2024屆山東省高中高三年級(jí)上冊12月調(diào)研數(shù)學(xué)試題和答案

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山東高中名校2024屆高三上學(xué)期統(tǒng)一調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

2023.12

注意事項(xiàng)

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

A=(xllxl<1),5=(xlx2-2x<0),

1.集合I「廣I?),則Nun8=()

A{x[0<x<l}B,{x|-l<x<0}

C.{x|-l<x<2}D,{x[0<x<2}

2.已知直線機(jī)，〃和平面a,滿足〃ua,貝ij“加〃〃”是的()

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C充分必要條件D.既不充分也不必要條件

3.復(fù)數(shù)z滿足|z-i|=|z-1|,則|z+l|的最小值為()

V2

B.1c.V2D.y

4.已知4尸、0是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦尸。所對(duì)的圓心角為120°，則萬?質(zhì)的最大值為

()

A.6B.3C.V6D.6

5.已知函數(shù)/(x)=Zsin(0x+0)(Z>O,o>O)的部分圖象，則/)

第1頁/共5頁

6.已知/(x)=lg(sinx-cosx),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(x)是周期函數(shù)

TTTT

B./(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.>=/(x)的圖象關(guān)于x=-:對(duì)稱

D.方程/(x)=0在［0,2可有2個(gè)相異實(shí)根

7已知a=ln(1.2e),b=e°'2,c=,則有()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

8.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有〃x+2)+/(2—x)=0,當(dāng)xe(0,2)

時(shí)，/(x)=hw,則/(x)在［—10,10］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.10B.15C.20D.21

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知a>6,下列結(jié)論正確的是()

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)C,℃2>命2

B.若一>—，則ctb<0

ab

C.若b>0,則2。+7H------的最小值是4J5

ba-b'

D.若a1>b?,貝ijab>0

10.已知函數(shù)/(x)=d-3x2.9x+i,則下列結(jié)論正確的是()

A./(x)在［-2,1］上的最小值為—10

第2頁/共5頁

B.>=/（x）的圖象與無軸有3個(gè)公共點(diǎn)

C.>=/（"的圖象關(guān)于點(diǎn)（0,1）對(duì)稱

D.>=/（弓的圖象過點(diǎn)（一2,0）的切線有3條

11.如圖，長方形4BC。中，4B=1,8C=2,E為8C的中點(diǎn)，現(xiàn)將△氏4E沿4E向上翻折到△加￡的

位置，連接尸C,。。，在翻折的過程中，以下結(jié)論正確的是（）

B.四棱錐尸-4ECD體積的最大值為注

4

c.尸。的中點(diǎn)廠的軌跡長度為叵

4

D.￡尸,CD與平面所成的角相等

12.設(shè)印入，…，匕為平面a內(nèi)的〃個(gè)點(diǎn)，平面a內(nèi)到點(diǎn)印鳥,…/，的距離之和最小的點(diǎn)，稱為點(diǎn)

Px,P2,...,Pn的“優(yōu)點(diǎn)”.例如，線段45上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)48的優(yōu)點(diǎn).則有下列命題為真命題的有：

（）

A.若三個(gè)點(diǎn)48,C共線，C在線段4B上，則C是4瓦C的優(yōu)點(diǎn)

B.若四個(gè)點(diǎn)4民C,。共線，則它們的優(yōu)點(diǎn)存在且唯一

c.若四個(gè)點(diǎn)4民。,。能構(gòu)成四邊形，則它們的優(yōu)點(diǎn)存在且唯一

D.直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.若第10排有41個(gè)座位，則

該報(bào)告廳座位的總數(shù)是.

第3頁/共5頁

」，一.%?兀A/3兀兀-

14.已知sinccH——-,6ZG,一?>貝Ucos2a=.

I4j3I----2--2)

15.已知圓錐的母線長為/(定值)，當(dāng)圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開圖的圓心角大小為.

RA-CSQ

16.已知內(nèi)角分別為4民。，且滿足cos—+2sin---=0,則1一一+--的最小值為

22sin/sinC

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.記的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。也。，已知=——=4.

cosA

(1)求Ac：

/八HacosB-bcosZb1為如

(2)右-------------二—bl,求44BC面積.

acosB+bcosAc

18.已知函數(shù)/(x)=x—(加+2)lnx---.

x

(1)若/(X)在(1,7(1))處的切線/垂直于直線x—2y+l=o,求/的方程；

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

19.已知數(shù)列｛4｝,｛〃｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，令

(1)證明：數(shù)列｛4｝不是等比數(shù)列；

(2)若%=2","=3',是否存在常數(shù)無，使得數(shù)列｛C“M+此”｝為等比數(shù)列？若存在，求出左的值；若

不存在，說明理由.

20.如圖，在四棱臺(tái)48CD—44GA中，底面4BC。為平行四邊形，/民4。=120。，側(cè)棱幺4,底

面ABCD,M為棱CD上的點(diǎn).2。=AXA=2,AXBX=DM=1.

(1)求證：AM1AXB.

第4頁/共5頁

(2)若M為C。的中點(diǎn)，N為棱。2上的點(diǎn)，且。N=Y5,求平面與平面48。所成角的余弦

2

值.

21.已知數(shù)列｛%｝前〃項(xiàng)和為S“，且對(duì)任意的正整數(shù)〃，〃與S’,的等差中項(xiàng)為4.

(1)求數(shù)列｛。,｝的通項(xiàng)公式；

n1a.a,n(

(2)證明：—+—+...+^<-?eN.

23a2a3an+i2'/

22.已知函數(shù)/(x)=E—a(l—x+liu),其導(dǎo)函數(shù)為/'(x).

(1)若/(x)在(1,+8)不是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若/⑴對(duì)在(1,+⑹恒成立，求實(shí)數(shù)0的最小整數(shù)值37.39)

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山東高中名校2024屆高三上學(xué)期統(tǒng)一調(diào)研考試

數(shù)學(xué)試題

2023.12

注意事項(xiàng)

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫在答題卡和試卷指定位置.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的.

A=(xllxl<1),5=(xlx2-2x<0),

1.集合I「廣I?),則Nun8=()

A.{x[0<x<l}B,{x|-l<x<0}

C.{x|-l<x<2}D,{x[0<x<2}

【答案】C

【解析】

【分析】分別求出集合45,再運(yùn)用并集運(yùn)算求解.

【詳解】^={x|-l<x<l},5={x|0<x<2},

則/-1<x<2}.

故選：C

2.已知直線加，〃和平面a,滿足〃ua,則“加〃〃”是“〃?//a”的()

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C,充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)線面關(guān)系，結(jié)合必要條件以及充分條件的定義，可得答案.

【詳解】充分性：當(dāng)且僅當(dāng)加aa時(shí)，由加〃〃，則加//a,故“加〃是“機(jī)//a”的不充分條件；

第1頁/共25頁

必要性：由題意可知：切與"無公共點(diǎn)，則加〃〃或者切與〃異面，故“加〃〃”是“優(yōu)〃1”的不必要條

件.

故選：D.

3.復(fù)數(shù)z滿足|z—i|=|z-1],則匕+1]的最小值為（）

A.叵B.1C.V2D.1

2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，作圖，利用點(diǎn)到直線距離公式，可得答案.

【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為尸（見6）,

則|z-i|可表示為復(fù)平面上點(diǎn)P（“,b）到2（0,1）的距離，

|z-1|可表示為復(fù)平面上點(diǎn)尸（9）到5（1,0）的距離，

由題意可知：點(diǎn)尸在線段48的中垂線上，如下圖：

線段45的中點(diǎn)為直線4B的斜率七B=T，

則尸的軌跡方程為y—〈=x—g,整理可得x—y=0,

由|z+1|可表示為點(diǎn)尸（。⑼到C（-l,0）的距離d,

d.4=也

mnVi+l2

故選：A.

4.已知從尸、0是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦尸。所對(duì)的圓心角為120°，則方?質(zhì)的最大值為

（）

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A.6B.3c.4eD.百

【答案】A

【解析】

【分析】將萬?血中向量進(jìn)行分解，即：Qx而=（方+而方+麗），

由8是P0的中點(diǎn)，可將上式進(jìn)行化簡整理為彳萬、而=益2_3,所以只需求|刀|最大,即的長加圓

的半徑即可，然后代入即可求得2。的最大值.

【詳解】因?yàn)橄沂Ｋ鶎?duì)的圓心角為120°，且圓的半徑為2,所以忸@=26,

取尸。的中點(diǎn)8,所以|即=忸0=百，忸。|=1,如圖所示：

-----*2------,,

因?yàn)榈秞而=（益+而AB+AB

因?yàn)?是尸。的中點(diǎn)，所以加+苑=0,BP^BQ=-\BP^BQ\

AP^AQ=AB2-|5P||^2|=AB2-3,

所以若萬?而最大，所以只需|刀|最大,

所以近|-\BO\+r=1+2=3,

IImax

所以萬x而=32-3=6.

\Jmax

故選：A

5.已知函數(shù)/（x）=Nsin（ox+0）（N>0,o>0）的部分圖象，則/)

第3頁/共25頁

V2C.-V3D.-2

【答案】B

【解析】

兀

【分析】由圖象求得函數(shù)解析式，可求/

【詳解】函數(shù)/(x)=Zsin(ox+0),

由圖象可知，/=2,

函數(shù)最小正周期為T,有，？[-總后，則T吟*3=3,

得/(x)=2sin(3x+0),

則/(x)=2sin[3x+彳),

=2sin[3x+^]=2sin3^^+^=2sin/=一行.

故選：B

6.E^/(x)=lg(siwc-cosx),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()

A./(x)是周期函數(shù)

jrjr

B./(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增

C.>=/(x)的圖象關(guān)于》=-:對(duì)稱

D.方程/(x)=0在[0,2可有2個(gè)相異實(shí)根

【答案】B

第4頁/共25頁

【解析】

jr

【分析】根據(jù)函數(shù)周期性定義可判斷A；根據(jù)特殊值，即苫=:時(shí)，函數(shù)無意義判斷B；結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)

4

稱性判斷C；求出方程/(x)=0在［0,2可上的根，判斷D.

【詳解】函數(shù)/(%)=照(5加一(：0聞=愴05皿》一；)，定義域?yàn)?+左eZ,

對(duì)于A,/(x+27i)=lgV2sin(x+27i-^-)=/(x),故/(x)是周期函數(shù)，A正確；

兀..

對(duì)于B,當(dāng)x時(shí)，sinx=cosx,則sinx—cosx=0,

4

此時(shí)/(x)=lg(sinx-cosx)無意義，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,當(dāng)X=-四時(shí)，V2sin(x--)=-V2,

44

即y=0sin(x—；)的圖象關(guān)于x=-：對(duì)稱，

由于/(x)的定義域?yàn)?2也+；,2桁+牛：左eZ也關(guān)于x=-：對(duì)稱，

故>=/(》)的圖象關(guān)于x=-：對(duì)稱，C正確；

對(duì)于D,令/(x)=lg正sin(x—￡)=0,即sin(x—：)=與，

TTTTTT3TT

則x=一+2左兀,keZ,或％=---F2左兀,kEZ,

4444

JI

即％二—+2左兀，左￡Z,或1=兀+2所,左EZ,

2

則當(dāng)左=0時(shí)，x=］,兀￡［0,2兀］,

即方程/(x)=0在［0,2可有2個(gè)相異實(shí)根，D正確，

故選：B

7.已知a=ln(1.2e),b=e°',c=,則有()

e

A.a<b<cB,a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】C

【解析】

【分析】構(gòu)造/(x)=e，-ln(x+l)—l,x>l,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)/(x)在(0,+。)上單調(diào)遞增，即可得出

/(0.2)>0,所以c<a；構(gòu)造g(x)=e*—(x+l),x>0,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞

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增，可判斷c<l,再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)得到C<a.

【詳解】令/(x)=eJln(x+l)-l,x>0,則/<x)=e，—一—.

X+1

當(dāng)x>0時(shí)，有所以」一<1,

x+lX+1

所以,/'(x)>0在(0,+動(dòng)上恒成立，

所以，/(X)在(0,+“)上單調(diào)遞增，

所以，/(x)>/(0)=l-1=0,

2

所以，/(0.2)>0,BPe°--lnl,2-l>0>所以a<b

令g(x)=e'—(x+l),x>0,則g'(x)=e*T在尤>0時(shí)恒大于零，故g(x)為增函數(shù)，

所以——<l,x>0,而a=ln(1.2e)=l+lnl.2>l,所以c<a,

e

所以,

故選：C

8.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xeR,都有〃x+2)+/(2-x)=0,當(dāng)xe(0,2)

時(shí)，〃x)=hw,則/(x)在［—10,10］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()

A.10B.15C.20D.21

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)條件“x+2)+/(2-x)=0,得到函數(shù)/(x)的周期為7=4,再根據(jù)條件得出

xe(—2,0)時(shí)，/(x)=-h(-x),從而得出/(—1)=/(0)=/⑴=/(2)=0,再利用周期性及圖像即可

求出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?(x+2)+/(2-x)=0,令/=2—x,得到/(4—/)+/。)=0,

所以/(4-)=—/?),從而有/(4+/)=—/(—/),又函數(shù)/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，

所以/(4+/)=/?),即/(4+x)=/(x),所以函數(shù)/(x)的周期為7=4,

令xe(-2,0),則-xe(O,2),又當(dāng)xe(0,2)時(shí)，f(x)=Inx,

所以/(-x)Tn(—x),得至i］/(x)=-ln(-x),

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lnx,xe(0,2)

故/(x)=0,x=0,又7=4,所以，(幻在》6[—10,10]上的圖像如圖,

-ln(-x),xG(-2,0)

又當(dāng)xe(O,2)時(shí)，由/(x)=0,得到x=l,當(dāng)xe(—2,0),由/(x)=0,得到x=—1,即

/(1)=0,/(-1)=0,

又T=4,所以/(—8)=/(-4)=/(0)=/(4)=/(8)=0,

f(~9)=/(-5)=/(-I)=/(3)=f(7)=0,/(-7)=f(-3)=f(l)=f(5)=/(9)=0,

又由/(x+2)+/(2—x)=0,得到/(2)+/(2)=0,即/⑵=0,

所以/(—10)=/(-6)=/(-2)=/(2)=/(6)=/(10)=0,

再結(jié)合圖像知，/(x)在［-10,10］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為21個(gè)，

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多

項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知。>力，下列結(jié)論正確的是()

A.對(duì)任意實(shí)數(shù)CM，>兒2

B.若一>—,則ab<0

ab

C.若b〉0,貝IJ2Q+7H-----^的最小值是4A/^

ba-b

第7頁/共25頁

D.若/〉/,貝1］">0

【答案】BC

【解析】

【分析】舉出反例即可判斷AD；作差即可判斷B；根據(jù)2。+工+,=2(。一?+,+26+」結(jié)合基

ba-ba-bb

本不等式即可判斷C.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)。=0時(shí)，ac2=Q=bc\故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,因?yàn)椤?gt;一,

ab

所以工―工=2二g〉o,所以。6<0,故B正確；

abab

對(duì)于C,因?yàn)閍>/?>0,所以。一6>0,

則2。+工+^—=2("6)+^—+26+,"2("?.——+2.2Z)--=4V2,

ba-bI'a-bbVV)a-b\b

11/n

當(dāng)且僅當(dāng)2(a—b)=-7且2b=7,即a=J5/=注時(shí)取等號(hào)，

a-bb2

所以2。+不H-------^的最小值是故C正確；

ba-b

對(duì)于D,當(dāng)。=2,6=-1時(shí)，a>b,a1>b?,ab<0,故D錯(cuò)誤.

故選：BC.

10.已知函數(shù)/(X)=--3X2-9X+1,則下列結(jié)論正確的是()

A./(X)在［-2,1］卜.的最小值為-10

B.>=/(x)的圖象與無軸有3個(gè)公共點(diǎn)

C.>=/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0」)對(duì)稱

D.>=/(目的圖象過點(diǎn)(一2,0)的切線有3條

【答案】ABD

【解析】

【分析】將原函數(shù)/卜)=丁-3/一以+1的導(dǎo)函數(shù)求出，即為：f(x)=3x2-6x-9,由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判

斷原函數(shù)的單調(diào)性，然后即可判斷出函數(shù)在卜2,1］上的最值，將原函數(shù)的極大值與極小值求出，即可畫出

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函數(shù)圖象，判斷出函數(shù)與X軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，對(duì)于C選項(xiàng)，只需判斷出/(-x)+/(x)=2即能說明y=/(x)

的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,1)對(duì)稱，D選項(xiàng)需求過點(diǎn)(-2,0)的切線方程，注意區(qū)分過某點(diǎn)的切線方程和在某點(diǎn)的切

線方程.

【詳解】因?yàn)?k)=/-3/一9x+l,所以/'(x)=3f-6X—9=3(X+1)(X—3),

所以當(dāng)—1<X<3時(shí)，/'(無)<0,/(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)x<—1或x>3時(shí)，/心)>0,/(x)單調(diào)遞增，

A選項(xiàng)中，當(dāng)xe[—2』時(shí)，/(X)在(—2,—1)上單調(diào)遞增，在(—1,1)上單調(diào)遞減，

所以/卜2)=卜2)3.342)2-9<-2)+1=-1,

/(1)=13-3'I2-9'1+1=-10,

所以/(x)在卜2,1]上的最小值為TO,A正確；

因?yàn)?(力在(-叫-1)，(3,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,3)上單調(diào)遞減，

f(x)極大值大-1)=(-1):3,(-「9,(-1)+1=6,

/(x)極小值=/(3)=3二3'32-9'3+1=-26,

且當(dāng)X->-co時(shí)，/(X)-—00,Xf+C0時(shí)，/(X)->+oo,

如圖所示：

所以歹=/(》)的圖象與X軸有3個(gè)公共點(diǎn)，B正確；

若>=/(x)的圖象關(guān)于(0」)對(duì)稱，則有/(f)+/(x)=2,

因?yàn)?x3-3x2-9x+]+(-x)3_3(-x)2-9(-x)+1=-6x2+2,

所以C錯(cuò)誤；

第9頁/共25頁

因?yàn)?'(X)=3/一6》一9,設(shè)y=/(x)的切點(diǎn)為卜o，x；-3%o-9x0+1),

所以/，/)=3x；-6x0-9,

所以在切點(diǎn)卜o，x；-3x；-9x0+lj處的切線方程為：y-x()+3x；+9玉)-1=(3x：-6x0-9)(x-%),

當(dāng)切線過(一2,0)時(shí)，即：-x；+3x；+9x°-l=(3x；-6/-9)(-2-%),

整理得：2XQ+3%Q-12x0-19=0,

設(shè)加(x)=2x3+3x2-12x-19,

則加=6%2+6x-12=6(%2+%-2)=6(x-1)(x+2)

所以加'(x)=0時(shí)，x=1或x=-2,

當(dāng)加'(x)<0時(shí)，-2<x<l,加(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)加(％)>0時(shí)，、<一2或x>l,加(x)單調(diào)遞增，

所以加⑴極大值/(一2)=2<2丫+3<2)2一⑵(-2)-19=1,

鞏》)極小值/(1)=2'F+3'F一12'1-19=-26

所以m(x)的圖象如圖所示：

所以由圖象知根(x)有三個(gè)零點(diǎn)，所以2d+3f-12x-19=0有三個(gè)根，

所以歹=/(力的圖象過點(diǎn)(一2,0)的切線有3條，D正確.

故選：ABD

11.如圖，長方形48C。中，4B=1,8C=2,E為BC的中點(diǎn)，現(xiàn)將△氏4E沿4E向上翻折到△尸/￡的

位置，連接尸C,。。，在翻折的過程中，以下結(jié)論正確的是()

第10頁/共25頁

P⑻

A.存在點(diǎn)尸，使得尸Z，￡Z)

B.四棱錐尸-NEC。體積的最大值為注

4

c.尸。的中點(diǎn)廠的軌跡長度為叵

4

D.ERC。與平面所成的角相等

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據(jù)面面垂直性質(zhì)，錐體體積、動(dòng)點(diǎn)軌跡、線面角等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)平面4PE_1_平面ZECD時(shí)有尸4_1_，下面證明：

在底面ZECD中，AE=DE=g,AD=2,所以

當(dāng)平面APE±平面AECD時(shí)，平面APEn平面AECD=AE,DEu平面AECD,

所以DE/平面4PE,

又尸Zu平面4PE,所以尸Z，￡￡),故A正確.

1Io3B

對(duì)于B,梯形/EC。的面積為丁xl=9，&E=6,直角V4PE斜邊NE上的高為注.

222

當(dāng)平面4PE,平面ZECD時(shí)，四棱錐尸—ZEC。的體積取得最大值1x3xY2=也，B正確.

3224

對(duì)于C,取R4的中點(diǎn)G,連接GF,GE,FC,則GE,EC平行且相等，四邊形ECFG是平行四邊形，

所以點(diǎn)尸的軌跡與點(diǎn)G的軌跡形狀完全相同.

過G作/￡的垂線，垂足為〃，G的軌跡是以“為圓心，〃G="為半徑的半圓弧，

4

從而陽的中點(diǎn)下的軌跡長度為叵，C錯(cuò)誤.

4

對(duì)于D,由四邊形ECFG是平行四邊形，知EC〃/G,

第11頁/共25頁

又￡C<Z平面P4D,尸Gu平面P4D,

則EC//平面PAD,則瓦C到平面PAD的距離相等，

故PE,CD與平面PAD所成角的正弦值之比為CD:PE=1:1,D正確.

P(B)

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求下的軌跡關(guān)鍵是證得點(diǎn)廠與點(diǎn)G的軌跡相同，轉(zhuǎn)化為G的軌跡解決.EP,CD與

平面所成的角相等的證明關(guān)鍵要先證得E與C到平面的距離相等.

12.設(shè)4,6,…，匕為平面々內(nèi)的〃個(gè)點(diǎn)，平面a內(nèi)到點(diǎn)4,6,…，匕的距離之和最小的點(diǎn)，稱為點(diǎn)

P[,P?…,P,,的“優(yōu)點(diǎn)”.例如，線段45上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)45的優(yōu)點(diǎn).則有下列命題為真命題的有：

()

A.若三個(gè)點(diǎn)45,C共線，C在線段上，則C是4民。的優(yōu)點(diǎn)

B.若四個(gè)點(diǎn)45,c,￡>共線，則它們的優(yōu)點(diǎn)存在且唯一

c.若四個(gè)點(diǎn)4民C,。能構(gòu)成四邊形，則它們的優(yōu)點(diǎn)存在且唯一

D.直角三角形斜邊的中點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)優(yōu)點(diǎn)的定義以及空間中的點(diǎn)與線的位置關(guān)系等逐個(gè)證明或舉反例即可.

【詳解】對(duì)于A,若三個(gè)點(diǎn)4瓦C共線，C在線段48上，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，則C是4民C的優(yōu)

點(diǎn)，故A正確；

對(duì)于B,若四個(gè)點(diǎn)4民。,。共線，則它們的優(yōu)點(diǎn)是中間兩點(diǎn)連線段上的任意一個(gè)點(diǎn)，故它們的優(yōu)點(diǎn)存在但

不唯一，如3,C三等分AD,設(shè)|48|=忸。|=|。必=1,|B^|+|5C|+|BZ)|=4=|C4|+|CB|+|CZ)|,

故B錯(cuò)誤；

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ABCD

對(duì)于C,如圖，設(shè)在梯形45C。中，對(duì)角線的交點(diǎn)。，〃是任意一點(diǎn)，則根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊

^MA+MB+MC+MD>AC+BD=OA+OB+OC+OD,

???梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一優(yōu)點(diǎn).故C正確.

對(duì)于D,舉一個(gè)反例，如邊長為3,4,5的直角三角形48C,點(diǎn)尸是斜邊N3的中點(diǎn)，此直角三角形的斜邊

的中點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為5+2.5=7.5,而直角頂點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為7,.?.直角三角形斜

邊的中點(diǎn)不是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)；故D錯(cuò)誤;

故選：AC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.某學(xué)校報(bào)告廳共有20排座位，從第2排起后一排都比前一排多2個(gè)座位.若第10排有41個(gè)座位，則

該報(bào)告廳座位的總數(shù)是.

【答案】840

【解析】

【分析】根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列問題，應(yīng)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前"項(xiàng)和公式，基本量運(yùn)算即

可求解.

【詳解】設(shè)報(bào)告廳的座位從第1排到第20排，各排的座位數(shù)依次排成一列，構(gòu)成數(shù)列{4},其前"項(xiàng)和為

s”.

根據(jù)題意，數(shù)列｛4｝是一個(gè)公差為d=2的等差數(shù)列，且%o=41,

故a[=al0—9d=41—18=23.

上20x(20-1)

由S20=20al+——-------x2=840,

第13頁/共25頁

因此，則該報(bào)告廳總座位數(shù)為840個(gè)座位.

故答案為：840

.I兀兀兀

14.已知sina+—G,則cos2cr=

I4252

【答案】其1##2后

33

【解析】

【分析】由題設(shè)可得。+色€（0,色），進(jìn)而求得cos[a+&]=Y5,再應(yīng)用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式求

444）3

目標(biāo)函數(shù)值.

【詳解】由題設(shè)a+巴e（-巴,史），又sin[a+P]=Y3e（O,Y2）,

Lt兀/八兀、

則a+—e（0,一）,

44414J3244

則cos2a=sin（2a+

故答案為:272

亍

15.已知圓錐的母線長為/（定值），當(dāng)圓錐體積最大時(shí)，其側(cè)面展開圖的圓心角大小為.

【答案]巫式用巫L

33

【解析】

【分析】表達(dá)出圓錐的體積，通過求導(dǎo)得出其單調(diào)性，即可求出當(dāng)該圓錐的體積最大時(shí)，其側(cè)面展開圖的

圓心角的弧度數(shù).

【詳解】由題意，圓錐的母線長為/,

設(shè)圓錐的底面半徑為/?,高為九則產(chǎn)+的=產(chǎn)，...『2=/2—%2,

體積：J7=g仃2力=；兀（/2_/“=；兀（/2”_力3）,

.?.*?！?

3

???當(dāng)久￡0,時(shí)，P>0,憶單調(diào)遞增；當(dāng)力6,1時(shí),r<o,/單調(diào)遞減,

第14頁/共25頁

.?.當(dāng)場=辿時(shí)，/取得最大值,

3

此時(shí)外=幽，側(cè)面展開圖的圓心角2nr2y/~6

a-------=-------兀?

33

故答案為：2瓜兀?

3

BA—C50

16.已知AABC內(nèi)角分別為4民。，且滿足cos—+2sin-------=0,則——+——的最小值為

22sinZsinC

【答案】16

【解析】

AQAQ

【分析】由三角形內(nèi)角和性質(zhì)、誘導(dǎo)公式、和差角正弦公式可得3sin—cos—=cos—sin一,進(jìn)而有

2222

C

2ctan—42tan-4A

3tan一=tan一>0,結(jié)合sinZ=_____2_sinC=--------。將目標(biāo)式化為^萬，應(yīng)用

,2N',,"Ctan一

221+tarT—1+tan--?

22

基本不等式求最小值即可.

nA+CA-CA+CA-C

【詳解】由題設(shè)cos(----------)+2sin--=sin--+2sin--=0，

22222

.ACZ.Cj.ZCA.C.

所以sin—cos—+cos—sin一+2(sin—cos----cos—sin一)=0n，

22222222

.ACA.CAC小兀、口cAC八

所以3sin—cos—=cos—sin—，—,—e(0,一)即3tan—=txan—>0,

222222222

2tan—2tan一

又sinN=--------,sinC=-------------

<7A<0L

1+tan-1+tan一

22

222

595(1+tan-)9(1+tan—)4+16tan-4Z

則-----+------=------------+----------=--------------2_-------+16tan一

A2

sinAsinC2tan幺—2tan—Ct+an—Ztan-—

2222

c4A

>2--------16tan一=16

…N2

4“ZA1

------r=16tan—tan———,..

當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào),

tan——A222

2

第15頁/共25頁

59

所以一；+「；的最小值為16.

smAsmC

故答案為：16

AC

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用三角恒等變換將條件化為3tan—=tan—>0,再應(yīng)用萬能公式用正切表示正

22

弦為關(guān)鍵.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.記。的內(nèi)角4民。的對(duì)邊分別為。也。，已知——=4.

cosA

(1)求be:

/八HacosH-bcosZb14/”一r

(2)右---------=-+l,求△48。面積.

acosB+bcosAc

n

【答案】(l)2(2)2

2

【解析】

【分析】(I)由余弦定理化簡已知等式，可求be；

(2)由正弦定理和兩角和的正弦公式化簡等式，求出角A,面積公式求面積.

【小問I詳解】

,人?,?7_,.+c?—/2bccosZ.

由余弦定理/=〃+02—2b0cos4，z得n-----------=--------=2bc=4，

cosAcosA

所以bc=2.

【小問2詳解】

.acosjB-bcosAb、,

若fl--------------=—+l,由正弦定理m，

acosB+bcosAc

acosB-bcosA_siMcosB-sinScos/=sin^cos^—sinficosZ=sirUcosB-sinffcosZ

acosB+bcosAsiib4cos5+sin5cos/sin(4+8)sinC

/7+]b+csinS+sinCsin8+sin(4+B)_siiiS+siiL4cosB+siii5cos/

ccsinCsinCsinC

所以一2cos4sin8=siaB,

因?yàn)?￡(0,兀)，故0<sinS<l,所以cos/二一g,

又0</<兀，所以siiL4=32,

2

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」6csmZ」x2x^=走

故A48C的面積為S

△TlnC2222

18.已知函數(shù)f(x)=x-(m+2)lnx-----.

x

(1)若/(X)在(1,7(1))處的切線/垂直于直線x—2y+l=0,求/的方程;

(2)討論/(x)的單調(diào)性.

【答案】(1)2x+y-5=0

(2)答案見解析

【解析】

【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得參數(shù)力的值，即可求得答案；

(2)求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分類討論加的取值，結(jié)合解不等式，求得導(dǎo)數(shù)大于0和小于0時(shí)的解，即可求得答案.

【小問1詳解】

由題意得廣(x)=l—3+烏=寸也±交±網(wǎng)；

XXX

因?yàn)?(X)在x=l處的切線/垂直于直線X—2y+l=0,

所以/'⑴=—2,即1—(加+2)+2-=—2,解之得,"=一1；

又"1)=3,

所以/的方程為V—3=—2(x—1),即2x+y—5=0.

【小問2詳解】

/⑺的定義域?yàn)?0,+。)，

x~-(m+2)x+2m(x-2)(x-切)

由(1)得/'(x)=

所以當(dāng)加<0時(shí)，令/心)>0得x>2,令/'(x)<0得0<x<2,

所以/(x)在(2,+8)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)0(加<2時(shí)，令/'心)>0得0<x<加或x>2,令/''(x)<0得用<x<2,

所以/(x)在(0,⑼和(2,+s)上單調(diào)遞增，在(m,2)上單調(diào)遞減；

第17頁/共25頁

當(dāng)加=2時(shí),/'（x）20在（0,+功上恒成立,

所以/（x）在（0,+“）上單調(diào)遞增；

當(dāng)加＞2時(shí)，令/'，弓＞0得0＜x＜2或x＞加，令/'（x）＜0得2＜x（加，

所以/（x）在（0,2）和（機(jī),+8）上單調(diào)遞增，在（2,m）上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)機(jī)＜0時(shí)，/⑺在（2,+8）上單調(diào)遞增，在（0,2）上單調(diào)遞減；

當(dāng)0＜加＜2時(shí)，/（x）在（0,加）和（2,+8）上單調(diào)遞增，在（m,2）上單調(diào)遞減；

當(dāng)加=2時(shí)，/（x）在（0,+。）上單調(diào)遞增；

當(dāng)加＞2時(shí)，/（x）在（0,2）和（機(jī),+8）上單調(diào)遞增，在（2,機(jī)）上單調(diào)遞減.

19.已知數(shù)列｛%,｝,｛4｝是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，令c“=a”+b”.

（1）證明：數(shù)列｛qj不是等比數(shù)列；

（2）若％=2",“=3",是否存在常數(shù)左，使得數(shù)列｛。用+此“｝為等比數(shù)列？若存在，求出后的值；若

不存在，說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）存在，左=—2或左=—3

【解析】

【分析】（1）要證明證｛，”｝不是等比數(shù)列，只需證即可，由此計(jì)算C；-即可證明結(jié)論；

（2）假設(shè)存在常數(shù)無，使得數(shù)列｛。向+h“｝為等比數(shù)列，則利用等比中項(xiàng)性質(zhì)，列式化簡求解，可