基于建模過程的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)分析

一、問題提出模型思想是四大數(shù)學(xué)思想之一,也是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》明確指出,在小學(xué)階段,模型意識是學(xué)生核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一,學(xué)生需在小學(xué)階段知道數(shù)學(xué)模型能夠解決的問題,能有意識地用數(shù)學(xué)的概念和方法解釋生活中的諸多問題。[1]建模教學(xué)要求教師在教學(xué)過程中應(yīng)適當(dāng)滲透模型思想,其教學(xué)思路是將數(shù)學(xué)模型原型作為教學(xué)資源,啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型思想解決問題。[2-3]然而我國建模教學(xué)尚處于起步階段。盡管高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)已有二十多年的經(jīng)驗,積累了大量的、豐富的資源,但小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)并未全面開展,缺乏相關(guān)經(jīng)驗,更缺少可操作性較強(qiáng)的小學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)資源。[4]課堂作為培養(yǎng)學(xué)生模型意識、拓展學(xué)生能力的主陣地,可操作性較強(qiáng)、創(chuàng)新性較高的建模教學(xué)課堂的特點(diǎn)值得廣大教育者的學(xué)習(xí)。本文旨在分析一些特級教師的數(shù)學(xué)建模課堂,梳理特級教師在課堂中滲透模型思想的教學(xué)過程,以期總結(jié)相關(guān)經(jīng)驗,提高建模教學(xué)在小學(xué)課堂中的可操作性。二、概念明晰(一)數(shù)學(xué)模型及分類數(shù)學(xué)模型是針對或參照某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量相依關(guān)系,采用形式化的數(shù)學(xué)符號和語言概括地表達(dá)的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。[5]從廣義上說,數(shù)學(xué)模型是利用數(shù)學(xué)思想語言模擬現(xiàn)實(shí)問題的模型,通過對問題原型的抽象、假設(shè)、概括,運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是完全形式化和符號化的模型。從狹義來講,只有反應(yīng)特定問題或特定的具體事物系統(tǒng)和數(shù)學(xué)關(guān)系的結(jié)構(gòu)可稱為數(shù)學(xué)模型[6],如平均分物品的數(shù)學(xué)模型—分?jǐn)?shù)、植樹問題、雞兔同籠等數(shù)學(xué)模型,以及“總價=單價×數(shù)量”的數(shù)量關(guān)系模型等。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中,劉明祥認(rèn)為有四種重要的數(shù)學(xué)模型:公式模型、方程模型、集合模型和函數(shù)模型。[5]史寧中將小學(xué)階段的數(shù)學(xué)模型分為總量模型、路程模型、植樹模型和工程模型。[7]按照這種分類,植樹問題這一課時涉及了植樹模型和公式模型。植樹模型的問題主要有兩種:一種是詢問種樹的棵數(shù),另一種是給出樹的棵數(shù),讓學(xué)生思考用什么樣的方式種樹才能符合要求。設(shè)定的條件一般是在一條直線上種樹,兩端都栽、只栽一端或者兩端都不栽。公式模型則是總結(jié)間隔數(shù)、棵數(shù)之間的關(guān)系。(二)數(shù)學(xué)建模過程作為連接數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實(shí)世界的橋梁,教學(xué)建模過程有四個典型階段:數(shù)學(xué)化、數(shù)學(xué)解決、解釋和驗證過程,即現(xiàn)實(shí)問題數(shù)學(xué)化后成為數(shù)學(xué)模型、對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答、用模型的解釋回答現(xiàn)實(shí)問題、再用答案驗證現(xiàn)實(shí)問題。[8]布魯姆修訂后提出了七階段建模流程框架,如圖1所示。[9]該框架中,數(shù)學(xué)建模過程包含六個狀態(tài)和七個環(huán)節(jié),包括構(gòu)建,簡化問題、構(gòu)造模型,數(shù)學(xué)化,數(shù)學(xué)運(yùn)算,解釋,驗證,表達(dá)。我國一線教師更多地從教學(xué)角度提出自己的觀點(diǎn)。其中,持四階段觀點(diǎn)的教師認(rèn)為數(shù)學(xué)建模一般要經(jīng)歷“模型準(zhǔn)備—模型假設(shè)—模型建構(gòu)—模型應(yīng)用”。[2]也有教師從實(shí)踐與理論關(guān)系出發(fā),將建立數(shù)學(xué)模型的過程描述為“表述歸納現(xiàn)實(shí)信息—建立數(shù)學(xué)模型—求解演繹模型—解答現(xiàn)實(shí)問題”,蘊(yùn)含著“實(shí)踐—理論—實(shí)踐”這一循環(huán)。[10-11]此外,也有教師從圖形的角度將滲透建模意識的教學(xué)流程總結(jié)為:建立直觀數(shù)學(xué)模型;操作圖形,形成抽象數(shù)學(xué)模型;應(yīng)用數(shù)學(xué)模型;總結(jié)完善發(fā)展模型體系。[12]持五階段觀點(diǎn)的教師,將數(shù)學(xué)建模的教學(xué)過程分為“實(shí)際情境—提出問題—建立模型—求解模型—檢驗結(jié)果”。[13]許衛(wèi)兵用“磨”“?！薄澳А比齻€字總結(jié)建模教學(xué)的一般程序,即教師先行琢磨,學(xué)生在體會和感悟建模中為之著魔。[14]王亞輝對數(shù)學(xué)建模的研究較為深入,提出數(shù)學(xué)建模共有五個階段,即模型準(zhǔn)備、假設(shè)、解答、分析和檢驗。[15]姜啟源等人對其做了補(bǔ)充,提出對模型進(jìn)行檢驗后,還有一個環(huán)節(jié)不可忽視,就是學(xué)生要學(xué)會運(yùn)用。[16]盡管不同學(xué)者對數(shù)學(xué)建模過程的觀點(diǎn)不同,但基本上都強(qiáng)調(diào)模型與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系和應(yīng)用。因此,本研究將數(shù)學(xué)建模教學(xué)過程概括為以下四個環(huán)節(jié):根據(jù)情境,找到問題;提出假設(shè),建立模型;求解模型,檢驗?zāi)Ｐ?回歸生活,應(yīng)用模型?；谝陨戏治?本研究選取來自南京的兩位數(shù)學(xué)特級教師俞正強(qiáng)2019年和張齊華2021年(以下簡稱教師Y與教師Z)執(zhí)教的“植樹問題”同課異構(gòu)進(jìn)行分析,以數(shù)學(xué)建模教學(xué)的四個主要環(huán)節(jié)作為評價依據(jù)對兩節(jié)課進(jìn)行比較分析,以期為培養(yǎng)小學(xué)生模型意識提供啟示。三、研究內(nèi)容與方法(一)研究內(nèi)容植樹問題這一教學(xué)內(nèi)容選自人教版五年級上冊第七單元數(shù)學(xué)廣角“植樹問題”這一課時,在蘇教版教材中這一知識點(diǎn)出現(xiàn)在三年級上冊第五單元“間隔排列”這一課時。植樹問題之所以出現(xiàn)在人教版教材中“數(shù)學(xué)廣角”這一特色板塊,是因為這一部分內(nèi)容相對獨(dú)立且強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思考。[17]從數(shù)學(xué)廣角不同內(nèi)容包含的數(shù)學(xué)思想方法來看,植樹問題首次涉及了模型思想,具有承上啟下的作用。因此,這節(jié)課在培養(yǎng)學(xué)生模型意識方面具有一定的代表性。(二)研究方法研究主要采取間接觀察法、案例分析法。間接觀察法主要用于對兩節(jié)課內(nèi)容的分析。通過觀看課堂教學(xué)視頻獲得一手資料,進(jìn)而分析兩位教師在培養(yǎng)學(xué)生模型意識方式上的異同。案例分析法主要用于對兩節(jié)課進(jìn)行比較分析,即通過建模教學(xué)的四個環(huán)節(jié)“根據(jù)情境找到問題—提出假設(shè)建立模型—求解檢驗?zāi)Ｐ汀貧w生活應(yīng)用模型”對兩節(jié)課進(jìn)行分析與比較。四、研究結(jié)果與分析(一)根據(jù)情境,找到問題從生活情境中提出問題是形成數(shù)學(xué)建模的開端。在教學(xué)環(huán)節(jié)中,問題情境的引入是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的重要一環(huán)。對于同一個情境,不同的學(xué)生由于自身學(xué)習(xí)經(jīng)驗的多樣化,可能會提出不同的問題。這些問題正是激發(fā)學(xué)生模型意識的首要環(huán)節(jié)。[18]植樹問題的問題是按照一定要求,解決一段路上要求植樹的棵數(shù)。表1呈現(xiàn)了兩位教師在此環(huán)節(jié)中在課堂中的教學(xué)表現(xiàn)。由于植樹問題在給定的問題情境中呈現(xiàn)了明確的數(shù)量問題,不涉及學(xué)生二次簡化問題情境從而得到問題的學(xué)習(xí)思路,因而兩位教師都選擇直接將問題呈現(xiàn)給學(xué)生,但又有所不同。教師Y使用簡潔的話語呈現(xiàn)兩道問題,將第一道題目作為喚起學(xué)生以往知識的橋梁,先復(fù)習(xí)除法的意義,通過平均分的模型,引出了植樹問題的教學(xué)。教師Z則是將學(xué)習(xí)單作為學(xué)生課前預(yù)習(xí)的材料,不僅讓學(xué)生嘗試解決問題,還要求學(xué)生在預(yù)習(xí)后提出自己的疑問。(二)提出假設(shè),建立模型數(shù)學(xué)建模過程中的“假設(shè)”,《數(shù)學(xué)建模教學(xué)與評估指南》闡述為在現(xiàn)實(shí)世界的問題中選擇一些看上去比較重要的“對象”,識別它們之間的關(guān)系,并決定保留還是忽視那些對象或者它們之間的關(guān)系,結(jié)果得到的一個初始問題的理想化版本。[4]這一環(huán)節(jié)學(xué)生將聯(lián)系以往的知識經(jīng)驗,不斷探索求解方法,最后將方法總結(jié)為一個數(shù)學(xué)化的公式,這個數(shù)學(xué)化的公式就是模型。表2是兩位教師關(guān)于作出假設(shè)、建立模型的教學(xué)案例。由表2可知,兩位教師在這一環(huán)節(jié)的教學(xué)思路都是先引導(dǎo)學(xué)生發(fā)散思維,使學(xué)生主動思考解決問題的方法,讓學(xué)生闡述自己的見解,進(jìn)一步加深對問題的理解。之后,教師進(jìn)行總結(jié),將具體的方法抽象為數(shù)學(xué)公式,即數(shù)學(xué)模型。但兩位教師總結(jié)的模型有所不同:教師Y先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)平均分模型,再通過對比兩道題的異同,引出點(diǎn)與段的不同,總結(jié)出點(diǎn)段關(guān)系模型;教師Z則通過線段與樹之間的對應(yīng)關(guān)系,總結(jié)三種情形下間隔數(shù)與棵數(shù)的關(guān)系,最后形成數(shù)學(xué)模型。(三)求解模型,檢驗?zāi)Ｐ屯瓿蓴?shù)學(xué)建模后,需要將其在現(xiàn)實(shí)生活中檢驗,檢驗數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)問題的契合程度,用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?。只有結(jié)果符合實(shí)際時,模型才是可以使用的。[18]在植樹問題這一課中,兩位教師在課前畫出的線段圖是檢驗?zāi)Ｐ驼_性的重要提示,不僅有助于幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的意識,也能更直觀地展示模型建立的關(guān)鍵信息。表3是兩位教師展示的不同線段示意圖。(四)回歸生活,應(yīng)用模型建立模型的最終的目的是回歸生活并應(yīng)用于生活,形式越是抽象的數(shù)學(xué)模型在應(yīng)用上就更加廣泛。模型的應(yīng)用能幫助學(xué)生體會數(shù)學(xué)與日常生活的聯(lián)系,領(lǐng)會數(shù)學(xué)應(yīng)用價值的重要途徑。這樣的過程有利于學(xué)生更加主動地了解和關(guān)心生活,捕捉數(shù)學(xué)與日常生活及其他相關(guān)學(xué)科間的緊密聯(lián)系,能夠在一定程度上避免對數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥乏味、機(jī)械刻板的不良印象,真正體驗到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣,感受數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用價值。[19]表4是兩位教師引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用模型的案例。在應(yīng)用模型方面,兩位教師都引導(dǎo)學(xué)生思考生活中的植樹問題。這其實(shí)是在引導(dǎo)學(xué)生思考運(yùn)用植樹模型的不同問題情境。由于學(xué)生學(xué)習(xí)形式的不同,教師Y采取的方式是“引導(dǎo)學(xué)生變換問題情境—模擬植樹問題—應(yīng)用模型的改變”,教師Z采取的方式是“解決小組合作學(xué)習(xí)后產(chǎn)生的問題—引出植樹問題的應(yīng)用—解決具體的封閉圓形中種樹的問題—引導(dǎo)學(xué)生思考生活中與植樹問題類似的問題情境—向?qū)W生介紹了模型思想的概念”。五、經(jīng)驗總結(jié)第一,在“尋找情境,給定問題”這一環(huán)節(jié),植樹問題并不涉及建構(gòu)情境模型。因為根據(jù)教師給定的問題建立的模型是固定的,不存在由于考慮不同的因素而建立不同模型的情況。因此,在實(shí)際教學(xué)時,教師應(yīng)給出真實(shí)問題的同時盡量為學(xué)生創(chuàng)設(shè)一個更加具有挑戰(zhàn)性的情境,進(jìn)而激發(fā)學(xué)生思考更多的問題解決策略。第二,在“提出假設(shè),建立模型”環(huán)節(jié),兩位教師均在學(xué)生對自己的假設(shè)做出合理解釋后進(jìn)行引導(dǎo)總結(jié)進(jìn)而得到模型。但兩位教師由于課堂組織形式的不同,建立模型的過程不同。教師Y通過對比新舊知識間的聯(lián)系建立點(diǎn)段模型,教師Z通過學(xué)生小組討論得到的問題讓學(xué)生展開討論,得到“孤獨(dú)”的數(shù)和“孤獨(dú)”的間隔,建立間隔數(shù)與棵數(shù)之間的關(guān)系從而得到模型。這是教師指導(dǎo)下教學(xué)與學(xué)生合作下學(xué)習(xí)的不同效果。在實(shí)際應(yīng)用時,應(yīng)注意教師指導(dǎo)和學(xué)生獨(dú)立完成之間要保持一定的平衡性。[9]第三,在“求解模型,檢驗?zāi)Ｐ汀薄盎貧w生活,應(yīng)用模型”環(huán)節(jié)中,兩位教師教學(xué)的思路大致相同,都是通過引導(dǎo)學(xué)生思考與模型相關(guān)的其他問題情境,促進(jìn)學(xué)生的知識遷移。在實(shí)際教學(xué)中,教師應(yīng)注意在學(xué)生學(xué)習(xí)完課本內(nèi)容后,引導(dǎo)其將數(shù)學(xué)領(lǐng)域的知識與現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行轉(zhuǎn)化,使學(xué)生意識到兩者之間的關(guān)系。六、研究展望本研究主要采取間接觀察法、案例分析法分析了兩位特級教師的教學(xué)課堂,梳理了數(shù)學(xué)建模的課堂實(shí)踐,總結(jié)