大學文科數學第二章教案(極限)

章節(jié)第二章微積分的基礎——極限課時4學時教學目的理解極限的概念，函數左極限與右極限的概念，以及極限存在與左右極限之間的關系；2.熟練掌握函數極限存在的充要條件；3.理解無窮大、無窮小的概念；4.掌握無窮大的判定方法和無窮小的概念及性質，會用無窮小量的性質求極限；5.會用重要極限求極限.教學重點及突出方法1.重點掌握函數極限與數列極限的概念；無窮大量與無窮小量的概念及性質.2.會用重要極限求極限3.突出方法是采取講練結合.教學難點及突破方法1.函數極限的定義；2.無窮大量與無窮小量的概念和性質及其應用3.會用重要極限求極限4.突破方法是讓學生首理解什么是極限，然后會求函數的極限.相關內容素材教學過程第一節(jié)數列的極限1.1數列的概念1.數列定義定義1當函數的定義域為全體自然數時，稱此函數為數列，記作，，又可以記作，則數列也可以按照數列中的數排序為：，，，…，，…，或簡記為，其中第項稱為該數列的通項.2.數列的有界性設數列，若存在常數，使得對一切自然數，都有()，則稱數列上（下）有界，并稱數列為上（下）有界數列，稱為數列的一個上（下）界.若這樣的不存在，則稱數列無上（下）界，并稱為無上（下）界數列.若存在正常數，使得對一切自然數，都有，則稱數列有界，并稱數列為有界數列，稱為數列的一個界.若這樣的不存在，則稱數列無界，并稱為無界數列.3.數列的單調性單調增加(上升)數列：單調減少(下降)數列：單調增加數列和單調減少數列統(tǒng)稱為單調數列。例1判斷數列的單調性（1）（2）（3）解：（1）單調遞減數列；（2）單調遞增數列；（3）不是單調數列教學過程第一節(jié)數列的極限1.2數列的極限定義2對于數列，如果當無限增大時，通項無限接近于某個確定的常數A，則稱A為數列的極限，或稱數列收斂于A，記為=A或A（）定義3對于數列，如果對任意正數，總存在相應的正整數，當時，總有成立，則稱A為數列的極限，或稱數列收斂于A，記為=A或A（）注：1）當時，不以任何常數為極限，則稱數列發(fā)散.2）數列收斂或發(fā)散的性質統(tǒng)稱為數列的斂散性.3）常數列的極限仍為該常數.定理1(單調有界原理)：單調有界數列必有極限。例2證明：第二節(jié)函數極限2.1時的極限定義1如果當時,函數無限趨近于一個確定的常數,則稱為函數當時的極限,記作或(當時).此時也稱存在。如果當時,函數不趨近于任何一個確定的常數,則稱不存在.定義2設函數在點的去心領域內有定義，若果對任意的正數，總存在相應的正數，當時，總有成立，則稱函數當以為極限，或稱函數在點有極限，記為或（）.注：1）具有二重性，固定性和任意性；2）依賴于，由確定；3）有無定義，均可求極限；4）若這樣的找不到，則稱函數在點無極限.如：，又如=22.2時的極限定義3設函數在內有定義，是一個確定的數，若果對任意給定的正數，總存在某個正數，使得當時，總有成立，則稱函數當以為極限，記為或（）.總結：1、理解數列和函數極限的實質2、會求數列和函數的極限作業(yè)：1.（1）（3）（4）2.3函數極限的性質1.唯一性若，，則2.有界性若，則存在的某一去心鄰域N(，)，在N(，)內函數有界.3.保號性若且，則存在某個去心鄰域N(，)，在N(，)內4、夾逼準則這個定理稱為夾逼定理，它同樣適用于的情況2.4無窮小量與無窮大量1、無窮小量概念定義4極限為0的量稱為無窮小量，簡稱無窮?。蛔?1)無窮小量不是很小的數,它也是極限的概念。2)數零是唯一可作為無窮小的常數。3)無窮小指量的變化狀態(tài)，而不是量的大小。4)當（或∞）時，如果函數的極限為0，則稱當（或∞）時，是無窮小量。5)若數列{}的極限為0，則{}是無窮小量。例如：，所以，當x→0時，sinx是無窮小量教學過程第二節(jié)函數的極限2.極限與無窮小之間的關系：定理2的充要條件為，其中3.無窮小量的性質定理3有限個無窮小量的代數和是無窮小量。定理4無窮小量與有界量之積是無窮小量。推論1：任一常數與無窮小量之積是無窮小量。推論2：有限個無窮小量之積是無窮小量。（注：兩個無窮小之商未必是無窮?。?.無窮大量當x→（或±∞）時，如果函數f(x)的絕對值無限增大，則稱當x→（或±∞）時，f(x)是無窮大量。記作f(x)=∞,或f(x)→∞。定義5若（或）,則稱為當（或）時的無窮大量,簡稱無窮大。如=，表示當時,為無窮大..5.無窮大量與無窮小量的關系定理5無窮大量的倒數為無窮小量，非零的無窮小量的倒數為無窮大量.2.5極限的四則運算為敘述方便，我們用“”代表“”或“”，假設c是常數，并且極限和都存在，則有：1）教學過程第二節(jié)函數的極限2.；；其中C為常數3.（）．例3求極限（1）（2）求（3）求2.6兩個重要極限（1）變