24.1.2垂直于弦的直徑

24.1.2垂直于弦的直徑第二十四章圓24.1圓的有關(guān)性質(zhì)24.1.2垂直與弦的直徑軸經(jīng)過(guò)圓心中心圓心垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧垂直弦所對(duì)的兩條弧創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m．你想知道趙州橋的主橋拱的半徑嗎？圓也是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？探究圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形．O圓也是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形．任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．圓有哪些對(duì)稱(chēng)軸？OOABCDE

是軸對(duì)稱(chēng)圖形．大膽猜想已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．

下圖是軸對(duì)稱(chēng)圖形嗎？已知：在⊙O中，CD是直徑，AB是弦，

CD⊥AB，垂足為E．求證：AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD．⌒⌒⌒⌒證明：連結(jié)OA、OB，則OA＝OB．∵垂直于弦AB的直徑CD所在的直線既是等腰三角形OAB的對(duì)稱(chēng)軸又是⊙O的對(duì)稱(chēng)軸．∴當(dāng)把圓沿著直徑CD折疊時(shí)，

CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，

A點(diǎn)和B點(diǎn)重合，

AE和BE重合，

AC、AD分別和BC、BD重合．∴

AE＝BE，AC＝BC，AD＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒疊合法DOABEC

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。瓺OABEC垂徑定理AE＝BEAC＝BCAD＝BD⌒⌒⌒⌒CD是直徑，AB是弦，CD⊥AB①直徑過(guò)圓心②垂直于弦③平分弦④平分弦所對(duì)的優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧題設(shè)結(jié)論DOABEC垂徑定理將題設(shè)與結(jié)論調(diào)換過(guò)來(lái)，還成立嗎？

這五條進(jìn)行排列組合，會(huì)出現(xiàn)多少個(gè)命題？①直徑過(guò)圓心③平分弦②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧⑤平分弦所對(duì)的劣弧

（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．垂徑定理的推論1DOABEC已知：CD是直徑，AB是弦，CD平分AB求證：CD⊥AB，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒一個(gè)圓的任意兩條直徑總是互相平分，但它們不一定互相垂直．因此這里的弦如果是直徑，結(jié)論不一定成立．OABMNCD注意為什么強(qiáng)調(diào)這里的弦不是直徑？①直徑過(guò)圓心④平分弦所對(duì)優(yōu)?、燮椒窒尧诖怪庇谙尧萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧垂徑定理的推論2

（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．已知：CD是直徑，AB是弦，并且AC＝BC

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AD＝BD⌒⌒⌒⌒DOABEC①直徑過(guò)圓心⑤平分弦所對(duì)的劣?、燮椒窒尧芷椒窒宜鶎?duì)優(yōu)?、诖怪庇谙掖箯蕉ɡ淼耐普?

（2）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。阎篊D是直徑，AB是弦，并且AD＝BD

求證：CD平分AB，CD⊥AB，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦③平分弦①直徑過(guò)圓心④平分弦所對(duì)優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧

（3）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。箯蕉ɡ淼耐普?已知：AB是弦，CD平分AB，CD⊥AB，求證：CD是直徑，AD＝BD，AC＝BC⌒⌒⌒⌒DOABEC②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)?、僦睆竭^(guò)圓心③平分弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧垂徑定理的其他命題......②垂直于弦⑤平分弦所對(duì)的劣?、僦睆竭^(guò)圓心③平分弦④平分弦所對(duì)優(yōu)弧

（4）垂直于弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直徑過(guò)圓心，并且平分弦和所對(duì)的另一條?。燮椒窒尧芷椒窒宜鶎?duì)優(yōu)?、僦睆竭^(guò)圓心②垂直于弦⑤平分弦所對(duì)的劣弧

（5）平分弦并且平分弦所對(duì)的一條弧的直徑過(guò)圓心，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．③平分弦⑤平分弦所對(duì)的劣?、僦睆竭^(guò)圓心②垂直于弦④平分弦所對(duì)優(yōu)?、芷椒窒宜鶎?duì)優(yōu)?、萜椒窒宜鶎?duì)的劣?、僦睆竭^(guò)圓心②垂直于弦③平分弦

（6）平分弦所對(duì)的兩條弧的直徑過(guò)圓心，并且垂直平分弦．CDABE求作：AB的中點(diǎn)．例1已知：AB．⌒⌒點(diǎn)E就是所求AB的中點(diǎn)．⌒作法：1．連結(jié)AB．2．作AB的垂直平分線CD，交AB于點(diǎn)E．⌒小練習(xí)ABC作AC的垂直平分線作BC的垂直平分線這種方法對(duì)嗎？

等分弧時(shí)一定要作弧所夾弦的垂直平分線．×CABO你能確定AB的圓心嗎？⌒作法：1．連結(jié)AB．2．作AB的垂直平分線，交AB于點(diǎn)C．⌒3．作AC、BC的垂直平分線．4．三條垂直平分線交于一點(diǎn)O．點(diǎn)O就是AB的圓心．⌒你能破鏡重圓嗎？ABCmnO

作弦AB、AC及它們的垂直平分線m、n，交于O點(diǎn)；以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓．作法：依據(jù)：

弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條?。?/p>

例2．在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．·OABE解：答：⊙O的半徑為5cm．垂徑定理三角形d+h=rdhar有哪些等量關(guān)系？

在a，d，r，h中，已知其中任意兩個(gè)量，可以求出其它兩個(gè)量．知識(shí)點(diǎn)一CB(3,2)

你知道趙州橋嗎?它是1300多年前我國(guó)隋代建造的石拱橋，是我國(guó)古代人民勤勞與智慧的結(jié)晶．它的主橋是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)）為37.，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離）為7.2m．

趙州橋主橋拱的半徑是多少？垂徑定理的應(yīng)用

用表示主橋拱，設(shè)所在圓的圓心為O，半徑為R．經(jīng)過(guò)圓心O作弦AB的垂線OC，D為垂足，OC與AB相交于點(diǎn)D，根據(jù)前面的結(jié)論，D是AB的中點(diǎn)，C是

的中點(diǎn)，CD就是拱高．解：AB=37.4，CD=7.2，OD=OC－CD=R－7.2BODACR解得R≈27.9（m）在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+（R－7.2）2∴趙州橋的主橋拱半徑約為27.9m．OA2=AD2+OD2⌒⌒ABABAB⌒1．已知在⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為8cm，圓心O到AB的距離為3cm，求⊙O的半徑．解：連結(jié)OA．過(guò)O作OE⊥AB，

垂足為E，則OE＝3cm，AE＝BE．∵AB＝8cm∴AE＝4cm

在Rt△AOE中，根據(jù)勾股定理有OA＝5cm

∴⊙O的半徑為5cm．．AEBO2．在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求證：四邊形ADOE是正方形．D·OABCE證明：∴四邊形ADOE為矩形，又∵AC=AB∴AE=AD∴四邊形ADOE為正方形．3．弓形的弦長(zhǎng)為6cm，弓形的高為2cm，則這弓形所在的圓的半徑為_(kāi)_______．

cm4．已知P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OP＝2cm，如果⊙O的半徑是3cm，，那么過(guò)P點(diǎn)的最短的弦等于____________．cm5．一條公路的轉(zhuǎn)變處是一段圓?。磮D中弧CD，點(diǎn)O是弧CD的圓心），其中CD=600m，E為弧CD上的一點(diǎn)，且OE⊥CD垂足為F，EF=90m．求這段彎路的半徑．解:連接OC．●OCDEF┗6．在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)．求證：AC＝BD．證明：過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，則AE＝BE，CE＝DE．

AE－CE＝BE－DE．所以，AC＝BDE．ACDBO知識(shí)點(diǎn)二CC4則(x-18)2+302=x2,解:設(shè)半徑為xm,∴x=34.課堂小結(jié)1．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱(chēng)軸．O

垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．2．垂徑定理DOABEC條件結(jié)論命題①③②④⑤①④②③⑤①⑤②③④②③①④⑤②④①③⑤②⑤①③④③④①②⑤③⑤①②④④⑤①②③

平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)的兩條?。椒窒宜鶎?duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。?/p>

弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，