上海教育版數(shù)學八上《一元二次方程的應用》教案

一元二次方程根的應用知識精要一元二次方程的解法：（1）直接開平方法；（2）因式分解（3）配方法；（4）公式法；一元二次方程的求根公式是一元二次方程的根的判別式．當時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，；當時，方程有兩個相等實數(shù)根；當時，方程沒有實數(shù)根．3、二次三項式的因式分解：（1）形如（，，都不為0）的多項式稱為二次三項式。（2）當，先用公式法求出方程的兩個實數(shù)根、，再寫出分解式．當，方程沒有實數(shù)根，在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式。4、一元二次方程的應用列一元二次方程解應用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應用題的方法步驟相同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實際問題有意義，凡不滿足實際問題的解（雖然是原方程的解）一定要舍去．列一元一次方程解應用題的步驟：eq\o\ac(○,1)審題，②設出未知數(shù).③找等量關(guān)系.④列方程，⑤解方程，⑥答.精解名題：1、在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解例1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1）4x2+2x－3(2)-6x-2x+1=4（x+）（x+）=-6（x+）（x+）（3）（x）（）（4）x3-5x=(x-)(x+)()=x(x-)(x+)（5）x-4x-2（6）x4－x2－6=(x-2-)(x-2+)=(x-)(x+)()2、增長率與降低率問題、利滾利問題解決增長率與降低率問題的公式,其中是原有量,增長（或降低）率,為增長（或降低）的次數(shù),為增長（或降低）后的量。利滾利問題：年利息＝本金×年利率年利率為；存一年的本息和：本金×；存兩年的本息和：本金×；存三年的本息和：本金×；存n年的本息和：本金×，即本金×。例2、我村20XX年的人均收入為1200元，20XX年的人均收入為1452元，求人均收入的年平均增長率。解：設均收入的年平均增長率，則1200×（1+x）2=1452解得：x1=0.1，x2=-2.1（不合題意，舍去）∴人均收入的年平均增長率為10%。例3、某工廠今年利潤為萬元，計劃今后每年增長，年后的利潤為多少萬元？a(1+m%)n例4、截止到2000年12月31日，我國的上網(wǎng)計算機總數(shù)為892萬臺；截止到20XX年12月31日，我國的上網(wǎng)計算機總數(shù)以達2083萬臺.求2000年12月31日至20XX年12月31日我國的上網(wǎng)計算機臺數(shù)的年平均增長率（精確到0.1%）.解：設2000年12月31日至20XX年12月31日我國的上網(wǎng)計算機臺數(shù)的年平均增長率為x..解得∵，∴不合題意，舍去.3、面積與面積之間的等量關(guān)系建立一元二元方程的數(shù)學模型并運用它解決實際問題例5．某林場計劃修一條長750m，斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為1.6m2，上口寬比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．（1）渠道的上口寬與渠底寬各是多少？（2）如果計劃每天挖土48m3，需要多少天才能把這條渠道挖完？解：（1）設渠深為xm則渠底為（x+0.4）m，上口寬為（x+2）m依題意，得：（x+2+x+0.4）x=1.6整理，得：5x2+6x-8=0解得：x1==0.8m，x2=-2（舍）∴上口寬為2.8m，渠底為1.2m．（2）=25天答：渠道的上口寬與渠底深各是2.8m和1.2m；需要25天才能挖完渠道．例6.用12米長的一根鐵絲圍成長方形。（1）如果長方形的面積為5m,那么此時長方形的長是多少？寬是多少？如果面積是8m呢？（2）能否圍成面積是10m的長方形？為什么?(3)能圍成的長方形的最大面積是多少？解：（1）設長方形的寬為xm,則長為（6-x）m，x（6-x）=5解得x1=1，x2=5∴當長方形的寬為1m，長為5m或?qū)挒?m，長為1m時，面積為5m同樣面積為8時x（6-x）=8解得x1=2，x2=4∴當長方形的寬為2m，長為4m或?qū)挒?m，長為2m時，面積為5m（2）x（6-x）=10△=-4<0，方程沒有實數(shù)根所以這樣的長方形不存在（3）設圍成的長方形面積為k,則x（6-x）=k要使方程有解，必須有36-4k≥0,即k≤9∴最大的k只能是9，即最大的面積為9，此時x=3，這時所圍成的圖形是正方形。4、通過路程、速度、時間之間的關(guān)系建立數(shù)學模型解決實際問題．例7、某輛汽車在公路上行駛，它行駛的路程和時間之間的關(guān)系為：，那么行駛200m需要多長時間?分析：這是一個加速運運，根據(jù)已知的路程求時間，因此，只要把s=200代入求關(guān)系t的一元二次方程即可．解：當s=200時，3t2+10t=200，3t2+10t-200=0解得t=（s）t=-10舍去答：行駛200m需s．熱身練習1、如果、是一元二次方程的兩個根，那么分解因式a(x－x1)(x－x2)。2、當時，二次三項式的實數(shù)范圍內(nèi)可以分解因式。3、如果二次三項式是關(guān)于的完全平方式，那么k=10。4、某商亭十月份營業(yè)額為5000元，十二月份上升到7200元，平均每月增長的百分率是20%5、某商品連續(xù)兩次降價10%后的價格為a元，該商品的原價應為元。6、某工廠第一季度生產(chǎn)機器a臺，第二季度生產(chǎn)機器b臺，第二季度比第一季度增長的百分率是7、某工廠今年利潤為萬元，比去年增長10%，去年的利潤為萬元。9、一個兩位數(shù)，它的數(shù)字和為9，如果十位數(shù)字是a，那么這個兩位數(shù)是9a+9；把這個兩位數(shù)的個位數(shù)字與十位數(shù)字對調(diào)組成一個新數(shù)，這個數(shù)與原數(shù)的差為81－18a。10、甲、乙二人同時從A地出發(fā)到B地。甲的速度為km/h，乙的速度為km/h(其中a>b)，二人出發(fā)5h后相距5a－5bkm。11、二次三項式分解因式的結(jié)果是(B)A.B.C.D.二次三項式分解因式的結(jié)果是(D)B.C.D.13．在一幅長80cm，寬50cm的矩形風景畫的四周鑲一條金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整幅掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為cm，那么滿足的方程為（B）．A.B.C.D.14．某商店將一件商品的進價提價20%后又降價20%，以96元的價格出售，則該商店賣出這種商品的盈虧情況是（B）．A．不虧不賺B．虧4元C．賺6元D．虧24元15．汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，有效促進我國現(xiàn)代化建設，某汽車銷售公司20XX年盈利1500萬元，到20XX年盈利2160萬元，且從20XX年到20XX年，每年盈利的年增長率相同．（1）該公司20XX年盈利多少萬元？（2）若該公司盈利的年增長率繼續(xù)保持不變，預計20XX年盈利多少萬元？解（1）設每年盈利的年增長率為x，根據(jù)題意得1500（1+x）2=2160．解得x1=0.2，x2=－2.2（不合題意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800．答：20XX年該公司盈利1800萬元．（2）2160（1+0.2）=2592．答：預計20XX年該公司盈利2592萬元．16.某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當?shù)慕祪r措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應降價多少元?老師點評：總利潤=每件平均利潤×總件數(shù)．設每張賀年卡應降價x元，則每件平均利潤應是（0.3-x）元，總件數(shù)應是（500+×100）解：設每張賀年卡應降價x元則（0.3-x）（500+）=120解得：x=0.1答：每張賀年卡應降價0.1元．17.一輛汽車以20m/s的速度行駛，司機發(fā)現(xiàn)前方路面有情況，緊急剎車后汽車又滑行25m后停車．（1）從剎車到停車用了多少時間?（2）從剎車到停車平均每秒車速減少多少?（3）剎車后汽車滑行到15m時約用了多少時間（精確到0.1s）?分析：（1）剛剎車時時速還是20m/s，以后逐漸減少，停車時時速為0．因為剎車以后，其速度的減少都是受摩擦力而造成的，所以可以理解是勻速的，因此，其平均速度為=10m/s，那么根據(jù)：路程=速度×時間，便可求出所求的時間．（2）很明顯，剛要剎車時車速為20m/s，停車車速為0，車速減少值為20-0=20，因為車速減少值20，是在從剎車到停車所用的時間內(nèi)完成的，所以20除以從剎車到停車的時間即可．（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用除以xs．由于平均每秒減少車速已從上題求出，所以便可求出滑行到15米的車速，從而可求出剎車到滑行到15m的平均速度，再根據(jù)：路程=速度×時間，便可求出x的值．解：（1）從剎車到停車所用的路程是25m；從剎車到停車的平均車速是=10（m/s）那么從剎車到停車所用的時間是=2.5（s）（2）從剎車到停車車速的減少值是20-0=20從剎車到停車每秒平均車速減少值是=8（m/s）（3）設剎車后汽車滑行到15m時約用了xs，這時車速為（20-8x）m/s則這段路程內(nèi)的平均車速為=（20-4x）m/s所以x（20-4x）=15整理得：4x2-20x+15=0解方程：得x=x1≈4.08（不合，舍去），x2≈0.9（s）答：剎車后汽車行駛到15m時約用0.9s．18.要做一個高是8cm，底面的長比寬多5cm，體積是528的長方體木箱，問底面的長和寬各是多少？解：設長方體的寬為x（cm），則長為（x+5）cm，底面積為x（x+5）.x（x+5）×8=528.化簡、整理后得解得：.檢驗：不符合實際情況，舍去.當x=6時，符合題意.∴方程的解為x=6.∴長方體的長為6+5=11（cm）.答：長方體的寬為6cm，長為11cm.19.制造一種產(chǎn)品，原來每件的成本是500元，銷售價為625元，經(jīng)市場預測，該產(chǎn)品銷售價第一個月將降低20%，第二個月比第一個月提高6%，為了使第二個月的銷售利潤達到原來的水平，該產(chǎn)品的成本價平均每月應降低百分之幾？解設平均每月應降低，則，，（不合題意，舍去）20.如圖所示,某小區(qū)規(guī)劃在一個長為40米,寬為26米的矩形場地上修建三條同樣寬的甬路,使其中兩條與平行,另一條與垂直,其余部分種草,若使每一塊草坪的面積都為144平方米,求甬路的寬度?解:可設甬路寬為米,依題意,得,解得(不合題意,舍去).答:甬路的寬度為2米.自我測試1.紅星電扇廠4月份生產(chǎn)電風扇2000臺，以后每月的產(chǎn)量遞增，且增長率相同，第二季度總共生產(chǎn)9500臺，求后兩個月的每月平均增長率。解：設增長率為x2000+2000(1+x)+2000(1+x)=9500解得x=1/2,x=-7/2(舍去)∴增長率為0.52.已知：如圖3-9-3所示，在△中，.點從點開始沿邊向點以1cm/s的速度移動，點從點開始沿邊向點以2cm/s的速度移動.（1）如果分別從同時出發(fā)，