
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
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文檔簡(jiǎn)介
茂名市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二上期末考試試題
注意事項(xiàng):
1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再
選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.下列命題錯(cuò)誤的是()
I1c
A3x>0,InxH----<2
Inx
B.命題u3xe(0,+oo),lnx=x-lw的否定是aVxe(0,+oo),lnx^x-lw
C.設(shè)則“xN2且>22”是+的必要不充分條件
D.設(shè)。力eR,貝?。癮w0”是“abw0”的必要不充分條件
EGI
2.在三棱錐S—ABC中,點(diǎn)E,b分別是SA,BC的中點(diǎn),點(diǎn)G在棱所上,且滿足——=—,若SA=a,SB=b,SC=c,
EF3
則AG=()
1-11一21-1
A.一a——br+—cB.——a+—b+—c
326366
1-11.1.11_
C.—a—b7H—cD.——a——rb+—c
632362
1nx
3.已知函數(shù)〃x)=——,貝!I()
A.函數(shù)/(%)的極大值為L(zhǎng)無極小值B.函數(shù)”光)的極小值為L(zhǎng)無極大值
ee
C.函數(shù)的極大值為0,無極小值D.函數(shù)八%)的極小值為0,無極大值
4.已知直線%+砂-2=0與圓/+/=]相切,則a的值是()
A」B.±1
C.V3D.±73
5.在正方體ABCD—AgG。中,PQ與直線4。和AC都垂直,則直線PQ與8。的關(guān)系是()
A.異面B.平行
C.垂直不相交D.垂直且相交
6.下列說法中正確的是()
A.命題“若X=y,貝!)sinX=siny”的否命題是真命題;
B.若Pvq為真命題,則。人4為真命題;
C.“x=1”是一3%+2=0”的充分條件;
D.若命題P:“BxeR,%2+x+l<On>則-1P:"VxeH,X2+X+1>OM
7.已知直線A:ax+2y=0與直線自2x+(2a+2)y+l=0垂直,則實(shí)數(shù)a的值為()
2
A.-2B.----
3
C.lD.l或-2
8.雙曲線的離心率為G,焦點(diǎn)到漸近線的距離為2攻,則雙曲線的焦距等于
A.2B.2V2
C.4D.4V3
9.2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕,3月24日,中宣部發(fā)布中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶?;顒?dòng)標(biāo)識(shí)(如圖1).其中“100”
的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓,分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓,且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切(如
圖2).已知R=3r,則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長(zhǎng)與兩大圓的公共弦長(zhǎng)之比為()
圖1圖2
A.73B.3
Zn2出
lx?----------
23
10.若點(diǎn)A,3在拋物線y2=2px(p>0)上,。是坐標(biāo)原點(diǎn),若等邊三角形Q鉆的面積為4若,則該拋物線的方
程是()
A.y2=^~XB.寸=
D.y2=鳥
C./=2mx
-3
11.將點(diǎn)河的極坐標(biāo)10,1化成直角坐標(biāo)是()
A.(5,56)B.(573,5)
C.(5,5)D.(—5,—5)
12.設(shè)a,b,c非零實(shí)數(shù),且則()
11
A.a+Z?>0B.—<—
ab
C.a-b>QD.ac>be
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13.設(shè)〃x)=sin2x-q-,尤eR,若將函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移0個(gè)單位能使其圖像與原圖像重合,則正
實(shí)數(shù)。的最小值為.
14.已知曲線C:"儲(chǔ)+〃y2=],
①若加>〃>o,則。是橢圓,其焦點(diǎn)在y軸上;
②若機(jī)=〃>0,則c是圓,其半徑為6;
③若7加2<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為y=±
④若m=0,n>0,則C是兩條直線.
以上四個(gè)命題,其中正確的序號(hào)為.
15.tan75—tan15—A/3tan75tan15=
16.如圖,已知48,CD分別是圓柱上、下底面圓的直徑,且AB,CD,若該圓柱的底面圓直徑是其母線長(zhǎng)的2倍,
則異面直線AC與BD所成角的余弦值為
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17.(12分)某城市100戶居民的月平均用電量(單位:度),以[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),
[240,260),[260,280),[280,300]分組的頻率分布直方圖如圖
(1)求直方圖中的值;
(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù);
(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中,用分層抽樣的方法抽取
戶居民,則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶?
18.(12分)如圖1所示,在四邊形4BCD中,AD//BC,ADVBD,AD=BD=2,將沿5。折起,使
得直線45與平面5。所成的角為45。,連接AC,得到如圖2所示的三棱錐A-BCD
(1)證明:平面A8£)J_平面3cD;
(2)若三棱錐A—BCD中,二面角。-AC-5的大小為60。,求三棱錐A—5CD的體積
19.(12分)已知橢圓。:「+卓=1(?!?〉0)的右焦點(diǎn)為尸。,0),且經(jīng)過點(diǎn)。(、歷,日
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為P,過點(diǎn)口的直線/(與x軸不重合)交橢圓于A3兩點(diǎn),直線E4交直線:x=2a于點(diǎn)”,
若直線/'上存在另一點(diǎn)N,使網(wǎng)0.網(wǎng)=0.求證:P,氏N三點(diǎn)共線.
X2v21
20.(12分)已知橢圓C:—+2=1(?!?〉0)的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),離心率為直線y=Ax與橢圓。交于
不同的兩點(diǎn)M,N
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
3
(2)當(dāng)4W的面積為一時(shí),求人的值
2
21.(12分)已知關(guān)于x的不等式V—3公+2<0的解集為人={]|141〈耳.
(1)求。,?的值;
9
(2)若XEA,^f(x)=(3a-b)x--一丁的最小值,并求此時(shí)工的值.
{a-b)x
22.(10分)已知尸={%僅2—8x—20W0},非空集合S={x|l一機(jī)3爛1+m}.若是的必要條件,求機(jī)的取值
范圍
參考答案
一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1、C
【解題分析】根據(jù)題意,對(duì)四個(gè)選項(xiàng)一一進(jìn)行分析,舉出例子當(dāng)x=L〉O時(shí),lnx<0,即可判斷A選項(xiàng);根據(jù)特稱
2
命題的否定為全稱命題,可判斷B選項(xiàng);根據(jù)充分條件和必要條件的定義,即可判斷CD選項(xiàng).
【題目詳解】解:對(duì)于A,當(dāng)%=!〉0時(shí),lnx<0,lnx+—<0,故A正確;
2Inx
對(duì)于B,根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題,
得"Hxe(O,十》),lnx=x-l"的否定是"Vxe(0,+oo),lnxwx-l",故B正確;
對(duì)于C,當(dāng)2且>22時(shí),/+J/?4成立;
當(dāng)好+/?4時(shí),卻不一定有2且y22,如x=5,y=O,
因此“%之2且>22”是“必+/24”的充分不必要條件,故C錯(cuò)誤;
對(duì)于D,因?yàn)楫?dāng)awO時(shí),ab有可能等于0,當(dāng)ab/O時(shí),必有awO,
所以"awO”是的必要不充分條件,故D正確.
故選:C.
2、B
【解題分析】利用空間向量的加、減運(yùn)算即可求解.
E
B
由題意可得AG=AE+EG=AE+LM=AE+,(SF—SE)
33、)
41411/\
=——SE+-SF=——SE+--(SB+SC)
33332、'
=---SA+-(SB+SC\=--a+-b+-c
326、'366
故選:B.
3、A
【解題分析】利用導(dǎo)數(shù)來求得了(%)的極值.
【題目詳解】/(%)的定義域?yàn)?。,+8),
£、1—lnx
八司=[「,
“X)在(0,e)J(x)>0"(%)遞增;在(e,)J(x)<0"(x)遞減,
所以/(%)的極大值為/'(e)=L沒有極小值.
e
故選:A
4、D
【解題分析】直線與圓相切,直接通過2=/求解即可.
2
【題目詳解】因?yàn)橹本€x+ay—2=0與圓V+y2=i相切,所以圓心到直線的距離d=7^=1,所以儲(chǔ)=3,
a—±\/3?
故選:D
5、B
【解題分析】以。為坐標(biāo)原點(diǎn),口4,。。,?!ㄋ谥本€分別為》軸,》軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量垂直
的坐標(biāo)表示求出產(chǎn)。=(1,1,-1),再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得8。=-PQ,根據(jù)共線定理即可判斷.
【題目詳解】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1.
以。為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線
分別為了軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
則函=(1,0,1),"=(-1,1,0).
a+c=0
設(shè)PQ=(a,0,c),則八八,取PQ=(1,1,—1).
-a+b=0
B0=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-PQ,
:.PQ/IBDV:.PQI/BDX.
故選:B
【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間向量垂直的坐標(biāo)表示、空間向量的坐標(biāo)表示、空間向量共線定理,屬于基礎(chǔ)題.
6、C
【解題分析】A.寫出原命題的否命題,即可判斷其正誤;
B.根據(jù)為真命題可知的p,〃真假情況,由此判斷“人4的真假;
C.看命題“x=1”能否推出“爐_3%+2=0”,即可判斷;
D.根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定的要求,即可判斷該命題的正誤.
【題目詳解】A.命題“若x=y,則sinx=siny",其否命題為若“x/y,則sinx/siny”為假命題,因此A不正確;
B.命題“Pvq,,為真命題,則p,g中至少有一個(gè)為真命題,當(dāng)二者為一真一假時(shí),0人4為假命題,故B不正確
C.命題“若x=l,則3x+2=0”為真命題,故C正確;
D.命題0:x2+x+l<On,為特稱命題,其命題的否定:"X/xeH,x2+x+l>0",故D錯(cuò)誤,
故選:C
7、B
【解題分析】由題意,利用兩直線垂直的性質(zhì),兩直線垂直時(shí),一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)系數(shù)之積的和等于0,計(jì)算求得。的值
【題目詳解】???直線小ax+2y=0與直線,2:2x+(2a+2)y+l=0垂直,
,,2
/.ax2+2x(2a+2)=0,求得a=-----,
3
故選:B
8、D
【解題分析】不妨設(shè)雙曲線方程為$V,,c〃八,
靛一中=1(a>0,b>0)
則e=£=若,即c=ga,設(shè)焦點(diǎn)為(c,0),漸近線方程為y=
aa
\bc\beI~
貝!亍-=一=b=2y/2,Xb~=c2-a2=8,
yJa-+b2c
解得a=2,c=2百.則焦距為4G.選:D
9、C
【解題分析】作出圖形,進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.
【題目詳解】如示意圖,
由題意,iaai=R+r=4r,則|0幽|=#0.FT02MF=岳r,
又|0。|=2^=2r,|OjE|=3r,所以|所|=2』。也『—|00『=,
后"。陽|V15r6
\EF\2舟2
故選:C.
10、A
【解題分析】根據(jù)等邊三角形的面積求得邊長(zhǎng),根據(jù)角度求得A點(diǎn)的坐標(biāo),代入拋物線方程求得。的值.
【題目詳解】設(shè)等邊三角形Q旬的邊長(zhǎng)為。,
貝?。葑摺?46,解得〃二4
4
TT
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知NAOx=—,且。4=a=4,
6
設(shè)點(diǎn)A在x軸上方,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為]。^cos^Qsinf,即(26,2),
將(2班,2)代入拋物線方程得22=2。?26,
解得°=走,故拋物線方程為丫2=2.3.x=2叵%
333
故選:A
11、A
【解題分析】本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化
由點(diǎn)M的極坐標(biāo)知夕=10,8=工
I3J3
X-pCOS0(I7171r-
極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為{.C,所以HI.的直角坐標(biāo)為x=10cos—=5,y=10sin—=56
y=psm0I3J33
即(5,5@
故正確答案為A
12、C
【解題分析】對(duì)于A、B、D:取特殊值否定結(jié)論;
對(duì)于C:利用作差法證明.
【題目詳解】對(duì)于A:取。=-1力=-2符合已知條件,但是。+匕>0不成立.故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B:取a=l,b=-2符合已知條件,但是工=1,:=—工,所以工〈,不成立.故B錯(cuò)誤;
ab2ab
對(duì)于C:因?yàn)閍>6,所以a—b>0.故C正確;
對(duì)于D:取a=l力=—2,c=-1符合已知條件,但是ac=—l,bc=2,所以ac>仇?不成立.故D錯(cuò)誤;
故選:C.
二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。
13、式
【解題分析】根據(jù)正弦型函數(shù)圖像平移法則和正弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行解題.
【題目詳解】解:由題意得:
函數(shù)y=/(x)的圖像向左平移。個(gè)單位后得:
.__21、
/(x)=sin2(x+a)-^-—sin(z2x+2〃—)
該函數(shù)與原函數(shù)圖像重合故sin(2x+2a——)=sin(2x——)
33
27r27r
可知2a------=2k兀-----(左eZ),即4=左萬(左eZ)
33
故當(dāng)%=1時(shí),a=n最小正實(shí)數(shù).
故答案為:兀
14、①③④
【解題分析】通過“,〃的取值判斷焦點(diǎn)坐標(biāo)所在軸,判斷①,求出圓的半徑判斷②;通過求解雙曲線的漸近線方程,
判斷③;利用m=0,n>0,判斷曲線是否是兩條直線判斷④
【題目詳解】解:①若加>〃>0,則0<上<工,
mn
22
乙+乙=1
因?yàn)榉匠袒癁椋骸?一,焦點(diǎn)坐標(biāo)在y軸,所以①正確;
mn
②若機(jī)=〃>0,則C是圓,其半徑為:不一定是薪,所以②不正確;
Vn
③若加<0,則C是雙曲線,其漸近線方程為化簡(jiǎn)可得y=±
④若m=0,n>0,方程化為〃/=1,則c是兩條直線,所以④正確;
故答案為:①③④
15、G
【解題分析】先由題得到tan750-tanl50=^+A/5tan750tanl5°,再整體代入化簡(jiǎn)即得解.
【題目詳解】因?yàn)閠an(75°-15°)=里巴曰^=6,
'71+tan75tan15
所以tan75°—tan15°=-J3+Gtan75°tan15°,
貝(1tan75°—tan15°—若tan75°tan15=百+百tan75°tan15°一百tan75°tan15=6
故答案為百
【題目點(diǎn)撥】本題主要考查差角的正切公式,意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.
【解題分析】利用空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.
【題目詳解】取。的中點(diǎn)。,以。為原點(diǎn),以。所在直線為X軸,
以底面內(nèi)過點(diǎn)。且與。垂直的直線為y軸,
以過點(diǎn)。且與底面垂直的直線為z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=2,則4(0,-U),5(0,1,1),C(-l,0,0),
£>(1,0,0),AC=(-1,1,-1),=
一\AC-BD\11
『=工
所以cos(AC,BD)=-,----n----1=-F=~,
'/|AC|.|BD|73X733
所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為!
故答案為:—
3
三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
17、(1)0.0075;(2)230,224;(3)5
【解題分析】(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=l,解方程可得;(2)由直
方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點(diǎn)可得,可得中位數(shù)在[220,240)內(nèi),設(shè)中位數(shù)為a,解方程(0.002+0.0095+0.011)
x20+0.0125x(a-220)=0.5可得;(3)可得各段的用戶分別為25,15,10,5,可得抽取比例,可得要抽取的戶數(shù)
試題解析:(1)由直方圖的性質(zhì)可得(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)x20=1得:
x=0.0075,所以直方圖中x的值是0.0075..........3分
220+240
⑵月平均用電量的眾數(shù)是---------=230..........5分
2
H^(0.002+0.0095+0.011)X20=0.45<0.5,所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi),
設(shè)中位數(shù)為a,
由(0.002+0.0095+0.011)x20+0.0125x(a-220)=0.5
得:a=224,所以月平均用電量的中位數(shù)是224.........8分
⑶月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125x20x100=25戶,
月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075x20x100=15戶,
月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005x20x100=10戶,
月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025x20x100=5戶,.................10分
抽取比例=二~------=:,所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取25x2=5戶.-12分
考點(diǎn):頻率分布直方圖及分層抽樣
18、(1)證明見解析;
(2)
3
【解題分析】(1)過A作短,面連接3E,結(jié)合題設(shè)易知AB="4E=同。,根據(jù)過面外一點(diǎn)在該面上
垂線性質(zhì)知重合,再應(yīng)用面面垂直的判定證明結(jié)論.
(2)面中過。作。結(jié)合題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系,設(shè)3C=a>0并確定相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo),求面ABC、
面ADC法向量,應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示列方程求參數(shù),最后由棱錐體積公式求體積.
【小問1詳解】
由題設(shè),易知:△是等腰直角三角形,即/鉆。=45°,
將△至。沿折起過程中使直線A5與平面5c。所成的角為45。,此時(shí)過A作4£_1_面8。£),連接3E,如下圖示,
所以NAB£=45°,在RtAABE中AB=JL1E,又AB=0AD且瓦。e面
因?yàn)檫^平面外一點(diǎn)有且只有一條垂線段,故E,。重合,此時(shí)面
又ADu面故平面A3。,平面5C。;
【小問2詳解】
在平面中過。作。由(1)結(jié)論可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系,
由AD/ABC,ADLBD,AD=BD=2,若BC=a>0,
uuu
則。(0,0,0),40,0,2),5(2,0,0),C(2,a,0),故AC=(2,Q,—2),AB=(2,0,-2),ZM=(0,0,2),
m-AC=2x+ay-2z=0
若m=(%,y,z)是面ABC的一個(gè)法向量,貝叫,若x=l,則機(jī)=(1,0,1),
m-AB=2x-2z=0
n-AC=2a-^-a6-2y=0
若〃=(a,夕,7)是面ADC的一個(gè)法向量,貝!,若/?=2,則〃=(一〃,2,。),
[小DA=2/=0
..|—CL|1
所以,由二面角£)—AC—6的大小為60。有1<:05<根,〃〉|=亍一===-,解得。=2,
V2XV4+G2*42
114
22
19、(1)—+^=1;
43
(2)證明見解析.
【解題分析】(1)根據(jù)給定條件利用橢圓的定義求出軸長(zhǎng)2a即可計(jì)算作答.
⑵根據(jù)給定條件設(shè)出/的方程,與橢圓C的方程聯(lián)立,求出直線如的方程并求出點(diǎn)”的坐標(biāo),求出點(diǎn)N的坐標(biāo),再
利用斜率推理作答.
【小問1詳解】
依題意,橢圓C的左焦點(diǎn)/(-1,0),由橢圓定義得:
2a=1Q尸I+1QF'\=-1)2+(等尸++1)2+
=g-2后+
+、(2+f=4
即a=2,則尸=/—1=3,
22
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為L(zhǎng)+匕=1.
43
【小問2詳解】
由(1)知,P(-2,0),直線/不垂直y軸,設(shè)直線/方程為x=my+l,4>1,%),5(%,%),
[x=my+\,,—6m-9
由《2消去X得:(3/77+4)y-+6my-9=0,則%+%=,.,%%=24,
2々文
3x+4y=123m+43m+4
直線24的斜率%=上;,直線K4的方程:而直線?:x=4,即M(4,且、),
%+2國(guó)+2占+2
6.
-----X-
直線的斜率7_為+2_2yl,而FM-FN=O,即E/V_L£M,直線FN的斜率左印=一」7
2
直線FN的方程:丁=一竽2。-1),則點(diǎn)N(4,-?9),
2%2%
3%+6
直線網(wǎng)的斜率上PB=上力,直線PN的斜率72%為+2,
4-(-2)4yl
=%_(為+2=%,叫+3=(療+4)-%+37mx+%)+9
PBPN
X2+24%即2+34%4乂(根%+3)'
而⑺2+書/%+3皿/+%)+9=+;:::+9=0,即kpB=kpw
所以R&N三點(diǎn)共線.
【題目點(diǎn)撥】思路點(diǎn)睛:解答直線與橢圓的題目時(shí),時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立,消去x(或y)建立一元
二次方程,然后借助根與系數(shù)的關(guān)系,并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系
22
20、(1)—+^=1
43
⑵+亞
一26
【解題分析】(1)由橢圓C的一個(gè)頂點(diǎn)為A(2,0),得到。=2,再由橢圓的離心率為:,求得c=l,進(jìn)而求得橢圓C
的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)由橢圓的對(duì)稱性得到5陋=|%-%|,聯(lián)立方程組求得y=±J」與,根據(jù)4VW的面積為2,列出方程
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