微專題10 玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典問題（十四大題型）（解析版）

微專題10玩轉(zhuǎn)外接球、內(nèi)切球、棱切球經(jīng)典問題【題型歸納目錄】題型一：正方體、長(zhǎng)方體模型題型二：正四面體模型題型三：對(duì)棱相等模型題型四：直棱柱模型題型五：直棱錐模型題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型題型八：共斜邊拼接模型題型九：垂面模型題型十：最值模型題型十一：二面角模型題型十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型題型十三：錐體內(nèi)切球題型十四：棱切球【方法技巧與總結(jié)】技巧總結(jié)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．3、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4技巧總結(jié)二：正四面體外接球如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．技巧總結(jié)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過構(gòu)造長(zhǎng)方體來解決這類問題．如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．技巧總結(jié)四：直棱柱外接球如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出技巧總結(jié)五：直棱錐外接球如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．技巧總結(jié)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．技巧總結(jié)七：側(cè)棱為外接球直徑模型方法：找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．技巧總結(jié)八：共斜邊拼接模型如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．技巧總結(jié)九：垂面模型如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．圖1圖2技巧總結(jié)十：最值模型這類問題是綜合性問題，方法較多，常見方法有：導(dǎo)數(shù)法，基本不等式法，觀察法等技巧總結(jié)十一：二面角模型如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．技巧總結(jié)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型1、球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來計(jì)算．如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．3、球內(nèi)接圓臺(tái)，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．技巧總結(jié)十三：錐體內(nèi)切球方法：等體積法，即技巧總結(jié)十四：棱切球方法：找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形【典型例題】題型一：正方體、長(zhǎng)方體模型【典例1-1】（2024·天津市第一中學(xué)濱海學(xué)校高一階段練習(xí)）正方體外接球的體積是，那么外接球的直徑為___________，正方體的表面積為___________．【答案】

【解析】解：正方體外接球的體積是，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，則外接球的直徑，即正方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，解得或（舍去）；所以正方體的表面積；故答案為：；．【典例1-2】（2024·遼寧·東港市第二中學(xué)高一階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體中，；點(diǎn)分別為中點(diǎn)；那么長(zhǎng)方體外接球表面積為__________；三棱錐的外接球的體積為__________．【答案】

【解析】長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)為，所以長(zhǎng)方體外接球半徑為，表面積為；如圖，分別是中點(diǎn)，則是矩形，平面平面，分別是中點(diǎn)，則，而平面，所以平面，所以平面，而平面，平面，所以平面平面，平面平面，由平面，平面，得，而，設(shè)平面與的交點(diǎn)分別為，則分別是的中點(diǎn)，所以分別是和的外心，在平面內(nèi)過作，過作交于點(diǎn)，由平面，得，，而，平面，所以平面，同理平面，所以是三棱錐的外接球球心．四邊形是圓內(nèi)接四邊形，由長(zhǎng)方體性質(zhì)知，所以，，，，由平面，平面，得，，，，所以，所以三棱錐的外接球的體積為．故答案為：；．【變式1-1】（2024·湖南·高一階段練習(xí)）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，書中將底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵；將底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在塹堵中，，，AB＝8，則鱉臑外接球的表面積為___，陽馬體積的最大值為___．【答案】

64【解析】鱉臑外接球即為塹堵的外接球，可將塹堵補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則外接球直徑為，∴其表面積為．∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，∴陽馬的體積為．故答案為：，64題型二：正四面體模型【典例2-1】（江蘇省鎮(zhèn)江市2023-2024學(xué)年高一學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）一個(gè)正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為24π的球面上，則該四面體的體積為_____．【答案】【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，外接球半徑為，如圖正四面體中，為的中點(diǎn)，為的中心，連接，則平面，為正四面體外接球的球心，連接，則，所以，因?yàn)檎骟w外接球的表面積為24π，所以，得，所以，所以，在中，，則，解得或（舍去），所以該四面體的體積為，故答案為：【典例2-2】（2024·天津南開·高二學(xué)業(yè)考試）表面積為的正四面體外接球的體積為__________．【答案】【解析】設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為，的外接圓圓心為，正四面體外接球的球心為，半徑為，如圖所示：因?yàn)?，解得．因?yàn)?，所以，．在中，解得．正四面體外接球的體積．故答案為：【變式2-1】（2024·遼寧鞍山·二模）已知正四面體ABCD的表面積為，且A，B，C，D四點(diǎn)都在球O的球面上，則球O的體積為______．【答案】【解析】正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，所以該正四面體的表面積為，所以，又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體，若正四面體棱長(zhǎng)為，可得正方體的棱長(zhǎng)為1，所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為，半徑為，所以球O的體積為．故答案為：題型三：對(duì)棱相等模型【典例3-1】如圖，在三棱錐中，，，，則三棱錐外接球的體積為A． B． C． D．【解析】解：由題意，，，，將三棱錐放到長(zhǎng)方體中，可得長(zhǎng)方體的三條對(duì)角線分別為，2，，即，，，解得：，，．外接球的半徑．三棱錐外接球的體積．故選：．【典例3-2】（2024?永安市校級(jí)期中）在三棱錐中，，，，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：三棱錐中，，，，構(gòu)造長(zhǎng)方體，使得面上的對(duì)角線長(zhǎng)分別為4，5，，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)等于三棱錐外接球的直徑．設(shè)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)分別為，，，則，，，，三棱錐外接球的直徑為，三棱錐外接球的表面積為．故選：．【變式3-1】（2024?五華區(qū)校級(jí)期中）如圖，蹴鞠，又名“蹋鞠”、“蹴球”、“蹴圓”、“筑球”、“踢圓”等，“跳”有用腳蹴、蹋、踢的含義，“鞠”最早系皮革外包、內(nèi)實(shí)米糠的球．因而“蹴鞠”就是指古人以腳蹴、蹋、踢皮球的活動(dòng)，類似今日的足球．2006年5月20日，蹴鞠已作為非物質(zhì)文化遺產(chǎn)經(jīng)國(guó)務(wù)院批準(zhǔn)列入第一批國(guó)家級(jí)非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄．若將“鞠”的表面視為光滑的球面，已知某“鞠”表面上的四個(gè)點(diǎn)，，，滿足，，，則該“鞠”的表面積為A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)榫媳砻嫔系乃膫€(gè)點(diǎn)，，，滿足，，，所以可以把，，，四點(diǎn)放到長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上，則該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是鞠的直徑，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，鞠的半徑為，則，由題意得，，，所以，即，所以該鞠的表面積為，故選：．題型四：直棱柱模型【典例4-1】（2024·遼寧·昌圖縣第一高級(jí)中學(xué)高一階段練習(xí)）已知直三棱柱的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，取的中點(diǎn)分別為，根據(jù)題意，它們分別是的外心，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，而底面ABC，所以底面ABC，取的中點(diǎn)O，于是點(diǎn)O為該直三棱柱外接球的球心．連接OB，容易求得，則外接球半徑，于是外接球的表面積為．故選：C．【典例4-2】（2024·廣西桂林·高二期末）直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，若則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，棱柱底面三角形中，底面外接圓半徑，又為直三棱柱且，所以其外接球半徑，故球體表面積為．故選：A【變式4-1】（2024·河北·張北縣第一中學(xué)高一階段練習(xí)）已知正三棱柱所有棱長(zhǎng)都為6，則此三棱柱外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，為棱的中點(diǎn)，為正△的中心，為外接球的球心根據(jù)直棱柱外接球的性質(zhì)可知∥，，外接球半徑，∵正△的邊長(zhǎng)為6，則∴外接球的表面積故選：C．題型五：直棱錐模型【典例5-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，，，則四棱錐的外接球O的表面積是（

）A．80π B．160π C．60π D．40π【答案】D【解析】由題意底面矩形的外接圓半徑，則原四棱錐外接球半徑，故選：D【典例5-2】（2024·河南·濮陽一高高一期中）已知三棱錐中，底面，則此幾何體外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：設(shè)底面外接圓的半徑為，則，設(shè)外接球的半徑為，則，即，所以，所以外接球的體積；故選：C【變式5-1】（2024·黑龍江·勃利縣高級(jí)中學(xué)高一期中）據(jù)《九章算術(shù)》記載，“鱉臑”為四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐．如圖所示，現(xiàn)有一個(gè)“鱉臑”，底面，，且，三棱錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，將三棱錐補(bǔ)形為正方體，則外接球半徑．所以三棱錐外接球表面積．故選：B．題型六：正棱錐與側(cè)棱相等模型【典例6-1】（2024·江蘇南通·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（

）A．16π B． C．8π D．【答案】B【解析】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)O與重合，所以球O的體積是．故選：B【典例6-2】（2024·江蘇·揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為的球面上，且，若三棱錐體積為，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，為正三棱錐的高，則其外接球的球心在上，且，延長(zhǎng)交于，則，所以，因?yàn)槿忮F體積為，所以，得，在直角中，，所以，解得，所以該球的表面積為，故選：B【變式6-1】（2024·重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一階段練習(xí)）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為____________．【答案】【解析】三棱錐中，取BC中點(diǎn)D，連PD，連AD并延長(zhǎng)至O1，使DO1=AD，連接BO1，CO1，PO1，如圖：于是得四邊形為平行四邊形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，則，是正三角形，，于是得O1是外接圓圓心，因，D為BC中點(diǎn)，則PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，從而有平面，，同理，而，從而得平面，由球的截面小圓性質(zhì)知，三棱錐外接球球心O在直線上，又，則，解得，設(shè)球O的半徑為R，則，，中，，即，解得，則球O的表面積為，所以三棱錐外接球的表面積為．故答案為：題型七：側(cè)棱為外接球直徑模型【典例7-1】（2024?本溪月考）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，為球的直徑，且；則棱錐A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為，過三點(diǎn)的小圓的圓心為，則平面，延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，則平面．，，高，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，．，，棱錐．故選：．【典例7-2】（2024?云南校級(jí)月考）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，為球的直徑，且，則此棱錐的體積為A． B． C． D．【解析】解：因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2的正三角形，所以外接圓的半徑，所以點(diǎn)到平面的距離，為球的直徑，點(diǎn)到平面的距離為，此棱錐的體積為，故選：．【變式7-1】（2024?防城港模擬）體積為的三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，已知是邊長(zhǎng)為1的正三角形，為球的直徑，則球的表面積為A． B． C． D．【解析】解：根據(jù)題意作出圖形：設(shè)球心為，球的半徑．過三點(diǎn)的小圓的圓心為，則平面，延長(zhǎng)交球于點(diǎn)，則平面．，，高，是邊長(zhǎng)為1的正三角形，，，．則球的表面積為故選：．題型八：共斜邊拼接模型【典例8-1】（2024·安徽·蕪湖一中高二期中）已知三棱錐中，，，，，，則此三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)椋?，，則，所以，又因?yàn)?，，，則，所以，由，，，則，所以，又由，，，則，所以，可得為三棱錐的外接球的直徑，又由，所以此三棱錐的外接球半徑為，所以球的表面積為．故選：C．【典例8-2】（2024·江西贛州·高二期中）在三棱錐中，若該三棱錐的體積為，則三棱錐外球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖所示：設(shè)SC的中點(diǎn)為O，AB的中點(diǎn)為D，連接OA、OB、OD，因?yàn)椋?，則，所以O(shè)為其外接球的球心，設(shè)球的半徑為R，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以平面AOB，所以，解得，所以其外接球的體積為，故選：D【變式8-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐D-ABC中，AB=DC=3，AC=DB=2，AC⊥CD，AB⊥DB．則三棱錐D-ABC外接球的表面積是（

）．A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)锳C⊥CD，AB⊥DB∴即為棱錐D-ABC外接球的球心，又AB=DC=3，AC=DB=2，∴，∴三棱錐D-ABC外接球的表面積為．故選：B．題型九：垂面模型【典例9-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四棱錐的底面是矩形，側(cè)面平面，，，則該四棱錐外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)E，連接中，∴，，設(shè)的中心為，球心為O，則，設(shè)O到平面的距離為d，則，∴，∴四棱錐的外接球的體積為.故選：B.【典例9-2】（2024·山西·祁縣中學(xué)高三階段練習(xí)（文））已知四棱錐的底面為矩形，平面平面，于，，，，，則四棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)外接圓圓心為，半徑為，因?yàn)?，，所以，又，，所以，由正弦定理可得：，即，所以，因?yàn)榈酌鏋榫匦危瑒t四棱錐外接球的球心到平面的距離與到的距離相等，設(shè)四棱錐外接球的球心為，半徑為，則易知：，所以有，所以外接球表面積為.故選：A【變式9-1】（2024·福建·廈門一中高三階段練習(xí)（理））三棱錐中，，，，，若平面平面ABC，則三棱錐外接球的表面積為________．【答案】【解析】由，，，可知△是角為直角的直角三角形.即.取中點(diǎn)，則是△的外心.取中點(diǎn)，連接，則.在，，所以.又平面⊥平面，∴⊥平面.又平面所以.由分別為的中點(diǎn)，則.則，所以在直角中，又在直角三角形△中，是中點(diǎn).所以所以所以三棱錐外接球的球心為點(diǎn)，半徑為所以三棱錐外接球的表面積為故答案為：題型十：最值模型【典例10-1】（2024·貴州遵義·高三開學(xué)考試）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在體積為的球面上，，，則三棱錐的體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】若球體半徑為R，則，可得，而底面中，，易得：，又，故，則底面外接圓半徑為，要使三棱錐的體積的最大，只需在球面上離面最遠(yuǎn)，而，所以在球面上離面最遠(yuǎn)距離為，故最大體積.故選：A【典例10-2】（2024·全國(guó)·三模）已知三棱錐的體積為，其外接球的體積為，若，，則線段SA的長(zhǎng)度的最小值為（

）A．8 B． C．6 D．【答案】B【解析】如圖，是所在截面圓圓心,是球心，平面，平面，為垂足，連接，則，，則，，，則，，，，由得，由球體積得，，即，，在直角梯形中，，即在以為圓心，3為半徑的圓上，，所以．故選：B．【變式10-1】（2024·遼寧撫順·一模）已知三棱柱的頂點(diǎn)都在球O的表面上，且，若三棱柱的側(cè)面積為，則球O的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意可知三棱柱是直三棱柱，設(shè)其高為，設(shè)，則，，，由余弦定理得，即，設(shè)三角形的外接圓半徑為，則，所以球的半徑，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.所以球的表面積的最小值為.故選：C題型十一：二面角模型【典例11-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，為等腰直角三角形，，為正三角形，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，為直角三角形，又，所以，因?yàn)闉檎切?，所以，連接，為的中點(diǎn)，E為中點(diǎn)，則，所以為二面角的平面角所以．因?yàn)闉橹苯侨切?，E為中點(diǎn)，所以點(diǎn)為的外接圓的圓心，設(shè)G為的中心，則G為的外接圓圓心．過E作面的垂線，過G作面的垂線，設(shè)兩垂線交于O．則O即為三棱錐的外接球球心．設(shè)與交于點(diǎn)H，，所以,，∴．所以，故選：C.【典例11-2】（2024·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）在三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為________．【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以，取中點(diǎn)為E，中點(diǎn)，則，，，是正三角形，，是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，，是的外心，設(shè)是的外心，設(shè)過與平面垂直的直線與過垂直于平面的直線交于點(diǎn)，則是三棱錐外接球球心，，，又，由于平面MNO與MEO同時(shí)垂直于BD，所以共面，在四邊形中，由，，，，可得：，外接球半徑為，體積為．故答案為：【變式11-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四邊形ABDC是菱形，，，沿對(duì)角線BC翻折后，二面角A-BD-C的余弦值為，則三棱錐D-ABC的外接球的體積為_____.【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)為，連接AM,DM,則,則二面角的平面角為，，由四邊形ABDC是菱形，可知為正三角形，設(shè)球心在平面內(nèi)的射影為，在平面內(nèi)的射影為，則為的中心，所以，，，由于二面角A-BD-C的余弦值為，故設(shè)，則，，故，則，，球的半徑，所求外接球的體積為，故答案為：．題型十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型【典例12-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，半徑為4的球中有一內(nèi)接圓柱，當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與圓柱的表面積之差為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖.設(shè)圓柱底面半徑為，球的半徑與圓柱底面夾角為，則，，圓柱的高，圓柱的側(cè)面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，圓柱的側(cè)面積最大，為，球的表面積與圓柱的表面積之差為.故選：D．【典例12-2】（2024·云南昆明·高三開學(xué)考試）“云南十八怪”描述的是由云南獨(dú)特的地理位置、民風(fēng)民俗所產(chǎn)生的一些特有的現(xiàn)象或生活方式，是云南多元民族文化的寫照.“云南十八怪”中有一怪“摘下草帽當(dāng)鍋蓋”所指的鍋蓋是用秸稈或山茅草編織成的，因其形狀酷似草帽而傳為佳話.一種草帽鍋蓋呈圓錐形，其母線長(zhǎng)為6dm，側(cè)面積為，若此圓錐的頂點(diǎn)和底面圓都在同一個(gè)球面上，則該球體的表面積等于______.【答案】【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，由，解得，如圖，設(shè)外接球的球心為半徑為，由圓得，即，解得，由得，所以該球體的表面積等于.故答案為：.【變式12-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓臺(tái)上底半徑為1，下底半徑為3，高為2，則此圓臺(tái)的外接球的表面積為______．【答案】【解析】如圖所示，設(shè)外接球半徑為r，球心到上底的距離為h，則球心到下底的距離為則有，，解得，．所以外接球的表面積為．故答案為：題型十三：錐體內(nèi)切球【典例13-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知三棱錐中，，，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為____________．【答案】【解析】如圖，在長(zhǎng)方體中，設(shè)，則，所以，故四面體的體積，四面體的表面積，設(shè)三棱錐內(nèi)切球的半徑為，由等體積可得，解得，所以三棱錐內(nèi)切球的表面積為.故答案為：.【典例13-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知中，，，，以為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，則該旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】旋轉(zhuǎn)體的軸截面如圖所示，其中為內(nèi)切球的球心，過作的垂線，垂足分別為，則（為內(nèi)切球的半徑），故，，故，故，故，故旋轉(zhuǎn)體的內(nèi)切球的表面積為，故選：B【變式13-1】（2024·甘肅酒泉·模擬預(yù)測(cè)）三棱錐中，平面，，且，，則該三棱錐內(nèi)切球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由平面，平面，得．又，且平面，，所以平面，又平面，所以．由，，得，所以三棱錐的表面積，三棱錐的體積．設(shè)三棱錐內(nèi)切球球心為，半徑為，由，得，所以該三棱錐內(nèi)切球的表面積.故選：B．題型十四：棱切球【典例14-1】（2024·江西·進(jìn)賢縣第一中學(xué)高二期中）球與棱長(zhǎng)為的正四面體各條棱都相切，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將正四面體補(bǔ)形為一個(gè)正方體如圖所示（紅色線條表示正四面體），則正四面體的棱為正方體的面對(duì)角線，因?yàn)榍蚺c正四面體的各條棱都相切，所以球與正方體的各個(gè)面都相切，所以所求的球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，又因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為，所以球的半徑，所以球的表面積為：，故選：C.【典例14-2】（2024·山東·德州市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）邊長(zhǎng)為2的正四面體內(nèi)有一個(gè)球，當(dāng)球與正四面體的棱均相切時(shí)，球的體積為_____．【答案】【解析】結(jié)合正四面體的性質(zhì)：球心在正四面體的體高上，且為外接球的球心，如下圖：取球心，若，則即為球的半徑，而為底面中心，∴面，若為中點(diǎn)，則，∴，，，由，則，故，∴球的體積為.故答案為：【變式14-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，則與正方體的各棱都相切的球的表面積是_______．【答案】【解析】過正方體的對(duì)角面作截面如圖，故球的半徑，其表面積．故答案為：.【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·高一·廣東·期末）把一個(gè)球放在一個(gè)圓柱形的容器中，如果蓋上容器的上蓋后，球恰好與圓柱的上?下底面和側(cè)面相切，則該球稱為圓柱的內(nèi)切球；如果一個(gè)圓柱的上?下底面圓上的點(diǎn)均在同一個(gè)球上，則該球稱為圓柱的外接球.若一個(gè)圓柱的表面積為，內(nèi)切球的表面積為，外接球的表面積為，則為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓柱的母線長(zhǎng)為，內(nèi)切球的半徑為，外接球的半徑為，則其軸截面如圖所示，則，，則，所以.故選：C.2．（2024·高二·陜西榆林·期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，四邊形是邊長(zhǎng)為1的正方形，，則該長(zhǎng)方體的外接球表面積是（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為,故該長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，該長(zhǎng)方體的外接球表面積為，故選：D3．（2024·高一·陜西西安·期末）底面半徑為的圓錐側(cè)面展開圖的圓心角大小為，則此圓錐外接球表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可作圖如下：設(shè)圓錐