函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用（模擬+真題）-2024高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)壓軸題（解析版）

專題2函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用

一最新模擬精練

1.(2023?安徽池州?池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))關(guān)于函數(shù)，(x)=x-sinx,下列說法錯(cuò)誤的是()

A.“X)是奇函數(shù)B.是周期函數(shù)

C.x=0是〃x)的唯一零點(diǎn)D.“X)在(-g+8)上單調(diào)遞增

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義和判定方法，可判定A正確，求得r(x)=l-cosx'O,得到函數(shù)/(x)為R

上單調(diào)遞增函數(shù)，且/(。)=0,可得判定C、D正確；由函數(shù)f(x)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)周期性的定義，可判定B

錯(cuò)誤.

【詳解】對(duì)于A中，函數(shù)〃x)=x-sinx的定義域?yàn)镽,

J!L/(-^)=-x-sin(-x)=-(x-sinr)=-f(x),所以〃尤)為奇函數(shù)，所以A正確；

對(duì)于B中，由函數(shù)〃x)=x-sinx,可得/'(x)=l-8SxN0,

則/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以不存在實(shí)數(shù)T，使得/(x+T)=/(x),

所以函數(shù)一定不時(shí)周期函數(shù)，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C中，由/'(尤)=1-8次“，得到為單調(diào)遞增函數(shù)，

又由〃0)=0,所以函數(shù)〃x)有唯一的零點(diǎn)尤=0,所以C正確；

對(duì)于D中，由7?'(x)=l-cosxNO,得到為R上單調(diào)遞增函數(shù)，所以D正確.

故選：B.

2.(2016下?湖南?高二統(tǒng)考期末)下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是增函數(shù)又是奇函數(shù)的是

A.y=tanxB.y=/C.y=lgxD.y=3，

【答案】B

【詳解】試題分析：A選項(xiàng)y=tanx為奇函數(shù)，但不能說在定義域內(nèi)為增函數(shù)，A錯(cuò)；B正確；C選項(xiàng)y=lgx

非奇非偶函數(shù)；D選項(xiàng)非奇非偶函數(shù).

考點(diǎn)：函數(shù)的性質(zhì).

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3.(2016?江西南昌?高三專題練習(xí))下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又上單調(diào)遞增的是

A.y=x+—B.y=ex-ex

x

C.y=x3-xD.y=xlnx

【答案】B

【詳解】試題分析：選項(xiàng)A、C在區(qū)間(0,+S)非單調(diào)函數(shù)，選項(xiàng)D為非奇非偶函數(shù)，故選B.

考點(diǎn)：1、函數(shù)的單調(diào)性；2、函數(shù)的奇偶性.

4.(2023?上海楊浦?統(tǒng)考一模)函數(shù)y=滿足：對(duì)于任意xeR都有〃尤)=/("),(常數(shù)。>0,"1).

給出以下兩個(gè)命題：①無論。取何值，函數(shù)y=/(x)不是(。,+8)上的嚴(yán)格增函數(shù)；②當(dāng)。<。<1時(shí)，存在

無窮多個(gè)開區(qū)間/J，4,-，使得Ln/2n=>Z?=>，且集合{引y=/(x),尤w/"}={y|y=/(x),無€*]}

對(duì)任意正整數(shù)”都成立，則()

A.①②都正確B.①正確②不正確C.①不正確②正確D.①②都不正確

【答案】A

【分析】對(duì)于①，由題得"1)=/⑷，然后反證法推出矛盾即可;對(duì)于②令4=(0,1),然后根據(jù)〃尤)=/⑷)

分別得出小…，/.，…,判斷為正確.

【詳解】對(duì)于①：由題得"1)=〃。)，若函數(shù)y=是(0,+8)上的嚴(yán)格增函數(shù)，因?yàn)閍>0,aRl,則

當(dāng)0>1時(shí)，/⑴<〃a),當(dāng)0<°<1時(shí)，/⑴>/(。)，均與41)=/(。)矛盾，所以無論。取何值，函數(shù)y=

不是(0,+8)上的嚴(yán)格增函數(shù)，故①正確；

對(duì)于②：因?yàn)閷?duì)于任意xeR都有/■(x)=/(，)，令，=(0,1),當(dāng)xe/|=(0,l)時(shí)，/e(a,l)=/?u(0,1),

且{MJ=/W,xeZ1}={y|y=f(x),xel2},

xa

當(dāng)xe/?=(a,l)時(shí)，ae(a,a)=l3czl2,且{y|y=/(x),xe/2}={y|y=/(x),xe/3},

當(dāng)xw/3=(a,a")時(shí)，a*e(i,a")=/4u4，且

{yly=f(x),x^I3}={y\y=f(x),xel4},

以此類推，故當(dāng)0<“<l時(shí)，存在無窮多個(gè)開區(qū)間人右，-，/“，，使得4=)/?=)n/“n,且集合

{yly=/(x),x，,}={N尸/(幻,無€/用}對(duì)任意正整數(shù)〃都成立，故②正確，

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故選：A.

5.（2023?全國(guó)模擬預(yù)測(cè)）"屋2"是"函數(shù)〃%）=1082（）24（尤2-2皿+1）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條

件

【答案】B

【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即可.

【詳解】由二次函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知：

要滿足函數(shù)〃X）=log2°24（/一2初％+1）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增，

fm<25

需要<,

[292-2/77x2+1>04

因?yàn)椋?lt;2,所以"mV2"是"函數(shù)〃苫）=1082必1-2爾+1）在區(qū)間（2,+8）上單調(diào)遞增”的必要不充分條件.

故選：B.

/、13〃一羽％〈2

6.（2023?陜西漢中?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知0>0,且函數(shù)〃尤（尤C2在R上單調(diào)，

則。的取值范圍是（）

\「12]「2八「1八

A.（1,+⑹C.[剖D.[刊

【答案】D

【分析】由函數(shù)解析式知函數(shù)在R上單調(diào)遞減，建立不等關(guān)系解出即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'（X）在R上單調(diào)，

由函數(shù)解析式可得函數(shù)在R上單調(diào)遞增不滿足題意，

故在R上單調(diào)遞減，

0＜。＜1

所以

3a-22loga1-1

解得：

故選：D.

7.（2023?四川瀘州?四川省敘永第一中學(xué)校?？家荒＃┤艉瘮?shù)=g以2_26一Inx在區(qū)間（3,4）上不單調(diào),

則。的取值范圍是（）

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【答案】c

【分析】求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分a=0與aw0兩種情況，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得。的取值范圍.

【詳解】f'(x\=ax-2a--=axl~2aX~X,xe(3,4),

XX

當(dāng)a=0時(shí)，尸(同=一：<0在(3,4)上恒成立，

此時(shí)了(無)在(3,4)上單調(diào)遞減，不合要求，舍去;

當(dāng)awO時(shí),則要求/z(x)=辦之_2編;一1的零點(diǎn)在(3,4)內(nèi),

/Z(X)=G?—2依一1的對(duì)稱軸為工=1,由零點(diǎn)存在性定理可得:

/z(3)-/z(4)<0,故(9a-6a-l)(16a-8〃-1)<0,

解得：%》

故。的取值范圍

故選：C

8.(2022?安徽?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知〃x)=log/歷士一同是奇函數(shù)，若/(加+國(guó)+〃依+。)<0恒成

立，則實(shí)數(shù)6的取值范圍是()

A.(-3,3)B.(-9,3)C.(-3,9)D.(-9,9)

【答案】B

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義〃-x)=-〃x)n〃r)+〃x)=0,結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算公式得到9/+1-=1,又

知對(duì)數(shù)底數(shù)a>0且可得a=3；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷和奇函數(shù)的性質(zhì)可得/(x)在R上單調(diào)遞

減，再將/(3尤2+bx)+〃3x+3)<0恒成立問題轉(zhuǎn)化為一元二次不等式31+(b+3)x+3>0恒成立，聯(lián)立二次函

數(shù)圖像的性質(zhì)得A=("3)、4x3x3<0恒成立，求解即可.

【詳解】/(X)是奇函數(shù)，.?"(T)=_f(x)n〃x)+〃T)=0恒成立,

即log“("爐+1-ar)+loga=0恒成立，

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2

化簡(jiǎn)得，logn(9x+1-〃%2)=0,即9爐+1_々2尤2=1=(9-a2b2=0,

貝!)9—Q2=0,解得a=±3,又a>0且awl,:.a=3f

(1)

+1+3x/

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷得，函數(shù)/（X）在[0,+8）上單調(diào)遞減，又/'（X）為奇函數(shù),

所以在R上單調(diào)遞減；由/（62+法）+〃依+。）＜0恒成立得,

f(3犬+bx^<—f(3x+3)=>/(3/+bx^<f(—3]-3)恒成立,

貝U3爐+法＞一3%—3=3/+僅+3）%+3〉0,恒成立，

所以A=U+3）2—4x3x3＜0恒成立，解得—9＜b＜3.

故選：B.

9.（2003?上海?高考真題）關(guān)于函數(shù)/（x）=（sinx）2-\J'+g,有下面四個(gè)結(jié)論:

①/⑺是奇函數(shù)；②當(dāng)尤＞2003時(shí)，/（尤）＞：恒成立；

Q1

③了（X）的最大值是：；④"X）的最小值是-;.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】A

【分析】根據(jù)奇偶性的定義判斷①；通過代特值可以判斷②；將函數(shù)化為/（x）=l-gcos2x-1|J,進(jìn)而

結(jié)合函數(shù)的有界性判斷③；容易判斷當(dāng)x=0時(shí)，cos2x]￡|"同時(shí)取到最大值1和1,進(jìn)而判斷④.

【詳解】對(duì)①，xeR,/(-%)=sin2(-x)-+1=sin2%-1=/(x),則為偶函數(shù)，故①錯(cuò)

誤；

,、2003%|r\2003舛

2

對(duì)②，itx=2003^-,/(2003^-)=sin(2003^-)--+i=--+^<1,故②錯(cuò)誤；

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對(duì)③，/(無)1+g=i_gcos2x—1g[1,M-1<COS2X<1,則gVI—gcosZxW^，又|gj'>0，

于是y(x)<；,故③錯(cuò)誤；

對(duì)④，/(x)=-~~c；2x_D+；=i一gcos2x-(g),當(dāng)x=0時(shí)，cos2x,(g)同時(shí)取到最大值1和1,

則〃X)的最小值是1=-1,故④正確.

故選：A.

1—Y

10.(2021?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)設(shè)函數(shù)—,則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是()

1+無

A.f(x—1)—1B.了(龍一1)+1C.f(x+1)—1D.f(x+l)+l

【答案】B

【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.

1—X2

【詳解】由題意可得/（%）=；」=-1+;—，

1+X1+X

2

對(duì)于A,〃尤一1）-1=提一2不是奇函數(shù)；

2

對(duì)于B,+是奇函數(shù)；

對(duì)于C,/（x+l）-l=-^-2,定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù);

對(duì)于D,/（x+l）+l==，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).

故選：B

【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.

11.（2011?全國(guó)?高考真題）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又區(qū)間（0」，）上單調(diào)遞增的是

A.y=VB.y=|x|+lC.y=-x2+lD.y=2%

【答案】B

【詳解】試題分析：因?yàn)锳項(xiàng)是奇函數(shù)，故錯(cuò)，C,D兩項(xiàng)項(xiàng)是偶函數(shù)，但在（。,+◎上是減函數(shù)，故錯(cuò)，只

有B項(xiàng)既滿足是偶函數(shù)，又滿足在區(qū)間（。,+◎上是增函數(shù)，故選B.

考點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性.

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12.(2015?天津?高考真題)已知函數(shù)〃幻=25-1為偶函數(shù),記。=〃108053)"=〃10825),c=f(2m),

則4,6,c的大小關(guān)系為()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.b<c<a

【答案】C

【詳解】試題分析：因?yàn)椤癤)為偶函數(shù)，所以/(—x)=/(x),.?."*"-1=25-1.?卜X-制=歸一用；.加=0

;J⑺=2忖一1二〃力在[0,+⑹上單調(diào)遞增，并且a=/(|log0.53|)=f(log23)^=f(log25),c="0),因?yàn)?/p>

0<log23<log25,;.c<a<b,故選C.

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性

【思路點(diǎn)睛】本題考查的是比較大小相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，一般比較大小我們可以采用作差法、作商法、單調(diào)性法

和中間量法，本題的題設(shè)中有解析式且告訴我們?yōu)榕己瘮?shù)，即可求出參數(shù)加的值，所以我們采用單調(diào)性法，

經(jīng)觀察即可得到函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)可以通過函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化到同一側(cè)，進(jìn)而判斷出幾個(gè)的大小，

然后利用函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出所給幾個(gè)值的大小.

13.(2015?湖南?高考真題)設(shè)函數(shù)/(x)=ln(l+尤)-ln(l-x),則〃幻是

A.奇函數(shù)，且在(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

C.偶函數(shù),且在(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù)，且在(0,1)上是減函數(shù)

【答案】A

l+x>0

【詳解】試題分析：由題意得，函數(shù)的定義域?yàn)?八，解得

l-x>0

又f(-x)=ln(l-x)-ln(l+x)=-[ln(l+x)-ln(l-切=一/(無)，所以函數(shù)的奇函數(shù)，

1_1_Y1丫

由/(%)=ln(l+%)—ln(l—%)=In，令g(x)=------>又由。<玉<%2<1，貝U

1-x1-x

=片=2(%]占)，即以癡五弟Nil；,所以函數(shù)g(x)=產(chǎn)為單調(diào)遞增函數(shù),

]_入21_X1(1一12乂1一玉)…■1—X

根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)/(x)=ln(l+x)-ln(l-x)在(0,1)上增函數(shù)，故選A.

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，其中解答中涉及到函數(shù)的奇偶性的判定、函

數(shù)的單調(diào)性的判定與應(yīng)用、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合考查，著重考查了學(xué)生分析問題和解

答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，本題的解答中確定函數(shù)的定義域是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.

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【答案】A

【分析】由特值法，函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

l°-2l2

【詳解】因?yàn)?0)=1e_4=e--4<0,故C錯(cuò)誤;

''(0-2)24

|-x+4-2|-^-4

又因?yàn)椤ā?)=1斤一4=-4=/(x)，

(-x+2)2

故函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；

|x-2|

當(dāng)X趨近2時(shí)，趨近1，(x-2)2趨近0,所以〃x)=r-7-4趨近正無窮，故D錯(cuò)誤.

(X—2)

故選：A.

15.(2023?四川德陽?統(tǒng)考一模)〃尤卜金工是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中重要的激活函數(shù)，又稱隴加泡函數(shù).則下列對(duì)

該函數(shù)圖象和情質(zhì)的描述中正確的是()

A.『⑺的值域是(05

B.〃尤)的圖象不是中心對(duì)稱圖形

C.f(x)在R上不單調(diào)

D.r(x)=/(x)[l-f(x)](其中/⑺是外力的導(dǎo)函數(shù)

【答案】D

【分析】求出給定函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合單調(diào)性，對(duì)稱性，再逐項(xiàng)分析、計(jì)算并判斷作答.

【詳解】由函數(shù)〃尤)=[三，定義域?yàn)镽,

e~xe(0,+oo),l+e-xe(l,+oo),J?/(A:)=1e(0,1),A錯(cuò)誤；

1+e

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因?yàn)?(一九)=Jv，l-/(%)=，

1+e1+e

所以〃-x)+/(x)=l,所以Sigm。/雨數(shù)的圖象的對(duì)稱中心為(o,￡|,B錯(cuò)誤；

e-x

求導(dǎo)得：小)=「…，

(1+e)

VxeR,/(%)二匕一)〉0,則Sig根由d函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，C錯(cuò)誤；

e

/(.r)[l-/(x)]=-^-r-[l--^T?]='2=f'(x),D正確.

L」1+e1+e(1+e)

故選：D

16.(2023,全國(guó)模擬預(yù)測(cè))已知定義在R上的函數(shù)〃x)滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x有/(x+2)=/(x+l)-/(x),若

123

y=〃2x)的圖象關(guān)于直線x=：對(duì)稱，/⑴=2,則￡/(幻=()

2k=\

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】C

【分析】由題意

/(x+2)=/(x+l)-/(x)^>/(x+3)=f(%+2)-/(x+l)=>f(%+3)=-/(%)^>/(x+6)=f(x),從而

是周期函數(shù)，又y=f(2x)的圖象關(guān)于直線x對(duì)稱，從而函數(shù)〃尤)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，由

/(1)=2=>/(2),/(3),/(4),/(5),/(6),從而即可求解.

【詳解】因?yàn)椤▁+2)=/(x+l)—“X),所以〃x+3)=/(x+2)_/(x+l),

從而可得〃尤+3)=-〃x),所以〃x+6)=〃x),所以函數(shù)f(x)的一個(gè)周期為6.

因?yàn)閥=/(2x)的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱，

所以〃1-2尤)=〃l+2x),即函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱.

又/⑴=2,/(2)=/(1)-/(0),

所以八2)=〃0)=1,所以〃3)=-〃0)=—1,〃4)=一/'⑴=一2"(5)=-/⑵=—1"⑹=/(0)=1,

所以7(1)+/(2)+…+/(6)=0.由于23除以6余5,

23

所以2f*)=/(1)+/(2)+-■-+〃5)=-/(6)=-1,

k=l

故選：C.

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【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于"系數(shù)不為['的復(fù)合型函數(shù)，一般情況下，內(nèi)函數(shù)多為一次函數(shù)型/("+6),涉

及奇偶性(圖象的對(duì)稱性)時(shí)處理方法有：①利用奇偶性(圖象的對(duì)稱性)直接替換題中對(duì)應(yīng)的變量；(2)

類比三角函數(shù)；③引入新函數(shù)，如令g(x)=/(辰+6),貝(-尤)=/9(一可+6).本題中，y=/(2x)的圖

象關(guān)于直線尤=：對(duì)稱，令g(x)=/(2x),貝重971=89+力，從而一元)="2猿+”],即

/(l-2x)=/(l+2x),函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱，不能誤認(rèn)為函數(shù)的圖象關(guān)于直線x對(duì)

稱.

17.(2023?福建三明?統(tǒng)考三模)己知函數(shù)〃x)=log2(4'+4)-無一1,設(shè)4=/(上|,6=/"，)，

c=/(ln,1,則。，b,c的大小關(guān)系為()

A.b<c<aB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【答案】C

【分析】首先分析函數(shù)“X)的單調(diào)性和對(duì)稱性，根據(jù)函數(shù)〃尤)的性質(zhì)，再研究QanL，吟與對(duì)稱軸X=1

的距離即可求解.

/。+%)=〃1-尤),二尤=1是/(%)的對(duì)稱軸；

設(shè)和超6。收)，g(x)=g+京，并且%>不，貝ug(x2)-g(xj=g+^-^■-^-=(2%2,

顯然y=2"是增函數(shù)，xx+x2>2,

2為+*>4，2苞>2為，，8伍)-g&)>。，即當(dāng)x>l時(shí),g(x)是增函數(shù)，f(x)=log2g(x),根據(jù)復(fù)合函

數(shù)單調(diào)性規(guī)則：同增異減，f(x)在x>l時(shí)是增函數(shù)，

根據(jù)對(duì)稱性,當(dāng)x<l時(shí),/(X)是減函數(shù)；

下面分析自變量彳=當(dāng),tan±,ln工時(shí)與x=l的距離，顯然距離越大，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值越大，

第10頁共33頁

19i9

-----1二—;

1010

x

設(shè)/z(x)=tanx-x,則〃(%)=-L——1=>0??/(x)是增函數(shù)，又M0)=0,所以當(dāng)％>0時(shí),

cosxcosx

h(x)>0,Bptanx>x,—<tan—<tan—=1,

v710104

，一aJ1&

1010

1_丫

設(shè)p(x)=ln(x+l)-x,貝Up,aN:j------1=-——,當(dāng)尤20時(shí)，p(x)是減函數(shù)，又p(0)=0,所以無>0時(shí),

p(x)<0,

1+11J19

即ln(x+l)<x,,又歷>0,1>1-ln—〉—

10101011010

:.c>a>b；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題難度較大，分析問題的出發(fā)點(diǎn)是函數(shù)/(X)的圖像，然后要運(yùn)用縮放法對(duì)自變量X與對(duì)稱軸X=1

的距離做出比較，其中Mx),p(x)是對(duì)正切函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的一個(gè)常用的縮放，需要掌握.

18.(2023?全國(guó)?校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))已知偶函數(shù)〃x)的圖像關(guān)于直線x=2對(duì)稱，f(2)=2,且對(duì)任意

e[0,l],均有/(玉+%2)=/(%)+/(%2)成立,若“7)+/■圖+/(.++/]看卜對(duì)任意"eN*恒

成立，貝打的最小值為()

A.6B.5C.4D.3

【答案】B

【分析】先得到函數(shù)的周期，賦值法得到"1)=1,從而得到"7)==

進(jìn)而得到當(dāng)"22時(shí)，從而利用求和得到+(g]=5-占，從而得

到t的最小值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)〃x)的圖象關(guān)于直線x=0和x=2對(duì)稱，所以其周期T=2x(2-0)=4,

/(玉+々)=/(不)+〃々)中，令占=%=1得，/(2)=2/(1),

又42)=2,解得"1)=1,同理可得/

所以〃7)=〃3)=〃1)=1?=心>；，

第11頁共33頁

心]=0壯卜。解得偈卜:.

依次類推，可得當(dāng)〃上2時(shí)，=

7__7_

所以〃7)+/[3+[([++/[1]=l+g+4^=5-：,

2

又/⑺+/[]+/[：■]++/■]1)〈/對(duì)任意”eN*恒成立，

故此5.

故選：B

19.(2023?四川攀枝花?統(tǒng)考三模)定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)/(尤)的導(dǎo)函數(shù)為尸(x),/(尤)滿足

/(l-x)=/(x+l),且y=〃4x+2)為奇函數(shù).當(dāng)xe(2,3］時(shí)，〃尤)=(*-2丫一3(無一2),則

/,（2022）+/（2023）=（）

A.-5B.-2C.-1D.1

【答案】A

【分析】推導(dǎo)出函數(shù)/■(》)、:(x)均為周期函數(shù)，確定這兩個(gè)函數(shù)的周期，結(jié)合周期性可求得

廣(2022)+“2023)的值.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=/(4x+2)為奇函數(shù)，則/(Tx+2)=—〃4x+2),

gp/(2-x)+/(2+x)=0,可得〃4—x)+/(x)=0,

又因?yàn)椤╨r)=〃x+l),則"4-x)=〃x-2),

所以，f(x)+/(x-2)=0,可得〃x)+/(x+2)=0,貝U〃x+2)=〃x-2),

BP/(x+4)=/(x),

所以，/(2023)=/(4x505+3)=/(3)=l-3xl=-2,

在等式“x+4)=兩邊求導(dǎo)得r(x+4)=f\x),

故函數(shù)尸(x)也為周期函數(shù)，且該函數(shù)的周期為4,

第12頁共33頁

因?yàn)椤?—x)+〃尤)=0,令x=2時(shí)，則有"(2)=0,所以，"2)=0,

所以,"2)=0滿足〃X)=(X-2)3-3(X—2),

即當(dāng)xe[2,3]時(shí)，/(x)=(x-2)3-3(x-2),止匕時(shí)1(x)=3(x-2)2-3,

所以，(2022)=f(4x505+2)=/'(2)=—3,

因此，r(2022)+/(2023)=-3-2=-5.

故選：A.

20.(2018,河南,校聯(lián)考二模)已知函數(shù)“xNG+sinG-R,則實(shí)數(shù)的值是()

A.4036B.2018C.1009D.1007

【答案】C

Y1

【詳解】分析：分別令冢%)=；7±7,h(x)=sin(x--),求得函數(shù)的對(duì)稱中心，從而計(jì)算

2x-l2

2018卜2018女

苧%才】。。9曾引才。，進(jìn)而求得結(jié)果?

X1

詳解：由題意，函數(shù)，(x)=71+sin(龍-:)，

令丫、_上.；(21)+g1I>則g(x)的對(duì)稱中心為([1)，

gW-2^T"2x-l"22^122

2018n1

所以g(x)+g(D=l,則2>(而下=2018x3=1009,

k=i19L

令〃(x)=sin(x-1),則//(x)的對(duì)稱中心為(1+左乃,0)(左eZ),

22

I警k

所以q,0)為函數(shù)無(X)的對(duì)稱中心，則Mx)+/z(l—x)=0,所以?(而不)=。,

2k=i2U19

2018女2018卜2018n

所以自丐麗)=￥(而/稱，歷)=1°°T故選U

點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用，解得中分別令g(尤)=7三Y，h(x)=sin(x1-M,求得函數(shù)g(x),/<龍)

Zx—12

的對(duì)稱中心是解答的關(guān)鍵，著重考查了學(xué)生分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一

定的難度，屬于中檔試題.

21.(2022?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？寄M預(yù)測(cè))已知定義在R上的偶函數(shù)Ax)滿足/(-X)+/(尤-2)=0,

當(dāng)一iWxWO時(shí)，/(x)=(l+x)e",貝I]()

A./(tan等卜/(2022)</卜￡|B./(2022)<[tan答(inJ

第13頁共33頁

C.小A<7(2022)<[tan守D./(2022)<小gj<[tan等j

【答案】B

【分析】根據(jù)所給函數(shù)的條件，分別推算出xe(O,l]和xe(l,2]區(qū)間的解析式，

311

并計(jì)算出函數(shù)的周期，將自變量x=2022,x=tan二萬，尤=ln：轉(zhuǎn)換到相應(yīng)的區(qū)間，

242

利用函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.

【詳解】由已知條件可知/(—x)=/(x),/(-x)+/(x-2)=/(x)+/(2-x)=0,/(x)=-/(2-x),

0/(x)關(guān)于直線x=0和點(diǎn)(1,0)對(duì)稱,

回/(x)的周期為1x4=4,

當(dāng)xe(O,l]時(shí)，-xe[-l,0),由于是偶函數(shù)，〃,=/(-幼=(1)1，

當(dāng)xw(l,2]時(shí)，2_x?0,l],/(x)=-/(2-x)=-[1-(2-x)]e42^=(1-x)e^2,

/(彳)=-廿<0,即〃x)在無?1,2]時(shí)是減函數(shù)；

函數(shù)圖像如下：

/1tan五%J=/(-tan五"卜/1tan五萬J,右)</[tan萬萬卜了⑴，

/(V3)>/(2),

/^ln^=/(-In2)=/(in2),In1<In2<Ine,0<In2<1,/(in2)=(1-In2)e-ln2=^.(l-ln2)>0,

/(2022)=/(505x4+2)=/(2)=(l-2)e2-2=-l,

第14頁共33頁

1

.■./ln|>/tan|l^>/（2022）；

2

故選：B.

22.（2022?新疆喀什?統(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)〃x）的定義域?yàn)镽,〃x+l）為奇函數(shù)，“x+2）為偶函數(shù)，當(dāng)xe［l,2］

9

時(shí)，f(x)=ax2+b.若〃0)+〃3)=6,則/)

9375

A.——B.C.一D.-

4242

【答案】D

【分析】通過/（x+1）是奇函數(shù)和“x+2）是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式〃％）=-2*2+2,進(jìn)而利

用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案.

【詳解】［方法一］：

因?yàn)?（x+1）是奇函數(shù)，所以/（一%+1）=-/（尤+1）①;

因?yàn)?（x+2）是偶函數(shù),所以/（x+2）=/（f+2）②.

令x=l,由①得：/（0）=-/（2）=-（4?+^）,由②得：f（3）=/（l）=?+^,

因?yàn)椤ā?+/(3)=6,所以—(4a+6)+a+b=6=a=—2,

令尤=0,由①得：/(l)=-/(l)n/(l)=On人=2,所以/(x)=_2d+2.

思路一：從定義入手.

IJ41+2(|+27

_13

2II

935

所以/

［方法二］:

因?yàn)?（X+1）是奇函數(shù)，所以/（—x+l）=—/（X+1）①;

因?yàn)?（x+2）是偶函數(shù)，所以〃x+2）=/（-x+2）②.

令x=l,由①得：/(0)=-/(2)=-(4?+^)>由②得：/(3)=/(1)=?+&,

第15頁共33頁

因?yàn)?（。）+/（3）=6,所以一（4a+/?）+a+b=6=a=-2,

令x=0,由①得：/(1)=一/(1)=/(1)=0=6=2,所以/(元)=—2f+2.

思路二：從周期性入手

由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)/(x)的周期7=4.

故選：D.

【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時(shí)候，我們通常可以借助一些二級(jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)

算的效果.

f(l—a)x—2a,x<0

23.(2023?遼寧撫順?校考一模)已知函數(shù)/(無)=，在R為單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

為.

【答案】J，1

【分析】由x?0,得/(x)=31為單調(diào)遞增函數(shù)，從而得Ax)在R為單調(diào)遞增函數(shù)，列出不等式組求解即

可.

【詳解】解：因?yàn)楫?dāng)尤20時(shí)，〃x)=3i,單調(diào)遞增，

又因?yàn)锳x)在R為單調(diào)函數(shù)，

所以AM在R為單調(diào)遞增函數(shù)，

一一Jl-Q>0

所以j(l—Q)X0—2aW3g'

解得-

6

所以實(shí)數(shù)4的取值范圍為：-1,11

故答案為：一

fV+1y>o

24.(2023上?四川成都?高三?？茧A段練習(xí))若函數(shù)/(幻=:一八在(-8,+8)上單調(diào)遞增，則機(jī)的

取值范圍是—

【答案】(0,3]

【分析】先分析每段函數(shù)是增函數(shù)時(shí)加的取值范圍，然后考慮在分段點(diǎn)x=0處兩段函數(shù)值的大小關(guān)系.

第16頁共33頁

2%+1r>0

【詳解】回函數(shù)/(')=:"八在(-8,+8)上單調(diào)遞增，

[mc+m-l,x<Q

回函數(shù)y=g+m-l在區(qū)間(-oo,0)上為增函數(shù)，

fm>0

%*2。+1=2,解得°<根<3，

回實(shí)數(shù)加的取值范圍是(0,3].

故答案為(0,3].

【點(diǎn)睛】求解分段函數(shù)的單調(diào)性，不僅要考慮到每段函數(shù)的單調(diào)性，還需要分析在分段點(diǎn)處兩段函數(shù)的函

數(shù)值的大小比較.

25.(2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)〃尤)=log2(x+7?7T)+e-eT+2,則不等式f(2x+5)+/(3—x”4

的解集為.

【答案】[-8,+8)

【分析】設(shè)函數(shù)8(元)=1。82(元+7^)+。'—「，得到關(guān)于函數(shù)g(x)的不等式，判斷函數(shù)g(x)的性質(zhì)，利

用函數(shù)性質(zhì)得到簡(jiǎn)單的一元一次不等式，解不等式，得結(jié)果.

【詳解】設(shè)函數(shù)g(x)=log2(x+777T)+e,-eT,貝iJf(x)=g(x)+2,/(2x+5)=g(2x+5)+2,

/(3-x)=g(3-x)+2,

所以/(2x+5)+/(3—尤)=g(2x+5)+2+g(3—尤)+224,

化簡(jiǎn)得g(2x+5)+g(3-x)N0.

因?yàn)間(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

22x

且g(—x)+g(尤)=log2(—x+yjx+1)+e-“-e*+log2(尤+Jx+1)+e*—e~,

=log>]-x+J尤2+l)(x+Jx?+1)]=lnl=0,

所以g(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)XNO時(shí)，函數(shù)y=%+777T單調(diào)遞增，又函數(shù)y=Iog2X在其定義域上單調(diào)遞增，所以y=log2(x+7771)

單調(diào)遞增，又函數(shù)、=以『-6-*單調(diào)遞增，故函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，又g(x)為奇函數(shù)，

第17頁共33頁

所以g(尤Nlogzk+TZZj+eX-eT在R上單調(diào)遞增,

^g(2x+5)>-g(3-x)=g(x-3),得2x+52x—3,

解得:xN-8,即原不等式的解集為卜&田).

故答案為：[-8,+Q0).

26.(2021?四川遂寧?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))己知函數(shù)f(x)=log2(A/?W-x),若對(duì)任意的正數(shù)〃，b,滿足

/(a)+/(3匕-2)=0,則±3+；I的最小值為____.

ab

【答案】6

【分析】先確定函數(shù)奇偶性與單調(diào)性，再根/(。)+/(36-1)=。得。+36=1,最后根據(jù)基本不等式"1"的妙用

求最值.

【詳解】因?yàn)椴×?一了>0恒成立，所以函數(shù)Ax)的定義域?yàn)镽,

/(X)+/(-X)=log-+log,(JY+1+X)=0,

2/-j-

V.r+l+x''

所以/(x)為奇函數(shù)，

又./(x)=log2—,當(dāng)x>0時(shí)，“x)=log2f在(0,+8)上單調(diào)遞增，t=-j==—在(。,+8)上單調(diào)

Vx+l+xM+1+x

遞減，

/(x)=l°g2/---在(0,+oo)上單調(diào)遞減，

，尤/+1+X

則/(x)=log2(7771-x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，又f{x}在X=o處連續(xù)，

所以Ax)在R上單調(diào)遞減，

f(a)+f(3b-2)=0,/(a)=/(2-36),

a=2—3b,BPtz+3Z?=2,

/々八a、[9b―a

(Q+3Z?)=----1---F6>——x—F3=3+3=6

2\ab)\ab

當(dāng)且僅當(dāng)9吆b=ag即a=l,匕=1:時(shí)，等號(hào)成立，所以3義+1：的最小值為6.

ab3ab

故答案為：6.

27.(2022?全國(guó)?統(tǒng)考高考真題)若/(x)=lna+3+b是奇函數(shù)，則。=___，b=_____

1—X

【答案】-；；In2.

第18頁共33頁

【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出.

【詳解】［方法一］:奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性

若〃=0,則了⑺的定義域?yàn)閧xlxwl},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

若奇函數(shù)的/（%）=歷1。+1+匕有意義，則XW1且。+J-wO

1-x1-X

「.XW1且XW1+L

a

函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

1H■—=—1,解得〃二一二，

a2

由/（。）=。得，加g+b=O,

:.b=ln2,

故答案為:Ini.

2

［方法二］:函數(shù)的奇偶性求參

a-ax+l\,Iax-a-1

f(x)=lna+----\+b=ln\--------\+b7=ln\+b

1-x111-x

ax+a+\

/(—%)=In+b

1+x

?.?函數(shù)"%）為奇函數(shù)

，/、c/、7ax-a-l\JIax+a+1_?

f(x)+jf(-x)=In--------\+ln\---------b2Z7?=0

1-x111+x

a2%2—(〃_|_1)2

In+2b=0

x2-1

/3+1)21

——=-----=>2。+1=0=>。=—

112

—2b=In—=—2ln2nb=ln2

4

17c

a=——,b7=InZ

2

［方法三］:

因?yàn)楹瘮?shù)/（x）=lna+J—+b為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.

1—X

由4可得，。一耳（。+1一依）20,所以x=q±l=-l,解得：?=-1即函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1-xa2

第19頁共33頁

(^,-l)u(-l,l)u(l,^>),再由"0)=0可得，b=ln2.即/(x)=ln-:+「-+ln2=ln產(chǎn)，在定義域

內(nèi)滿足〃-司=-〃可，符合題意.

故答案為：-3；ln2.

28.(2018?全國(guó)?高考真題)已知函數(shù)〃無)=ln(7i7，T+l,%)=4,則/'(-力.

【答案】-2

【分析】發(fā)現(xiàn)f(x)+f(-x)=2,計(jì)算可得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閒(x)+f(-x)=ln(jl