2025年中考數(shù)學專題16 胡不歸最值問題（原卷版）

模型介紹模型介紹【模型總結(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問題中，關鍵是構造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問題】如圖，點P為射線l上的一動點，A、B為定點，求PB+kPA的最小值.【問題解決】構造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．lDD將問題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過B點作BC⊥AD交l于點P，交AD于C點，此時PB+PC取到最小值，即PB+kPA最?。}精講例題精講【例1】．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點E，D是線段BE上的一個動點，則CD+BD的最小值是．變式訓練【變式1-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請在這一結(jié)論的基礎上繼續(xù)思考：若AC＝2，點D是AB的中點，P為邊CD上一動點，則AP+CP的最小值為（）A．1 B． C． D．2【變式1-2】．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點D．點P為線段BD上的動點，則PC+PB的最小值為．【變式1-3】．如圖，△ABC在直角坐標系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點，一動點P從A出發(fā)，運動路徑為A→D→C，點P在AD上的運動速度是在CD上的3倍，要使整個運動時間最少，則點D的坐標應為________.【例2】．如圖，?ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P為邊CD上一點，則PD+2PB最小值為．變式訓練【變式2-1】．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對角線AC、BD相交于點O，點M在線段AC上，且AM＝3，點P為線段BD上的一個動點，則MP+PB的最小值是．【變式2-2】．如圖，AC是⊙O直徑，AC＝4，∠BAC＝30°，點D是弦AB上的一個動點，那么DB+OD的最小值為．【變式2-3】．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝的頂點為A點，且與x軸的正半軸交于點B，P點是該拋物線對稱軸上的一點，則OP+AP的最小值為（）A．3 B．2 C． D．實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值是（）A．2+6 B．6 C．+3 D．42．如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個動點（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動點，若BC＝4，AC＝6，則BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．5 D．104．如圖所示，菱形ABCO的邊長為5，對角線OB的長為4，P為OB上一動點，則AP+OP的最小值為（）A．4 B．5 C．2 D．35．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C（3，0）兩點，若P是x軸上一動點，點D的坐標為（0，﹣1），連接PD，則PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+2 C．2 D．+6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動點，則2AD+DC的最小值為．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動點，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．8．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．9．等邊三角形ABC的邊長為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達G點，再沿GC到達C點，已知電子蟲在Y軸上運動的速度是在GC上運動速度的2倍，若電子蟲走完全程的時間最短，則點G的坐標為．10．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM＝2，N為邊BC上一動點，連接MN，點B關于MN對稱，對應點為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為．11．在平面直角坐標系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于點A（﹣3，0）、B（1，0），點M（﹣1，4）為拋物線的頂點，AM中點D坐標為（﹣2，2）；如圖，Q點為y軸上一動點，直接寫出DQ+OQ的最小值為．12．在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．（1）如圖1，過點B作BE⊥AD于點E，連接CE，點F是線段CE的中點，連接BF，若ED＝2-3，求線段BF（2）如圖2，過點B作BE⊥AD于點E，連接CE，過點D作DM⊥DC，連接MC，且∠MCE＝15°，連接ME，請?zhí)剿骶€段BE，DM，EM之間的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，連接AC，點Q是對角線AC上的一個動點，若AB＝26，求QB+QC+QD的最小值．13．如圖1，在平面直角坐標系中將y＝2x+1向下平移3個單位長度得到直線l1，直線l1與x軸交于點C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點，且與直線l1交于點D．（1）填空：點A的坐標為，點B的坐標為；（2）直線l1的表達式為；（3）在直線l1上是否存在點E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．（4）如圖2，點P為線段AD上一點（不含端點），連接CP，一動點H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個單位的速度運動到點P，再沿線段PD以每秒個單位的速度運動到點D后停止，求點H在整個運動過程中所用時間最少時點P的坐標．14．直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點（其中點A在點B的左側(cè)），與拋物線的對稱軸交于點C，拋物線的頂點為D（點D在點C的下方），設點B的橫坐標為t（1）求點C的坐標及線段CD的長（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關系式（不需寫出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點B的坐標；②在拋物線的對稱軸上找一點F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點F的坐標是．15．已知拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數(shù)，b＞0）經(jīng)過點A（﹣1，0），點M（m，0）是x軸正半軸上的動點．（Ⅰ）當b＝2時，求拋物線的頂點坐標；（Ⅱ）點D（b，y0）在拋物線上，當AM＝AD，m＝5時，求b的值；（Ⅲ）點Q（b+，yQ）在拋物線上，當AM+2QM的最小值為時，求b的值．16．已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經(jīng)過點A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個交點為D．（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在