四川省巴中市2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)“零診”考試數(shù)學(xué)試題(文科)

巴中市普通高中2021級(jí)“零診”考試

數(shù)學(xué)(文科)

(滿分150分120分鐘完卷)

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置.

2.答選擇題時(shí)請(qǐng)使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題

答題時(shí)必須用0.5毫米黑色墨跡簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置，在規(guī)

定的答題區(qū)域以外答題無效，在試題卷上答題無效.

3.考試結(jié)束后，考生將答題卡交回.

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是(—1,1),則d+z=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

2,已知集合A='L|x+22o},5=(卜2<J則Ag=()

A.{x|0<x<3)B,{^|0<x<3}c.{v|-2<x<3)D.{v|-2<x<3}

3.已知等差數(shù)列L}的前〃項(xiàng)和為S—%=2,則數(shù)列{〃}的公差為()

nn5Zn

A.1B.2C.3D.4

4,已知向量a==(x,—1),則“x=T"是"Q+b)_Lb”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.非充分非必要條件

5.雙曲線二一山=1的兩條漸近線與直線尤=2圍成一個(gè)三角形區(qū)域，表示該區(qū)域的不等

4

式組是（）

x-2y>0x-2y>Q'2x-y>Q'2x-y<0

A.，x+2y<0B.<x+2y>Qc.<2x+y>0D.<2x+y>0

0<x<20<x<20<x<20<x<2

6.某幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體的表面積為（）

7.第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì)以“綠色、智慧、活力、共享”為理念，向全世界送出來

自中國的美好祝愿.某高校田徑組擬從甲，乙兩名女同學(xué)中選一人參加本屆大運(yùn)會(huì)，已知甲、

乙兩名同學(xué)近五次800米訓(xùn)練成績（單位：秒）如下面的莖葉圖所示.根據(jù)兩人訓(xùn)練成績的

平均值及方差，現(xiàn)有下列4種推薦意見.

甲乙

8II9.

4712565

10130*

①甲成績的平均值低于乙成績的平均值，推薦甲參加大運(yùn)會(huì).

②甲成績的平均值高于乙成績的平均值，推薦乙參加大運(yùn)會(huì).

③甲成績的方差大于乙成績的方差，推薦乙參加大運(yùn)會(huì).

④甲成績的方差小于乙成績的方差，推薦甲參加大運(yùn)會(huì).

其中合理推薦意見的編號(hào)是（）

A.①③B.①④C.②③D.②④

已知函數(shù)/G）=2sin（3x+（p）［①〉。刖丹5兀

8.的部分圖象如圖所示，則/

12

)

A.邪B.一串C.1D.-1

9.已知雙曲線°Y2次-v2》=1（.〉°力〉。）的左、右焦點(diǎn)分別為勺,勺過勺斜率為34的

直線與c的右支交于點(diǎn)P,若線段P尸恰被y軸平分，則C的離心率為（）

1

A.；B.$C.2D,3

23

x,12

10.已知正數(shù)羽y滿足7+丁=1,則一+一的最小值為（）

2xy

97

A.5B.—C.4E).—

22

11.已知正數(shù)Q1滿足久+4=8+1出?=2（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則下列關(guān)系式中不正

確的是（）

A.beb-e2B.a+b=2c."+1口。=2D.eo+lnb=2

12.已知/（x）=e%+e2f,則不等式，（2x+l）＞/（x）的解集為（）

A.gl[B,C.D.（t,-Dug”）

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知/（x）=ln（x—l）,則曲線y=/（x）在點(diǎn)（2"（2））處的切線方程是.

14.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：過焦點(diǎn)的光線經(jīng)拋物線反射后得到的光線平行于拋物線的對(duì)稱

軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線

W=4x的焦點(diǎn)為尸，一條平行于x軸的光線從點(diǎn)4（5,4）射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)8反射

后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)0射出，則產(chǎn)q=.

15.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a｝的前"項(xiàng)和為S，若a=2,且S=2a-1,則S=________,

nn233n

16.在三棱錐P—ABC中，AB=PC=2y[3,BC=PA=2,AP，PC,AB±BC,E,F,G,

H,M,N分別為棱A仇尸C,AC,尸B,BC,P4的中點(diǎn).現(xiàn)有以下3個(gè)結(jié)論：①三棱錐

P—ABC的外接球表面積為16兀；②EF工MN；③GH工平面EMFN,則其中正確結(jié)

論的序號(hào)為.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17-21

題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作

答.

（一）必考題：共60分.

17.（12分）

中央電視臺(tái)“國家品牌計(jì)劃”欄目組為了做好新能源汽車的品牌推介，利用網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)對(duì)年齡

（單位：歲）在［20,60內(nèi)的人群進(jìn)行了調(diào)查，并從參與調(diào)查者中隨機(jī)選出600人，把這600

人分為對(duì)新能源汽車比較關(guān)注和不太關(guān)注兩類，制成如下表格:

120,30)130,40)140,50)[50,60]

年齡

人數(shù)4012016080

男性

比較關(guān)注人數(shù)87211248

人數(shù)107010020

女性

比較關(guān)注人數(shù)5498016

（1）完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為

性別與對(duì)新能源汽車的關(guān)注有關(guān);

比較關(guān)注不太關(guān)注總計(jì)

男性

女性

總計(jì)

（2）為了進(jìn)一步了解年齡在bo,30）內(nèi)不同性別的消費(fèi)者對(duì)新能源汽車的關(guān)注情況，采用

分層抽樣的方法選出5人進(jìn)行訪談，最后從這5人中隨機(jī)選出2人參與電視直播節(jié)目，求其

中恰有一位男性參與電視直播節(jié)目的概率.

n(ad-bc)2

,其中n=a+b+c+d.

附:(〃+b)G+d)Q+c)G+d)

P\K2>k)

0.100.050.0100.005

0

k2.7063.8416.6357.879

0

18.(12分)

在△ABC中，角A,3,C的對(duì)邊分別為a,4c,已知4a=3"3=2A.

(1)求8S8；

(2)若a=9,求△ABC的面積.

19.(12分)

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA1底面ABCD,AD//BC

AB±AD,PA=AD=4,AB=BC=2,E,F分別為CD,24的中點(diǎn).

p

(1)證明：跖〃平面P6C；

(2)求三棱錐P—CDF的體積.

20.(12分)

已知/(J=x—一。+a)lnQ+1).

x+1

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求函數(shù)/Q)的單調(diào)區(qū)間；

(2)設(shè)gQ)=/Q)+」L+l,若函數(shù)gQ)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

x+1

21.(12分)

已知橢圓0:心+[=l(a〉b〉0)的左、右頂點(diǎn)分別為4,4，點(diǎn)在橢圓C上,

a2b2i212J

__________3

且AM-MA=--

i24

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)橢圓0的右焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸斜率不為o的直線/交橢圓c于P,Q兩點(diǎn)，記直線

與直線的斜率分別為上水，當(dāng)k+k=0時(shí)，求：

1212

①直線/的方程；②的面積.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題任選一題作答.如果多做，則按所做的第一

題計(jì)分.

22.【選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）

在直角坐標(biāo)系X0V中，圓C的圓心為點(diǎn)（2,2）,且半徑長為2,直線/的參數(shù)方程為

Y—/posCt

<'■為參數(shù)，0<a<7t）,以坐標(biāo)原點(diǎn)0為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立

y=^sinoc

極坐標(biāo)系.

（1）求圓c的極坐標(biāo)方程;

（2）已知直線/與圓C相交于M,N兩點(diǎn)，且|OMF+pN|2=16,求a.

23.【選修4-5：不等式選講】（10分）

已知/（x）=2|x+2|-|ax|.

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式/（x）〉2的解集;

（2）若對(duì)任意尤6（—1,1）,不等式y(tǒng)（x）>x+l恒成立，求a的取值范圍.

巴中市普通高中2021級(jí)“零診”考試

數(shù)學(xué)（文科）參考答案

一、選擇題（每題5分，共60分）

題號(hào)123456789101112

答案ACDABACBCBCD

二、填空題（每題5分，共20分）

25

13.x-y-2=014,—15.2，，一116.①③.

三、解答題（17-21每題12分，22-23題10分）

17.（12分）

解：（1）列聯(lián)如下表：

比較關(guān)注不太關(guān)注總計(jì)

男性240160400

女性15050200

總計(jì)390210600

,600（240x50-160x150）21200入”

則nilk=——---------------------=------->10>6.635

390x210x400x20091

所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為性別與對(duì)新能源汽車的關(guān)注有關(guān).

（2）由題意知，年齡在Lo,30）內(nèi)的50人中男性與女性的比為4:1

41

所抽男性人數(shù)為5x§=4人，所抽女性人數(shù)為5x^=1人

記“選出的5人中恰有一位男性”為事件A

設(shè)4位男性分別為8,8,8,3,一位女性為。

1234

則所有結(jié)果為：BB,BB,BB,BB,BB,BB,BD,BD,BD,BD,共10種.

1213142324341234

事件A包含的基本事件為3。,888。，共4種

1234

由古典概型的概率公式得：P（A）=3=3

105,

18.（12分）

解：（1）由4。=3。及正弦定理得：4sinA=3sinB

由5=2A得：sinB=sin2A=2sinAcosA

4sinA=6sinAcosA

由0<A<兀知sinA>0

,2

cosA=—

3

cosB=cos2A=2cos2A-1=

9,

（2）方法一

當(dāng)〃=9時(shí)，代入4a=3b得：b=12

由余弦定理/?2=。2+。2-2QCCOS5得：144=81+C2+2C

整理得：c2+2c—63=0,解得：c=7

:.S=LbcsinA=J.X7X12X^2=14J5.

△ABC223

方法二

當(dāng)a=9時(shí)，代入4。=3。得：b=12

由（1）得：sinA=Jl-cos2A=Jl-f=2/E

sinS=sin2A-2x—x—=_

339

由4+5+。=兀得。=兀一（A+5）

sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

:.S=1absinC=1x9xl2x=1475.

△ABC2227

方法三

當(dāng)〃=9時(shí)，代入4〃=3b得：b=12

由（1）得：sinA=，l-cos2A=

由余弦定理〃2二枕+。2—2bccosA得：81=144+。一16c

整理得：c2—16c+63=0,解得：。=9或。=7

若c=9,則△ABC為等腰三角形，此時(shí)A=C

兀2

由5=2A及內(nèi)角和定理得：A=_,與cosA=w矛盾，不合題意

.c=7

S--bcsir\A=1x7x12x走=1475.

△ABC223

19.（12分）

解：（1）證明:

方法一：綜合法一一平行平面的性質(zhì)

取A5的中點(diǎn)W,連結(jié)（如圖）

p,

由E,F分別為CD,P4的中點(diǎn)及中位線定理得ME//BC,MF//PB

BC,PBu平面PBC,FM,EMu平面PBC

.?.Affi1〃平面P3C,“p〃平面PBC.

又ME°MF=M,ME,MFu平面EFM

平面EF似〃平面PBC.

?/EFu平面EFM

.?.EF〃平面PBC.

方法二：綜合法一一平行平面的性質(zhì)

取的中點(diǎn)。，連結(jié)QE,。尸（如圖）

由E,廠分別為CD,R4的中點(diǎn)及中位線定理得

QF//AD,QE//PC

PCu平面PBC,QE<Z平面PBC

??QE〃平面PBC.

AD//BC,QF//AD

：.QF//BC

BCu平面PBC,。尸《平面PBC

尸〃平面PBC.

又QEn=Q,QE,QFu平面EFQ

，平面EF?！ㄆ矫鍼BC.

EFu平面EFQ

...EF〃平面PBC

方法三：綜合法一一直線與平面平行的判定

連結(jié)AE延長交的延長線于N,連結(jié)PN

■■AD//BC,CE=ED

：.AE=EN

又AF二FP

:.EF//PN

-.?PNu平面PBC,EF平面PBC

:.EF〃平面PBC

(2)方法一

?.?BA，底面ABC。

:.PA1AD,PA1AB

又AB，「AD=A,P4,ADu平面PAD

AB_L平面PAD

點(diǎn)B到平面PAD的距離為AB=2

AD//BC,ADu平面PAD

BC〃平面PA。

到平面PA。等距，故三棱錐C—PDF的高為2

又S=LXPFXAD=4

△PDF2

1Q

/.V=V=-xSx2=-

P-CDFC-PDF3^PDF3

方法二

由尸為K4的中點(diǎn)及體積的性質(zhì)知：V=V=￡v

P-CDFC-DFP2P-ACD

由R4，底面ABCD及AD//BC,AB，AD,PA=AD=4,AB=BC=2知:

V=Ixlx(AD+JBC)xAfixPA=lx6x2x4=8

P-ABCD326

111Q

V=-x_xBCxABxPA=_x2x2x4=_

p-^c3263

=v-vJ，

P-ACDP-ABCDP-ABC3

.-.v=lv8

P-CDF2PACD3

方法三

連結(jié)AC,由得：ABIBC

AC=4AB2+BC2=2vxZCAB=CAD=45°

在△ACO中，AO=4,由余弦定理得：CD=4AC?+AZh-2AD義ACxcos45°=2"

:.AC±CD

?/,底面ABC。,PAu平面PAC

平面PAC±平面ABCD,PA±AC

...平面PAC門平面ABCD=AC,CDu平面ABCD

.,.CD_L平面？AC

111Q

.-.v=V=-xS%CD=-xPFxACxCD=-x2x2J2x2J2=-.

P-CDFD-CFP3ACFP663

方法四

取A5的中點(diǎn)G,連結(jié)CG

p.

由AD〃BC,AD=4,3C=2知：AG//BC,AG=BC

又AD,AB,AB=2

四邊形ABCG為正方形

:.CG1AD,CG=2

24，底面ABC。,AD,CGu平面上4。

:.PA1CG,PA1AD

.,.CGJ_平面上4。

二三棱錐C—的高為CG=2

111Q

/.V=V=-xSxCG=-xADxFPxCG=-x2x4x2=-

P-CDFC-FDP3ADFP663

20.（12>：）

加一、「，（）i23x（x-l）z八

解：⑴f-=（x>-1）

（X+1）2X+l（X+1）2

令/'（x）〉。得一l<x<0或x>l,令/'（%）<0得0<x<l

/（x）的增區(qū)間為（一1,0）,（1,yo）,減區(qū)間為（0,1）

（2）方法一

由已知得g（x）=x+l-G+a）lnQ+l）,故gQ=]_"5=x-%>_1）

x+1x+l

①當(dāng)aW—1時(shí)，g'(x)>O,g(x)在(―l,+oo)上單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn).

②當(dāng)。>一1時(shí)，令g'(x)〉。得尤>4,令g'(x)<0得一1<x<a

故g(x)在(T,a)上為減函數(shù)，在(。,內(nèi))上為增函數(shù)

g(x)=g(a)=a+l-(l+a)ln(a+l)

min

由g(%)有兩個(gè)零點(diǎn)得：即Q+1—(l+4)ln(4+l)<0

又。>一1,故ln(〃+l)>l,解得。>e-l

又g(o)=l〉O,且當(dāng)Xf+8時(shí)，g(x)—+oo

，當(dāng)。>6—1時(shí)，函數(shù)gG)有兩個(gè)零點(diǎn)

綜上可知：a的取值范圍為(e—1,+8)

方法二

g(x)=%+1-(1+4)111(1+1)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于：

關(guān)于%的方程1+1-(1+。)1口。+1)=0(%>—1)有兩個(gè)實(shí)根

即x+1=(l+〃)ln(x+l)(x〉一1)(*)有兩個(gè)實(shí)根.

由(1)知aw—1,由方程(*)得「_=lnQ+l)(x〉_1)有兩個(gè)實(shí)根.

〃+1X+1

令，x)Jn(x+D則〃Q)JTn(x+l)…)

X+l(X+1)2

由/z'(x)〉O得ln(x+l)<1,解得一

由//(1)<0得1口(1+1)<1解得%>6—1

。(x)在(―1,e—1)上為增函數(shù)，在(e—1,+8)上為減函數(shù).

:.h(x)=hG-i)=l

max。

又當(dāng)一1<%<0時(shí)，/z(x)<0

當(dāng)x>0時(shí)/z(x)>0且當(dāng)xf+00時(shí)，/z(x)f0(如圖)

當(dāng)0<__<1,即。>e—1時(shí)，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

a+1e

/.a的取值范圍為(e—L+8).

21.（12分）

則

由”［，橙］在橢圓c上及。=2得；+言=1,解得。2=3

?二橢圓。的方程為—+——1

(2)由(1)知，右焦點(diǎn)為尸(1,0)

據(jù)題意設(shè)直線I的方程為10),P(H。+Ly+Ly)

33

則仁二！二生二％二”二至白

1my2my2my2my

1122

于是由左+左=0得這二^+三二2=0,化簡得4yy=3（y+y）

122my2my1212

x=my+1,

①由v消去x整理得、3帆2+4,y2+6my-9=0

3%2+4尸-12=0

A=（6m）2+36Cm2+4）=144（m2+1）>0

由根與系數(shù)的關(guān)系得：y+y=-―義—,yy=-——-——

123n12+4123ni2+4

代入（*）式得：—一1即"=—36,解得加=2

3m2+43nI2+4

二直線/的方程為x_2y_l=0

②方法一

（）39

由①可知：A=144v22+F=720,y+y=--,yy=--

'i241216

由求根公式與弦長公式得：|PQ|=|y-yj=下胃=?.

3

設(shè)點(diǎn)"到直線/的距離為d,貝1d=

1x15x3G_9/

.?.s=k\PQ\d=

△MPQ2458

方法二

由題意可知S=5+S=1|MF||+k\=-]x|+k

△MPQAMPFAMQF211Q'4P1Q

由①知，直線/的方程為1—2丁一1二°

代入3%2+4>2-12=0消去y得4x2+2%-11=0

/.A=22-4x4x^-11^=180>0,x+x=~-,xx=--<0

PQ2PQ4

：,s=3Gl+kJ)=3…|=3嚴(yán)=96

11

/\MPQ4p4i2448

22.（10分）

解：（1）方法一

由已知，圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x—2）2+（y—2）2=4

化為一般式得：X2+y2-4x-4y+4=0

將,X—pcos,代入圓的一般方程得：

y=psin0

圓C的極坐標(biāo)方程為p2-4pcos6-4psin0+4=0

方法二

點(diǎn)C的極坐標(biāo)為任"

在圓。上任取點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（P，o）,當(dāng)C,0,P不共線時(shí)，由余弦定理得：

p2+（2-^2^）2—2x2-^/^pcos―0j—22

化簡得：p2一4"pcos［。-；］+4=0

當(dāng)C,。,尸共線時(shí)，點(diǎn)P（2JZ±2,2］的坐標(biāo)也適合上面的方程.

即圓C的極坐標(biāo)方程為p2—4j7pcos［0—；1+4=0

(2)方法一

由已知，直線/的極坐標(biāo)方程為°=a(pCR),則：

0=a,品-

《整理得p2—4pcosa-4psina+4=0

p2-4pcos0-4psin0+4=0.

由A>0得。<a<_

2

設(shè)M(P,a),N(p,a),則p+p=4sina+4cosa,pp=4

121212

=(p+p%-2Pp=16

則pM|2+|0N|2=p2+P2