2025年中考數(shù)學(xué)專題48 梯子最值與斜邊中點(diǎn)專題（原卷版）

【模型】梯子最值問(wèn)題，指有一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)的最值模型.【結(jié)論】線段AB的兩端在坐標(biāo)軸上滑動(dòng)，∠ABC=90°，AB的中點(diǎn)為Q，連接OQ，QC，當(dāng)O，Q，C三點(diǎn)共線時(shí)，OC取得最大值【簡(jiǎn)證】如圖在Rt△AOB中，點(diǎn)Q是中點(diǎn)，∴OQ=AB.在Rt△ABC中，由勾股定理得CQ=.若OC要取得最大值，則O，Q，C三點(diǎn)共線，即OC=OQ+QC，即OC=AB+【小結(jié)】梯子模型的題，關(guān)鍵是取兩個(gè)圖形的公共邊的中點(diǎn)作為橋梁例題精講例題精講【例1】．如圖，已知，∠MON＝∠BAC＝90°，且點(diǎn)A在OM上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B在ON上運(yùn)動(dòng)，若AB＝8，AC＝6，則OC的最大值為．變式訓(xùn)練【變式1-1】．如圖，矩形ABCD，AB＝2，BC＝4，點(diǎn)A在x軸正半軸上，點(diǎn)D在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D也隨之在y軸上運(yùn)動(dòng)，在這個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離為（）A． B．2 C． D．【變式1-2】．如圖，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝13，AB＝10，△ABC的頂點(diǎn)A、B分別在邊OM、ON上，當(dāng)點(diǎn)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在OM上運(yùn)動(dòng)，△ABC的形狀始終保持不變，在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)C到點(diǎn)O的最小距離為_______【例2】．如圖，點(diǎn)A、B分別在y軸和x軸正半軸上滑動(dòng)，且保持線段AB＝4，點(diǎn)D坐標(biāo)為（4，3），點(diǎn)A關(guān)于點(diǎn)D的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)C，連接BC，則BC的最小值為．變式訓(xùn)練【變式2-1】．如圖，OA⊥OB，垂足為O，P、Q分別是射線OA、OB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是線段PQ的中點(diǎn)，且PQ＝4，點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)沿OB方向運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，動(dòng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)形成的路徑長(zhǎng)是．【變式2-2】．如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D為AC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DF，DE，DF分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，求EF的最小值．1．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，B分別在OM、ON上，當(dāng)B在邊ON上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A隨之在邊OM上運(yùn)動(dòng)，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝2，BC＝．運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)D到點(diǎn)O的距離最大時(shí)，OA長(zhǎng)度為（）A． B． C．2 D．2．如圖，Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8．∠BAC＝90°，D，E為AB，AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且DE＝6，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，則BF+CF的最小值為（）A．2 B． C． D．3．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時(shí)撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點(diǎn)，模型如圖，∠ABC＝90°，點(diǎn)M，N分別在射線BA，BC上，MN長(zhǎng)度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點(diǎn)，點(diǎn)D到BA，BC的距離分別為3和2，在此滑動(dòng)過(guò)程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為（）A．2﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣34．如圖，AD∥BC，AD＝2，BC＝3，△ABC的面積是4，那△ACD的面積是．5．如圖，∠MON＝90°，長(zhǎng)方形ABCD的頂點(diǎn)B、C分別在邊OM、ON上，當(dāng)B在邊OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，C隨之在邊ON上運(yùn)動(dòng)，若CD＝5，BC＝24，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)D到點(diǎn)O的最大距離為．6．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝4．如圖，將直角頂點(diǎn)B放在原點(diǎn)，點(diǎn)A放在y軸正半軸上，當(dāng)點(diǎn)B在x軸上向右移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)A也隨之在y軸上向下移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)A到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B停止移動(dòng)，在移動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)C到原點(diǎn)的最大距離為．7．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，點(diǎn)M，N分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且MN＝2．點(diǎn)D，E分別是BC，MN的中點(diǎn)，點(diǎn)P為斜邊AC上任意一點(diǎn)，則PE+PD的最小值為．8．如圖，∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝6，E為AB中點(diǎn)（1）若CD＝2，求△CDE的周長(zhǎng)和面積．（2）若∠CBD＝15°，求△CED的面積．9．如圖所示，一根長(zhǎng)2.5米的木棍（AB），斜靠在與地面（OM）垂直的墻（ON）上，此時(shí)OB的距離為0.7米，設(shè)木棍的中點(diǎn)為P．若木棍A端沿墻下滑，且B端沿地面向右滑行．（1）如果木棍的底端B向外滑出0.8米，那么木棍的頂端A沿墻下滑多少距離？（2）木棍在滑動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)判斷A、O、B、P四點(diǎn)的所有連線中，哪些線段的長(zhǎng)度不變，并簡(jiǎn)述理由．（3）在木棍滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)滑動(dòng)到什么位置時(shí)，△AOB的面積最大？簡(jiǎn)述理由，并求出面積的最大值．10．如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30°的三角尺的直角頂點(diǎn)C落在第二象限．其斜邊兩端點(diǎn)A、B分別落在x軸、y軸上，且AB＝12cm（1）若OB＝6cm．①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②若點(diǎn)A向右滑動(dòng)的距離與點(diǎn)B向上滑動(dòng)的距離相等，求滑動(dòng)的距離；（2）點(diǎn)C與點(diǎn)O的距離的最大值＝cm．11．如圖，一個(gè)梯子AB斜靠在一面墻上，梯子底端為A，梯子的頂端B距地面的垂直距離為BC的長(zhǎng)．（1）若梯子的長(zhǎng)度是10m，梯子的頂端B距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，那么梯子的底端A向外滑動(dòng)多少米？（2）設(shè)AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a＞b，請(qǐng)思考，梯子在滑動(dòng)的過(guò)程中，是否一定存在頂端下滑的距離與底端向外滑動(dòng)的距離相等的情況？若存在，請(qǐng)求出這個(gè)距離；若不存在，說(shuō)明理由．

12．如圖，將一塊等腰直角三角板ABC放置在平面直角坐標(biāo)系中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，點(diǎn)C在x軸的