2025年中考數(shù)學(xué)專題48 梯子最值與斜邊中點專題（原卷版）

【模型】梯子最值問題，指有一條線段的兩個端點在坐標(biāo)軸上滑動的最值模型.【結(jié)論】線段AB的兩端在坐標(biāo)軸上滑動，∠ABC=90°，AB的中點為Q，連接OQ，QC，當(dāng)O，Q，C三點共線時，OC取得最大值【簡證】如圖在Rt△AOB中，點Q是中點，∴OQ=AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=.若OC要取得最大值，則O，Q，C三點共線，即OC=OQ+QC，即OC=AB+【小結(jié)】梯子模型的題，關(guān)鍵是取兩個圖形的公共邊的中點作為橋梁例題精講例題精講【例1】．如圖，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且點A在OM上運(yùn)動，點B在ON上運(yùn)動，若AB＝8，AC＝6，則OC的最大值為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，點A在x軸正半軸上，點D在y軸正半軸上，當(dāng)點A在x軸上運(yùn)動時，點D也隨之在y軸上運(yùn)動，在這個運(yùn)動過程中，點C到原點O的最大距離為（）A． B．2 C． D．【變式1-2】．如圖，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在OM上運(yùn)動，△ABC的形狀始終保持不變，在運(yùn)動的過程中，點C到點O的最小距離為_______【例2】．如圖，點A、B分別在y軸和x軸正半軸上滑動，且保持線段AB＝4，點D坐標(biāo)為（4，3），點A關(guān)于點D的對稱點為點C，連接BC，則BC的最小值為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上的兩個動點，點C是線段PQ的中點，且PQ＝4，點Q從點O出發(fā)沿OB方向運(yùn)動過程中，動點C運(yùn)動形成的路徑長是．【變式2-2】．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D為AC的中點，過點D作DE⊥DF，DE，DF分別交AB，BC于點E，F(xiàn)，求EF的最小值．1．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動時，A隨之在邊OM上運(yùn)動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝．運(yùn)動過程中，當(dāng)點D到點O的距離最大時，OA長度為（）A． B． C．2 D．2．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E為AB，AC邊上的兩個動點，且DE＝6，F(xiàn)為DE中點，則BF+CF的最小值為（）A．2 B． C． D．3．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為3和2，在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為（）A．2﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣34．如圖，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面積是4，那△ACD的面積是．5．如圖，∠MON＝90°，長方形ABCD的頂點B、C分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊OM上運(yùn)動時，C隨之在邊ON上運(yùn)動，若CD＝5，BC＝24，運(yùn)動過程中，點D到點O的最大距離為．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點B放在原點，點A放在y軸正半軸上，當(dāng)點B在x軸上向右移動時，點A也隨之在y軸上向下移動，當(dāng)點A到達(dá)原點時，點B停止移動，在移動過程中，點C到原點的最大距離為．7．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，點M，N分別為邊AB，BC上的點，且MN＝2．點D，E分別是BC，MN的中點，點P為斜邊AC上任意一點，則PE+PD的最小值為．8．如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E為AB中點（1）若CD＝2，求△CDE的周長和面積．（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面積．9．如圖所示，一根長2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時OB的距離為0.7米，設(shè)木棍的中點為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的頂端A沿墻下滑多少距離？（2）木棍在滑動的過程中，請判斷A、O、B、P四點的所有連線中，哪些線段的長度不變，并簡述理由．（3）在木棍滑動的過程中，當(dāng)滑動到什么位置時，△AOB的面積最大？簡述理由，并求出面積的最大值．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點C落在第二象限．其斜邊兩端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點C的坐標(biāo)；②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；（2）點C與點O的距離的最大值＝cm．11．如圖，一個梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A，梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長．（1）若梯子的長度是10m，梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑動多少米？（2）設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，請思考，梯子在滑動的過程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動的距離相等的情況？若存在，請求出這個距離；若不存在，說明理由．

12．如圖，將一塊等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點A在y軸的正半軸上，點C在x軸的