t=3時(shí)，Q與E重合，t=4時(shí)，P與B重合，t=6時(shí)，P與。重合，則Q的速

度。2=Dj,P的速度5=，從而得出答案；

⑵①當(dāng)力=0時(shí)，P與A重合，Q與。重合，此時(shí)S“DE=2,可得AD=BC=DE=15,ABCDAD

o

=10,從而得出點(diǎn)P與。的速度，即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得答案；

②設(shè)FG所在的曲線的數(shù)解析式為S=a（1一6y+MaW0）,把F（5,普），G（8,0）代入解析式求得a,k值

即可求解答；

③利用待定系數(shù)法求出直線MN的函數(shù)解析式，當(dāng)S=號(hào)時(shí)，可得1的值,根據(jù)圖象可得答案.

【解答】解：（1）；ON=4,NH=1,G（8,0）,

AN（4,0）,H（5,0）,

8

由圖象可知：力=4時(shí)，Q與七重合，±=5時(shí)，P與B重合，t=8時(shí)，P與。重合,

.?.Q的速度02=里，P的速度。產(chǎn)華，

45

???四邊形ABCD是矩形，

??.AB=CD,AD=BC,

???石為C。的中點(diǎn)，

：.DE=^-CD=^-AB,

AB

.3=5=AB4=8

?3一逮一虧?赤一后，

4

???P從4到B用了5秒，從B到。用了3秒，

AB=5%,BC=3%,

O

.?.AB：AD的值為日，

O

故答案為:

53

（2）?vOM=15,

???M（O,15）,

由題知，力=0時(shí)，P與人重合，Q與。重合，

S/^EPQ——AD,DE—15,

41

???ABiAD=卷，DE=^-AB,

0/

：.DE^^AD,

6

???春心?1^0=15,

2o

AD=BC=6（舍去負(fù)值），

AB=CD=1~AD=10,

o

,_DE_5

?3丁=W，

當(dāng)力=5時(shí)，DQ=。2方=1x5=,

.?.。后=。。一。石=彳"一5=~|',此時(shí)。與6重合，

?e?S、EPQ='^EQ?BC—]X+x6=,

貝5,號(hào)）,

設(shè)直線NR的解析式為S=kt+b（k^O）,

將N（4,0）與政5,孕）代入得:修[,

.尸學(xué)

U=-15，

線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式為S=普力-15（4<￡45）;

②設(shè)FG所在的曲線的數(shù)解析式為S,=y(jt-5)(16-2t)=-1-i2+15t-40,

AFG所在的曲線的函數(shù)解析式為S=—%+15t-40(5

③存在，分情況討論如下：

當(dāng)Q在。E上，P在上時(shí)，

?.?直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)Af(0,15),N(4,0),

可求得直線AW的解析式為5=—土力+15(04力44),

當(dāng)s=半時(shí)，一普力+15=號(hào)，

：.x=3f

Ts隨力的增大而減小，

當(dāng)04±43時(shí)，S＞普，

當(dāng)Q在CE上，P在BC上時(shí)，

直線NF的解析式為$=普方-15(4＜[W5);

由歹卜，普)知：當(dāng)t=5時(shí)，S=?,

當(dāng)s=孕時(shí)，-3一+15%—40=學(xué)，

444

二t=7或5,

由圖象知：當(dāng)5W/W7,

c的取值范圍為04力＜3或5Wt47.

【點(diǎn)評(píng)】本題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積，矩形的性質(zhì)等知識(shí),

理解函數(shù)圖象中每一個(gè)拐點(diǎn)的意義是解題的關(guān)鍵.

點(diǎn)”，，請(qǐng)直接寫(xiě)出b的取值范圍是.

28.如圖①，動(dòng)點(diǎn)尸從矩形4BCD的頂點(diǎn)4出發(fā)，以匕的速度沿折線/一8一。向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，一

動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)D出發(fā)以匕的速度沿DC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E為

CD的中點(diǎn)，連接尸E.PQ,記AEPQ的面積為S,其函數(shù)圖象為折線MV—NF和曲線FG(圖②)，已知

ON=4,煙=1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為(8,0).

4S

M,

BC\

ADONHGt

圖①圖②

V,

(1)點(diǎn)尸與點(diǎn)。的速度N比，■的值為_(kāi)____;言的值為——

(2)如果0M=15.???

〔題副〕6〕（2024-梁溪區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y^-ax2+3ax+4a的圖象與c軸交

于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與v軸正半軸交于點(diǎn)。，直線夕交于第一象限內(nèi)的。點(diǎn)，且

AABC的面積為10.

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)E為2軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)E作沙軸的平行線交線段OO于點(diǎn)F,交拋物線于點(diǎn)G,當(dāng)GF=0F時(shí),求

點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)P（n,0）是c軸上的點(diǎn)，若點(diǎn)P關(guān)于直線OD的對(duì)稱點(diǎn)Q恰好落在二次函數(shù)的圖象上,求n的值.

【分析】（1）在夕=一&/+3姐+4a中，令沙=0得4-1,0）,3（4,0）,根據(jù)AAB。的面積為10,即得00=4,

。（0,4）,用待定系數(shù)法即得二次函數(shù)的表達(dá)式為夕=-z2+3a;+4;

⑵設(shè)E（m,0）,則,G（m,—m2+3m+4）,由GF=。尸，可得—m?++4=V5X即

可解得G（2,6）;

可得（，），即得］

（3）連接PQ交直線OD于K,過(guò)Q作QT，2軸于T,設(shè)Q（r,s）K2/5-Xx

2

,71+『=2s①，又r2+s2=/，（九+廠）（n—『）=s?②，可解得丁=-^-n,s—冬n,故Q（g八,,代入

55155，

y=—T2+3X+4得y-n=-(^rn\2-\-3X-^-n+4,解得n=5或n=一"~.

515，59

【解答】解：(1)如圖：

在y=-Q/+3。力+4a中，令g=0得—ax2+Sax+4Q=0,

解得力=4或力=—1,

???4—1,0),8(4,0),

:.AB—5,

???A4BC的面積為10,

11

???yAB-OC=10,^pyX5-OC=10,

??.OC=4,

???。(0,4),

把C(0,4)代入g=—a/+3a力+4Q得：

4a=4,

a=1,

二次函數(shù)的表達(dá)式為g=——+31+4;

（2）如圖:

設(shè)E(m,0),則F(rn,—,G(m,—m2+3m+4),

/.OF—不,GF=—m2+3m+4—

?：GF=V5OF,

m2+-^-m+4=V5x,

解得m=2或m=一2(舍去),

??.G⑵6);

(3)連接PQ交直線OO于K,過(guò)。作QTJ_力軸于T,如圖：

vF(n,0)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)為。，

.?.OQ=OP=|n|,K是PQ中點(diǎn),

設(shè)。(7,s),

???K(七Y)，

丁K在直線0=-^-x上,

,s_1n+r

??-----A--------,

222'

整理得：九十『二2s①，

??,OT2+QT2=OQ\

r2+s2=n2,

變形得：(九十/)(n—r)=s?②,

把①代入②得：2s(n—r)=s2,

丁sW0,

An-r=y（3）,

由①③可得T=垓~九，s=-^n,

55

?b?。（卷71'"5"n）,

?/Q在拋物線y=—/+3力+4上，

,4（3丫v3,

..-n=一~—n+3X--n+4A,

5'5，5

解得n=5或九=一，

9

答：n的值為5或一尊■.

9

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一次函數(shù)、二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，對(duì)稱變換等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是用含n的代數(shù)式表示。的坐標(biāo).

題目叵〕（2023*邢江區(qū)校級(jí)一模）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-乎，+4V3分別與2軸、夕軸交

O

于點(diǎn)A點(diǎn)和B點(diǎn)，過(guò)。點(diǎn)作，AB于。點(diǎn)，以O(shè)D為邊構(gòu)造等邊AEDF（F點(diǎn)在0軸的正半軸上）.

⑴求點(diǎn)的坐標(biāo)，以及OD的長(zhǎng)；

（2）將等邊AEDF,從圖1的位置沿，軸的正方向以每秒1個(gè)單位的長(zhǎng)度平移,移動(dòng)的時(shí)間為t（s），同時(shí)點(diǎn)P

從E出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿著折線ED-DF運(yùn)動(dòng)（如圖2所示），當(dāng)P點(diǎn)到F點(diǎn)停止，ADEF也隨

之停止.

①t=3或6(s)時(shí)，直線Z恰好經(jīng)過(guò)等邊^(qū)EDF其中一條邊的中點(diǎn);

②當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動(dòng)，若DM=2PM，求土的值；

③當(dāng)點(diǎn)P在線段DF上運(yùn)動(dòng)時(shí)，若APMN的面積為心，求出t的值.

一冬2+4沖，即可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，求出ABAO=30°,根據(jù)直

角三角形的性質(zhì)，即可得出0。=｝。4=6;

(2)①當(dāng)直線Z分別過(guò)DE、OF、EF的中點(diǎn)，分三種情況進(jìn)行討論，得出t的值，并注意點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)

間；

②分點(diǎn)P在直線/的下方和直線/上方兩種情況進(jìn)行討論，求出土的值即可；

③分點(diǎn)P在。N之間和點(diǎn)P在N尸之間兩種情況進(jìn)行討論，求出土的值即可.

【解答】解：(1)令2=0,則y=4V3,

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4V3),

令沙=0,則一+4A/3=0,

O

解得°=12,

.,.點(diǎn)人的坐標(biāo)為(12,0),

???tan/R4O=怒=節(jié)=W,

：.ZBAO=30°,

?：OD±ABf

：.AODA=9Q°f

???AOD4為直角三角形，

/.OD=^OA=6;

(2)①當(dāng)直線/過(guò)。F的中點(diǎn)G時(shí)，

?/△。石R為等邊三角形，

??.NDFE=60°,

---ZBAO=30°,

??.ZFGA=60°-30°=30°,

??.ZFGA=ZBAOf

：.FA=FG=^-DF=3,

：.OF=OA-FA=9,

：.OE=OF—EF=9—6=3,

工力=3;

當(dāng)/過(guò)。石的中點(diǎn)時(shí)，

?:DE_Ll,DG=EG,

：.魚(yú)線I為DE的垂直平分線,

?/ADEF為等邊三角形，

此時(shí)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，

當(dāng)直線/過(guò)EF的中點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t=12~3=9;

?.?點(diǎn)P從運(yùn)動(dòng)到停止用的時(shí)間為：然?=6,

此時(shí)不符合題意；

綜上所述，當(dāng)t=3s或6s時(shí)，直線,恰好經(jīng)過(guò)等邊△磯）F其中一條邊的中點(diǎn),

故答案為：3或6;

②,/OE=t,AE—12—t,Z.BAO=30°,

：.ME=6-^-,

:.DM=DE-EM=±,

■：EP=2t,

PD=6-2力，

當(dāng)P在直線Z的下方時(shí)，

2

?：DM=^-DP,

o

??二-|"(6—2力),

/o

解得：1=需；

當(dāng)P在直線/的上方時(shí)，

?：DM=2DP,

%—2(6—2t),

解得力=日；

O

綜上所述：t的值為界或日；

X.LO

③當(dāng)3<1&6時(shí)，

Zn=60°,NDMN=90\DM=f,

：.NDNM=90°-60°=30°,

MN=DMxtan60°=--t,DN=2DM=2x,=t,

；DP=2t—6,

:.PN=DN—DP=t—&t—6)=6T,

?：ZDNM=3Q°,

:.mMN的高h(yuǎn)=^PN=3—gt,

?：APMN的面積為，S,

14

整理得：/一6±+8=0,

解得t=2（舍）或t=4

當(dāng)點(diǎn)P在NF之間時(shí)，

ZL>=60°,4DMN=90°,DM=~,

/Q7W=90°—60°=30°,

MN=DMxtan60°=乎土，DN=2DM=2x^-=t,

■：DP=2t-6,

：.PN=DP—DN=2t—6—t=t—6,

???ZD7W=30°,

??.AFNA=/DNM=30°,

:.邊MN的高|i=gPN=gt—3,

?:kPMN的面積為四,

解得力=3+V17（舍）或力=3—V17（舍）,

綜上所述，t的值為4s.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、利用三角函數(shù)解直角三

角形，熟練掌握含30°的直角三角形的性質(zhì)并注意進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

題目回（2023.武進(jìn)區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中,對(duì)于任意兩點(diǎn)打（為，仇）與P2{x2,例）的“非常距

離”，給出如下定義：

若E—溝＞|%-勿|，則點(diǎn)一與點(diǎn).的“非常距離”為E—;

若|的_工21V\yi-y2\，則點(diǎn)■與點(diǎn)B的“非常距離”為I.

例如:點(diǎn)國(guó)1,2）,點(diǎn)馬（3,5）,因?yàn)閨1一閶V|2—5],所以點(diǎn)R與點(diǎn)E的“非常距離”為|2-5|=3,也就是圖1

中線段P.Q與線段P2Q長(zhǎng)度的較大值（點(diǎn)Q為垂直于沙軸的直線PiQ與垂直于2軸的直線P2Q交點(diǎn)）.

（1）已知點(diǎn)4一/，0），B為“軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”為2,寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②直接寫(xiě)出點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離”的最小值：

（2）己知C是直線y=今2+3上的一'個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

①如圖2,點(diǎn)。的坐標(biāo)是（0,1）,求點(diǎn)。與點(diǎn)。的“非常距離”的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②如圖3,H是以原點(diǎn)O為圓心，1為半徑的圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)。與點(diǎn)E的“非常距離”的最小值及相應(yīng)

的點(diǎn)E與點(diǎn)。的坐標(biāo).

圖1圖2圖3

【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)B位于沙軸上，可以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0,￡）.由“非常距離”的定義可以確定|0—切=

2,據(jù)此可以求得"的值；

②設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（O.y）.因?yàn)椴穄一。|）|0—引，所以點(diǎn)A與點(diǎn)B的''非常距離”最小值為=

1

萬(wàn)；

⑵①設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（g,%+3）.根據(jù)材料“若山一叫以明一切1,則點(diǎn)?與點(diǎn)入的''非常距離”為山

—電|“知，。、。兩點(diǎn)的“非常距離”的最小值為一尬=,3+2，據(jù)此可以求得點(diǎn)。的坐標(biāo)；

②根據(jù)“非常距離”的定義，點(diǎn)E在過(guò)原點(diǎn)且與直線夕=年，+3垂直的直線上，且。與E的橫縱坐標(biāo)差相

等時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)E的“非常距離”取最小值，據(jù)此求出。與E的坐標(biāo)及“非常距離”的最小值.

【解答】解：（1）①?.?B為g軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

???設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（O,g）.

|0-y|=2,

解得,y=2或y=-2;

.?.點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0⑵或（0,—2）;

②點(diǎn)A與點(diǎn)8的“非常距離”的最小值為y.

（2）①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)。的“非常距離”取最小值時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)算定義''若＞\yi-y2\,則點(diǎn)R與

點(diǎn)B的''非常距離''為|第一一|”解答，此時(shí)E—卻=1%一的I*即房。=皿

?.?。是直線9=*r+3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0,1）,

，設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為

?―g=~|~g+2,

此時(shí)，XQ――

g1=78，//0|1x

???點(diǎn)C與點(diǎn)。的“非常距離”的最小值為：|

此時(shí)。（一半，羊）；

圖2

②如圖3,當(dāng)點(diǎn)石在過(guò)原點(diǎn)且與直線y—^玄+3垂直的直線上，且CF=EF時(shí)，點(diǎn)。與點(diǎn)E的“非常距離”

最小，

設(shè)（點(diǎn)E位于第二象限）.則

但=_4

4x3姝海x+3

[x2+y2=1

fa；=-T

解得4,

?=虧

故夙一！，春）?/44

設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為（Xo,今g+3）,

圖3

3_3q4

一互-g=鏟o+3一耳，?M

解得，0=-

5

則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（一與，號(hào)），點(diǎn)。與點(diǎn)E的''非常距離'’的最小值為1.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一次函數(shù)綜合題.對(duì)于信息給予題，一定要弄清楚題干中的已知條件.本題中的“非常

距離”的定義是正確解題的關(guān)鍵.

［題目可（2023-海安市一模）對(duì)于平面直角坐標(biāo)系忒初中的圖形W和點(diǎn)P,給出如下定義：F為圖形W上任

意一點(diǎn)，將P,F兩點(diǎn)間距離的最小值記為m,最大值記為朋■，稱M與m的差為點(diǎn)P到圖形W的“差距

離”,記作d（P,W）,即d（P,W）=M—機(jī)，已知點(diǎn)A（2,l）,B（-2,l）

⑴求d（O,AB）；

（2）點(diǎn)。為直線y=-1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)d（C,AB）=1時(shí)，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)是_（2—?。┗颍ǚ揭?一）_；

（3）點(diǎn)。為函數(shù)g=c+b（—24cW2）圖象上的任意一點(diǎn),當(dāng)d（D,AB）W2時(shí),直接寫(xiě)出b的取值范圍.

【分析】（1）畫(huà)出圖形，根據(jù)點(diǎn)P到圖形W的“差距離”的定義即可解決問(wèn)題.

⑵如圖2中，設(shè)。（山,一1）.由此構(gòu)建方程即可解決問(wèn)題.

（3）如圖3中，取特殊位置當(dāng)b=6時(shí)，當(dāng)b=—4時(shí)，分別求解即可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）如圖1中，

AB〃/軸，

???點(diǎn)O到線段4B的最小距離為1,最大距離為，,

:.d（O,AB）=V5—1.

⑵如圖2中，設(shè)。（館,一1）.

當(dāng)點(diǎn)。在g軸的左側(cè)時(shí)，由題意AC-2=1,

17

:.AC—3,

:.(2—77i)24~22—9,

：.m—2—V5或2+舍棄),

C7(2—A/5,—1),

當(dāng)點(diǎn)。在g軸的右側(cè)時(shí)，同法可得C(V5-2,-1),

綜上所述，滿足條件的點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2——1)或(V5—2,—1).

故答案為：(2——1)或(、后一2,—1).

當(dāng)b=6時(shí)，線段EF:g=%+6(-24/42)上任意一點(diǎn)。，滿足d(R4B)&2,

當(dāng)b=一4時(shí)，線段EF:y=x-4(-24力42)上任意一點(diǎn)。'，滿足d(D,AB)<2,

觀察圖象可知：當(dāng)b>6或b4-4時(shí)，函數(shù)g=/+b(—24力42)圖象上的任意一點(diǎn)，滿足d(O,4B)42.

【點(diǎn)評(píng)】本題屬于一次函數(shù)綜合題，考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)P到圖形W的“差距離”的定義等知識(shí)，解題

的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)利用參數(shù)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決問(wèn)題,屬于中考創(chuàng)新題型.

題目口O](2022-姑蘇區(qū)校級(jí)模擬)平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于任意的三個(gè)點(diǎn)A、B、C,給出如下定義:若

矩形的任何一條邊均與某條坐標(biāo)軸平行，且A,B,。三點(diǎn)都在矩形的內(nèi)部或邊界上，則稱該矩形為點(diǎn)

B,。的“三點(diǎn)矩形”.在點(diǎn)4B。的所有“三點(diǎn)矩形”中，若存在面積最小的矩形,則稱該矩形為點(diǎn)A,B,

。的“最佳三點(diǎn)矩形”.

如圖1,矩形DEFG,矩形17s都是點(diǎn)A,B,。的“三點(diǎn)矩形”，矩形17cH是點(diǎn)A,B,。的“最佳三點(diǎn)矩

形”.

如圖2,已知M(4,l),N(—2,3),點(diǎn)P(m,n).

⑴①若m=2,n=4,則點(diǎn)M,N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”的周長(zhǎng)為18，面積為

②若館=2,點(diǎn)M,N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”的面積為24,求九的值；

(2)若點(diǎn)P在直線y=-2,+5±.

①求點(diǎn)的“最佳三點(diǎn)矩形”面積的最小值及此時(shí)小的取值范圍；

②當(dāng)點(diǎn)、M,N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”為正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

⑶若點(diǎn)P（m,n）在拋物線y=ax2+bx+c上，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”面積為12時(shí)，-24

機(jī)《一1或1W機(jī)W3,直接寫(xiě)出拋物線的解析式.

圖1圖2備用圖

【分析】（1）①利用“最佳三點(diǎn)矩形”的定義求解即可，

②利用“最佳三點(diǎn)矩形”的定義求解即可；

（2）①利用“最佳三點(diǎn)矩形”的定義求得面積的最小值為12,

②由“最佳三點(diǎn)矩形”的定義求得正方形的邊長(zhǎng)為6,分別將y=7,y=—3代入沙=—2x+5,可得x分別為

-1,5,點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一1,7）或（4,一3）;

（3）利用“最佳三點(diǎn)矩形”的定義畫(huà)出圖形，可分別求得解析式.

【解答】解：（1）①如圖，畫(huà)出點(diǎn)河，N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”，可知矩形的周長(zhǎng)為6+6+3+3=18,

面積為3x6=18;

故答案為：18,18.

②2,3）,

\xM-xN\=6,\yM-yN\=2.

又：m=2,點(diǎn)河，N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”的面積為24.

此矩形的鄰邊長(zhǎng)分別為6,4.

n=—1或5.

⑵如圖，

①由圖象可得，點(diǎn)河，N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”面積的最小值為12;

分別將y=3,y=l代入沙=—2劣+5,可得2分別為1,2;

結(jié)合圖象可知：1W?nW2;

②當(dāng)點(diǎn)河，N,P的“最佳三點(diǎn)矩形”為正方形時(shí)，邊長(zhǎng)為6,

分別將y=7,y=—3代入g=—2c+5,可得，分別為一1,4;

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（一1,7）或（4,一3）;

⑶設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,經(jīng)過(guò)點(diǎn)（一1,1）,（1,1）,（3,3）,

（a—b+c=l

<a+fe+c=l,

19。+3b+c=3

[-i

<6=0,

c=苴

1c4

,■y4“十4，

同理拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（—1,3）,（1,3）,（3,1）,可求得拋物線的解析式為9=—+2+?，

拋物線的解析式夕=苧?+,或沙=—*：/+號(hào).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了一次函數(shù)的綜合題，涉及點(diǎn)的坐標(biāo)，正方形及矩形的面積及待定系數(shù)法求函數(shù)解析

式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解運(yùn)用好“最佳三點(diǎn)矩形”的定義.

題目正（2022?太倉(cāng)市模擬）如圖①，動(dòng)點(diǎn)P從矩形ABCD的頂點(diǎn)A出發(fā)，以仍的速度沿折線A—B—C向

終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)；同時(shí),一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)。出發(fā)，以g的速度沿DC向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng),當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)

點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，連接PE,PQ,記AEPQ的面積為S,點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為如其函數(shù)圖象

為折線MN—NR和曲線FG（圖②），已知，ON=3,NH=1,點(diǎn)G的坐標(biāo)為（6,0）.

⑴點(diǎn)P與點(diǎn)Q的速度之比色的值為—葺_；ABAD的值為；

（2）如果OM=2.

①求線段NF所在直線的函數(shù)表達(dá)式；

②是否存在某個(gè)時(shí)刻3使得若存在，求出1的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

O

【分析】（1）由函數(shù)圖象可知t=3時(shí)，Q與E重合，力=4時(shí)，P與B重合，力=6時(shí)，P與。重合，則Q的速

度的=D；,P的速度g=，從而得出答案；

（2）①當(dāng)1=0時(shí)，P與A重合，Q與。重合，此時(shí)S“DE=2,可得AD=BC=DE=2,AB=CD=2AD=

4,從而得出點(diǎn)P與。的速度，即可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可得答案；

②利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)解析式，當(dāng)S=￡■時(shí)，可得t的值,根據(jù)圖象可得答案.

【解答】解：⑴???ON=3,7vH=1,G（6,0）,

AN（3,0）,H（4,0）,

由圖象可知：t=3時(shí)，。與E重合，t=4時(shí)，P與B重合，力=6時(shí)，P與。重合，

.?.Q的速度”2=爺，P的速度%=半，

O4

?.?四邊形ABCD是矩形，

??.AB=CD,AD=BC,

???E為CO的中點(diǎn)，

：.DE=^-CD=^-AB,

AB

?%=4=AB3=AB3=3

,?五一呼-丁?示-丁?“8-5

???P從4到6用了4秒，從6到。用了2秒，

/.AB—4s,BC—2%,

/.AB=2BC,

：.48:4。的值為2,

故答案為:-^-,2;

⑵①???OAf=2,

???M(0,2),

由題知，力=0時(shí)，P與？1重合，Q與。重合,

*e?SbEPQ=萬(wàn)/。*DE=2,

,/AB-.AD=2,

：.AD=DE=^-AB,

：.yAD2=2,

：.AD=BC=D