四川省成都市2024屆高三年級(jí)下冊(cè)第三次診斷性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題（解析版）

成都市2021級(jí)高中畢業(yè)班第三次診斷性檢測(cè)

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分.第I卷（選擇題）1至2頁(yè)，第II卷（非選擇題）3至4

頁(yè)，共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、考籍號(hào)填寫在答題卡規(guī)定的位置上.

2.答選擇題時(shí)，必須使用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡

皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).

3.答非選擇題時(shí)，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上，

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無(wú)效.

5.考試結(jié)束后，只將答題卡交回.

第I卷（選擇題，共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的.

口上“徐八A=x=2左+1,左eZ},B={x\x=4k+l,左eZ）.

1.已知果口IJ,則（）

A.AnB=0B.AoB=ZC.A^BD.B^A

【答案】D

【解析】

【分析】本題主要考查集合間的包含關(guān)系，根據(jù)題意，分析集合A3之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷即可.

【詳解】因?yàn)?={x|x=4k+1,左eZ}={尤|%=2-2左+1,左eZ},

所以80

即AB=B,

故選項(xiàng)D正確，選項(xiàng)A、B、C錯(cuò)誤.

故選：D.

2.若復(fù)數(shù)z滿足（z+l）i=-1—i,貝Uz在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)z,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.

【詳解】由(z+l)i=—1—i,則z=—1—3=—l+i(l+i)=—2+i,

所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-2,1),為第二象限點(diǎn).

故選：B.

3.已知a,b是兩條不同的直線，?是平面，若alla,bua,則a,b不可能()

A.平行B.垂直C.相交D.異面

【答案】C

【解析】

【分析】若。與人相交，得到。與a有交點(diǎn)，這與題設(shè)矛盾，得到答案.

【詳解】因alia,bua,則。與6可能平行，異面和垂直，

若。與6相交，ab=A,則所以Aea,

即直線。與平面a有公共點(diǎn)，這與a//a矛盾，故B不可能.

故選：C.

4.“數(shù)九”從每年“冬至”當(dāng)天開始計(jì)算，每九天為一個(gè)單位，冬至后的第81天，“數(shù)九”結(jié)束，天氣就變得

溫暖起來(lái).如圖，以溫江國(guó)家基準(zhǔn)氣候站為代表記錄了2023—2024年從“一九”到“九九”成都市的“平均

氣溫”和“多年平均氣溫”(單位：C),下列說(shuō)法正確的是()

數(shù)九寒天氣溫對(duì)比

-1平均氣溫=1多年平均氣溫單位：℃

11io^

10-----------------------------------------------------------

9.59.6

9-----------------------------------------------------------

62

5.C735.7

5.4

5.?4

r*5L.

4a一」HU1L1UMJMJ

一九二九三九四九五九六九七九八九九九

A.“四九”以后成都市“平均氣溫”一直上升

B.“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”低0.1”C

C.“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差小于“多年平均氣溫”的方差

D.“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差

【答案】D

【解析】

【分析】由圖表數(shù)據(jù)分析可判斷A,B；由方差的意義可判斷C；由極差的計(jì)算公式分析D.

【詳解】對(duì)于A,“八九”、“九九”的平均氣溫比“七九”的“平均氣溫”低，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,“四九”成都市“平均氣溫”較“多年平均氣溫”高故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,由圖表，“平均氣溫”的波動(dòng)比“多年平均氣溫”的波動(dòng)大，

則“一九”到“五九”成都市“平均氣溫”的方差大于“多年平均氣溫”的方差，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差為：10.6—5.4=5.2,

“多年平均氣溫”的極差為10.7-5.3=5.4,

則“一九”到“九九”成都市“平均氣溫”的極差小于“多年平均氣溫”的極差，故D正確.

故選：D.

22

5.設(shè)meR,雙曲線C的方程為—~_=1,貝C的離心率為6”，是“加=1

mzx2

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線方程得。，仇c,再表示離心率，從而得到加值，再根據(jù)包含關(guān)系得到條件即可.

【詳解】由題意知，6=機(jī)212=（祖+1）2,雙曲線的離心率為J=加+（加+1）2=逐,

\crVm

所以相=1或加=-,，故是的必要不充分條件.

3

故選：B.

6.如圖，由觀測(cè)數(shù)據(jù)（%，%）（，=1,2,3,45,6）的散點(diǎn)圖可知，》與犬的關(guān)系可以用模型y=blnx+a

12

擬合，設(shè)z=lwc,利用最小二乘法求得y關(guān)于z的回歸方程y=bz+l.已知x1x2x3x4x5x6=e,

i=l

Zy.=18,則b=（）

叫

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知數(shù)據(jù)可求得樣本中心點(diǎn)（2,3）,再利用回歸方程必過(guò)樣本中心點(diǎn)，即可求出3=1.

Z=1

【詳解】由￡%=18可得：5^=18=3，

66_6_

由X1X2X3X4X5X6=e12可得：

1=1

12

__合，_1nxi+lnx2+lnx3+lnx4+lnx5+lnx6_InXjX2x3x4x5x6_Ine_12_

z----=---------------------------------=-------------——-----=——乙

66666

由回歸方程$=反+1必過(guò)樣本中心點(diǎn)0,歹），即過(guò)點(diǎn)（2,3）,

所以3=2另+1，解得B=l，

故選：C.

「心sin2a/、

7.已知---------=2,貝！Jtancr=（）

1-cos2a

i1

A.-B.——C.2D.-2

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦、余弦的倍角公式，以及三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.

.,八A八一口sin2a2sintzcosorcos。1…1

【詳解】由倍角公式，可得---------=------z——=-----=-----=2,所以tana=—.

1-cos2a2sinasinatana2

故選：A.

8.已知直線4：x—分+1=0與《C:（x—a『+（y—lf=l相交于4B兩點(diǎn)，若ABC是直角三角

形，則實(shí)數(shù)々的值為（）

A1或一1B.-y/3或C.——或—1D.——或—

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意d45c是等腰直角三角形，可得圓心C到直線乙的距離為正，利用點(diǎn)到直線的距離公

2

式求解.

【詳解】根據(jù)題意，圓C的圓心半徑r=l,易知.ABC是等腰直角三角形，

所以圓心C到直線4的距離為交，則=交,解得/=1,

2VZ7T2

所以。=1或-1.

故選：A.

9.將函數(shù)f(X)=sin((ur+^)(a>>0)的圖象向左平移四個(gè)單位后，與函數(shù)g(x)=cos(ow+0)的圖象

6

重合，則。的最小值為()

A.9B.6C.3D.2

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖象變換可得y=sin(0x+9+￡q],根據(jù)題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得%=2+2衍1,左eZ,

I6J62

運(yùn)算求解即可得結(jié)果.

【詳解】將/(x)=sin(o九+0)的圖象向左平移四個(gè)單位，得到

6

Tim7T

則——=—+2kn,keZ,所以。=3+12左，keZ,又。＞0,

62

所以。的最小值為3.

故選：C.

A

10.已知函數(shù)/(%)=e-e^-cosx,若實(shí)數(shù)占，x2,x3成等差數(shù)列，且

/(%)+/(%)+/(項(xiàng))=°,則%+々+%=()

713兀

A0B.—C.——D.3TI

22

【答案】C

【解析】

【分析】先由/(兀一x)+/(x)=e~*-ex+cosx+e*—e**-cosx=0,得出/(%)關(guān)于對(duì)稱;

再由題意得出結(jié)果即可.

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/'("二3—e"'—cosx,

所以/(兀一%)+/(%)=e一兀"-ex+cosx+e"-e*"-cosx=0,

所以/(x)關(guān)于Ro卜稱；

若實(shí)數(shù)與孫七成等差數(shù)列，則尤1+退=2%,

又因?yàn)?(%)+/(%2)+/(七)=°，

71LL1I3兀

—,X]+X3=兀，所以西+%+%3=

故選：C.

11.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,M,N分別是邊AB,AD上的點(diǎn)(均不與端點(diǎn)重合)，記

AMN,_CMN的面積分別為H，S2.若S[=\CM-AB^CN-AD\,則邑的取值范圍是()

B.也一14D.A/2—L—

【答案】D

【解析】

【分析】由三角形的面積公式，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及基本不等式求解即可.

【詳解】設(shè)|AM|=x,|4V|=y,ye(O,l),

則W=：盯，s?=]_；孫_卜_)―11_二)=.+；一孫,

乙乙乙乙乙

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可得：

ICM-AB|=(CB+BM^AB=|BM-AB|=|BM|-|AB|=I-X,

3.叫=(CD+DN^AD=".叫=向口叫=1-y,

又A=|皿工@.|加工4=(1_%)(1_丁)，

所以gq=(1—x)(l—y),即x+y=l+；盯，

即1+g盯22而，當(dāng)且僅當(dāng)％=丁時(shí)取等，

又肛>。，即0<^^<2—夜，即0<肛46-4夜,

則s?=]_%_g(l_x)Tl_y)=X+；沖

,1

l+-xy-xy]]

——----------=-------XVG

224

故選：D.

。是。，中點(diǎn)，點(diǎn)p在正方體的內(nèi)切球的球面上運(yùn)動(dòng),

12.在棱長(zhǎng)為5的正方體ABCD—Dx中,

且CPLAQ,則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為（）

A.#inB.2#>nC.D.5兀

【答案】B

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，作出輔助線，得到A。，平面CDRH,由點(diǎn)到平面的距離和球的半徑得

到點(diǎn)P的軌跡為以如為半徑的圓，從而求出點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度.

【詳解】以點(diǎn)。為原點(diǎn)，加,。。,。。1所在直線分別為蒼y*軸，建立空間直角坐標(biāo)系,

則Q[O,O,[；A（5,0,0,）,C（0,5,0）,

球心?!，!■],取A2的中點(diǎn)A，B|G的中點(diǎn)”，連接DR,RH,HC,

則'DR-AQ=+=0，

DC-Ae=（O,5,O）/-5,O,|j=O,

故。R_LAQ,CD±AQ,

又DRCD=D,DRCDu平面COR”,

故AQ，平面CDTW,

故當(dāng)尸位于平面CDRH與內(nèi)切球。的交線上時(shí)，滿足CAQ,

此時(shí)。Um到平面CDRH的距離為

r=戶一2=&,其中r為平面CDRH截正方體內(nèi)切球所得截面圓的半徑,

V44

故點(diǎn)P的軌跡為以石為半徑的圓,

故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為267t.

故選：B

第n卷(非選擇題，共90分)

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡上.

3%%>1

13.已知函數(shù)/"(%)=［二一,則/(logs?)的值為________

39JC<1

【答案】7##0.5

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合指數(shù)幕與對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.

3%x〉］1

【詳解】由函數(shù)/■(%)=二一,因?yàn)?<log32<l,所以/(10832)=3一幅2=3嗨2"=

3?x<12

故答案為：y.

14.ABC的內(nèi)角A5c的對(duì)邊分別為a,4c,若/=2ac且sinC=2sinA,貝UcosA的值為

7

【答案】一

8

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理，求得6=c=2a,再由余弦定理，即可求解.

【詳解】因?yàn)閟inC=2sinA,由正弦定理得c=2a,

又因?yàn)椤?2ac，可得〃=4。2,所以A=2a,

由余弦定理得cosA=---------=-------------=-.

2bc2x2〃x2〃8

7

故答案為：—.

8

15.設(shè)方為拋物線C:V=2）的焦點(diǎn)，過(guò)廠的直線與C相交于A3兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作C的切線，與工軸交

于點(diǎn)。，與＞軸交于點(diǎn)石，則?！?QB（其中。為坐標(biāo)原點(diǎn)）的值為

【答案】-##0.25

4

【解析】

【分析】設(shè)直線A3的方程為丁=履+；,4卜，3才）,5卜2，［君），聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理求出

再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出過(guò)點(diǎn)A作。的切線的方程，即可求出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可

得出答案.

【詳解】由拋物線。：/=2y，得/［o,；］,

2

設(shè)直線AB的方程為y=+；xp—X）\B（X2,—X2

y=kx+-

聯(lián)立12,消y得2米一1=0,

則％+%2=2k,xxx2=-1,

i12I

由y=5■冗，y=xj

所以過(guò)點(diǎn)A作C的切線的斜率為A,

故切線方程為丁一不^=%1(%-%；),即y=%x-；x；,

11

令％=0,則>=一/%；9，令y=0,則%=5%，

1

2

11

則DE=y--xv--x^yOB=fx2,—xf

22

(X1X2)=4

故答案為：:

2

16.己知函數(shù)/(%)=xe'-/ne2\若/(另存在最小值，且最小值為一，則實(shí)數(shù)加的值為

m

【答案】—e3

【解析】

v*_|_1Y_|_1

【分析】求得了'(x)=eYx+l—27M),令r(￡)=0,得到2『=—r,令g(x)=——利用導(dǎo)數(shù)求

ee

得函數(shù)的單調(diào)性和極大值g(O)=L分加w(O,g)和根<0,兩種情況討論，轉(zhuǎn)化為

4e%

?e5=------，求得%=—3,即可求解.

5+1

【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=xe*—族2、，可得/'(x)=(X+l)e￥-2zne2x=e'(x+l-2/南),

令/'(x)=0,可得2加令g(x)=^^,可得g'(x)=—艱

當(dāng)x<0時(shí)，可得g'(x)>0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)尤>0時(shí)，可得/(力<0,此時(shí)g(x)單調(diào)遞減,

所以，函數(shù)g(x)的極大值為g(O)=L當(dāng)且僅當(dāng)%>-1時(shí)，g(x)>0,

所以2m<1,可得根<工，如圖所示，

2

當(dāng)加e(0,g)時(shí)，m=]二?有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，記為公,工2，

當(dāng)xe(』,X2)時(shí)，/'(尤)>0；當(dāng)xe(%,+oo)時(shí)，/'(尤)<0,

所以/(九)在x=%處取得極大值，不符合題意；

無(wú)+]

當(dāng)772<0時(shí)，7〃=—^有一個(gè)實(shí)數(shù)根，記為％,

2ex

當(dāng)xw(—co,Xo)時(shí)，/'(x)<0；當(dāng)xe(玉),+00)時(shí)，/,(%)>0,

所以/(%)在x=x0處取得極小值，也是最小值，

綜上可得，/(九)在xe(--0)內(nèi)取得最小值，即x=x0時(shí)，函數(shù)/(%)取得最小值,

2x+1毛+14e\

所以〃/)=一，即〃z一，即xe與一■e

v7m2e02e%xo+1

-3+1a

解得=一3或％=3（舍去），所以根=——7F=-e-

2e

故答案為：-e3.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)(方程根)的個(gè)數(shù)，求參數(shù)的取值范圍問題

的三種常用方法：

1、直接法，直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，再通過(guò)解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍2、

分離參數(shù)法，先分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；

3、數(shù)形結(jié)合法，先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.

結(jié)論拓展：與e*和山光相關(guān)的常見同構(gòu)模型

?aea<b\nbc^ealnea<Z?lnZ?>構(gòu)造函數(shù)/（x）=xlnx或g（尤）=xe"；

②—<2-,構(gòu)造函數(shù)/'(x)=T匚或g(x)=J；

aInZ?Ine"InZ?Inxx

③e"±a>Z?±lnZ?oe"±lnefl>b±ln"，構(gòu)造函數(shù)/（x）=x±lnx或g（尤）=e'土光.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.設(shè)5“為數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，已知2a,=S0+〃.

⑴證明：數(shù)列｛an+1｝是等比數(shù)列；

（2）設(shè)a=log2（a〃+l）,g=，一，求數(shù)列｛cj的前九項(xiàng)和7；.

【答案】（1）證明見解析

【解析】

【分析】（1）利用a,與S”的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可得證;

（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.

【小問1詳解】

當(dāng)”=1時(shí)，26=Sj+1=t/j+1,得q=1,

由2an=S“+〃，

當(dāng)〃22時(shí)，2a,i=S“T+〃一1,

兩式相減得得：2（%—41T）=S,—S1T+1=q+1,

整理得：a“=2%+1（?>2）,

所以+1=2（a?_1+1）（?>2）,且q+l=2,

.??｛4+1｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；

【小問2詳解】

由（1）得4+1=2",

11

???%=1叫2"=〃，c“=

“(”+1)nn+1

:.T=l--+---+---+

n“22334nn+1n+1n+1

18.如圖，在四棱錐E-ABCD中，AB//CD,ZBAD=6Q,\AB\=1,

|AD|=|CD|=2,BELCD.

（1）證明：平面平面ABCD；

（2）若同=4立產(chǎn)為CE中點(diǎn)，求直線班1與平面4運(yùn)所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵皿

35

【解析】

【分析】（1）先由余弦定理解出|￡叫，由勾股定理證明垂直QB,A3,進(jìn)而證明出AB工平面￡DB,最

后證出平面_L平面BCD；

（2）適當(dāng)說(shuō)明并建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量8尸的坐標(biāo)，并求出平面4適的一個(gè)法向量，最后求解即

可.

【小問1詳解】

在ADB中，由余弦定理口同=+恒朗2—2恒必.|A斗cos/DAB=，

|呵=阿「+|的2,.DB_LAB,

CD//AB,EB±CD,：.EB±AB,

DBYAB,EBDB=B,AB上平面EDB,

又ABu平面ABCD,

平面EDB，平面ABCD.

【小問2詳解】

由/BM>=60,|AB|=1,|AZ^=2,由余弦定理可知忸￡>|=6,

|AB|2+|BD|2=|AD|2,

所以BDIAB，AB//CD,所以CD_L3O,

又由⑴知平面EDB,平面ABC。，平面EDBc平面人68=班),

CD±平面EDB,EDu平面EDB,

:.CD工ED,又EDLAD,ADCD=D,

:.ED±平面ABCD,u平面ABC。，

:.ED±BD，又BD上DC,

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。氏DCDE所在直線分別為羽％z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系D—孫z,貝心0(0,0,0),B(73,0,0),C(0,2,0),

FCE中點(diǎn)，

F(0,1,272),^=(-布,1,2吟,

設(shè)77z=(x,y,z)為平面ABE的一個(gè)法向量,

AB=（0,1,0）,AE=（-73,1,472）,

m-AE=01V=。

\，即《廠r

m-AB-0-+y+4,2z=0

令%=4夜得加=（472,0,73）,

設(shè)直線BF與平面ABE所成角大小為6,

mBFA/70

則sin6=cos加,BF

網(wǎng).網(wǎng)35

所以直線Bb與平面ABE所成角的正弦值為蟲0.

35

19.課外閱讀對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的閱讀興趣，拓寬知識(shí)視野、提高閱讀能力具有重要作用.某市為了解中學(xué)生的

課外閱讀情況，從該市全體中學(xué)生中隨機(jī)抽取500名學(xué)生，調(diào)查他們?cè)诤倨陂g每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)r

（單位:分鐘），得到如下所示的頻數(shù)分布表，已知所調(diào)查的學(xué)生中寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)均不超過(guò)

100分鐘.

時(shí)長(zhǎng)/[0,20)[20,40)[40,60)[60,80)[80,100]

學(xué)生人數(shù)5010020012525

（1）估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為

代表）；

（2）用頻率估計(jì)概率，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生參加座談，抽到的學(xué)生寒假期間每天課外閱讀

平均時(shí)長(zhǎng)在［0,20）內(nèi)記0分，在［20,60）內(nèi)記1分，在［60,100）內(nèi)記2分.用X表示這兩名學(xué)生得分之

和，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

【答案】（1）49

⑵分布列見解析，E（X）=2.4

【解析】

【分析】（1）用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算即可求解；

（2）由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為。,L2,3,4,根據(jù)獨(dú)立事件的概率乘法公式求解概率，即可得分布

列和期望.

【小問1詳解】

由題意，樣本中500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)

-小50-1006200”125M25小

t=10x-------i-30x----F50X---F70X------i-90x------=49

500500500500500

所以估計(jì)這500名學(xué)生寒假期間每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)的平均數(shù)為49.

【小問2詳解】

每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在［0,20）的概率為:券=0.1,

100+200”

每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在［20,60）的概率為:------------=0.6,

500

1^=03

每天課外閱讀平均時(shí)長(zhǎng)在［60,100）的概率為:

500

由題意，隨機(jī)變量X的可能取值為。,1,2,3,4,

p(X=0)=0.1X0.1=0.01,P(X=1)=2X0.1X0.6=0.12,

尸(X=2)=2x0.1x0.3+0.6x0.6=0.42,

p(X=3)=2x0.6x0.3=0.36,P(X=4)=0.3x03=0.09,

.?.X的分布列為：

X01234

P0.010.120.420.360.09

X的數(shù)學(xué)期望￡(X)=0x0.01+lx0.12+2x0.42+3x0.36+4x0.09=2.4.

20.已知函數(shù)/(x)=xlrLLa?+a(aeR).

(1)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若/(X)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍.

【答案】(1)單增區(qū)間為。,+"),單減區(qū)間為(0,1)

(2)(0,2)O(2,+o))

【解析】

【分析】⑴代入。=2,對(duì)〃力求導(dǎo)求單調(diào)性即可.

(2)令?=t〉0,設(shè)函數(shù)g0)，函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g0)有兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)g。)求導(dǎo),

討論aWO和。>0,研究單調(diào)性和最值情況，找到滿足題意的。即可.

【小問1詳解】

當(dāng)。=2時(shí)，/(x)=xinx-a4x+a(^aeR),xe(0,+oo)

1

(x)=lnx+1-

y/x

1/、

注意到函數(shù)y=ln%與丁=一耳均在(0,+。)單調(diào)遞增,

f'(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.由/'。)=0,得

xe(O,l),r(x)<0,〃力在(0,1)上單調(diào)遞減；

XG(l,+oo),/'(%)>0,在(l,+oo)上單調(diào)遞增;

綜上，/(X)的單增區(qū)間為(1,+“)，單減區(qū)間為(0,1).

【小問2詳解】

令6=/〉0,設(shè)函數(shù)glOnZ/lnt—W+a.

函數(shù)/(%)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)g”)有兩個(gè)零點(diǎn).

⑴當(dāng)a<Q時(shí)，g(?)=2?"lnt-at+a=2?2lnt-a(t-1),

當(dāng)t>i時(shí)，g(f)>0;當(dāng)0</<1時(shí)，g")<0;

當(dāng)t=l時(shí)，g(r)=O.

???g(f)在(0,+。)上只有一個(gè)零點(diǎn)方=1,故aWO不合題意.

⑵當(dāng)a>Q時(shí)，

gr(t)=2t(2int+l)-a,令力⑺=2*21nt+l)-a,

1

〃'⑺=2(21nf+3),令h\t)=O得/=N，

MD在(。=)上單調(diào)遞減，(=，+“)上單調(diào)遞增，

1-4

=//(—)=--<2,當(dāng)/.()+時(shí)，h(f)T—a<0,

”e，

當(dāng)400時(shí)，hit)+oo,

由零點(diǎn)存在定理得存在?oe(—>+00),使得/1優(yōu))=0,

所以fe(O,%)時(shí)，g'(t)<O,g(t)單調(diào)遞減，

+時(shí)，g'(t)>O,g(t)單調(diào)遞增.，

由/-。+時(shí)，g?)fa>。，/一”時(shí)，g⑺—+<?,且g⑴=0,

故當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)g(r)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)%/1時(shí)，g⑺min=g(%)<8⑴=0

此時(shí)g”）在（0,%）,（%,+“）上各有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意.

,1、

由在（有，+8）上單調(diào)遞增，且/z（l）=2—a,

故當(dāng)a=2時(shí)，。=1,不合題意.

當(dāng)（0,2）D（2,+8）時(shí)，,滿足題意.

綜上，a的取值范圍為（0,2）D（2,+8）.

21.已知橢圓C：W+，=l（a〉6〉0）的離心率為巨，過(guò)點(diǎn)尸（。,切的直線/與橢圓。交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)

I過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，\AB\=A/10.

（1）求橢圓C的方程；

（2）線段OP上是否存在定點(diǎn)。，使得直線QA與直線Q5的斜率之積為定值.若存在，求出點(diǎn)。的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）—+/=1

4-

（2）存在，定點(diǎn)Qpg]

【解析】

b

【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率求出a力的關(guān)系，再根據(jù)當(dāng)/過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。時(shí)，直線/的方程為丁=-x,聯(lián)

a

立方程，結(jié)合|AB|=屈求出即可得解；

⑵設(shè)直線/：y一1=左（兀一2）,A（%，M）,5（孫％），2（2m,m）,me[0,l],聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理

求出石，再根據(jù)斜率公式計(jì)算分析即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

b1

I過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。,：.直線/的方程為y=—x=—x,

a2

1

y=-x

21

由＜22，消去y得：X2=2b~,:.y2=-x2

=i4

Ab'b"

22

\AB\=Ji0,:.^=ylx+y

/=1,.?.々2=4,

故橢圓。的方程為—+/=1;

4-

【小問2詳解】

假設(shè)存在定點(diǎn)，。（2機(jī),加）,me[0,1],由題意，直線/斜率存在,

設(shè)直線/:丁一1=左（1-2）,即y=履+1-24,A&,yJ,5（孫％），

y=kx+l-2k

由＜消去y得（4左2+1）%2+8左（1—2左）X+16左2—16左=0,

x1+4y2=4，

其中A＞0,

8M24—1）1642—16左

+x=——-----

X?-,xx?=----5----------

124左2+1124Y+1

?k——k__

QA-x「2m'QB—*2-2撈'

mm

k卜_y\~yi~_kxi+l-2k-mkx2+l—2k—m

QAQB

xx-2mx2—2m玉-2mx2-2m

22

kxxx2+（l-m-2^）Z:（x1+x2）+（l-m-2^）

再九2一2m（%1+x2）+4m2

16左2—16%

+2左）k?——+（l-m-2左J

4人2+1

16左2—16左8M2左-1）

—2m-+4m2

4/+14k2+1

女2（16女2—16左）+（1—祖一2次）左（16左2—8左）+（1—加一2次）2（4左2+1）

16左2—16A;—16mk（2^—1）+4m2（4左？+1）

4加之女2—40—加）左+（1—加J

16（l-m）2k2-16（l-m）^+4m2

,1I

，當(dāng)切2=（1,即"7=Q時(shí)，左恒成立，

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；

（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.

請(qǐng)考生在第22,23題中任選擇一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.作答時(shí)，用

2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑.

選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

（x=mt.2

22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為＜（/為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)

y=mt

半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕COS-2后=0.

（1）求曲線C的普通方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線/與曲線C相交于A,8兩點(diǎn)，且