2025年中考數(shù)學(xué)專題22 瓜豆原理之曲線型（解析版）

模型介紹模型介紹運動軌跡為圓問題1.如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP，Q為AP中點．當點P在圓O上運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：Q點始終為AP中點，連接AO，取AO中點M，則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQ∽△AOP，．問題2.如圖，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，當P在圓O運動時，Q點軌跡是？解析：Q點軌跡是一個圓理由：∵AP⊥AQ，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q點軌跡圓圓心M滿足AO：AM=2：1．即可確定圓M位置，任意時刻均有△APO∽△AQM，且相似比為2．模型總結(jié)R條件：兩個定量（1）主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（∠PAQ是定值）；（2）主動點、從動點到定點的距離之比是定量（AP:AQ是定值）．R結(jié)論（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP:AQ=AO:AM，也等于兩圓半徑之比．例題精講例題精講【例1】．如圖，A是⊙B上任意一點，點C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等邊三角形，則的面積的最大值為解：以BC為邊作等邊△BCM，連接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2為定值，即點D在以M為圓心，半徑為2的圓上運動，當點D運動至BC的中垂線與圓的交點時，CB邊上的高取最大值為2+2，此時面積為4+4．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，線段AB為⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，AB＝4，BC＝2，點P是⊙O上一動點，連接CP，以CP為斜邊在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，連接OD，則OD長的最大值為（）A． B．2 C．2 D．4解：如圖，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，連接OP，則CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定長），∵點E是定點，DE是定長，∴點D在半徑為1的⊙E上，∵OD?OE+DE，∴OD≤+1，∴OD的最大值為+1，故選：C．【變式1-2】．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，以點C為圓心，2為半徑作圓，P是⊙C上的任意一點，將點P繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到點Q，連接BQ，則BQ的最大值是（）A．6 B． C． D．解：連接AQ，CP，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，由旋轉(zhuǎn)得：DP＝DQ，∠QDP＝90°，∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDP﹣∠QDC，∴∠ADQ＝∠CDP，∴△ADQ≌△CDP（SAS），∴AQ＝CP＝2，∴點Q的軌跡是以點A為圓心，半徑為2的圓上，∴當點Q在BA的延長線時，BQ的值最大，如圖所示：∴BQ的最大值＝AB+AQ＝4+2＝6，故選：A．【例2】．四邊形ABCD是邊長為4的正方形，點P是平面內(nèi)一點．且滿足BP⊥PC，現(xiàn)將點P繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90度，則CQ的最大值＝2+2．解：如圖，∵BP⊥PC，∴∠BPC＝90°，∴點P的運動軌跡是以BC為直徑的圓，∵PD⊥DQ，PD＝QD，∴點Q的運動軌跡是圓，且和點P的運動軌跡是等圓，圓心O在BA的延長線上，（可以利用旋轉(zhuǎn)法證明：取BC的中點E，連接DE，PE，將△DEC繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△DAO，連接OQ，只要證明△DEP≌△DOQ即可，推出OQ＝PE＝的值）在Rt△BOC中，OC＝＝＝2，∴當點Q1在CO的延長線上時，CQ1的長最大，最大值為2+2，故答案為2+2．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，線段AB＝4，M為AB的中點，動點P到點M的距離是1，連接PB，線段PB繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段PC，連接AC，則線段AC長度的最大值是3．解：以AB為斜邊向上作等腰直角△AJB，連接CJ，BC．∵AM＝BM，∴JM＝AM＝MB，∴△JMB是等腰直角三角形，△PBC是等腰直角三角形，∴BJ＝BM，BC＝PB，∠MBJ＝∠PBC＝45°，∴∠MBP＝∠JBC，∵＝，∴△JBC∽△MBP，∴＝＝，∵PM＝1，∴JC＝，∴點C的運動軌跡是以J為圓心，為半徑的圓，∵AJ＝AB＝2，∴AC≤AJ+JC＝3故線段AC長度的最大值為3．【變式2-2】．如圖，AB＝4，O為AB的中點，⊙O的半徑為1，點P是⊙O上一動點，以PB為直角邊的等腰直角三角形PBC（點P、B、C按逆時針方向排列），則線段AC的長的取值范圍為≤AC≤3．解：如圖，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，連接AK、BK、KC、OP．∵OK＝OA＝OB，OK⊥AB，∴KA＝KB，∠AKB＝90°，∴△AKB是等腰直角三角形，∵∠OBK＝∠PBC，∴∠OBP＝∠KBC，∵＝＝，∴△OBP∽△KBC，∴＝＝，∵OP＝1，∴KC＝，∴點C的運動軌跡是以點K為圓心，KC為半徑的圓，AK＝OA＝2，∴AC的最大值為3，AC的最小值，∴≤AC≤3．故答案為≤AC≤．1．如圖，點A是雙曲線y＝在第一象限上的一動點，連接AO并延長交另一分支于點B，以AB為斜邊作等腰Rt△ABC，點C在第二象限，隨著點A的運動，點C的位置也不斷的變化，但始終在一函數(shù)圖象上運動，則這個函數(shù)的解析式為（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣ D．y＝﹣解：作AD⊥x軸與點D，連接OC，作CE⊥y軸于點E，∵△ABC為等腰直角三角形，點O是AB的中點，∴OC＝OA，CO⊥AO，∴∠COE＝∠AOD，∵∠OEC＝∠ODA＝90°，∴△OEC≌△ODA（AAS），∴OD＝OE，AD＝CE，設(shè)點C的坐標為（x，y），則點A為（y，﹣x），∵點A是雙曲線y＝上，∴﹣yx＝4，∴xy＝﹣4，∴點C所在的函數(shù)解析式為：y＝，故選：C．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以點A為圓心，2為半徑的圓上一點，連接BD，M為BD的中點，則線段CM長度的最大值為（）A．7 B．3.5 C．4.5 D．3解：取AB的中點E，連接AD、EM、CE．在直角△ABC中，．∵E是直角△ABC斜邊AB上的中點，∴CE＝AB＝2.5．∵M是BD的中點，E是AB的中點，∴ME＝AD＝1．∵2.5﹣1≤CM≤2.5+1，即1.5≤CM≤3.5．∴最大值為3.5，故選：B．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點D，連接OD，作OP⊥BC垂足為P交⊙O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵點O是AB的三等分點，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O與AC相切于點D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值為OP﹣OF＝﹣1＝，如圖，當N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值＝+1＝，∴MN長的最大值與最小值的和是6．故選：B．4．如圖，一次函數(shù)y＝2x與反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象交于A，B兩點，點P在以C（﹣2，0）為圓心，1為半徑的⊙C上，Q是AP的中點，已知OQ長的最大值為，則k的值為（）A． B． C． D．解：連接BP，由對稱性得：OA＝OB，∵Q是AP的中點，∴OQ＝BP，∵OQ長的最大值為，∴BP長的最大值為×2＝3，如圖，當BP過圓心C時，BP最長，過B作BD⊥x軸于D，∵CP＝1，∴BC＝2，∵B在直線y＝2x上，設(shè)B（t，2t），則CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，t＝0（舍）或﹣，∴B（﹣，﹣），∵點B在反比例函數(shù)y＝（k＞0）的圖象上，∴k＝﹣＝；故選：C．5．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，AD＝3，點E是AB的中點，點F是AD邊上的一個動點，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A′EF，則A′C的長的最小值是（）A． B．3 C．﹣1 D．﹣1解：以點E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當點A′在線段CE上時，A′C的長取最小值，如圖所示．根據(jù)折疊可知：A′E＝AE＝AB＝1．在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．故選：D．6．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，點E、F分別是邊DC、BC上的任意一點，且DE＝CF，BE、DF相交于點P，則CP的最小值為（）A．1 B． C． D．2解：如圖1，連接BD，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，∴AB＝2，AC＝4，∵△ADC與△ABC關(guān)于AC對稱，∴BC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BDC是等邊三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DE＝CF，∴△BDE≌△DCF，∴∠BED＝∠DFC，∵∠BED+∠PEC＝180°，∴∠PEC+∠DFC＝180°，∴∠DCF+∠EPF＝∠DCF+∠BPD＝180°，∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°，由于點P在運動中保持∠BPD＝120°，如圖2，∴點P的運動路徑為：以A為圓心，AB為半徑的120°的弧，連接AC與圓弧的交點即為點P，此時CP的長度最小，∴CP＝AC﹣AP＝4﹣2＝2，則線段CP的最小值為2；故選：D．

7．如圖，⊙O的直徑AB＝4，P為⊙O上的動點，連結(jié)AP，Q為AP的中點，若點P在圓上運動一周，則點Q經(jīng)過的路徑長是2π．解：如圖，連接OQ，∵AB＝4，∴AO＝2，∵Q為AP的中點，∴OQ⊥AP，∴∠AQO＝90°，∴點Q在以AO為直徑的圓上運動，∴點Q經(jīng)過的路徑長為2π，故答案為：2π．8．如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點P是以O(shè)為圓心，2個單位長為半徑的圓上的一個動點，連接AP，以AP為邊向AP右側(cè)作等邊三角形APB．當點P在⊙O上運動一周時，點B運動的路徑長是．解：如圖，連接AO、OP，將AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得線段AO'，連接O'B、OO'，∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，∴△OAO'為正三角形，∵△APB為正三角形，∴∠PAB＝60°，PA＝BA，∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，∴∠PAO＝∠BAO，在△APO與△ABO′中，AO=AO'∠PAO=∠BAO'∴△APO≌△ABO′，∴OP＝O'B＝2，∴⊙O'即為動點B運動的路徑，∴當點P在⊙O上運動一周時，點B運動的路徑長是4π9．如圖，⊙O的半徑為3，AB為圓上一動弦，以AB為邊作正方形ABCD，求OD的最大值3+3．解：如圖，連接AO，OB，將OA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，可得AA'，連接OA'，A'D，∴OA＝AA'＝3，∠OAA'＝90°，∴OA'＝3，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠OAA'＝90°，∴∠OAB＝∠A'AD，且OA＝AA'，AB＝AD，∴△OAB≌△A'AD（SAS）∴A'D＝OB＝3，在△OA'D中，OD≤OA'+A'D＝3+3，∴點A'，點O，點D共線時，OD有最大值為3+3，故答案為：3+3．10．如圖，在平面直角坐標系中，B（0，4），A（3，0），⊙A的半徑為2，P為⊙A上任意一點，C是BP的中點，則OC的最大值是3.5．解：如圖，連接AB，取AB的中點H，連接CH，OH．∵BC＝CP，BH＝AH，∴CH＝PA＝1，∴點C的運動軌跡是以H為圓心半徑為1的圓，∵B（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH＝＝2.5，∴OC的最大值＝OH+CH＝2.5+1＝3.5，故答案為：3.5．11．如圖，點C是半圓上一動點，以BC為邊作正方形BCDE（使在正方形內(nèi)），連OE，若AB＝4cm，則OE的最大值為（2+2）cm．解：如圖，連接OD，OE，OC，CE，設(shè)DO與⊙O交于點M，連接CM，BM，∵四邊形BCDE是正方形，∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，∴△OCD≌△OBE（SAS），∴OE＝OD，過點O作OM⊥AB，交⊙O于點M，連接CM，BM，則∠BCM＝∠BOM＝45°，∵四邊形BCDE是正方形，∴∠BCE＝45°，∴C、M、E三點共線，即點M在正方形BCDE的對角線CE上，∴DM＝BM為定值，∴點D在以M為圓心BM為半徑的圓上，當OD過圓心M時最長，即OE最長，∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，∴∠DCM＝∠BCM＝45°，∵四邊形BCDE是正方形，∴C、M、E共線，∠DEM＝∠BEM，在△EMD和△EMB中，，∴△EMD≌△EMB（SAS），∴DM＝BM＝＝＝2（cm），∴OD的最大值＝（2+2）cm，即OE的最大值＝（2+2）cm；故答案為：（2+2）．12．如圖，點O為坐標原點，⊙O的半徑為1，點A（2，0），動點B在⊙O上，連接AB，作等邊△ABC（A，B，C為順時針順序），求OC的最大值與最小值．解：如圖，以O(shè)A為邊，在OA的下方作等邊△OAD，連接BD，OC，BO，∵△ABC和△OAD都是等邊三角形，∴AC＝AB，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD，∴∠OAC＝∠BAD，∴△OAC≌△DAB（SAS），∴OC＝BD，∵OB＝1，OA＝OD＝2，∴2﹣1≤BD≤2+1，∴1≤BD≤3，∴1≤OC≤3，∴OC的最小值為1，最大值為3．13．如圖，點O在線段AB上，OA＝1，OB＝2，以點O為圓心、OA長為半徑的圓為⊙O，在⊙O上取動點P，以PB為邊作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三點為逆時針順序，連接AC，求AC的取值范圍．解：如圖，作BM⊥AB，使得BM＝2OB＝4，連接OP，AM，CM．在Rt△ABM中，∵AB＝OA+OB＝1＝2＝3，BM＝4，∴AM＝＝＝5，∵tan∠PCB＝＝，＝，∴＝，∵∠OBM＝∠PBC＝90°，∴∠OBP＝∠MBC，∴△OBP∽△MBC，∴＝＝，∵OP＝1，∴CM＝2，∵AM﹣CM≤AC≤AM+CM，∴3≤AC≤7．14．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，OD⊥AC于點D，過點C作⊙O的切線，交OD的延長線于點E，連接AE．（1）求證：AE與⊙O相切；（2）連接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的長；（3）若AB＝10，AC＝8，點F是⊙O任意一點，點M是弦AF的中點，當點F在⊙O上運動一周，則點M運動的路徑長為．（1）證明：如圖1中，連接OC．∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∴EA＝EC，在△OEC和△OEA中，OE=OEOC=OA∴△OEC≌△OEA，∴∠OAE＝∠OCE，∵EC是⊙O切線，∴EC⊥OC，∴∠OCE＝90°，∴∠OAE＝∠OCE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切線．（2）如圖1中，設(shè)OD＝a，則DE＝3a，∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，∴△OAD∽△OEA，∴OAOE∴4a2＝81，∵a＞0，∴a=9∴OE＝18，在Rt△AOE中，AE=OE2（3）如圖2中，連接OM，取OA的中點O′，連接O′M．∵AM＝MF，∴OM⊥AF，∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，∴O′M=12OA＝定長∴當點F在⊙O上運動一周，則點M運動的路徑是以O(shè)′為圓心52∴點M運動的路徑長為2π?52=5故答案為5π．

15．若AC＝4，以點C為圓心，2為半徑作圓，點P為該圓上的動點，連接AP．（1）如圖1，取點B，使△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，將點P繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到AP′．①點P'的軌跡是（填“線段”或者“圓”）；②CP′的最小值是；（2）如圖2，以AP為邊作等邊△APQ（點A、P、Q按照順時針方向排列），在點P運動過程中，求CQ的最大值．（3）如圖3，將點A繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到點M，連接PM，則CM的最小值為．解：（1）①連接CP、BP'，如圖1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，AP'=AP∠P'AB=∠PAC∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP＝2，即點P'到點B的距離等于定長，∴點P'的軌跡是以B為圓心，2為半徑的圓；故答案為：圓；②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC=2AC＝42當點P'在線段BC上時，CP'最?。紹C﹣BP'＝42-2故答案為：42-2（2）以AC為邊長作等邊△ACD，連接DQ、CP，如圖2所示：∵△APQ和△ACD是等邊三角形，∴AP＝AQ，AC＝AD＝CD＝4，∠PAQ＝∠CAD＝60°，∴∠DAQ＝∠CAP，在△ADQ和△ACP中，AD=AC∠DAQ=∠CAP∴△ADQ≌△ACP（SAS），∴DQ＝CP＝2，當C、D、Q三點共線時，CQ有最大值＝CD+DQ＝4+2＝6；（3）如圖3所示：M點的軌跡是以MM'為直徑的一個圓O'，則PM＝PA＝2，PM'＝PA＝4+2＝6，則CO'是梯形PMM'P'的中位線，∴CO'=12（2+6）＝連接MM'''，則∠MM'''M'＝90°，∴P'M''