2.5　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系課件北師大版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)

第二章一元二次方程2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系1.若

x1，

x2是一元二次方程

x2－

x

－6＝0的兩個(gè)根，則

x1

x2的值是

(

D

)A.1B.6C.－1D.－62.(2023·張家口萬全區(qū)月考)已知

x1，

x2是一元二次方程

x2－4

x

＋3＝0

的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

x1＋

x2的值為(

D

)A.－4B.－3C.3D.4DD12345678910111213143.【教材第50頁(yè)例題改編】不解方程，用根與系數(shù)的關(guān)系求方程2

x

(

x

－1)＝3－

x

的兩根之和，兩根之積.

1234567891011121314

一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用4.若

x

＝1是一元二次方程

x2－3

x

＋

c

＝0的一個(gè)根，則此方程的另一個(gè)

根是(

C

)A.

x

＝－4B.

x

＝－2C.

x

＝2D.

x

＝4【解析】設(shè)

x1，

x2是一元二次方程

x2－3

x

＋

c

＝0的兩根，

x1＝1，∴

x1＋

x2＝3.∴

x2＝3－

x1＝3－1＝2，即此方程的另一個(gè)根是

x

＝2.C12345678910111213145.若α和β是關(guān)于

x

的方程

x2＋

bx

－1＝0的兩根，且αβ－2α－2β＝－11，

則

b

的值是(

C

)A.－3B.3C.－5D.5【解析】∵α和β是關(guān)于

x

的方程

x2＋

bx

－1＝0的兩根，∴α＋β＝－

b

，αβ＝－1，∴αβ－2α－2β＝αβ－2(α＋β)＝－1－2(－

b

)＝－1＋2

b

＝－11.∴

b

＝－5.C12345678910111213146.若關(guān)于

x

的方程

x2＋(

m2－4)

x

＝0的兩根互為相反數(shù)，則

m

的值為

(

A

)A.±2B.－2C.2D.4【解析】∵方程

x2＋(

m2－4)

x

＝0的兩根互為相反數(shù)，∴－(

m2－4)＝0.

解得

m

＝±2.A1234567891011121314

A.－6B.6C.－5D.5

A12345678910111213148.(2023·保定愛和城中學(xué)期中)設(shè)

a

，

b

是方程

x2＋

x

－2020＝0的兩個(gè)實(shí)

數(shù)根，則

a2＋2

a

＋

b

的值是(

C

)A.2021B.2020C.2019D.2018【解析】∵

a

，

b

是方程

x2＋

x

－2020＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴

a2＋

a

＝2020，

a

＋

b

＝－1.∴

a2＋2

a

＋

b

＝(

a2＋

a

)＋(

a

＋

b

)＝2020＋(－1)＝2019.C12345678910111213149.(2023·唐山遵化期中)已知

x1，

x2是一元二次方程

x2－

x

－4＝0的兩實(shí)

根，則(

x1＋4)(

x2＋4)的值是

?.【解析】∵

x1，

x2是一元二次方程

x2－

x

－4＝0的兩實(shí)根，∴

x1＋

x2＝1，

x1

x2＝－4.∴(

x1＋4)(

x2＋4)＝

x1

x2＋4

x1＋4

x2＋16＝

x1

x2＋4(

x1＋

x2)＋16＝－4＋

4×1＋16＝－4＋4＋16＝16.16

123456789101112131410.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－(2

m

＋1)

x

－2＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根

x1，

x2.(1)若

x1，

x2滿足

x1＋

x2＋

x1

x2＝1，求

m

的值；解：(1)由根與系數(shù)的關(guān)系，得

x1＋

x2＝2

m

＋1，

x1

x2＝－2.∵

x1＋

x2＋

x1

x2＝1，∴2

m

＋1－2＝1，解得

m

＝1.1234567891011121314(2)在(1)的條件下，不解方程求代數(shù)式(

x1－2)(

x2－2)的值.解：(2)由(1)，得原方程為

x2－3

x

－2＝0，∴

x1＋

x2＝3，

x1

x2＝－2.∴(

x1－2)(

x2－2)＝

x1

x2－2(

x1＋

x2)＋4＝－2－2×3＋4＝－4.1234567891011121314

11.已知

m

，

n

是方程

x2＋3

x

－1＝0的兩根，則(

m2＋3

m

＋3)(

n2＋3

n

＋3)＝

?.【解析】∵

m

，

n

是方程

x2＋3

x

－1＝0的兩根，∴

m2＋3

m

－1＝0，

n2

＋3

n

－1＝0.∴

m2＋3

m

＝1，

n2＋3

n

＝1.∴(

m2＋3

m

＋3)(

n2＋3

n

＋3)＝(1＋3)(1＋3)＝4×4＝16.16

123456789101112131412.已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－4

x

＋2

k

＝0.(1)若方程有實(shí)數(shù)根，求

k

的取值范圍；解：(1)由題意，得Δ≥0，∴(－4)2－4×1×2

k

＝16－8

k

≥0.∴

k

≤2.1234567891011121314解：(2)由題意，得

k

＝2，解得方程

x2－4

x

＋2

k

＝0的根為

x1＝

x2＝2，∴方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0的一個(gè)根為2.∴4－4

m

＋3

m

－1＝0.∴

m

＝3.方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0為

x2－6

x

＋8＝0，∴

x

＝2或

x

＝4.∴方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0的另一個(gè)根為4.(2)如果

k

是滿足條件的最大的整數(shù)，且方程

x2－4

x

＋2

k

＝0的根是一元

二次方程

x2－2

mx

＋3

m

－1＝0的一個(gè)根，求

m

的值及這個(gè)方程的另一

個(gè)根.1234567891011121314

13.

已知關(guān)于

x

的一元二次方程

x2－(

m

－3)

x

－

m

＝0.(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(1)證明：

∵

x2－(

m

－3)

x

－

m

＝0，∴Δ＝[－(

m

－3)]2－4×1×(－

m

)＝

m2－6

m

＋9＋4

m

＝

m2－2

m

＋1＋

8＝(

m

－1)2＋8≥8＞0，∴方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.1234567891011121314

123456789101112131414.

已知平行四邊形

ABCD

的兩邊

AB

，

AD

的長(zhǎng)是關(guān)于

x

的方

程

x2－4

mx

＋8

m

－4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(1)若平行四邊形

ABCD

是菱形，求

m

的值；解：(1)∵四邊形

ABCD

是菱形，∴

AB

＝

AD

.

又∵

AB

，

AD

的長(zhǎng)是關(guān)于

x

的方程

x2－4

mx

＋8

m

－4＝0的兩個(gè)實(shí)

數(shù)根，∴Δ＝(－4

m

)2－4×1×(8

m

－4)＝16

m2－32

m

＋