福建省達(dá)標(biāo)校聯(lián)考2024屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)

福建省達(dá)標(biāo)校聯(lián)考2024屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)

一、選擇題本大題共共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿意：z(1+i)=1-i,則復(fù)數(shù)z等于()

A.-1B.-iC.iD.

1

2.(5分)設(shè)集合A={2,3,5,7},B={2,4,6,8},全集U=AUB,

則集合［u(AAB)中的元素個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

3.(5分)若a=sin(n-21),則函數(shù)y=tanax的最小周期為()

6

A.2LB.JIC.2nD.4”

2

4.(5分)我校三個年級共有24個班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀

況，將每個班編號，依次為1到24,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班

進(jìn)行調(diào)查，若抽到編號之和為48,則抽到的最小編號為()

A.2B.3C.4D.5

5.(5分)已知向量￡(x-1,2),b=(2,1),則“x>0”是“W與E

夾角為銳角”的()

A.必要不充分條件B.充分不必

要條件

c.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

22

6.(5分)已知雙曲線工-Z_=l(a>0,b>0)的一條漸近線與圓(x

a2b2

-3)2+y2=9相交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=2,則該雙曲線的離心率為()

A.8B.272C.1D.3

7.(5分)在如圖的程序中全部的輸出結(jié)果之和為()

旃

i=M=0

5=54-1

〔用

A.30B.16C.14D.9

8.(5分)在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若

b2+c2-a2=6bc，且bSa,則下列關(guān)系肯定不成立的是()

A.a=cB.b=cC.2a=c

D.a2+b2=c2

x+4y》4

9.(5分)給定區(qū)域D：,x+y<4，令點(diǎn)集T=｛(x0,y0)^D|x0,y0^Z,

x》0

(x。，y。)是2=*+丫在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)｝,則T中的點(diǎn)共

確定不同的直線的條數(shù)為()

A.4B.5C.6D.7

10.(5分)定義在R上的奇函數(shù)f(x)和定義在｛x|xW0｝上的偶函數(shù)

’2、-1(0<x<l)

g(X)分別滿意f(x)=11、,g(X)=log2x(x>0),若

存在實(shí)數(shù)a,使得f(a)=g(b)成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,0)U(0,1]

22

C.[-2,-』U[A,2]D.(-8,-

22

2]U[2,+8)

二、填空題(共5小題，每小題4分，滿分20分把答案填在答題卷中

的橫線上)

11.(4分)(x2-2)5的綻開式X，的系數(shù)為(用數(shù)字作答)

12.(4分)從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M(x,y),則點(diǎn)M

取自陰影部分部分的概率為.

13.（4分）某幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的表面積是.

eI（左）裾圖

信力圖

14.（4分）已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2sin2x-1（x￡R）,當(dāng)xE[0,

囚時，若函數(shù)y=f（x）-k有兩個零點(diǎn)，則k的取值范圍為.

2

15.（4分）設(shè)S為非空數(shù)集，若Vx,y￡S,都有x+y,x-y,xy￡S,

則稱S為封閉集，下列命題：

①實(shí)數(shù)集是封閉集

②封閉集肯定是無限集

③若S為封閉集，則肯定有0WS

④若S,T為封閉集且滿意SCUCT,則集合U也是封閉集

其中真命題的序號是（把全部真命題的序號都填上）

三、解答題（共5小題，滿分66分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

或演算步驟

16.（13分）設(shè)數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,且S「=2-

（1）求數(shù)列｛aj的通項公式;

求證：J_J_..._L>-2(n￡N*,

⑵設(shè)Tn^log2ai+log2a2+---+log2an>+++

n22)

17.（13分）如圖，三棱錐P-ABC中，PB_L底面ABC于B,ZBCA=90°,

PB=CA=2,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).

（1）求證：側(cè)面PAC,平面PBC；

（2）若異面直線AE與PB所成的角為9,且tme=￥，求二面角C

-AB-E的大小.

18.（13分）某玩具廠生產(chǎn)甲、乙兩種兒童玩具，其質(zhì)量按測試指示劃

分：指示大于或等于85為合格品，小于85為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩

種玩具個100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：

測試指示［75,80）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

玩具甲82230328

玩具乙71840296

（1）試分別估計玩具甲，玩具乙為合格品的概率

（2）生產(chǎn)一件玩具甲，若是合格品可盈利80圓，若是次品則虧損15

元，生產(chǎn)一件玩具乙，若是合格品可盈利50圓，若是次品則虧損10

元，在（1）的前提下，①記X為生產(chǎn)1件玩具甲和1件玩具乙所得的

總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.②求生產(chǎn)5件玩具乙所

獲得的利潤不少于140元的概率.

19.(13分)已知橢圓(a>b>0)的離心率為血，且過點(diǎn)(2,

a2b22

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC、BD過原點(diǎn)0,若kAc?kBD=

2

_-b,

a2

(i)求瓦?瓦的最值.

(ii)求證：四邊形ABCD的面積為定值.

20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e(e為自然對數(shù)

的底數(shù))處的切線的斜率為3.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若f(x)Wkx?對隨意x>0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)當(dāng)n>m>l(m,n￡N*)時，證明：苑〉以

版n

【選修4-2：矩陣與變量】

21.(7分)設(shè)矩陣A=(；

①求矩陣A的逆矩陣A~

②若曲線C在矩陣A-D的作用下變?yōu)榍€C：'x2-y2=l,求曲線C的

方程.

【選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

22.(7分)在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線3的參數(shù)方程為1x=Mcosa(a

[y=sina

為參數(shù))，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以X軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，

曲線C2的極坐標(biāo)方程為psin(9+2L)=472.

4

(1)求曲線G的一般方程與曲線C2的直角坐標(biāo)方程.

(2)設(shè)P為曲線。上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離的最小值，并求

此時點(diǎn)P坐標(biāo).

【選修4-5,不等式選講】

23.已知函數(shù)f(x)=|x+a|+1x-21

①當(dāng)a=-3時，求不等式f(x)23的解集；

②f(x)W1x-4]若的解集包含[1,2],求a的取值范圍.

福建省達(dá)標(biāo)校聯(lián)考2024屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷(理科)

參考答案與試題解析

一、選擇題本大題共共10小題，每小題5分，滿分50分在每小題給

出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

1.(5分)已知復(fù)數(shù)z滿意：z(1+i)=1-i,則復(fù)數(shù)z等于()

A.-1B.-iC.iD.

1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

專題：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).

分析：干脆轉(zhuǎn)化復(fù)數(shù)方程為復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，化簡復(fù)數(shù)為a+bi的形式

即可.

解答：解：復(fù)數(shù)z滿意：z(1+i)=1-i,

7=l-i=(Li)(Li)=-2i=_j

1+T(1+i)(1-i)2~

故選：B.

點(diǎn)評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算，基本學(xué)問的考查.

2.(5分)設(shè)集合A={2,3,5,7},B={2,4,6,8},全集U=AUB,

則集合［u(AAB)中的元素個數(shù)為()

A.3B.4C.5D.6

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的推斷.

專題：集合.

分析：已知集合人={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},可求得其全集

U=AUB,然后依據(jù)交集的定義和運(yùn)算法則進(jìn)行計算Cu(AAB).

解答：解：?.?集合A={2,3,5,7},B={2,4,6,8},全集U=AUB,

.*.U=AUB={2,3,4,5,6,7,8},

VAnB={2},

.*.Cu(APB)={3,4,5,6,7,8},

共6個元素，

故選：D.

點(diǎn)評：此題考查簡潔的集合的運(yùn)算，集合在2024屆高考的考查是以基

礎(chǔ)題為主，題目比較簡潔，在學(xué)習(xí)中我們應(yīng)從基礎(chǔ)動身.

3.(5分)若a=sin(1--則函數(shù)y=tanax的最小周期為()

6

A.2LB.JiC.2JiD.4n

2

考點(diǎn)：三角函數(shù)的周期性與其求法.

專題：三角函數(shù)的求值.

分析：利用誘導(dǎo)公式求得a的值，再依據(jù)y=Atan(ax+小)的周期等

于T=2￡,求得函數(shù)y=tanax的最小周期.

解答：解：Va=sin(n-=sin2￡=l,貝!J函數(shù)y=tanax=tan2的

6622

最小周期為+271,

2

故選：C.

點(diǎn)評：本題主要考查誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的周期性與其求法，利用了

y=Atan(ax+小)的周期等于T=_,屬于基礎(chǔ)題.

4.(5分)我校三個年級共有24個班，學(xué)校為了了解同學(xué)們的心理狀

況，將每個班編號，依次為1到24,現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法，抽取4個班

進(jìn)行調(diào)查，若抽到編號之和為48,則抽到的最小編號為()

A.2B.3C.4D.5

考點(diǎn)：系統(tǒng)抽樣方法.

專題：計算題；概率與統(tǒng)計.

分析：求出系統(tǒng)抽樣的抽取間隔，設(shè)抽到的最小編號x,依據(jù)編號的和

為48,求x即可.

解答：解：系統(tǒng)抽樣的抽取間隔為a=6.

4

設(shè)抽到的最小編號X,

則x+(6+x)+(12+x)+(18+x)=48,

所以x=3.

故選：B.

點(diǎn)評：本題考查了系統(tǒng)抽樣方法，嫻熟駕馭系統(tǒng)抽樣的特征是解答本

題的關(guān)鍵.

5.(5分)已知向量余(x-1,2),b=(2,1),則“x>0”是")與5

夾角為銳角”的()

A.必要不充分條件B.充分不必

要條件

C.充分必要條件D.既不充分也不

必要條件

考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的推斷.

專題：簡易邏輯.

分析：依據(jù)充分條件和必要條件的定義以與向量的數(shù)量積的應(yīng)用，進(jìn)

行推斷即可.

解答：解：若W與E夾角為銳角，則丁店(x-1,2)-(2,1)=2x

>0,解得x>0成立，

若W與E同向共線時，滿意口/，解得x=5,滿意x>0,但此時夾角

21

為0°,不是銳角，

故“x>0”是與E夾角為銳角”的必要不充分條件，

故選：A

點(diǎn)評：本題主要考查充分條件和必要條件的推斷，依據(jù)向量的數(shù)量積

的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵.

6.(5分)已知雙曲線(a>0,b>0)的一條漸近線與圓(x

a2b2

-3)2+y2=9相交于A、B兩點(diǎn),若|AB|=2,則該雙曲線的離心率為()

A.8B.2J2C.乜D.3

2

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系.

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

分析：求出雙曲線的漸近線方程，利用圓的半徑與半弦長，圓心到直

線的距離滿意的勾股定理求解即可.

解答：解：雙曲線￡一耳=1%>0,b>0）的一條漸近線：bx-ay=O,

ab

圓（x-3）2+y2=9相交于A、B兩點(diǎn)，圓的圓心（3,0）,半徑為3,圓

心到直線的距離為：2y，|AB|=2,

可得：3b=2近.解得b=2?a.c=J^2^2=3a.

Va2+b2

雙曲線的離心率為3.

故選：D.

點(diǎn)評：本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，雙曲線的離心率的

求法，考查計算實(shí)力.

7.（5分）在如圖的程序中全部的輸出結(jié)果之和為（）

［演］

A.30B.16C.14D.9

考點(diǎn)：程序框圖.

專題：算法和程序框圖.

分析：依據(jù)框圖的流程依次計算輸出S的值，直到滿意條件i>7,程

序運(yùn)行終止，全部的輸出結(jié)果相加可得答案.

解答：解：由程序框圖知：第一次循環(huán)S=O+1=1,i=2+l=3,輸出

S=l；

其次次循環(huán)S=l+3=4,i=3+2=5,輸出S=4；

第三次循環(huán)S=4+5=9,i=5+2=7,輸出S=9；

第四次循環(huán)S=9+7=16,i=7+2=9,輸出S=16.

滿意條件i>7,程序運(yùn)行終止，

???全部的輸出結(jié)果之和為1+4+9+16=30.

故選：A.

點(diǎn)評：本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，依據(jù)框圖的流程依次計算輸

出S的值是解答本題的關(guān)鍵.

8.（5分）在AABC中，角A、B、C所對的邊分別為a,b,c,若

b2+c2-a2=6bc，且b=Ea,則下列關(guān)系肯定不成立的是（）

A.a=cB.b=cC.2a=c

D.a2+b2=c2

考點(diǎn)：余弦定理.

專題：解三角形.

分析：利用余弦定理表示出cosA,將已知第一個等式代入求出cosA

的值，確定出A度數(shù)，再利用正弦定理化簡其次個等式，求出sinB的

值，確定出B的度數(shù)，進(jìn)而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形態(tài)，

即可做出推斷.

解答：Vb2+c2-a2=V3bc,

c0sA」2+c2-

2bc2

.*.A=30o,

由正弦定理化簡b=?a,得到sinB=V3sinA=2^,

2

.,.B=60°或120。,

當(dāng)B=60°時，C=90°,此時AABC為直角三角形，

得到a2+b2=c2,2a=c；

當(dāng)B=120°時，C=30°,此時AABC為等腰三角形，

得到a=c,

綜上，b=c不肯定成立，

故選：B.

點(diǎn)評：此題考查了正弦、余弦定理，以與直角三角形與等腰三角形的

性質(zhì)，嫻熟駕馭定理是解本題的關(guān)鍵.

x+4y》4

9.（5分）給定區(qū)域D：,x+y<4，令點(diǎn)集T=｛（Xo,y0）^D|x0,y（）eZ,

x》0

（x。，y。）是2=*+丫在D上取得最大值或最小值的點(diǎn)｝,則T中的點(diǎn)共

確定不同的直線的條數(shù)為（）

A.4B.5C.6D.7

考點(diǎn)：簡潔線性規(guī)劃.

專題：不等式的解法與應(yīng)用.

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用Z的幾何意義求出對應(yīng)的

最值點(diǎn)，結(jié)合直線的性質(zhì)進(jìn)行推斷即可.

解答：解：如圖，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖，則使Z=x+y

取得最小值的點(diǎn)僅有一個(0,1),

使z=x+y取得最大值的點(diǎn)有多數(shù)個，

但屬于集合T的只有5個，(0,4),(1,3),(2,2),(3,1),(4,0),

用這些點(diǎn)可以組成直線的條件為變-匹+1=15-10+1=6個，

0u

故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用以與直線條數(shù)的確定，利用數(shù)形

結(jié)合求出最優(yōu)解是解決本題的關(guān)鍵.

10.(5分)定義在R上的奇函數(shù)f(x)和定義在｛x|xW0｝上的偶函數(shù)

’2、-1(0<x<l)

g(X)分別滿意f(x)=11、,g(X)=log2x(x>0),若

-(x>l)

存在實(shí)數(shù)a,使得f(a)=g(b)成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()

A.[-2,2]B.[-1,0)U(0,1]

22

C.[-2,-』U[A,2]D.(-8,-

22

2]U[2,+8)

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合.

專題：函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用.

分析：依據(jù)函數(shù)的奇偶性作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象，利用數(shù)形

結(jié)合即可得到結(jié)論.

解答：解：分別作出函數(shù)f(x)和g(x)的圖象如圖，

若若存在實(shí)數(shù)a,使得f(a)=g(b)成立，

則b肯定在函數(shù)g(x)使兩個函數(shù)的函數(shù)值重合的區(qū)間內(nèi)，

?..函數(shù)f(x)的最大值為1,最小值為-1,

.?.由log2X=l,解得x=2,

由log2(-X)=1,解得x=-2,

故b的取值范圍是[-2,-1]U[1,2],

22

故選：C

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用函數(shù)的奇偶性結(jié)合數(shù)形

結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵.

二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分把答案填在答題卷中

的橫線上）

11.（4分）（x2-2）5的綻開式X,的系數(shù)為義（用數(shù)字作答）

X

考點(diǎn)：二項式定理的應(yīng)用.

專題：計算題；二項式定理.

分析：依據(jù)所給的二項式，利用二項綻開式的通項公式寫出第r+1項,

整理成最簡形式，令x的指數(shù)為4求得r,再代入系數(shù)求出結(jié)果.

解答：解：依據(jù)所給的二項式寫出綻開式的通項，

Tr+尸哈（-2）&Hr,

要求X、的項的系數(shù)

10-3r=4,

.,.r=2,

2

.?.x,的項的系數(shù)是C52（-2）=40

故答案為：40

點(diǎn)評：本題考查二項式定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出二項

綻開式的通項，在這種題目中通項是解決二項綻開式的特定項問題的

工具.

12.（4分）從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點(diǎn)M（x,y）,則點(diǎn)M

取自陰影部分部分的概率為上

3

考點(diǎn)：定積分的簡潔應(yīng)用.

專題：數(shù)形結(jié)合.

分析：本題利用幾何概型概率.先利用定積分求出圖中陰影部分部分

的面積，再結(jié)合概率計算公式求出陰影部分部分面積與長方形區(qū)域的

面積之比即可.

解答：解：長方形區(qū)域的面積為3,

陰影部分部分的面積為J；3x2dx=x1J=h

所以點(diǎn)M取自陰影部分部分的概率為上

3

故答案為：

3

點(diǎn)評：本題考查的定積分的簡潔應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭定

積分的幾何意義與運(yùn)算公式.簡潔地說，假如每個事務(wù)發(fā)生的概率只

與構(gòu)成該事務(wù)區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模

型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型.

13.（4分）某幾何體的三視圖如圖所不，該幾何體的表面積是92.

正(主＞視圖例(左)視圖

考點(diǎn)：由二視圖求面積、體積.

專題：計算題.

分析：推斷幾何體的形態(tài)，利用三視圖的數(shù)據(jù)，求出幾何體的表面積

即可.

解答：解：幾何體是底面為直角梯形高為4的直四棱柱，S±=S下

=￡x(2+5)X4；S側(cè)=(2+5+4+J/+(5-2)2)X4-

幾何體的表面積為

S=2X,X(2+5)X4+(2+5+4+J42+(5-2)2)X4=92.

故答案為：92.

點(diǎn)評：本題考查三視圖求解幾何體的表面積的方法，正確推斷幾何體

的形態(tài)是解題的關(guān)鍵.

14.(4分)已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx+2sin2x-1(xER),當(dāng)x￡[0,

時，若函數(shù)y=f(x)-k有兩個零點(diǎn)，則k的取值范圍為IWkV后.

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn).

專題：計算題；作圖題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：由三角恒變換化簡f(x)—sin2x-cos2x=V^sin(2x-21)；從

4

而可知函數(shù)f(x)與函數(shù)y=k在［0,匯］上有兩個交點(diǎn)，作函數(shù)圖象求

2

解.

解答：解：f(x)=2sinxcosx+2sin2x-1

=sin2x-cos2x

=V2sin(2x-2￡)；

4

當(dāng)告。，守時，要使函數(shù)尸f(x)7有兩個零點(diǎn),

只需使函數(shù)f(x)與函數(shù)kk在［。,票上有兩個交點(diǎn),

作函數(shù)f(x)=&sin(2x-2L),xG[0,2]的圖象如下,

結(jié)合圖象可得,

l<k<V2；

故答案為：lWk<亞.

點(diǎn)評：本題考查了三角函數(shù)的應(yīng)用與學(xué)生作圖與用圖的實(shí)力，屬于基

礎(chǔ)題.

15.(4分)設(shè)S為非空數(shù)集，若Vx,yes,都有x+y,x-y,xy￡S,

則稱S為封閉集，下列命題：

①實(shí)數(shù)集是封閉集

②封閉集肯定是無限集

③若S為封閉集，則肯定有0￡S

④若S,T為封閉集且滿意SGUGT,則集合U也是封閉集

其中真命題的序號是①③（把全部真命題的序號都填上）

考點(diǎn)：命題的真假推斷與應(yīng)用.

專題：簡易邏輯.

分析：利用封閉集的定義，列舉反例，對選項逐一推斷即可.

解答：解：對于①，實(shí)數(shù)集是封閉集，滿意封閉集的定義，???①正

確；

對于②，例如{0}就是封閉集，不肯定是無限集，.??②不正確；

對于③，若S為封閉集，Vxes,都有x-x￡S,即oes,則肯定有

0GS....③正確；

對于④，例如S={0},U={0,1},T=R,不滿意封閉集的定義，所以若

S,T為封閉集且滿意SCUGT,則集合U也是封閉集，不正確，，④

不正確.

正確命題為：①③.

故答案為：①③.

點(diǎn)評：本題考查封閉集的定義的應(yīng)用，命題的真假的推斷，基本學(xué)問

的理解與應(yīng)用.

三、解答題（共5小題，滿分66分）解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程

或演算步驟

16.（13分）設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項和為出，且S“=2-，，

2n-1

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）Tn=log2ai+log2a2+---+log2an,求證：+...+-L>-2（n￡N*,

n22）

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合.

專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

分析：（1）依題意，依據(jù)依據(jù)S「Sn一k九,可得數(shù)列｛4｝的通項公

式；

（2）設(shè)bn=log2an,可求bn=n,從而可求Tn=log2ai+log2a2+…+log2an.

解答：解：（1）當(dāng)n=l時，ai=SFl.-（2分）

當(dāng)n22時，an=Sn-Sn-i=-L—,此式對n=l也成立.

2n-1

an=—^—.…（5分）

2n-1

（2）證明：設(shè)bn=log2an,則bn=l-n.…（7分）

???｛bj是首項為0,公差為-1的等差數(shù)列.

....n（J。分）

2

-5^-i-^+???+^-=-2（1--1+A-工+…+_3：_-J：）=-2（1_工）>-（12

Tj12Tn223n~1nn

分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等比數(shù)列的通項公式與等差數(shù)

列的求和公式，屬于中檔題.

17.（13分）如圖，三棱錐P-ABC中，PB_L底面ABC于B,ZBCA=90°,

PB=CA=2,點(diǎn)E是PC的中點(diǎn).

(1)求證:側(cè)面PAC_L平面PBC；

(2)若異面直線AE與PB所成的角為9,且13n0=￥，求二面角C

-AB-E的大小.

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角；平面與平面垂直的判定；二面角

的平面角與求法.

專題：空間位置關(guān)系與距離；空間角.

分析：(1)利用線面垂直的性質(zhì)可得PBLAC,利用線面垂直的判

定即可得出AC,平面PBC,利用面面垂直的判定定理即可證明結(jié)論；

(2)通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角

即可得出BC的長度，進(jìn)而利用兩個平面的法向量的夾角即可得出二面

角.

解答：(1)證明：?「PB，平面ABC,Z.PBXAC；

VZBCA=90°,AACIBC；

又PBABC=B,，AC_L平面PBC；

又YACu平面PAC,.,.面PAC,面PBC

(2)以C為原點(diǎn)，CA、CB所在直線為x,y軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)BC=m>0,

貝IJC(0,0,0),A(2,0,0),E(0,巴1),B(0,m,0),P(0,m,

2).

AAE=(-2,1)，而=(0,0,-2)，AB=(-2,m,0)-

由1皿0=平

?,.^=-r=2=，角軍得m二證.

11V20+m2

則靠二(-2,*,1)，AB=(-2,0)?

一.?

則n?AE=-2x+T+z=0

設(shè)平面ABE的一個法向量為左（x,y,z）,取

n"AB=-2x+^2y=0

x=l,貝1Jy=?,z=L

n=（1>正，1）-

取平面ABC的一個法向量工二（0,0,1）,

n=11

cos<Ck>n〉-'=?,<k,n>=60?

IkIInIF2

二面角C-AB-E的大小為60。.

點(diǎn)評：本題綜合考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系求異面直線的夾角、

二面角，線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理，須要較強(qiáng)的推理實(shí)力、

計算實(shí)力和空間想象實(shí)力.

18.（13分）某玩具廠生產(chǎn)甲、乙兩種兒童玩具，其質(zhì)量按測試指示劃

分：指示大于或等于85為合格品，小于85為次品，現(xiàn)隨機(jī)抽取這兩

種玩具個100件進(jìn)行檢測，檢測結(jié)果統(tǒng)計如下：

測試指示［75,80）[80,85)[85,90)[90,95)[95,100)

玩具甲82230328

玩具乙71840296

（1）試分別估計玩具甲，玩具乙為合格品的概率

（2）生產(chǎn)一件玩具甲，若是合格品可盈利80圓，若是次品則虧損15

元，生產(chǎn)一件玩具乙，若是合格品可盈利50圓，若是次品則虧損10

元，在（1）的前提下，①記X為生產(chǎn)1件玩具甲和1件玩具乙所得的

總利潤，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.②求生產(chǎn)5件玩具乙所

獲得的利潤不少于140元的概率.

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量與其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差.

專題：概率與統(tǒng)計.

分析：（1）利用離散型的概率公式求解得出玩具甲為合格品的概

率為30+32+8；玩具乙為合格品的概率為40+29+6.

100100

（2）確定①隨機(jī)變量X的全部可能取值為130,70,35,-25.,分別

求解相應(yīng)的概率，列出分布列即可求解數(shù)學(xué)期望.

②依據(jù)題意得誕生產(chǎn)5件玩具乙中合格品有n件，則次品有5-n件，

依題意得50n-10（5-n）2140,求解不等式即可.

解答：解：（1）玩具甲為合格品的概率為30+32+8=1,

10010

玩具乙為合格品的概率為40+29+6=巨

1004

(2)①隨機(jī)變量X的全部可能取值為130,70,35,-25.

P(X=130)=J.X3=21,

10440

P(X=70)=JLX1=JL,

10440

P(X=35)=_1X3=_9,

10440

P(X=-25)=AX1=A,

10440

全部隨機(jī)變量X的分布列為：

X1307035-25

p21793

40404040

隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為：E(X)

=130X21+70XJLJ.-25xA=86.5,

4040+3°5x4040

②設(shè)生產(chǎn)5件玩具乙中合格品有n件，則次品有5-n件，依題意得50n

-10(5-n)2140,n3，

全部n=4,或n=5,

設(shè)“生產(chǎn)5件玩具乙所獲得的利潤不少于140元”為事務(wù)A,

貝UP(A)=4(3)4X1+5(3)5=包.

c%44C%4128

點(diǎn)評：本題考查了綜合運(yùn)用離散型的概率分布學(xué)問求解問題，關(guān)鍵是

精確求解概率，列出分布列，得出相應(yīng)的數(shù)學(xué)期望，也可以轉(zhuǎn)化為不

等式求解，綜合性較強(qiáng).

19.(13分)已知橢圓/+9=1(a>b>0)的離心率為強(qiáng),且過點(diǎn)(2,

a2b22

&)?

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)四邊形ABCD的頂點(diǎn)在橢圓上，且對角線AC、BD過原點(diǎn)。，若kAc?kBD=

(i)求瓦?瓦的最值.

求證：四邊形ABCD的面積為定值.

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；三角形的面積公式；平面對量數(shù)量積

的運(yùn)算；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

分析：(1)把點(diǎn)(2,代入橢圓的方程

率一巫再由a2=b?+c2,

a2

聯(lián)馬上可得到a?、b\c2；

2

(2)(i)設(shè)A(xi,yD,B(x2,y2),設(shè)kAc=k,由kAc?kBD=-且=-L

a22

可得

ID2k

把直線AC、BD的方程分別與橢圓的方程聯(lián)立解得點(diǎn)A,B,的坐標(biāo)，再

利用數(shù)量積即可得到關(guān)于k的表達(dá)式，利用基本不等式的性質(zhì)即可得

出最值；

（ii）由橢圓的對稱性可知S四邊形ABCD=4XS,B=2|0A||OB|sinNAOB,得

到端邊形ABC「4[|0A121cBi2-（嬴?麗）2「代入計算即可證明.

h_V2

U2

解答：解：（1）由題意可得3g口，解得，

a2b2Ib2=c2=4

22

???橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為今+號=1

(2)(i)設(shè)A(xi,yi),B(x2,y2)?不妨設(shè)Xi>0,x2>0.

2

設(shè)k小k,Vk-kB=-^-=-A,=-A

ACDkK

a22BD2k

可得直線AC、BD的方程分別為廣kx,尸-梟

y=kx2kx

聯(lián)立x2y2,

+x2v2/

Y+T=1

T+T=1

解得

1X2Vl+2k2

???瓦?幣=xN+yiyE9;色1旦：匚何！卜卜2,當(dāng)且僅當(dāng)[小費(fèi)時取等

2121+212-72Ik|2

號.

可知：當(dāng)Xi>0,X2>0時，有最大值2.

當(dāng)Xi<0,x2<0.有最小值-2.

ii)由橢圓的對稱性可知SKWABCD=4XSAAOB=210A||0B|sinZAOB.

S^ABCT^[|0A|2|0B|2-(OA-OT)2]=4

2-2

[(Xj+y?)(xg+yg)-(xjx2+y^2)]~^(Xjy2x2yj)

=4(-A-kxx)2=4(k+—)2(8V^k)2=128,

'2kxlx2KX1X272k1+21?

???四邊形ABCD的面積=哂為定值.

點(diǎn)評：嫻熟駕馭橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與其性質(zhì)、直線與橢圓相交問

題轉(zhuǎn)化為聯(lián)立方程得到一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積、基

本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計算公式等是解題的關(guān)鍵.

20.(14分)已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx的圖象在點(diǎn)x=e(e為自然對數(shù)

的底數(shù))處的切線的斜率為3.

(1)求實(shí)數(shù)a的值；

(2)若f(x)Wkx?對隨意x>0成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；

(3)當(dāng)n>m>l(m,n￡N*)時，證明：苑〉用

痂n

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)探討曲線上某點(diǎn)切線方程.

專題：計算題；證明題；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：(1)求出f(x)的導(dǎo)數(shù)，由切線的斜率為3,解方程，即

可得到a；

(2)f(x)Wkx?對隨意x>0成立ok^對隨意x>0成立，令

X

g(X)=上處，則問題轉(zhuǎn)化為求g(X)的最大值，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)

X

區(qū)間，得到最大值，令k不小于最大值即可；

(3)令h(x)二迎，求出導(dǎo)數(shù)，推斷單調(diào)性，即得h(x)是(1,+8)

X-1

上的增函數(shù)，由則h(n)>h(m),化簡整理，即可得證.

解答：解：(1)f(x)=ax+xlnx,/.f'(x)=a+lnx+l,

又Yf(x)的圖象在點(diǎn)x=e處的切線的斜率為3,

f'(e)=3,即a+lne+l=3,

??a二1；

(2)由(1)知，f(x)=x+xlnx,

f(x)Wkx?對隨意x>0成立ok父生^對隨意x>0成立，

X

令g(x)=出空，則問題轉(zhuǎn)化為求g(X)的最大值，

X

—,x-(1+lnx)

g'(x)-----------------=-丹，令g'(X)=0,解得x=l,

XX

當(dāng)0<xVl時，g'(x)>0,Ag(x)在(0,1)上是增函數(shù)；

當(dāng)X>1時，g(x)<0,/.g(x)在(1,+8)上是減函數(shù).

故g(x)在x=l處取得最大值g(1)=1,

即為所求；

(3)令h(x)=皿，則h，(x)=x-17n：,

x-l(x-l)2

由(2)知,1+lnx(x>0),...h'(x)20,

/.h(x)是(1,+8)上的增函數(shù)，

Vn>m>LAh(n)>h(m),即皿，

n-1m-1

mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,

即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,

mn.imn.-in-izn、m、zm\n

iInn+lnm>inm+lnn,In(mn)>iin(nm),

?zn\m、zm\n

??(mn)〉(nm),

???

^n

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和

最值，考查不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，考查不等式的證

明，運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性，再由單調(diào)性證明，屬于中檔

題.

【選修4-2：矩陣與變量】

21.（7分）設(shè)矩陣

①求矩陣A的逆矩陣A~

②若曲線C在矩陣A^D的作用下變?yōu)榍€C：'x2-y2=l,求曲線C的

方程.

考點(diǎn)：逆變換與逆矩陣.

專題：選作題；矩陣和變換.

分析：①求出矩陣A=（l2］的行列式為12=_即可求出矩陣A的

I23）23

逆矩陣A7

②設(shè)曲線C上任一點(diǎn)M（x,y）在矩陣A對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€U

上一點(diǎn)P（X，，/）,由矩陣變換的特點(diǎn)，即可得到它們的關(guān)系式，

再代入已知曲線方程即可.

解答：解：①矩陣A］12］的行列式為12=7,

I23J23

所以21

.2-1.

②設(shè)曲線C上任一點(diǎn)P（x,y）在矩陣A-對應(yīng)的變換作用后變?yōu)榍€

C上一點(diǎn)Q（X，，y'）,

-3x+2y'

則x