江蘇省南通市如東縣2023-2024學年高一年級下冊期中學情檢測數(shù)學試卷（含答案解析）

江蘇省南通市如東縣2023-2024學年高一下學期期中學情檢測

數(shù)學試卷

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.下列命題正確的是()

A.單位向量都相等B.任一向量與它的相反向量不相等

C.平行向量不一定是共線向量D.模為0的向量與任意非零向量共線

2.若三角形ABC中。=3,A=60。，3=45。，則邊6的值為()

A.0B.-J3C.V6D.3

JT

3.在.ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,^a=2,b=3,C=—,則,ABC的面

積為()

A.3A/3B.至C.—D.逋

233

4.已知J^sina=cos(g■—a),貝［jtan2a=().

A.—B.C.-V3D.0

33

5.如圖，在平行四邊形A3CD中，M為A5的中點，AC與DM交于點。，則=()

B.OM=-AB--AD

6333

C.OM=-AB--ADD.OM=-AB--AD

2243

6.已知巴〃￡(。弓,

COS(6Z-；0)=—,tana?tanJ3=—,貝|。+夕=()

64

71712兀

A.-B.一C.—D.

346T

7.已知中的邊A8=2,8C=2百,NB=30。，若尸為邊3c上的動點，則AP-(AB+AC)

C.2幣）

8.在一AO3中，已知口目=&,|M卜1,ZAOB=45°,^OP=WA+juOB,且彳+2〃=2,

〃e[0』],則04在。戶上的投影向量為(e為與。尸同向的單位向量)，則根的取值范圍

是()

、多選題

9.下列等式成立的有(

A.sin275-cos275=^~

—sin15+——cos15=——

2222

sin15-cos156

sin15+cosl5

10.下列說法中錯誤的為()

A.已知。=(1,2),人=(1,1),且a與°+助夾角為銳角，則彳]-|,+，|

B.點。為.vABC的內心，且(OB-OC).(O3+OC-2O4)=0,則ABC為等腰三角形;

C.兩個非零向量4,6,若|o-b|=|a|+|b|,則&與b共線且反向

D.若非零向量4萬滿足|a|=|萬|=|4-〃|,則a與“的夾角是60°

11.已知,ABC三個內角A,B,C的對應邊分別為a,b,c,且c=2,貝ij()

A.bcosA+acosB=\/2

,,uuuuuui,I.|2I|2

B.若CA.C3<0,則倒+倒<4

JT

C.若/C=g，貝IASC周長的最大值為6

7rccqR

D.若NC=w，-7的取值范圍為(指,+8)

3cosA

三、填空題

12.設a為銳角，若cos(c+g]=j,貝ljsina=.

試卷第2頁，共4頁

13.已知ABC中，角A,8,C所對的邊分別為a,6,c,a=l/=2,cosC=L2iJsinA=

4

14.如圖，四個邊長均相等的等邊三角形有一條邊在同一條直線上，邊自。4上有10個不同

的點，P?P2,...,Pwi記/=鬲?通?=1,2,3,…,10),若州+嗎+…+S。=180,則等邊三角

形的邊長為.

四、解答題

15.已知向量2=(-3,2),1>=(1,m),且〃與c=(2,l)共線.

(1)求加的值；

(2)若加"與垂直，求實數(shù)％的值.

16.已知a,夕為銳角，tana=g,cos(a+/?)=-g.(1)求cos2a的值；(2)求tan(c-6)

的值.

17.已知在ASC中，NA,NB,NC所對的邊分別為a,b,c,

m=(a+c,a-b),n=(sinB,sinA-sinC),且〃？〃〃.

(1)求角C的大??；

(2)。為A8中點，若△ADC的面積等于*,求ABC的周長的最小值.

18.已知/(x)=6sinxcosx-cos2%+g，

(1)若xe0,—,/(x)=—,求cos2x的值；

_4j3

(2)在三角形ABC中，若/(A)=l,求sinB+sinC的最大值；

(3)若關于x的不等式/Qx+胃+/(x)-2W。在(若上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.

19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題.該問題是：“在一個三

角形內求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小.”意大利數(shù)學家托里拆利給

出了解答，當，ABC的三個內角均小于120。時，使得/403=/30。=/。。4=120。的點。

即為費馬點；當.ABC有一個內角大于或等于120。時，最大內角的頂點為費馬點.試用以上

知識解決下面問題：已知ABC的內角A,B,C所對的邊分別為。，6,。，且設點尸為一ABC

的費馬點.

⑴若/+=3,2sin2sin[C+；]=若sinA.

①求角8；

@^PAPB+PBPC+PCPA-

⑵若cos25+cos2C-cos2A=1,IPBI+1PC\=t\PA\,求實數(shù)f的最小值.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.D

【分析】根據(jù)單位向量、零向量、共線向量的定義判斷即可.

【詳解】對于A：單位向量大小相等都是1,但方向不一定相同，故單位向量不一定相等,

故A錯誤；

對于B：零向量與它的相反向量相等，故B錯誤.

對于C：平行向量一定是共線向量，故C錯誤；

對于D：模為。的向量為零向量，零向量與任非零意向量共線，故D正確；

故選：D.

2.C

【分析】直接利用正弦定理求解.

【詳解】在三角形ABC中，。=3,A=60°,3=45。,

由正弦定理得：一三b

sinAsinB

Qsin53xsin45

所以6=二46,

sinAsin60

故選：C

【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.

3.B

【分析】利用三角形的面積公式可得答案.

【詳解】由題意可得，ABC的面積為S=LbsinC=L2x3x3=々8.

2222

故選：B

4.D

【分析】綜合應用兩角和與差的正弦、余弦和正切公式即可解決.

【詳解】由百sina=cos（；—a）=！cosa+^^sina,即^^sina=』cosa,

32222

2A/3

可得tana=立，由正切的倍角公式可得tan2a=白=道.

3I-1-

3

故選：D.

5.A

【分析】設AO=xAC,貝。AO=xAC=x（A8+Ar>）=2xAM+xAr>,再根據(jù)三點共

答案第1頁，共13頁

線可求得X,再根據(jù)平面向量的線性運算結合圖形即可得出答案.

【詳解】解：設AO=xAC，

貝(JAO=xAC=x^AB+AD^=2xAM+xAD,

因為O,RM三點共線，

所以2x+x=l,解得x

貝ljA0=xAC=!A3+』A。

33

所以=+

33263

故選：A

6.A

【分析】利用兩角差的余弦公式及同角三角函數(shù)的基本關系得到方程組，即可求出sincsin^、

cosacosJ3,再求出cos(a+0即可.

【詳解】因為cos3—0=2，tan6Z-tany0=—,

'/64

cosacos/+sinasin/=—

所以..一6,

sinasmp

cosacos[34

.2

coscrcosP=—

解得；，

sincrsin/?=—

所以cos(a+〃)=cosacos/?—sinasin0=；,

又/匹/鼻，所以a+/e(O,7i),所以a+尸=[.

故選：A

7.B

【分析】利用基底表示出AP，結合數(shù)量積的運算可得答案.

【詳解】設BP=/18C,貝！lA尸=BP-BA=；LBC-BA，AB+AC=BC-2BA,

所以4尸?(AB+AC)=(XBC—BA)?(BC-2BA)

.2...2

=2BC"-(22+l)BC-BA+2BA

答案第2頁，共13頁

因為AB=2,BC=2b,N3=30。，所以=2百x2x型=6,

2

所以AP(AB+AC)=124-6(22+1)+8=2.

故選：B

8.B

【分析】先利用余弦定理求出49=1,進而得到A0_LA8,求出。40尸=2-〃,

OAOP2—〃

。尸=(/lOA+〃OB『=2儲_4〃+4,從而得至I]m=-；----；—，換元后求出m

OP-4〃+4

的取值范圍.

【詳解】由余弦定理得cosNAO8=AO:+°B2-=A。2；2-1?立

2AOOB2V2AO2

解得49=1,

AO2+BO2=AB2,由勾股定理逆定理得AO_LA8,

OA-OP=OA-^OA+juOB^=WA+yOAOB=2+//|OX|-|OB|COS45°=?1+〃,

貝！!OP2=(2OA+〃0B)2=A2OA2+2MOA?08+〃?0娟=方+22〃+2〃？，

因為?l+2〃=2,//e[O,l],所以040尸=2-2〃+〃=2-〃，

涼二卜04+〃08『=Z+2M+2〃2=(2_2〃『+2(2_2〃)〃+2〃2=2〃2_便+4,

OA-OPOAOP2-〃

。4在8上的投影向量為"R故山=0=力"2-4〃+“

tt1

2

令2=re[L2],貝U^2(2-r)-4(2-r)+442r-4t+41_1+2'

令/⑺=怖-；+2=4卜J+1，

因為所以;e1,1,故當;=：時，/⑺晶=1，

答案第3頁，共13頁

當;=1時，〃r)a=2,/⑺目1,2],

故選：B

9.AC

【分析】對于A,逆用倍角余弦公式即可判斷；對于B,利用輔助角公式即可判斷；對于C,

5兀

tan—]s

利用輔助角公式即可判斷；對于D,逆用倍角正切公式可得——^=-tan-^,再用和

1-tan2-212

24

角正切公式即可判斷.

【詳解】對于A,sin275-cos275=-cos150。=cos30。=——，A正確;

2

對于B,—sinl5T———cosl5=cos60°sin15+sin60°cos15=sin75°——,B錯誤;

222

J.

sinl5-cosl5_sin(15°-45°)_sin30°_2_6

對于C,sin15+cos1572sin(15o+45°)sin60°J33C正確;

~2

5兀

tan——

對于D,24

i2571

1—tan—

24

7171

1tan—Ftan—

_1、，462+V3

——x---------------------------D錯誤.

21-,tan—兀x+ta兀n—2

46

故選：AC

10.AD

【分析】對于A、C和D,利用向量夾角公式和向量的模的運算，即可求得；對于B,根據(jù)

向量的加法和減法運算以及向量的模的運算即可求得.

【詳解】對于A,a+^=(l,2)+A(l,l)=(l+A,2+A),。與"+助夾角為銳角，

所以a-(a+X6)=l+X+2(2+/l)=3/l+5>0,貝i]2>—；，

當“與a+助同向共線時，久=。，則當。與4+,夾角為銳角時，且彳*0,

答案第4頁，共13頁

所以-；,o[“O,+s),故A錯誤;

對于B,(OB-OC)(OB+OC-2OA)=CB(OB-OA+OC-OA)

=CB(AB+AC)=(AB-AC).(AB+AC)=AB-AC=0<貝1網=|閔，

所以ABC為等腰三角形，故B正確；

對于C,|。-切=|°|+|6|,兩邊平方得標+62-2.m=|。|2+|6『+2|“|叫，

所以5.力=-|5||力即a?石=|山小05<7,石=-|磯司，貝｝|cosa,6=-1,

所以a,b=180,則a與b共線且反向，故C正確.

對于D,|a|=|b|=|a-6],兩邊平方得14『=出『=|4一]看卷+疥一24%=2價一24石,

則2a?6=|a『，ab=

22

yja2+b~+2<7-b=\!2a2+2a-b=J2a2+a2=^3,

cos(a,a+b)=色

+b\同?用《

因為+b￡[0,兀],所以故D錯誤.

故選：AD.

11.BC

【分析】由余弦定理化簡判斷選項A；由向量夾角結合余弦定理判斷選項B；利用余弦定理

和基本不等式即可求解周長的最大值判斷選項C;三角恒等變換得W=-:+半tanA,結

cosA22

CQQR

合A的取值范圍即可得到上蘭的取值范圍判斷選項D.

22

kr_〃2/2_

【詳解】由余弦定理得Z?cosA+〃cos5=b---------------+a----------------=c=2,A選項錯誤;

2bclac

uuuULUL._i_——

右CACBvO,貝iJcosCv。，由余弦定理cosC=———-----<0,

^a2+b2<c2,所以有|以『+「8『=/+/<°2=4,B選項正確；

若/C=g,c=2,由余弦定理得cosC="一十4=解得/+62=4方+4,

3lab2

所以(a+6)2=3H>+4V3x(審)+4,解得a+b<4,當且僅當。=6=2時等號成立,

答案第5頁，共13頁

則周長/=a+Z?+c<4+2=6,所以ABC周長的最大值為6,故C選項正確;

2?！?2K..

若/。=三，c=2,cos5cos——cosA+sin——sinA

33二+一，

cosAcosAcosA22

由cosB的取值范圍為；,+oo],

Ae(o,g,得tanA8,—A/5)u(0,+8),因此

cosA

D選項錯誤.

故選：BC.

124百-3

~10

【分析】將sin。變形為sinL+再用正弦兩角差的公式求解.

【詳解】因為a為銳角，由cos[a+|^=|,得sin[+專1=3,

..(7171一LtA/34134石一3

sina=sina-\--=——sin夕+看-------X------------X—=-----------------

I6~62252510

故答案為：亞二1.

10

13.叵

8

【分析】利用余弦定理求出。，再利用正弦定理求解即得.

【詳解】在ABC中，a=i,b=2,cosC=—,則sinC=Jl-cos。C=,

44

由余弦定理得c=da2+b。-2abcosC=Jl+4-2xlx2x^-=2,

由正弦定理得二=二一，所以sinA=竺@C=姮.

sinAsinCc8

故答案為：晅

8

14.下

【分析】建立坐標系，求出直線島C’的方程，利用坐標法表示數(shù)量積即可求解.

【詳解】以A為坐標原點，A。所在直線為x軸建系，如圖所示:

設等邊三角形邊長為。,

答案第6頁，共13頁

可得：B2(^a,^-a)，，Q(4a,0),

—Q~—k+b立刀/日k=—v3

設直線反。4的方程為：y=kx^b,則有＜22，解得＜

b=46a

0=4ak+b

直線34c4的方程為：y=-y/3(x-4a),

可設：月(七，％),則有6七+y=4點a,

1

即有：mi=AB2-APt=aXj+ayt=a(^3xi+yj)-6ay

，叫+叫+…+叫0=612、10=180,解得〃=若(負舍)

故答案為：布.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是建立合適的直角坐標系，得出相關點的坐標，則得到直

線&Q的方程為：y=-g(x-4a),最后得到％=6〃，代入計算即可.

15.(1)m=4,(2)Z=-3.

【分析】(1)^-a=(4,m-2),然后利用6一°與°共線求出答案即可

(2)利用數(shù)量積的相關知識直接計算即可.

【詳解】(1)b-a=(4,m-2)

因為6%與]共線，所以4xl-2(祇-2)=0,

解得根=4.

(2)由⑴知5=(1,4),所以時=AMW=&7,G6=-3X1+2X4=5

由a-%〃與2。一6垂直，^^a-Aby[2a-b^=2a-(l+2A)a-b+Ab=0,

所以26-5(1+2X)+172=0,

解得—3.

【點睛】本題考查共線向量、向量的坐標運算以及向量的數(shù)量積，屬于基礎題.

72

16-⑴一,；⑵F

【詳解】分析：先根據(jù)同角三角函數(shù)關系得cos?a,再根據(jù)二倍角余弦公式得結果；(2)先

根據(jù)二倍角正切公式得tan2a,再利用兩角差的正切公式得結果.

答案第7頁，共13頁

詳解：解：(1)因為tana=—,tana=Sma,所以sina=—cosa.

3cosa3

9

因為siYa+cos2a=1,所以cos?。=石,

7

因此，cos2cr=2cos20—1=------.

25

(2)因為a,夕為銳角，所以1+/￡(0,兀).

又因為cos(a+/?)=-(^,所以sin(a+尸)=一cos?(a+/),

因止匕tan(a+/)=-2.

因為tancr=一，所以tan2cr=--------廠=---

31—tan2a7

tan2a-tan(a+￡)2

因止匕，tan(<z-/?)=tan[26z-(6z+；0)]=

l+tan2atan(a+尸)11

點睛：應用三角公式解決問題的三個變換角度

(1)變角：目的是溝通題設條件與結論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”.

(2)變名：通過變換函數(shù)名稱達到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕與降

幕”等.

(3)變式：根據(jù)式子的結構特征進行變形，使其更貼近某個公式或某個期待的目標，其手法

通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等.

八兀

17.(DC、

⑵6

【分析】(1)先利用向量平行的坐標公式列式，然后利用正弦定理和余弦定理求解;

(2)先根據(jù)面積關系求出必=4,然后利用基本不等式求出a+人的最小值，再利用余弦定

理求出。的最小值，貝LABC的周長的最小值可求.

【詳解】(1)'：m//n,

.，.(a+c)(sinA-sinC)=sinB(a-b),

由正弦定理'\=芻=一=得(a+c)(a-c)=b(a—6),

sinAsinBsinC

/.ct~+Z?2—c?=ab,

..cosC=i"=L

2ab2

答案第8頁，共13頁

TT

.Ce(O,兀)，.-.C=-;

(2)依題意SABC=2SMC，即=?.劭=4,

所以〃+Z?2=4,當且僅當a=b=2時取等號，

又由余弦定理得/=tz2+Z?2-labcosC=a2+b2—ab>ab=4

.*.c>2,當且僅當a=b=2時取等號，

所以ABC的周長最小值為6.

18.(1)也一心

26

⑵G

【分析】（1）先利用二倍角公式和輔助角公式化簡/（X）,再利用角的變換即可求解；

（2）由條件先求角A,再求出角3的范圍，利用三角恒等變換化簡轉換sinB+sinC,結合角

3的范圍，即而求解最大值；

（3）由題意把+轉化為1-2尸（x）,利用換元法及基本不等式求解即可.

［詳解】（1）y（x）=5/3sin%cosx-cos2x+—=-^-sin2x--5-cos2x=sinflx-—1,

222I6J

因為XE0,—,/（%）=—,所以2%一二￡,sin（2x—三］二且，

4j36|_63」l6j3

所以cos12x—,

兀、71.(兀).兀

=cos2x---cos----sin2x---sin—

6J6I6

~26~

(2)由由A)=sin=1,

而OVAVTI,可得2A——=—,即A=w，

623

答案第9頁，共13頁

所以sin3+sinC=sinB+sin[事-BJ=^-sinBH?-cos5二百sin,

因為0<3<g,所以++

則告■<5/^11(3+V)石，

IT

故當3=耳時，sin3+sinC取最大值，最大值為

(3)由(1)可知

尤+《)=sin[2(2尤+弓)一己=sin^4x+^=sin2(2彳一看]+方

=cos2(2x一eJ]=l-2sin2^2x-^=l-2/2(x),

(TTTTTTITt71I1

令t=f(x),因為xe|]，w,所以2X-NTN，不,從而止匕,1,

貝IJ/12x+Fj+4(x)-22O即為：1一2』+0一240在/€(3，1上恒成立，

2產+11fl

所以在。4上==2f+1在％彳,1上恒成立，

tf12」

又2/+2261=20,當且僅當/=當時等號成立.

所以aW2夜，即實數(shù)。的取值范圍為卜s，28].

713

19.(1)①8=4；②-亍

⑵2+26.

【分析】(1)①利用兩角和的正弦公式得到sin8sinC=WsinCcosB,即可求出tan3,從

而得解；②利用余弦定理求出洸,利用等面積法求出IPA|?|PB|+|PB|.|PC|+|PA|-|PC|,

再根據(jù)數(shù)量積的定義計算可得；

JT

(2)利用二倍角公式及正弦定理得到°2=k+°2,則4=5,設

\PB\=m\PA\,\PC\=n\PA\,\PA\=x,m>0,n>0,x>0,則加+〃=r,再利用余弦定理得到

m+n+2=nm,再利用基本不等式計算可得.

答案第10頁，共13頁

【詳解】⑴①因為2sinBsinC+1=2sinB

=sinBsinC+^3sinBcosC,

^3sinA=^3sin(B+C)=A/3sinBcosC+百cosBsinC,

所以sin8sinC+百sinBcosC=6sinBcosC+y/3cos8sinC,

即sin3sinC=J5sinCcos5.