2025年中考數(shù)學(xué)專題16 胡不歸最值問題（原卷版）

模型介紹模型介紹【模型總結(jié)】在求形如“PB+kPA”的式子的最值問題中，關(guān)鍵是構(gòu)造與kPA相等的線段，將“PB+kPA”型問題轉(zhuǎn)化為“PB+PC”型．而這里的PA必須是一條方向不變的線段，方能構(gòu)造定角利用三角函數(shù)得到kPA的等線段．【問題】如圖，點(diǎn)P為射線l上的一動(dòng)點(diǎn)，A、B為定點(diǎn)，求PB+kPA的最小值.【問題解決】構(gòu)造射線AD使得sinα=k，PC/PA=k，CP=kAP．lDD將問題轉(zhuǎn)化為求PB+PC最小值，過B點(diǎn)作BC⊥AD交l于點(diǎn)P，交AD于C點(diǎn)，此時(shí)PB+PC取到最小值，即PB+kPA最小．例題精講例題精講【例1】．如圖，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于點(diǎn)E，D是線段BE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CD+BD的最小值是．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，則AB＝2BC．請(qǐng)?jiān)谶@一結(jié)論的基礎(chǔ)上繼續(xù)思考：若AC＝2，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，P為邊CD上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+CP的最小值為（）A．1 B． C． D．2【變式1-2】．如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，sinA＝，BD⊥AC交AC于點(diǎn)D．點(diǎn)P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則PC+PB的最小值為．【變式1-3】．如圖，△ABC在直角坐標(biāo)系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D為射線AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A→D→C，點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為________.【例2】．如圖，?ABCD中∠A＝60°，AB＝6，AD＝2，P為邊CD上一點(diǎn)，則PD+2PB最小值為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)M在線段AC上，且AM＝3，點(diǎn)P為線段BD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則MP+PB的最小值是．【變式2-2】．如圖，AC是⊙O直徑，AC＝4，∠BAC＝30°，點(diǎn)D是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么DB+OD的最小值為．【變式2-3】．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝的頂點(diǎn)為A點(diǎn)，且與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，P點(diǎn)是該拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則OP+AP的最小值為（）A．3 B．2 C． D．實(shí)戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練1．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值是（）A．2+6 B．6 C．+3 D．42．如圖，在△ABC中，∠A＝15°，AB＝2，P為AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接BP，則AP+PB的最小值是（）A． B． C． D．23．在△ABC中，∠ACB＝90°，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，若BC＝4，AC＝6，則BP+AP的最小值為（）A．5 B．10 C．5 D．104．如圖所示，菱形ABCO的邊長(zhǎng)為5，對(duì)角線OB的長(zhǎng)為4，P為OB上一動(dòng)點(diǎn)，則AP+OP的最小值為（）A．4 B．5 C．2 D．35．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+3的圖象與x軸交于A、C（3，0）兩點(diǎn)，若P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，﹣1），連接PD，則PD+PC的最小值是（）A．4 B．2+2 C．2 D．+6．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝60°，AB＝2，若D是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，則2AD+DC的最小值為．7．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠CAB＝30°，AD⊥BC，垂足為D，P為線段AD上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PB、PC．則PA+2PB的最小值為．8．如圖，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底邊上的高AH上一點(diǎn)．若AP+BP+CP的最小值為2，則BC＝．9．等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上．一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速度的2倍，若電子蟲走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為．10．如圖，在邊長(zhǎng)為6的正方形ABCD中，M為AB上一點(diǎn)，且BM＝2，N為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接MN，點(diǎn)B關(guān)于MN對(duì)稱，對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為．11．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0），點(diǎn)M（﹣1，4）為拋物線的頂點(diǎn)，AM中點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣2，2）；如圖，Q點(diǎn)為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，直接寫出DQ+OQ的最小值為．12．在菱形ABCD中，∠DAB＝30°．（1）如圖1，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，點(diǎn)F是線段CE的中點(diǎn)，連接BF，若ED＝2-3，求線段BF（2）如圖2，過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接CE，過點(diǎn)D作DM⊥DC，連接MC，且∠MCE＝15°，連接ME，請(qǐng)?zhí)剿骶€段BE，DM，EM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；（3）如圖3，連接AC，點(diǎn)Q是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB＝26，求QB+QC+QD的最小值．13．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中將y＝2x+1向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到直線l1，直線l1與x軸交于點(diǎn)C；直線l2：y＝x+2與x軸、y軸交于A、B兩點(diǎn)，且與直線l1交于點(diǎn)D．（1）填空：點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐標(biāo)為；（2）直線l1的表達(dá)式為；（3）在直線l1上是否存在點(diǎn)E，使S△AOE＝2S△ABO？若存在，則求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．（4）如圖2，點(diǎn)P為線段AD上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接CP，一動(dòng)點(diǎn)H從C出發(fā)，沿線段CP以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P，再沿線段PD以每秒個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D后停止，求點(diǎn)H在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中所用時(shí)間最少時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．14．直線y＝與拋物線y＝（x﹣3）2﹣4m+3交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D（點(diǎn)D在點(diǎn)C的下方），設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為t（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)及線段CD的長(zhǎng)（用含m的式子表示）；（2）直接用含t的式子表示m與t之間的關(guān)系式（不需寫出t的取值范圍）；（3）若CD＝CB．①求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)F，使BF+CF的值最小，則滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)是．15．已知拋物線y＝x2﹣bx+c（b，c為常數(shù)，b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)M（m，0）是x軸正半軸上的動(dòng)點(diǎn)．（Ⅰ）當(dāng)b＝2時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（Ⅱ）點(diǎn)D（b，y0）在拋物線上，當(dāng)AM＝AD，m＝5時(shí)，求b的值；（Ⅲ）點(diǎn)Q（b+，yQ）在拋物線上，當(dāng)AM+2QM的最小值為時(shí)，求b的值．16．已知拋物線y＝a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過點(diǎn)A的直線y＝﹣x+b與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為D．（1）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若在（1）的條件下，拋物線上存在