微專題12 輕松解決空間幾何體的體積問題（四大題型）（解析版）

微專題12輕松解決空間幾何體的體積問題【題型歸納目錄】題型一：直接法題型二：割補(bǔ)法題型三：換底法題型四：祖暅原理【典型例題】題型一：直接法【典例1-1】（2024·高一·重慶·階段練習(xí)）已知如圖所示，是正方形外一點(diǎn)，平面為中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)三棱錐的體積.【解析】（1）連接，交于點(diǎn)，連接，如圖，正方形中，是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，，平面平面，平面；（2）平面為中點(diǎn)，，到平面的距離，三棱錐的體積.【典例1-2】（2024·高二·山東·學(xué)業(yè)考試）如圖，在四棱柱中，底面為矩形，側(cè)面為菱形，平面平面，．(1)求證：平面；(2)求四棱柱的體積．【解析】（1）在四棱柱中，，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，又平面平面，所以平面．（2）取中點(diǎn)為，連結(jié)．在四棱柱中，，因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?，又因?yàn)椋詾榈冗吶切?，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，所以平面，所以四棱柱的高．因?yàn)榈酌鏋榫匦危?，所以四棱柱的底面積為，故四棱柱的體積為．【變式1-1】（2024·高一·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)均為6的三棱柱中，D、分別是BC和的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若平面平面，，求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：連接，在三棱柱中，D、分別是BC和的中點(diǎn)，，且，又，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面ABD，平面，故平面．（2）在三棱柱中，棱長(zhǎng)均為6，則，D為BC的中點(diǎn)，，平面平面，交線為BC，平面ABC，平面，即AD是三棱錐的高，在中，，得，在中，，，為等邊三角形．的面積為，．題型二：割補(bǔ)法【典例2-1】（2024·四川南充·二模）已知多面體中，，且，，.

(1)證明：；(2)若，求多面體的體積.【解析】（1）連接BD，DF，如圖所示在中，，，，則，所以，即，同時(shí)，可得，同理可得，又平面BDF，平面BDF，，所以平面BDF；又因?yàn)槠矫鍮DF，所以．（2）由（1）知，又，則，作于點(diǎn)，則,解得.又平面BDF，，所以平面BDF，又平面BDF，所以，又，平面，所以平面，多面體三棱錐四棱錐矩形.【典例2-2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在多面體中，四邊形為矩形，O，M分別為，BC的中點(diǎn)，，，，，．(1)求多面體的體積；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）將多面體補(bǔ)形得到直三棱柱，如圖①，因?yàn)?，即S為的中點(diǎn)，所以，又，故多面體的體積為．（2）如圖②，將多面體補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，連接，則，易知，又點(diǎn)O到平面MDC的距離為，所以．【變式2-1】（2024·廣東東莞·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，截去三棱錐，求（1）截去的三棱錐的表面積；（2）剩余的幾何體的體積.【解析】（1）由正方體的特點(diǎn)可知三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，、、都是直角邊為的等腰直角三角形，所以截去的三棱錐的表面積（2）正方體的體積為，三棱錐的體積為，所以剩余的幾何體的體積為.【變式2-2】（2024·遼寧沈陽(yáng)·高二學(xué)業(yè)考試）過棱長(zhǎng)為2的正方體的三個(gè)頂點(diǎn)作一截面，此截面恰好切去一個(gè)三棱錐，則該正方體剩余幾何體的體積為（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【解析】截去的三棱錐的底面是直角邊為2的等腰直角三角形，高為2，三棱錐的體積為正方體的體積為，則該正方體剩余幾何體的體積為故選：C題型三：換底法【典例3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為的正三角形，，．(1)求證：平面平面BCD；(2)若點(diǎn)E在棱BC上，且，求三棱錐的體積．【解析】（1）如圖，過點(diǎn)A作BD的垂線，垂足為O，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，解得，則，，，因?yàn)?，，，所以，連接OC，則，，所以，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?）設(shè)，則，因?yàn)?，，，所以，即，解得，所以，由?）知，平面ABD，所以．【典例3-2】（2024·高二·黑龍江大慶·開學(xué)考試）在邊長(zhǎng)為a的正方形中，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，M、N分別為、的中點(diǎn)，現(xiàn)沿、、折疊，使B、C、D三點(diǎn)重合，構(gòu)成一個(gè)三棱錐，如圖所示．

(1)在三棱錐中，求證：；(2)求四棱錐的體積．【解析】（1）在三棱錐中，因?yàn)椋?，，?所以面．又平面，所以；（2）因?yàn)樵谥?，M、N分別為、的中點(diǎn)，所以四邊形的面積是面積的．又三棱錐與四棱錐的高相等，所以，四棱錐的體積是三棱錐的體積的，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?，故四棱錐的體積為．【變式3-1】（2024·高二·上海閔行·階段練習(xí)）已知四邊形為直角梯形，，，為等腰直角三角形，平面⊥平面，E為的中點(diǎn)，，．

(1)求證：平面；(2)求證：⊥平面；(3)求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：取中點(diǎn)F，連，因?yàn)镋為的中點(diǎn)，所以且，又，，所以且，故四邊形為平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）證明：由題意：，．∵，∴⊥，又平面⊥平面，平面平面，平面，∴⊥平面，∵平面，∴PD⊥AB，∵為等腰直角三角形，∴⊥，∵，平面，∴⊥平面；

（3）∵為等腰直角三角形，，∴，∵⊥平面，平面，∴⊥，又，故，由（2）得，⊥平面，又為的中點(diǎn)，所以.【變式3-2】（2024·陜西寶雞·一模）已知四棱錐中，，，，，為的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，，求四面體的體積.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，，取的中點(diǎn)，連接，，，，又，，，又，平面，平面，又平面，，又，，四邊形為矩形，且，分別為中點(diǎn)，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面；（2）延長(zhǎng)，過過交于，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，且，，平面，所以平面，所以到平面的距離為，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.題型四：祖暅原理【典例4-1】（2024·高一·湖北·期末）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等．根據(jù)祖暅原理，現(xiàn)在要用打印技術(shù)制造一個(gè)零件，其在高為的水平截面的面積為，則該零件的體積為．【答案】【解析】該零件在高為的水平截面的面積為，總與一個(gè)半徑為3的半球在高為處的水平截面面積相等，由祖暅原理，該零件的體積即為半球的體積．故答案為：．【典例4-2】（2024·高一·湖南岳陽(yáng)·期末）中國(guó)南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家祖沖之、祖暅父子總結(jié)了魏晉時(shí)期著名數(shù)學(xué)家劉徽的有關(guān)工作經(jīng)驗(yàn)，提出“冪勢(shì)既同，則積不容異”．“冪”是截面積，“勢(shì)”是幾何體的高．詳細(xì)點(diǎn)說就是，界于兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被任一平行于這兩個(gè)平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．上述原理在中國(guó)被稱為祖暅原理．一個(gè)上底面邊長(zhǎng)為2，下底面邊長(zhǎng)為4，高為6的正四棱臺(tái)與一個(gè)不規(guī)則幾何體滿足“冪勢(shì)既同”，則該不規(guī)則幾何體的體積為．

【答案】56【解析】由題可得即求相應(yīng)臺(tái)體體積，設(shè)臺(tái)體上底面面積為，下底面面積為，臺(tái)體高為，則臺(tái)體體積為.故答案為：56【變式4-1】（2024·山東日照·三模）祖暅，南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他在實(shí)踐的基礎(chǔ)上提出了祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”，即夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等.請(qǐng)同學(xué)們借助圖1運(yùn)用祖暅原理解決如下問題：如圖2，有一個(gè)倒圓錐形容器，它的軸截面是一個(gè)正三角形，在容器內(nèi)放一個(gè)半徑為2的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），則容器中水的體積為.

【答案】【解析】如圖1，已知圓柱、圓錐底面圓半徑、高和球體半徑相等，設(shè)半球中陰影截面圓的半徑，球體半徑為，則，截面圓面；圓柱中截面小圓半徑，大圓半徑為，則截面圓環(huán)面積，所以，又高度相等，所以半球的體積等于等高圓柱的體積減去等高圓錐的體積.同理，半球陰影截面上半部分體積等于圓柱陰影截面上半部分體積減去圓臺(tái)體積.如圖2，設(shè)球體和水接觸的上部分為，沒和水接觸的下部分為，小半球相當(dāng)于圖1半球的截面上半部分，其體積等于圖1中截面之上的圓柱體積減去相應(yīng)圓臺(tái)體積.已知球體半徑為，為等邊三角形，，根據(jù)祖暅原理，，設(shè)圖2中軸截面為梯形的圓臺(tái)體積為，，故答案為：.【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·高二·貴州六盤水·期末）我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一個(gè)原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”.也就是說“夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任意平面所截，如果截得的兩個(gè)截面的面積總相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積相等”.現(xiàn)有某幾何體和一個(gè)圓錐滿足祖暅原理的條件，若該圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為4的半圓，則該幾何體的體積為.【答案】【解析】圓錐的底面周長(zhǎng)為，所以圓錐的地面半徑為，高為，所以圓錐的體積為，故答案為：2．（2024·高二·四川巴中·期中）如圖，直角梯形中，，，為上的點(diǎn)，且，，將沿折疊到點(diǎn)，使.

(1)求證：平面平面；(2)求四棱錐的體積.【解析】（1）證明：取的中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，又，∴，∵，∴，又∵，∴，又，平面，∴平面，平面，則，∵，為中點(diǎn)，，而與不平行，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面；（2）由（1）知，平面，在直角梯形中，過作，垂足為，則為矩形，∵，，，，在中，，得到的距離，則四邊形的面積，在中，，求得，則為等邊三角形，可得，即.∴.3．（2024·高三·青海西寧·開學(xué)考試）如圖所示，在直三棱柱中，分別為棱的中點(diǎn)，．

(1)求證：平面；(2)求多面體的體積．【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，是的中點(diǎn)，．又，，四邊形是平行四邊形，．又平面平面．平面．（2）連接．平面平面．，且平面，平面．同理可得平面．．4．（2024·高一·浙江嘉興·期中）如圖，在正三棱柱中，分別是，，的中點(diǎn).(1)求證：B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)求證：平面；(3)若底面邊長(zhǎng)為2，，求三棱錐的體積.【解析】（1）∵G，H分別是，的中點(diǎn)，∴GH是的中位線，∴，又在三棱柱中，，∴，∴B，C，H，G四點(diǎn)共面．（2）∵在三棱柱中，，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（3）由題意，知．5．（2024·高一·全國(guó)·期末）如圖，已知矩形ABCD中，，將矩形沿對(duì)角線BD把折起，使A移到點(diǎn)，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上.

(1)求證：；(2)求證：平面平面；(3)求三棱錐的體積.【解析】（1）連接，由在平面BCD上的射影O在CD上,得平面，平面，；又ABCD為矩形，，平面，，則平面，由平面，得；（2）∵為矩形，∴，由（1）知，，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（3）∵平面，平面，∴.∵，，∴，∴，故所求三棱錐的體積為48.6．（2024·高三·遼寧鞍山·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD的平行四邊形，∠ADC=60°，，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn).

(1)求證：AB⊥PC；(2)若，求三棱錐P﹣AEC的體積.【解析】（1）由題意，∵PA⊥面ABCD，AB?平面ABCD，∴AB⊥PA，∵∠ABC=∠ADC=60°，，在△ABC中，由余弦定理有：∴AB2+AC2=BC2，即：AB⊥AC，∵PA∩AC=A，又PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴AB⊥平面PAC，∵PC?平面PAC，∴AB⊥PC.（2）由題意及（1）得，，所以PA=AB=2，AD=4，因?yàn)镻A⊥面ABCD且E為PD的中點(diǎn)，所以E點(diǎn)到平面ADC的距離為，所以三棱錐P﹣AEC的體積：7．（2024·高一·全國(guó)·期末）如圖所示，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2，E?F?G分別為PC?PD?BC的中點(diǎn).

(1)求證：PA平面EFG；(2)求三棱錐P﹣EFG的體積.【解析】（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，，分別為，的中點(diǎn)，．，分別為，的中點(diǎn)，．．，，，四點(diǎn)共面，分別為，的中點(diǎn)，．平面，平面，平面．（2）平面，平面，．為正方形，．，平面,平面．，，．，8．（2024·高一·湖南株洲·期中）如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為的兩個(gè)三等分點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：連接與交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉檎叫?，所以為的中點(diǎn)，又、為的兩個(gè)三等分點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，?）∵，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，因?yàn)闉榈娜确贮c(diǎn)，平面，所以平面，且，由，即，9．（2024·高二·江西新余·開學(xué)考試）如圖，正方形和菱形所在平面互相垂直，.四棱錐的體積是.

(1)求證：平面；(2)求四面體的體積.【解析】（1）證明：因?yàn)樗倪呅问钦叫?，四邊形是菱形，所以，，所以平面，平面，又是平面?nèi)的兩條相交直線，平面平面，又平面，平面.（2）連接，與交于點(diǎn)，連接，則為，的中點(diǎn)，四邊形是菱形，，是正三角形，，平面平面，且交線為,平面，同理，得平面，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，，，解得，，四面體在面上的高為，四面體的體積為：.10．（2024·高一·貴州黔西·階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，，分別是棱，的中點(diǎn)，設(shè)是線段上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)證明：平面；(2)求三棱錐的體積．【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，四邊形是平行四邊形，可得∥，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，則∥，且，且∥，且，所以∥，且，四邊形是平行四邊形，可得∥，則∥，由于平面，平面，所以∥平面，且平面，所以平面平面，由于平面，所以平面.（2）由于，平面，平面，所以平面，因?yàn)闉檎叫?，則，又因?yàn)槠矫妫矫?，則，且平面，所以平面，可知三棱錐的高為，所以.11．（2024·高一·山東棗莊·階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，將分別沿折起，使A，B，C三點(diǎn)重合于點(diǎn)

(1)求證(2)求三棱錐的體積【解析】（1）正方形中，，，折起后，有，，平面，，∴平面，∵平面PEF，∴.（2）正方形中，，折疊后可知三條直線兩兩垂直，，，.12．（2024·高一·四川遂寧·階段練習(xí)）如圖，四棱錐中，是四棱錐的高，底面為邊長(zhǎng)為2的菱形且對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．

(1)求證：平面；(2)若，求三棱錐的體積．【解析】（1）證明：連接．∵點(diǎn)O，E分別為的中點(diǎn)，∴，∵平面，平面，∴平面；（2）點(diǎn)到平面的距離為，則.13．（2024·高一·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，為等邊三角形，平面平面，，，.

(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)求四棱錐的體積.【解析】（1）取的中點(diǎn)，連接，∵為等邊三角形，∴，又平面平面，平面平面，平面，∴平面，∵平面，∴，∵，，平面，∴平面.（2）