直線與直線平行 教學設計 高一下學期數(shù)學人教A版（2019）必修第二冊

教學設計

課程基本信息學科數(shù)學年級高一學期春季課題8.5.1直線與直線平行教學目標1.類比平面內(nèi)平行線傳遞性，通過對典型實例的直觀感知和實驗操作，歸納得出基本事實4，并會用其解決兩直線平行問題，初步發(fā)展直觀想象和數(shù)學抽象素養(yǎng).2.類比平面幾何中的“等角定理”，發(fā)現(xiàn)并證明空間中的“等角定理”，在此過程中進一步提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).教學內(nèi)容教學重點：基本事實4和“等角定理”.

教學難點：空間“等角定理”的證明.教學過程整體概覽引言：在平面幾何中，我們重點研究過兩條直線平行，得到了兩條直線平行的判定定理和性質(zhì)定理.類似的，空間中直線、平面間的平行關(guān)系也是我們立體幾何中的重點研究內(nèi)容.我們前面學過得平行關(guān)系有：直線與直線平行、直線與平面平行、平面與平面平行.由基本事實2可知，兩條平行直線必然在同一平面內(nèi)，因此，平面幾何中直線與直線平行的判定和性質(zhì)在空間中仍然適用，本小節(jié)主要研究一些在平面幾何中成立的有關(guān)平行線的結(jié)論在空間的推廣，主要是平行線的傳遞性和等角定理.設計意圖：在教師的引導下回顧初中平面幾何中兩條直線位置關(guān)系的學習內(nèi)容，通過類比平面幾何的研究，得到本節(jié)的研究內(nèi)容.二、新知探究1.基本事實4的探究（平行線的傳遞性）問題1：在同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線平行，則這兩條直線互相平行．那么在空間中，是否也有類似的結(jié)論呢？圖1下面我們觀察幾個實例.圖1實例1：如圖1，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB，則DC與A1B1平行嗎？圖2預設學生回答：平行圖2實例2：再觀察教室如圖2，黑板邊所在的直線AA′和門框所在的直線CC′都平行于墻與墻的交線BB′，則CC′與AA′平行嗎？預設學生回答：平行在實際生活中這樣的例子還有很多，例如：把一張矩形紙片對折幾次，然后打開，得到的折痕互相平行；將一本書打開，書脊所在的直線與書各頁的另一邊都平行等等.這說明空間中的平行直線具有與平面內(nèi)的平行直線類似的性質(zhì).我們把它作為基本事實.基本事實4文字表示：平行于同一直線的兩條直線平行.acacb符號表示：a//b,b//c,則a//c作用：判斷空間兩條直線的平行.設計意圖：類比平面中平行線傳遞性的性質(zhì)，自然地聯(lián)想到空間中平行線是否有類似的性質(zhì)．結(jié)合大量實例，通過直觀感知和操作確認，感知結(jié)論的正確性，歸納得到基本事實4，并會用圖形語言和符號語言表示.圖32.基本事實4的應用圖3例1如圖3，空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點．求證：四邊形EFGH是平行四邊形．追問1：如何證明一個四邊形是平行四邊形？預設學生回答：證明它的一組對邊平行且相等，或者證明其兩組對邊分別平行．追問2：看到條件中的中點你能想到怎樣的平行關(guān)系？預設學生回答：三角形的中位線，它平行且等于底邊的一半．追問3：根據(jù)中位線的知識可得：,，由此可證，你的理論依據(jù)是什么？預設學生回答：由基本事實4可得.證明：連接BD.∵EH是△ABD的中位線，∴EH//BD,且EH=12BD同理FG//BD,且FG=12BD∴.∴四邊形EFGH為平行四邊形.追問4：如果題目再增加條件AC=BD，那么四邊形EFGH又是什么圖形？預設學生回答：菱形.設計意圖：基本事實4的簡單應用，體會平行線的傳遞性．3.探究并證明“等角定理”圖4問題2：在平面內(nèi)，如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別對應平行，則這兩個角相等或互補．在空間中，這一結(jié)論是否仍然成立呢？圖4實例3：如圖4，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，則AA1與CC1，ED1與BF有怎樣的位置關(guān)系？預設學生回答：依據(jù)基本事實4，可知AA1//CC1，ED1//BF追問：∠D1EA1與∠BFC,∠D1EA與∠BFC的大小有何關(guān)系？預設學生回答：∠D1EA1=∠BFC，∠D1EA+∠BFC=π.大家回答的都很正確，下面通過一個動畫演示再來感受一下這個結(jié)論.實例4（1）如圖5在∠BAC和∠B1A1C1中，AB//A1B1，AC//A1C1,則∠BAC與∠B1A1C1有怎樣的大小關(guān)系？（2）如圖5在∠BAC和∠B1A1C1中，AB//A1B1，AC//A1C1,則∠BAD與∠B1A1C1有怎樣的大小關(guān)系？圖5預設學生回答：∠BAC=∠B1A1C1，∠BAD+∠B1A1C1=π圖5設計意圖：在定理給出之前，先在正方體模型中給出一個實例，讓學生直觀感知等角定理的結(jié)論在空間中依然成立，然后再通過PPT動畫演示再次感知結(jié)論的正確性.問題3：通過上述特例，我們發(fā)現(xiàn)在空間中，如果兩個角的兩條邊分別對應平行，則這兩個角相等或互補．你能嚴格地證明該結(jié)論嗎？圖6與平面中的情況類似，當空間中兩個角的兩條邊分別對應平行時，這兩個角有如圖6所示的兩種位置關(guān)系.下面我們對圖5（1）的情形進行證明.圖6追問1：回顧初中證明兩個角相等的常用方法都有哪些？預設學生回答：全等三角形對應角相等，對頂角相等，內(nèi)錯角相等等.追問2：兩個三角形全等的判定定理有哪些？預設學生回答：SAS,ASA,SSS,AAS.追問3：因為條件給出的是角，沒有三角形，所以我們先要從角中構(gòu)造出全等三角形，再根據(jù)全等三角形的對應角相等來進行證明，結(jié)合三角形全等的判定定理，如何在圖（1）中構(gòu)造出兩個全等的三角形？預設學生回答：結(jié)合追問（2）中的三角形全等的判定定理，可以知道只要含角的定理都無法使用，只能通過SSS進行證明，所以在兩個角的兩邊分別截取長度相等的兩組對應邊，再證明第三組對邊相等即可.設計意圖：該定理的證明需構(gòu)造兩個全等的三角形，學生不易想到．教師通過引導學生回顧初中時證明兩個角相等的常用方法，引出證通過證明三角形全等得到角相等的思路．圖6證明：如圖6，分別在∠BAC和∠B′A′C′的兩邊上截取AD,AE和A′D′,A′E′，使得AD=A′D′,AE=A′E′.連接AA′,DD′,EE′,DE,D′E′.圖6∵，∴四邊形ADD′A′是平行四邊形.∴.同理可證.∴.∴四邊形DD′E′E是平行四邊形.∴DE=D′E′.∴△ADE≌△A′D′E′.∴∠BAC=∠B′A′C′.對于圖5（2）的情形，請同學們自己給出證明.等角定理文字表示：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.圖形表示：符號表示：在∠CAB和∠C′A′B′中，AB//AB,AC//AC,則∠CAB=∠C′A′B′或∠CAB+∠C′A′B′=π設計意圖：用三種語言分別敘述等角定理，學會用圖形語言和數(shù)學語言表達數(shù)學定理.圖74.“等角定理”的應用圖7例2如圖7，已知在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是棱CD，AD的中點．求證：∠DNM＝∠D1A1C1.追問1：如何證明兩個角相等？預設學生回答：根據(jù)等角定理只需證明角的兩邊對應平行.圖8追問：如何證明NM//A1C1？圖8預設學生回答：NM//AC，AC//A1C1.證明：如圖8，連接AC.在△ACD中，∵M，N分別是棱CD，AD的中點，∴MN∥AC，由正方體的性質(zhì)，得AC∥A1C1，∴MN∥A1C1，∵ND∥A1D1，∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補．又易知∠DNM與∠D1A1C1均為銳角，∴∠DNM＝∠D1A1C1.設計意圖：基本事實4和“等角定理”的簡單應用，加深對定理的理解.問題4：基本事實4（平行線的傳遞性）和“等角定理”都是由平面圖形推廣到立體圖形得到的．是不是所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到空間呢？若不能，請舉例說明之．圖1反例：長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB，AA1⊥AB，但AA1⊥AD圖1因此，平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，在空間中不再成立.設計意圖：讓學生明白，并非所有關(guān)于平面圖形的結(jié)論都可以推廣到立體圖形，若要把關(guān)于平面圖形的結(jié)論推廣到立體圖形，必須經(jīng)過證明.三、課堂小結(jié)問題5：回顧本節(jié)課學習，