微專題11 立體幾何中的截面問題（六大題型）（解析版）

微專題11立體幾何中的截面問題【題型歸納目錄】題型一：判斷截面形狀題型二：截面周長題型三：截面面積題型四：截面作圖題型五：截面切割幾何體的體積問題題型六：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題【方法技巧與總結(jié)】1、突破思維定式，靈活分析問題解答高中數(shù)學(xué)立體幾何截面問題要突破思維定式，多視角地進(jìn)行觀察、分析、對比，深人地理解截面對原立體幾何圖形體積造成的影響，避免掉進(jìn)出題人設(shè)計(jì)的陷阱之中．2、注重應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)，快速破解問題解答高中數(shù)學(xué)立體幾何截面問題時(shí)應(yīng)注重具體問題具體分析，尤其遇到似曾相識的問題時(shí)應(yīng)注重聯(lián)系已有的解題經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)用所學(xué)的幾何知識找到參數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)系，構(gòu)建正確的數(shù)學(xué)方程，快速破解問題．3、借助幾何模型，化陌生為熟悉在解答一些高中數(shù)學(xué)立體幾何截面問題時(shí)，應(yīng)用幾何模型化陌生為熟悉，可大大降低解題難度，提高解題效率．解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真審題，充分挖掘隱含條件，將陌生圖形融人熟悉的情境中，以更好地找到解題思路，達(dá)到事半功倍的解題效果．【典型例題】題型一：判斷截面形狀【典例1-1】（2024·高一·重慶渝中·期末）過正三棱柱底面一邊和兩底中心連線的中點(diǎn)作截面，則這個(gè)截面的形狀是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四邊形【答案】C【解析】如圖，過和中點(diǎn)作截面，分別是中點(diǎn)，，直線是截面與平面的交線，在平面中延長與相交于點(diǎn)，由于，∴，而，因此在的延長線上，連接交于，連接交于，連接，四邊形為截面．由正三棱柱的性質(zhì)可得，，四邊形是等腰梯形．故選：C．【典例1-2】（2024·高一·福建·階段練習(xí)）用一個(gè)平面去截一個(gè)四棱錐，截面形狀不可能的是(

)A．四邊形 B．三角形 C．五邊形 D．六邊形【答案】D【解析】根據(jù)一般的截面與幾何體的幾個(gè)面相交就得到幾條交線，截面就是幾邊形，而四棱錐最多只有5個(gè)面，則截面形狀不可能的是六邊形，故選D.【變式1-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則平面AEF截正方體形成的截面圖形為（

）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】C【解析】如圖，設(shè)，分別延長交于點(diǎn)，此時(shí)，連接交于，連接，設(shè)平面與平面的交線為，則，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，設(shè)，則，此時(shí)，故，連接，所以五邊形為所求截面圖形，故選：C．題型二：截面周長【典例2-1】（2024·高二·上海普陀·期中）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)分別是棱的中點(diǎn)，則由點(diǎn)確定的平面截正方體所得的截面多邊形的周長等于.【答案】6【解析】作（實(shí)際上）交于，延長交延長線于．連接交于點(diǎn)，可證分別是的中點(diǎn)，同理取中點(diǎn)，連接，六邊形即為截面，該六邊形為正六邊形，由正方體棱長為易得正六邊形邊長為1，周長為6.故答案為：6.【典例2-2】（2024·高三·遼寧葫蘆島·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，為棱的中點(diǎn)，為棱的四等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），過點(diǎn)作該正方體的截面，則該截面的周長是.【答案】【解析】如圖，取的中點(diǎn)，取上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，連接，易證，則五邊形為所求截面.因?yàn)?，所以，則，故該截面的周長是.故答案為：.【變式2-1】（2024·高三·四川成都·開學(xué)考試）如圖，正方體的棱長為4，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面圖形的周長是．

【答案】【解析】取中點(diǎn)，連接，,∵中點(diǎn)為，E是側(cè)棱的中點(diǎn)，∴,,又在直角三角形中,∴,∵正方體中，∴四邊形為平行四邊形,∴∴,四點(diǎn)共面，即為正方體的截面.在直角三角形中,同理,則截面周長為.故答案為:.【變式2-2】（2024·高一·遼寧大連·階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為6，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面周長為．

【答案】/【解析】如圖所示，延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，連接交與點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，分別連接，則過點(diǎn)的平面截正方體所得的截面為五邊形，因?yàn)檎襟w的棱長，且為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，可得，所以,在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，在直角中，可得，所以截面的周長為.故答案為：.題型三：截面面積【典例3-1】（2024·高一·廣東清遠(yuǎn)·期末）在數(shù)學(xué)探究活動(dòng)課中，小華進(jìn)行了如下探究:如圖，這是注入了一定量水的正方體密閉容器，現(xiàn)將該正方體容器的一個(gè)頂點(diǎn)A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三條棱與水平面所成角均相等，此時(shí)水平面恰好經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，若AB=1，則該水平面截正方體ABCD-A1B1C1D1所得截面的面積為.

【答案】/【解析】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1與平面A1BD所成的角是相等的，所以水平面平行于平面A1BD，又水平面恰好經(jīng)過BB1的中點(diǎn)，則水平面截正方體所得的截面是過棱的中點(diǎn)的正六邊形，且邊長為，所以其面積.故答案為：【典例3-2】（2024·高一·江蘇南京·期末）已知正方體棱長為2，為棱中點(diǎn)，過，，三點(diǎn)的平面截正方體，所得截面面積為．【答案】【解析】取的中點(diǎn)為,連接,則,又,故,則梯形梯形即為截面四邊形，由于,,所以梯形為等腰梯形，則高為,所以面積為，故答案為：【變式3-1】（2024·山東濰坊·二模）如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)、、分別是棱、、的中點(diǎn)，則由點(diǎn)、、確定的平面截正方體所得的截面多邊形的面積等于．

【答案】【解析】因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則且，因?yàn)榍?，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，所以，，設(shè)平面交棱于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，，則，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，為的中點(diǎn)，設(shè)直線分別交、的延長線于點(diǎn)、，連接交棱于點(diǎn)，連接交棱于點(diǎn)，連接、，則截面為六邊形，因?yàn)?，則，所以，，因?yàn)?，則，所以，，則為的中點(diǎn)，同理可知，為的中點(diǎn)，易知六邊形是邊長為的正六邊形，所以，截面面積為.故答案為：.【變式3-2】（2024·高二·江西九江·階段練習(xí)）如圖所示，在正方體中，點(diǎn)G在棱上，，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn)，過E，F(xiàn)，G三點(diǎn)的截面將正方體分成兩部分，則正方體的四個(gè)側(cè)面被截面截得的上、下兩部分面積比值為．【答案】【解析】延長分別交，于P，Q兩點(diǎn)，易知上半部分面積即為面積的兩倍，設(shè)正方體棱長為1，即，又∵正方體的側(cè)面積和為4，∴．故答案為：.【變式3-3】（2024·高一·山西晉城·期中）在棱長為6的正方體中，E是棱AB的中點(diǎn)，過作正方體的截面，則該截面的面積是．【答案】【解析】如圖，在正方體中，E是棱AB的中點(diǎn)，過作正方體的截面為等腰梯形．畫出平面圖形，過點(diǎn)作,垂足為.因?yàn)?，，，所以，所以截面的面積為.故答案為：題型四：截面作圖【典例4-1】（2024·高一·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖①，在棱長為2的正方體木塊中，是的中點(diǎn).

(1)要經(jīng)過點(diǎn)將該木塊鋸開，使截面平行于平面，在該木塊的表面應(yīng)該怎樣畫線？請?jiān)趫D①中作圖，寫出畫法，并證明.(2)求四棱錐的體積；【解析】（1）取棱的中點(diǎn)，連接、、，則就是所求作的線，如圖：在正方體中，連，是的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則，且，于是得四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，因此平面，又，，即四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，于是有平面，而，平面，從而得平面平面，所以就是所求作的線.（2）在正方體中，連接，如圖，且，則四邊形為平行四邊形，有，三棱錐的體積，所以四棱錐的體積.【典例4-2】（2024·高一·全國·專題練習(xí)）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，M為中點(diǎn)，過C，D，M的平面截四棱錐所得的截面為．若與棱交于點(diǎn)F，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），求點(diǎn)F的位置；【解析】延長，連接交于F，連接，如圖，四邊形為截面.中，，由，則C為中點(diǎn)，B為中點(diǎn)，過M作交于N，則，，，，即，F(xiàn)為棱上靠近點(diǎn)B位置的三等分點(diǎn).【變式4-1】（2024·廣西河池·模擬預(yù)測）已知四棱錐中，底面為直角梯形，平面，，，，，為中點(diǎn)，過，，的平面截四棱錐所得的截面為．(1)若與棱交于點(diǎn)，畫出截面，保留作圖痕跡（不用說明理由），并證明．(2)求多面體的體積．【解析】（1）延長，連接交于，連接，如圖，四邊形為截面.中，，由，則為中點(diǎn)，為中點(diǎn)．過作交于，則.,.，即．（2）.由題意及（1）可得，.則；又可得，點(diǎn)F到平面BEC距離為，則.則．題型五：截面切割幾何體的體積問題【典例5-1】（2024·全國·高一專題練習(xí)）如圖所示，在長方體中，用截面截下一個(gè)三棱錐，則三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.【答案】【解析】設(shè)，，，所以長方體體積三棱錐的體積，∴剩余部分的體積∴三棱錐的體積與剩余部分的體積之比為.故答案為：.【典例5-2】（2024·貴州貴陽·貴陽六中校考一模）在三棱柱中，底面，，點(diǎn)P是棱上的點(diǎn)，，若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分的體積比為.【答案】或【解析】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，因?yàn)榈酌?，底面，所以，又，所以平面，不妨設(shè)，則，，，，故上面一部分的體積為，則，所以兩部分的體積比為或.故答案為：或.【變式5-1】（2024·廣東揭陽·高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體中，E?F分別是棱?的中點(diǎn)，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比.【答案】【解析】設(shè)正方體的棱長為，體積為，則，因?yàn)镋是棱的中點(diǎn)，所以，，..故答案為：題型六：截面圖形有關(guān)面積、長度及周長范圍與最值問題【典例6-1】（2024·高三·湖南長沙·階段練習(xí)）如圖，在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點(diǎn)，過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)處，球的半徑，要使過的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段的中點(diǎn)，連接，則，所以，此時(shí)截面圓的半徑，此時(shí)，截面面積的最小值.故選：C.【典例6-2】（2024·高一·遼寧大連·期末）已知一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4，圓心角為的扇形，過該圓錐頂點(diǎn)作截面，則截面面積的最大值為（

）A． B．8 C． D．6【答案】B【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為，則，解得，設(shè)圓錐的軸截面三角形頂角為，則，又因?yàn)?，所以，，所以過圓錐頂點(diǎn)作軸截面，軸截面面積最大時(shí)即頂角為，所以最大值為.故選：B.【變式6-1】（2024·高一·河北唐山·期末）若圓錐的底面半徑為，高為1，過圓錐頂點(diǎn)作一截面，則截面面積的最大值為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【解析】依題意，設(shè)圓錐的母線長為l，則，設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為，則，因?yàn)?，所以，則過該圓錐的頂點(diǎn)作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為，故截面的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故截面的面積的最大值為2.故選：A.【變式6-2】（多選題）（2024·高三·重慶·階段練習(xí)）已知一圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，為底面圓的一條直徑上的兩個(gè)端點(diǎn)，則（

）A．該圓錐的母線長為2B．該圓錐的體積為C．從點(diǎn)經(jīng)過圓錐的側(cè)面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為D．過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面面積的最大值為【答案】AB【解析】對于A中，由圓錐的底面半徑，可得底面圓周長為，又由其側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，所以A正確；對于B中，因?yàn)?，且母線長為，所以該圓錐的高為，所以其體積為，所以B正確；對于C中，假設(shè)該圓錐的軸截面將該圓錐分成兩部分，將其中的一部分展開，則其側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為的扇形，所以從點(diǎn)經(jīng)過圓錐的表面到達(dá)點(diǎn)的最短距離為，所以C不正確；對于D中，過該圓錐的頂點(diǎn)作圓錐的截面，則截面為腰長為2的等腰三角形，設(shè)其頂角為，則該三角形的面積為，當(dāng)截面為軸截面時(shí)，，則，所以，當(dāng)時(shí)，，所以D不正確.故選：AB.【過關(guān)測試】1．（2024·高一·全國·專題練習(xí)）如圖，棱錐的高，截面平行于底面與截面交于點(diǎn)，且．若四邊形的面積為36，則四邊形的面積為（

）A．12 B．16C．4 D．8【答案】C【解析】由題意可知，四邊形與四邊形相似，且，所以四邊形的面積為．故選：C.2．（2024·高二·湖南長沙·階段練習(xí)）截角四面體可由四面體經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕亟嵌玫剑鐖D所示為一個(gè)正四面體，作平行于各個(gè)面的截面截角得到一個(gè)所有棱長均為2的截角四面體，則該截角四面體的體積為（

）

A． B． C． D．【答案】D【解析】棱長為的正四面體的底面正三角形外接圓半徑，則該正四面體的高，棱長為的正四面體的體積為，由題意，大正四面體的體積為，小正四面體的體積為，則截角四面體的體積為.故選：D.3．（2024·海南·模擬預(yù)測）當(dāng)飛機(jī)超音速飛行時(shí)，聲波會(huì)形成一個(gè)以飛機(jī)前端為頂點(diǎn)，飛機(jī)的飛行方向?yàn)檩S的圓錐（如圖），稱為“馬赫錐”.馬赫錐的軸截面頂角與飛機(jī)的速度、音速滿足關(guān)系式.若一架飛機(jī)以2倍音速沿直線飛行，則該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為（

）

A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示：該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓圓心為，為馬赫錐的母線，由題意，而是銳角，所以，又，所以，該飛機(jī)形成的馬赫錐在距離頂點(diǎn)處的截面圓面積為.故選：B.4．（2024·高三·江西·開學(xué)考試）已知一正方體木塊的棱長為4，點(diǎn)在校上，且.現(xiàn)過三點(diǎn)作一截面將該木塊分開，則該截面的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，在上取一點(diǎn)，使得，連接，因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以與相交于且為的中點(diǎn)，又在上，所以與相交于，且O平分，，所以四點(diǎn)四點(diǎn)共面且四邊形為平行四邊形，所以過三點(diǎn)的截面是平行四邊形，，，，故截面面積為.故選：A.5．（2024·高三·福建泉州·期末）已知圓柱母線長等于2，過母線作截面，截面的最大周長等于8，則該圓柱的體積等于（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)過母線作截面，截面的周長最大時(shí)，此時(shí)截面為軸截面.設(shè)圓柱的底面半徑為，則因?yàn)檫^母線作截面，截面的最大周長等于8，所以，解得.所以該圓柱的體積為.故選：B.6．（2024·高三·河北滄州·階段練習(xí)）已知正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，若平面截該正方體所得的截面為五邊形，則線段的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】在正方體中，平面平面，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，則平面與平面的交線過點(diǎn)，且與直線平行，與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為，如圖所示，又因?yàn)槠矫妫矫?，即分別為，與平面所成的角，因?yàn)椋瑒t，且有，當(dāng)與重合時(shí)，平面截該正方體所得的截面為四邊形，此時(shí)，即為棱中點(diǎn)；當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)移動(dòng)過程中，逐漸減小，點(diǎn)由點(diǎn)向點(diǎn)方向移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)時(shí)，平面只與該正方體的4個(gè)表而有交線，即可用成四邊形；當(dāng)點(diǎn)在線段延長線上時(shí)，直線必與棱交于除點(diǎn)外的點(diǎn)，又點(diǎn)與不重合，此時(shí)，平面與該正方體的5個(gè)表面有交線，截面為五邊形，如圖所示．因此．當(dāng)為棱上異于端點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，截面為四邊形，點(diǎn)只能在線段（除點(diǎn)外）上，即，可得，則，所以線段的取值范圍是，所以若平面截該正方體的截面為五邊形，線段的取值范圍是.故選：B．7．（2024·高二·上海長寧·期末）已知圓錐的底面直徑為8，母線長為5，過圓錐的任意兩條母線