專(zhuān)題1-3 一網(wǎng)打盡13類(lèi)向量壓軸小題共108題（原卷版）

專(zhuān)題1-3一網(wǎng)打盡13類(lèi)向量壓軸小題共108題TOC\o"1-4"\n\h\z\u知識(shí)點(diǎn)梳理題型一基底的拆分與數(shù)量積題型二極化恒等式求向量的數(shù)量積及最值題型三投影法求向量的數(shù)量積及其最值題型四利用函數(shù)求向量中的最值題型五建系法求向量的數(shù)量積及其最值題型六向量共線定理：構(gòu)造方程組求系數(shù)題型七向量共線定理：結(jié)合不等式求最值題型八等和線問(wèn)題題型九三角形四心向量性質(zhì)的識(shí)別題型十三角形四心與數(shù)量積計(jì)算題型十一奔馳定理解面積比題型十二奔馳定理與四心的綜合題型十三向量中的隱圓問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)梳理ABCMABCM在三角形ABC中（M為BC的中點(diǎn)），證明：證明（基底法）：因?yàn)椋远?、投影法求?shù)量積如圖，對(duì)于，其中是在上的投影，在Rt△PBH中，故，考慮到可能為鈍角，故寫(xiě)成.三、常見(jiàn)建立坐標(biāo)系方法邊長(zhǎng)為的等邊三角形正方形已知夾角的任意三角形矩形直角梯形平行四邊形等腰梯形圓四、平面向量共線定理的推論已知，則是三點(diǎn)共線的充要條件證明①：若則.即，共線，故A，B，C三點(diǎn)共線，充分性滿(mǎn)足.證明②：若A，B，C三點(diǎn)共線.由A，B，C三點(diǎn)共線得，共線，即存在實(shí)數(shù)使得.故.令，則有，必要性成立.五、等和線相關(guān)性質(zhì)平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)p在直線AB上或在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱(chēng)為等和線。1．當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k等于1．2．定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．平面內(nèi)一組基底及任一向量，，若點(diǎn)p在直線AB上或在平行于AB的直線上，則（定值），反之也成立，我們把直線AB以及與直線AB平行的直線稱(chēng)為等和線。1．當(dāng)?shù)群途€恰為直線AB時(shí)，k等于1．2．定值k的變化與等和線到O點(diǎn)的距離成正比．四、四心的向量性質(zhì)【重心】：若O為△ABC重心（1）；（2）；（3）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則的軌跡一定通過(guò)的重心（4）動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的重心（5）重心坐標(biāo)為：.【垂心】：若O為△ABC垂心（1）（2）（3）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心（4）（5）.【內(nèi)心】：若O為△ABC內(nèi)心（1）（2）（3）動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的內(nèi)心（4）【外心】：若O為△ABC外心（1）；（2）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心；（3）若，則是的外心；（4）；（5）.五、奔馳定理奔馳定理：若為內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則、、的面積之比等于考點(diǎn)六：三角形四心與奔馳定理的關(guān)系及證明①是的重心：．證明：由重心分三角形面積相等及奔馳定理易得②是的內(nèi)心：證明：，，（為內(nèi)切圓的半徑），所以，再由奔馳定理可得③是的外心：．證明：，由同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半可得，所以（為外接圓的半徑），同理可得，，所以，再由奔馳定理可得④是的垂心：證明：如圖為的垂心，則有，，所以，所以，同理可得，所以，再由奔馳定理可得六、向量中的隱圓問(wèn)題角度一、定值圓（由模長(zhǎng)是構(gòu)造圓）記A,B,C為定點(diǎn)，若出現(xiàn)，，，都可以得出隱圓有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)這種形式，我們可以設(shè)，，，也能轉(zhuǎn)化成上面第三種形式角度二、直徑圓圓的直徑所對(duì)的圓周角為直角，因此當(dāng)兩個(gè)向量相互垂直時(shí)，可以選擇一個(gè)共同的起點(diǎn)，則該起點(diǎn)在以?xún)蓚€(gè)向量的終點(diǎn)構(gòu)成的線段為直徑的圓上．在向量問(wèn)題中，向量a，b的垂直條件體現(xiàn)為，，等．角度三、外接圓（定邊定角）均為定值時(shí)，可以構(gòu)造圓在三角形中，若遇到一邊一對(duì)角問(wèn)題，可以考慮構(gòu)造此三角形的外接圓，從幾何的角度進(jìn)行解題．同樣的道理，在向量問(wèn)題中，若兩個(gè)或三個(gè)向量可以構(gòu)造出一個(gè)三角形(如a，b，a-b)，且給出邊一對(duì)角的條件，可以考慮構(gòu)造外接圓模型進(jìn)行解題．角度四、四點(diǎn)共圓（對(duì)角互補(bǔ)）圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)；反之，若某四邊形的對(duì)角和為180°，則該四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓．在向量問(wèn)題中，只需有三個(gè)向量，選取1個(gè)共同起點(diǎn)，加上3個(gè)終點(diǎn)，便可構(gòu)成一個(gè)四邊形，若該四邊形滿(mǎn)足上述條件，可以構(gòu)造“隱圓”模型進(jìn)行解題，四點(diǎn)共圓模型可以認(rèn)為是外接圓模型的延伸．題型一基底的拆分與數(shù)量積【例題講解】已知邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC，，則（）A． B．3 C． D．6在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，AC與BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD，則＝_______．騎自行車(chē)是一種環(huán)保又健康的運(yùn)動(dòng)，如圖是某一自行車(chē)的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為的等邊三角形.設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎行該自行車(chē)的過(guò)程中，的最大值為.在平面四邊形中，，，，，.若，則（）A.2 B. C.4 D.6【鞏固訓(xùn)練】如圖，在邊長(zhǎng)為2的等邊中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)D），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則（）A．1B．2C．D．如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊中，點(diǎn)E為中線BD的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)B），點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，則=（）A．B．C．D．3邊長(zhǎng)為2的正方形，E為的中點(diǎn)，則的值為_(kāi)__________．在平行四邊形中，，，若，則______.在中，是邊上的中點(diǎn)，且，，，，則__________．在中，，，，則邊上中線的長(zhǎng)為_(kāi)____.在中，，，．若，，且，則的值為_(kāi)__________．已知在中，為的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．已知菱形的邊長(zhǎng)為，，點(diǎn)，分別在邊、上，，．若，則的值為_(kāi)_______．如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，，則的值為（

）.

A． B． C． D．如圖，在等腰梯形ABCD中，，，，E為BC邊上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，若，則（

）A． B． C．4 D．8八角星紋是大汶口文化中期彩陶紋樣中具有鮮明特色的花紋.八角星紋常繪于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈紅色底襯，然后在上面繪并列的八角星形的單獨(dú)紋樣.八角星紋以白彩的成，黑線勾邊，中為方形或圓形，且有向四面八方擴(kuò)張的感覺(jué).八角星紋延續(xù)的時(shí)間較長(zhǎng)，傳播范圍亦廣，在長(zhǎng)江以南的時(shí)間稍晚的崧澤文化的陶豆座上也屢見(jiàn)刻有八角大汶口文化八角星紋.圖2是圖1抽象出來(lái)的圖形，在圖2中，圓中各個(gè)三角形（如）為等腰直角三角形，點(diǎn)為四心，中間部分是正方形且邊長(zhǎng)為2，定點(diǎn)，所在位置如圖所示，則的值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16題型二極化恒等式求向量的數(shù)量積及最值【例題講解】如圖，是圓O的直徑，P是圓弧上的點(diǎn)，M、N是直徑上關(guān)于O對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，且，則（

）A．13 B．7 C．5 D．3如圖，已知等邊△ABC內(nèi)接于半徑為2的⊙O,點(diǎn)P是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則取值范圍______________.2017年全國(guó)2卷（理）T12已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小值是A． B． C． D．【鞏固練習(xí)】如圖，BC，DE是半徑為1的圓O的兩條直徑，F(xiàn)為直徑BC上一點(diǎn)，且＝2，則·＝________.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn),E,F是AD上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值是________．如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝，M點(diǎn)是線段AC一動(dòng)點(diǎn)，若以M為圓心半徑為1的圓與線段AC交于P，Q兩點(diǎn)，則的最小值為（）平行四邊形ABCD中，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則________．已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則_______.正邊長(zhǎng)等于，點(diǎn)在其外接圓上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．窗花是貼在窗紙或窗戶(hù)上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．已知正八邊形的邊長(zhǎng)為，是正八邊形邊上任意一點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．四邊形中，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，，，，點(diǎn)滿(mǎn)足，則的最大值為.萊洛三角形，也稱(chēng)圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖所示，分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點(diǎn)間的距離為2，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，則的最小值為．題型三投影法求向量的數(shù)量積及其最值【例題講解】已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合正六邊形的特征，得到在方向上的投影的取值范圍是，利用向量數(shù)量積的定義式，求得結(jié)果.【詳解】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是6【鞏固訓(xùn)練】平面四邊形是邊長(zhǎng)為4的菱形，且．點(diǎn)N是DC邊上的點(diǎn)，滿(mǎn)足．點(diǎn)M是四邊形內(nèi)或邊界上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A．13 B．7 C．14 D．在邊長(zhǎng)為1的正六邊形中，點(diǎn)P為其內(nèi)部或邊界上一點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．2023全國(guó)乙卷(理)T12——投影法求最值已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．C． D．題型四利用函數(shù)求向量中的最值【例題講解】四邊形ABCD中，，，，則的最小值為（）A．B．C．3D．－3已知是單位向量，且的夾角為，若，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【鞏固訓(xùn)練】如圖，AB為半圓的直徑，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AB上的一點(diǎn)（含端點(diǎn)A，B），若，則的取值范圍是（）A．B．C．D．如圖，在菱形ABCD中，，，若菱形的邊長(zhǎng)為6，則的取值范圍為_(kāi)_________．題型五建系法求向量的數(shù)量積及其最值【例題講解】已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P滿(mǎn)足，則_________；_________．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M，N分別是AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，設(shè)，則的最小值為_(kāi)______【鞏固訓(xùn)練】已知矩形，，．為矩形所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，．則______．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____.如圖，在等邊三角形ABC中，，點(diǎn)N為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是邊CB（包括端點(diǎn)）上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)__________.在菱形中，，，為菱形所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．如圖，在四邊形中，，且.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.題型六向量共線定理：構(gòu)造方程組求系數(shù)【例題講解】已知中，，，與相交于點(diǎn)，，則有序數(shù)對(duì)（

）A． B． C． D．如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N．設(shè)AB＝mAM，AC＝nAN，求m＋n的值【鞏固訓(xùn)練】在中，已知，，與交于點(diǎn)O.若，則.在中，，，E是AB的中點(diǎn)，EF與AD交于點(diǎn)P，若，則（

）A． B． C． D．1已知△ABC中，，，直線PC與QB交于點(diǎn)O，若，則______．已知平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，連接EF交AC于點(diǎn)M，且滿(mǎn)足，，，則（）A． B．1 C． D．－題型七向量共線定理：結(jié)合不等式求最值【例題講解】中，為上一點(diǎn)且滿(mǎn)足，若為上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為 B．的最大值為1C．的最小值為4 D．的最大值為16【鞏固練習(xí)】在中，點(diǎn)滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)的直線與，所在的直線分別交于點(diǎn)，，若，，則的最小值為（）A．3B．C．1D．在△ABC中，D為邊AC上的一點(diǎn)，且，P為邊BD上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足（、），則下列結(jié)論正確的（）A．m＋n＝1B．mn的最大值為C．上的最小值為7D．的最小值為在中，的交點(diǎn)為，過(guò)作動(dòng)直線分別交線段于兩點(diǎn)，若，則的最小值為_(kāi)____.（多選）如圖所示,在凸四邊形ABCD中，對(duì)邊BC，AD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，對(duì)邊AB，DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F,若，，，則（）A.B.C.的最大值為1D.如圖，在中，是線段上的一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線，于點(diǎn)，.若，，則的最小值是.題型八等和線問(wèn)題【例題講解】如圖正六邊形ABCDEF中，P點(diǎn)三角形CDE內(nèi)（包括邊界）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】令,易證，，∴給定兩個(gè)長(zhǎng)度為3的平面向量和，它們的夾角為120°，如圖所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，則的最大值是_____；的最大值是______.【鞏固練習(xí)】如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．1正方形的邊長(zhǎng)為，中心為．過(guò)的直線與邊分別交于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足條件：，則的最小值為（）

A．0 B． C． D．給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為，如圖所示點(diǎn)在以為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)，若，其中，，則的取值范圍為_(kāi)_______如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)在以點(diǎn)為圓心且與相切的圓上，若滿(mǎn)足，則的最大值為（）A． B． C． D．如圖，在正方形ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，P是以AB為直徑的半圓弧上任意一點(diǎn)，設(shè)，則2x+y的最小值為()A．－1B．1C．2D．3【答案】1在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為（）A．3 B．2 C． D．2（多選）直角梯形,是邊長(zhǎng)為2的正三角形，是平面上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的值可以為（）A.0B.1C.2D.3如圖，已知點(diǎn)在由射線、線段，線段的延長(zhǎng)線所圍成的平面區(qū)域內(nèi)（包括邊界），且與平行，若，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是（

）A． B． C． D．在△ABC中，，AB＝3，AC＝1，點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，且滿(mǎn)足，若，則3x＋y的最小值是()．A．B．C．1D．題型九三角形四心向量性質(zhì)的識(shí)別【例題講解】點(diǎn)為所在的平面內(nèi)，給出下列關(guān)系式：①；②且；③.則點(diǎn)依次為的（

）A．內(nèi)心、重心、垂心 B．重心、內(nèi)心、垂心 C．重心、內(nèi)心、外心 D．外心、垂心、重心【鞏固練習(xí)】已知點(diǎn)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，則P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A.外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的()．A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心已知，，在所在的平面內(nèi)，且，且，則，，分別是的A．重心外心垂心 B．重心外心內(nèi)心 C．外心重心垂心 D．外心重心內(nèi)心是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的()A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則的軌跡一定通過(guò)的().A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的（）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的()。A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的()．A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心題型十三角形四心與數(shù)量積計(jì)算【例題講解】（1）已知△ABC的外心為O,且AB=5，，則______.（2）已知△ABC的重心為O,且AB=5，，則______.（3）已知△ABC的重心為O,且AB=5，，，D為BC中點(diǎn)，則____.（多選）生于瑞士的數(shù)學(xué)巨星歐拉在1765年發(fā)表的《三角形的幾何學(xué)》一書(shū)中有這樣一個(gè)定理：“三角形的外心、垂心和重心都在同一直線上．”這就是著名的歐拉線定理．在中，O，H，G分別是外心、垂心和重心，D為BC邊的中點(diǎn)，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）A．B．C．D．【鞏固練習(xí)】已知為的外心，，，則___________．已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：甲：；乙：；丙：；?。海绻挥幸粋€(gè)等式不成立，則該等式為（）A．甲B．乙C．丙D．丁在中，為重心，，，則=________.中，，，為的重心，為的外心，則．在中，，，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)為的外心，則的值為_(kāi)_________.設(shè)H為的垂心，且，則_______.已知為的垂心（三角形的三條高線的交點(diǎn)），若，則______.設(shè)H是的垂心，且，則_____．題型十一奔馳定理解面積比【例題講解】已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，，則_______【解析】（法1）：由結(jié)論推廣可得，，所以（法2）：由可得，設(shè)AB，BC中點(diǎn)分別是D,E，得，所以點(diǎn)P在中位線上，且，所以【鞏固練習(xí)】已知所在平面內(nèi)的一點(diǎn)滿(mǎn)足，則（

）A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2已知點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則與面積之比是【解析】（法1）：由得，，即，由結(jié)論推廣得（法2）：由得，，即，化簡(jiǎn)得，由，得，設(shè)AB中點(diǎn)為D，則，所以點(diǎn)P在的中位線上，所以設(shè)為所在平面上一點(diǎn)，且滿(mǎn)足．若的面積為8，則的面積為_(kāi)__________．【答案】14【解析】法一：共線系數(shù)和＋分點(diǎn)恒等式+等積變形，設(shè)H為線段AC上一點(diǎn)，且，則，∵PD∥AB，∴法二：奔馳定理推論：是平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則①；②∵，∴已知是三角形內(nèi)部一點(diǎn)，且，則的面積與的面積之比為（

）A． B． C． D．設(shè)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿(mǎn)足，則的面積與的面積的比值為（

）A． B． C． D．題型十二奔馳定理與四心的綜合【例題講解】已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，為內(nèi)一點(diǎn)，若分別滿(mǎn)足下列四個(gè)條件：①；②；③；④；則點(diǎn)分別為的（

）A．外心、內(nèi)心、垂心、重心 B．內(nèi)心、外心、垂心、重心C．垂心、內(nèi)心、重心、外心 D．內(nèi)心、垂心、外心、重心【鞏固練習(xí)】（多選題）奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為則S，“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)(Mercedesbenz)的很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”．若O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，A，B，C是△ABC的一個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)O滿(mǎn)足則，則（）A．O為△ABC的垂心 B．C． D．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車(chē)的三叉車(chē)標(biāo)很相似，故形象地稱(chēng)其為“奔馳定理”．