2024屆廣東省華南某中學數(shù)學高一年級下冊期末綜合測試試題含解析

2024屆廣東省華南師大附中數(shù)學高一下期末綜合測試試題

考生須知：

1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;

非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。

2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。

3.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的

1.215是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

2.已知=且。為第二象限角，則必〃（n+2。）=（）

10

3.計算機中常用十六進制是逢16進1的計數(shù)制，采用數(shù)字0?9和字母A?尸共16個

計數(shù)符號，這些符號與十進制的數(shù)的對應關(guān)系如下表：

16進

0123456789ABCDEF

制

10進

0123456789101112131415

制

現(xiàn)在，將十進制整數(shù)2019化成16進制數(shù)為（）

A.7E3B.7F3C.8E3D.8尸3

4.已知函數(shù)y（x）=2sin（2x+gj向左平移a（a〉0）個單位長度后，其圖象關(guān)于y軸

對稱，則a的最小值為（）

兀兀5兀771

A.—B.-C.D

1261212

5.已知函數(shù)/（x）=sinx+JJcosx,則下列命題正確的是（)

①/（x）的最大值為2；

②/（X）的圖象關(guān)于（一￡，0卜寸稱；

（5兀兀、

③在區(qū)間［-不，石J上單調(diào)遞增;

④若實數(shù)機使得方程〃尤）=機在［0,2兀］上恰好有三個實數(shù)解%2，%,則

7兀

x+x+x=------

1233

A.①②B.①②③C.①③④D.①②?④

6.直線。2+l）x-2ay+l=0（aeR）的傾斜角不可能為（

）

兀兀兀c5兀

A.—B.—C.—D.—

4326

7.在等差數(shù)列｛。｝中，如果a+a+a=39,a+a+a=27,則數(shù)列｛a｝前9項

n147369n

的和為o

A.297B.144C.99D.66

8.“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣.為了測算某火紋紋

樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為5的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形

內(nèi)隨機投擲1000個點，己知恰有400個點落在陰影部分，據(jù)此可估計陰影部分的面積

是

A.2B.3C.10D.15

9.若實數(shù)。滿足+。＜0,則一。,。,。2的大小關(guān)系是:

A.-a<a<a2B.a<-a<a2C.a2<-a<aD.a<a2<-a

10.已知a＞0,且aHl,把底數(shù)相同的指數(shù)函數(shù)/（x）=&與對數(shù)函數(shù)g（x）=logx

a

圖象的公共點稱為（或g。））的“亮點”.當時，在下列四點

101

＜（H）,。（不2）中，能成為了⑴的“亮點”有（）

A.0個B.1個C.2個D.3個

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.設(shè)e,/為單位向量，其中a=2e+e'，b=e,且Z在方方向上的射影數(shù)量為

12I22

2,則e與e，的夾角是一.

12

12.不等式?0$2》一45皿》一。<0有解，則實數(shù)"的取值范圍是.

13.設(shè)三棱錐尸一ABC滿足PA=P8=3,AB=BC=CA=2,則該三棱錐的體積

的最大值為.

14.函數(shù)/。)=31^畝(以《幻，XG已'嗎的值域為______

46

15.已知等差數(shù)列M｝的公差為d,且4片0,其前〃項和為S,若滿足aaa

nn125

成等比數(shù)列，且S,=9,則1=_____,s=_____.

3n

16.在等差數(shù)列M｝中，若a=0,a+a=10,則a=

n4677

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

17.^ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別是a"c,已知asin5=bcos(Aq).

(1)求角A的大小；

(2)設(shè)匕=4,^ABC的面積為3J5,求。的值.

18.已知函數(shù)/G)=cos2(cox)+JTsin(cox)cos(3x)G〉0)的最小正周期為兀.

(1)求3的值和函數(shù)/G)的值域；

(2)求函數(shù)/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間及其圖像的對稱軸方程.

19.已知函數(shù)/G)=(x-1>,J｝是公差為d的等差數(shù)列，M｝是公比為

nn

qQeR.qOl)的等比數(shù)列.且q4=/Q+l),b=f(q-\\

b=/Q+l).

4

(l)分別求數(shù)列M｝、｝的通項公式；

nn

(2)已知數(shù)列L卜黃足：be+bc+bc+-..+bc=aQ€N*),求數(shù)列｛c｝的

n112233nnnn

通項公式.

20.已知函數(shù)/(x)=2sinx?sin—x)+/(cos2x-sin2x).

(I)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

(II)求方程/(x)=2的解構(gòu)成的集合.

21.A46c的內(nèi)角A,8,C的對邊分別為明。，。,已知2以《。(。858+匕0054)=。.

(1)求角C;

(2)若C=2,求AABC面積的最大值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中,

恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解題分析】

本題首先要明確平面直角坐標系中每一象限所對應的角的范圍，然后即可判斷出215

在哪一象限中.

【題目詳解】

第一象限所對應的角為j2E,：+2E|keZ.

第二象限所對應的角為［1+2E,兀+2EjkgZ.

第三象限所對應的角為|兀+2奴，等+2奴j左sZ；

第四象限所對應的角為|寺+2攵兀,2兀+2E|ZwZ.

因為215w|兀+2kn,等+2匕“左wZ,

所以215位于第三象限，故選C.

【題目點撥】

本題考查如何判斷角所在象限，能否明確每一象限所對應的角的范圍是解決本題的關(guān)

鍵，考查推理能力，是簡單題.

2、D

【解題分析】

首先根據(jù)題意得到《?4=-如，tana=-3,再計算tan（兀+2。）即可.

10

【題目詳解】

因為sina=M9,且〃為第二象限角，

10

3M

/\c2tana-63

tan8+2a）=tan2a=--------------=--------=—.

1-tan2a1-94

故選：D

【題目點撥】

本題主要考查正切二倍角的計算，同時考查了三角函數(shù)的誘導公式和同角三角函數(shù)的關(guān)

系，屬于簡單題.

3、A

【解題分析】

通過豎式除法，用2019除以16,取其余數(shù)，再用商除以16,取其余數(shù)，直至商為零,

將余數(shù)逆著寫出來即可.

【題目詳解】

用2019除以16,得余數(shù)為3,商為126；

用126除以16,得余數(shù)為14,商為7；

用7除以16,得余數(shù)為7,商為0；

將余數(shù)3,14,7逆著寫，即可得7E3.

故選：A.

【題目點撥】

本題考查進制的轉(zhuǎn)化，只需按照流程執(zhí)行即可.

4、A

【解題分析】

根據(jù)函數(shù)3?=從5出（5+3）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象關(guān)于V軸對稱，即Ax）為

偶函數(shù).，求得a的最小值.

【題目詳解】

把函數(shù)/G)=2sin[2x+?)向左平移a(a>0)個單位長度后.

可得/(x)=2sin2(x+a)+g=2sin(2x+2a+；J的圖象.

再根據(jù)所得圖象關(guān)于丁軸對稱，即f(x)為偶函數(shù).

所以2。+可=左兀+爹,AwZ

kjiJI

即a=^__.+—,keZ,a>0

212

當攵=0時，a的值最小.

TT

所以a的最小值為：±

12

故選：A

【題目點撥】

本題主要考查函數(shù)y=Asin(s+w)的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的圖象的對稱性，屬

于基礎(chǔ)題.

5、C

【解題分析】

7171

/(x)=2sin(x+),由此判斷①的正誤，根據(jù)/(一下)力0判斷②的正誤，由

3o

717r7T

2kTt-^.<x+^<2kn+-,kGZ求出，(x)的單調(diào)遞增區(qū)間，即可判斷③的正誤，結(jié)

合/(無)的圖象判斷④的正誤.

【題目詳解】

因為f(x)=sinx+y]3cosx=2sin(x+y),故①正確

兀.兀

因為/(一"2")=2sin——10,故②不正確

oo

^0兀5，Jl

由2%兀--<x+—<2kTt+—,左￡Z得2Z兀-——<x<2kn+—,ZEZ

23266

所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故③正確

若實數(shù)m使得方程f(x)=機在［0,2兀］上恰好有三個實數(shù)解,

71八

結(jié)合/(x)=2sin(x+§)的圖象知,必有X=0,X=2TI

此時/(x)=2sin(x+q)=J5",另—?解為x=q

7K_

即X］,X,,5滿足X］+X,+*3=，故④正確

綜上可知：命題正確的是①③④

故選：C

【題目點撥】

本題考查的是三角函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，解決這類問題時首先應把函數(shù)化成三角函數(shù)基

本型.

6、D

【解題分析】

根據(jù)直線方程，分類討論求得直線的斜率的取值范圍，進而根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，

即可求解，得到答案.

【題目詳解】

.c兀

由題意，可得當4=0時，直線方程為X+1=O,此時傾斜角為彳；

當時，直線方程化為y=x+1,則斜率為：％=2=］，

2a2a2a

即。2—2版+1=0,又由A=4k2-420,解得女4—1或攵21,

671711it3n

又由k=tana且a6。兀)，所以傾斜角的范圍為-,y|u7'T

顯然A,B都符合，只有D不符合,

故選D.

【題目點撥】

本題主要考查了直線方程的應用，以及直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，著重考查了分類討

論思想，以及推理與運算能力.

7、C

【解題分析】

試題分析：a+a+a=39,aaa=27

147369

(a+a)x9(a+a)x9

?*-a4=13,a6=9,S9=—?-寸----=―—彳----=99

考點：等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和

點評：本題考查了等差數(shù)列性質(zhì)及前n項和，掌握相關(guān)公式及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8、C

【解題分析】

根據(jù)古典概型概率公式以及幾何概型概率公式分別計算概率，解方程可得結(jié)果.

【題目詳解】

設(shè)陰影部分的面積是s,由題意得幽=￡.：,=“，選C.

loooy*

【題目點撥】

(1)當試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積等時，應考慮使用幾何概型求解.

(2)利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋

找，有時需要設(shè)出變量，在坐標系中表示所需要的區(qū)域.

9、D

【解題分析】

分析：先解不等式。2+。＜0,再根據(jù)不等式性質(zhì)確定-a,42的大小關(guān)系.

詳解：因為。2+。＜0,所以一1＜。＜0,

所以a＜0＜a2＜一a

選D.

點睛：本題考查一元二次不等式解法以及不等式性質(zhì)，考查基本求解能力與運用性質(zhì)

解決問題能力.

10,C

【解題分析】

利用“亮點”的定義對每一個點逐一分析得解.

【題目詳解】

由題得/(x)=(j)x,g*)=logj,

1616

由于/⑴所以點叩，1)不在函數(shù)f(x)的圖像上，所以點叩,1)不是“亮點”;

1O11

￡/1、11~11、n/11、

由于所以點月弓，爹)不在函數(shù)f(x)的圖像上，所以點々弓,])不是“亮

點”；

少1、1/、10/11、

由于/q)=W，g(2)=z，所以點尸,(27)在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上，所以點

嗎，，)是“亮點”；

r/1、1/I、1nJ1、

由于/(7)=不，g(：)=K，所以點「(彳，不)在函數(shù)f(x)和g(x)的圖像上，所以點

4242442

l1、

勺n/(了彳)是“亮點”.

故選C

【題目點撥】

本題主要考查指數(shù)和對數(shù)的運算，考查指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，意在考查學生對

這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

兀

3

【解題分析】

ab

=2——1

利用Z在B方向上的射影數(shù)量為2可得：-FT即可整理得：ee=

i22

問題得解.

【題目詳解】

因為Z在另方向上的射影數(shù)量為2,

又7%為單位向量，

1

所以

2

e?e1

設(shè)彳與e；的夾角°，WJCOS0=kWi

2

—,—?IT

所以1與3的夾角V

【題目點撥】

本題主要考查了向量射影的概念及方程思想，還考查了平面向量夾角公式應用，考查轉(zhuǎn)

化能力及計算能力，屬于中檔題.

12、(-5,+00)

【解題分析】

由參變量分離法可得知a>(cos2x_4sinx),由二倍角的余弦公式以及二次函數(shù)的

min

基本性質(zhì)求出函數(shù)>=cos2x-4sinx的最小值，即可得出實數(shù)。的取值范圍.

【題目詳解】

不等式cos2x-4sinx-a<0有解，等價于存在實數(shù)%,使得關(guān)于光的不等式

a>cos2x—4sinx成立，故只需a>(cos2x-4sinx).

min

令y=cos2x-4sinx=-2sin2x-4sinx+1=-2(sinx+1)2+3,

v-l<sinx<l,由二次函數(shù)的基本性質(zhì)可知，當sin尢=1時，該函數(shù)取得最小值，

即y=-5,/.〃〉一5.

min

因此，實數(shù)a的取值范圍是(-5,+8).

故答案為：(-5,+8).

【題目點撥】

本題考查不等式有解的問題，涉及二倍角余弦公式以及二次函數(shù)基本性質(zhì)的應用，一般

轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來求解，考查計算能力，屬于中等題.

13、—1—

3

【解題分析】

取45中點。，連可證A3,平面PC。，V，要使V

P-ABC3APCDP-ABC

最大，只需求S"⑦最大值，即可求解.

【題目詳解】

取AB中點。，連CD,PD,PA=PB=3,

所以PDLAB,：.尸￡>=J32二1=2y/2,

...AB=BC=CA=2,：.CD1AB,CD=02-1=事,

PDcCD=D,PD,CDu平面PCD,AB工平面PCD,

設(shè)APCD中CD邊上的高為h,h<PD=2y/2,

.-.v=v+v=LABS

P-ABCA-PCDB-PCD3APCD

=J-x2x_xJTx/zW芷，當且僅當尸D,CD時，取等號.

323

故答案為：竺.

3

B

【題目點撥】

本題考查錐體的體積計算，考查線面垂直的判定，屬于中檔題.

14、［g口

【解題分析】

先求cosx的值域，再求/(x)=arcsin(cosx)的值域即可.

【題目詳解】

n5兀、

因為r],故cosxe

4O

故/(X)=arcsin(cosx)earcsin(-

故答案為：［―w，彳］

【題目點撥】

本題主要考查了余弦函數(shù)的值域與反三角函數(shù)的值域等，屬于基礎(chǔ)題型.

15、2〃2

【解題分析】

由S3=4+%+%=3紇，可求出％,再由q,a,,4成等比數(shù)列，可建立關(guān)系式,

求出d,進而求出S即可.

n

【題目詳解】

由S=9可知Q+Q+a=3。=9即。=3

3'1232*2

又a,a,a成等比數(shù)列，所以a2=。-a,則。2=(a-d),(a+3d),即

I25215222

9=(3—d)(3+3d),解得4=2或4=0,

因為所以d=2,a=3—2=1,

n(n-1)

所以S=n+X2=〃2

n-2~

故答案為：2；

【題目點撥】

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列前"項和的求法，考查學生的計算求解能力,

屬于基礎(chǔ)題.

16、6

【解題分析】

利用等差數(shù)列廣義通項公式，將氣+%=1。轉(zhuǎn)化為2a+5d=10,從而求出d的值,

674

再由廣義通項公式求得為.

【題目詳解】

在等差數(shù)列｛4｝中，由a=0,a+a=10,

n467

得2a+51=10,即d=2.

4

a=a+3d=6

74,

故答案為：1.

【題目點撥】

本題考查等差數(shù)列廣義通項公式的運用，考查基本量法求解數(shù)列問題，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步

驟。

n,_

17、（1）A）（2）a=g

【解題分析】

（1）利用正弦定理可將已知等式化為sinA=cos（A一卷），利用兩角和差余弦公式展

開整理可求得tanA,根據(jù)Ae（0,兀）可求得結(jié)果；（2）利用三角形面積公式可構(gòu)造方

程求出c=3；利用余弦定理可直接求得結(jié)果.

【題目詳解】

（1）asinB=bcos由正弦定理可得：

sinAsinB=sinBcosA--

I6

?.?8￡（0,兀）sin8w0sinA=cosA71

6

即LsinA=^cosA

.AA九?4?兀A1.4

smA=cosAcos—+sinAsin—=cosA+—sinA

662222

sinA

tanA==x/3

cosA

??Ae（0,7t）:.A=—

?3

L4csi忑

(2)設(shè)AAfiC的面積為S,則由S=]Z?LsinA得:=33,解得：c=3

23

7T

由余弦定理得：42=b2+c2-2bc-cosA=42+32-2X4X3COS—=13

a=yjn

【題目點撥】

本題考查解三角形的相關(guān)知識，涉及到正弦定理化簡邊角關(guān)系式、三角形面積公式和余

弦定理的應用；關(guān)鍵是能夠通過正弦定理將邊化角，得到角的一個三角函數(shù)值，從而根

據(jù)角的范圍求得結(jié)果.

18、(1)(0=1,值域為一二；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為E—，兀+?QeZ),對

22JL3

稱軸方程為x=-T-+eZ).

26

【解題分析】

(1)利用二倍角公式降暴，然后化為丁=4411((0*+9)+》的形式，由周期公式求出

3,同時求得值域；

(2)直接利用復合函數(shù)的單調(diào)性求得增區(qū)間，再由2x+B=：+Z兀Qez)求得對稱

軸方程.

【題目詳解】

(1)/(x)=COS2(3x)+73sin(wx)cos(wx)='+C°S2(°A+小sin2o)x

=sin2cox+—+—,

I6）2'

由—=兀，得co=l,

2co

/.fG)=sinI2x+^-I+—

I6；2,

則函數(shù)/(x)的值域為W；

(2)由2%兀一5K2x+?<2Z兀+受(攵￡Z),

262

解得——+kn4尤<—+kit,(k￡Z),

36

二函數(shù)/'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為既一:，攵兀+]Qez),

^-2x+—=—+kn｛keZ\解得x=?+竺Qwz),

6262

??函數(shù)/G)的對稱軸方程為x="2"+——(keZ).

62

【題目點撥】

本題考查了二倍角公式以及三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，掌握正弦函數(shù)的性質(zhì)才是解題的關(guān)

鍵，考查了基本知識，屬于基礎(chǔ)題.

’27,〃=1

19、(1)a=10-?,b=3?-2.(2)c=\1-

""?-----,n>2

[3，”2

【解題分析】

(1)根據(jù)題意分別列出關(guān)于d、4的方程，求出這兩個量，然后分別求出數(shù)列L｝、

n

fe｝的首項，再利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式可計算出數(shù)列｛。｝、3｝的通項

nnn

公式；

(2)令〃=1可得出c的值，再令〃N2,由be+bc+bc+...+bc=。得出

I112233nnn

”￡+々0+2。+???+”c=a兩式相減可求出c,于此得出數(shù)列｛c｝的通項

I12233n-1M-l/i-lnn

公式.

【題目詳解】

(1)由題意得a=j(d-1)=(d_2>=d?—4d+4,a=f(d+1)=d2,

19

Sd=a-a=d2-Ch-44+4)=44-4,解得d=-l,且

=0/-2>=(-3>=9,

:.a=a+(〃-l)d=9-(〃-1)=10-〃，

n1

,,b=f(q-1)=(q-2>=q2—4q+4,b=f(q+1)=q?,

e24

bq?

.?.42=—=-------i-----

b平一4夕+4

2

?.?<7#0且<7#1,整理得十一44+3=0,解得4=3,二。=(q-2>=l,

2

,b11

，片才），由等比數(shù)列的通項公式可得2m?什;G-Vf

（2）由題意可知，對任意的〃eN*,be+bc+bc