甘肅省定西安定區(qū)七校聯(lián)考2024屆中考數(shù)學模試卷含解析

甘肅省定西安定區(qū)七校聯(lián)考2024年中考數(shù)學模試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.如圖，A點是半圓上一個三等分點，5點是弧AN的中點，尸點是直徑MN上一動點，。。的半徑為1,則AP+

BP的最小值為

C.V2D.73-1

2.如圖，為了測量河對岸h上兩棵古樹A、B之間的距離，某數(shù)學興趣小組在河這邊沿著與AB平行的直線L上取C、

D兩點，測得NACB=15。，ZACD=45°,若h、L之間的距離為50m,則A、B之間的距離為（）

A.50mB.25mC.（50-）mD.（50-2573）m

3.如果將拋物線y=x2+2向下平移1個單位,那么所得新拋物線的表達式是

A.y=（x-l）2+2B.y=（x+1）2+2C.y=x2+1D.y=x2+3

4.-18的倒數(shù)是（）

11

A.18B.-18C.--D.—

1818

5.已知拋物線y=ax?+bx+c與x軸交于（xi,0）、（X2,0）兩點，且0<xi<L1<X2<2與y軸交于（0,-2）,下列結論:

①2a+b>l；②a+b<2；③3a+b>0；@a<-l,其中正確結論的個數(shù)為（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

6.在R7VLBC中，ZC=90°,BC=1,AB=4,貝!IsinB的值是()

布D厲

A.?------R<5?1Vcz?1\J?---------

5434

7.如圖，在平面直角坐標系中，尸是反比例函數(shù)丁=K的圖像上一點，過點P做軸于點。，若△OPQ的面

x

積為2,則左的值是（）

9.若a是一元二次方程x2-x-1=0的一個根，則求代數(shù)式a3-2a+l的值時需用到的數(shù)學方法是（）

A.待定系數(shù)法B.配方C.降次D.消元

10.如圖，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達點C,再

經(jīng)過一段坡度（或坡比）為i=l：0.75,坡長為10米的斜坡CD到達點D,然后再沿水平方向向右行走40米到達點E

（A,B,C,D,E均在同一平面內）.在E處測得建筑物頂端A的仰角為24。，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù):

sin24°=0.41,cos24tM).91,tan24°=0.45)()

A.21.7米B.22.4米C.27.4米D.28.8米

11.如圖是某個幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.圓錐B.四棱錐C.圓柱D.四棱柱

12.實數(shù)夜—1的相反數(shù)是（）

A.V2-1B.V2+1C._72-1D.1-72

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖，菱形ABCD的邊長為15,sin/BAC=[,則對角線AC的長為.

14.一個凸邊形的內角和為720。，則這個多邊形的邊數(shù)是

5x-3y=8

15.方程組./八的解一定是方程___與_____的公共解.

[3x+8y=9

16.如圖①，四邊形ABC。中，AB//CD,ZADC=90°,尸從A點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度，按A-5-。一。

的順序在邊上勻速運動，設尸點的運動時間為f秒，。的面積為S,S關于f的函數(shù)圖象如圖②所示，當P運動到

5c中點時，AHLO的面積為.

17.某自然保護區(qū)為估計該地區(qū)一種珍稀鳥類的數(shù)量，先捕捉了20只，給它們做上標記后放回，過一段時間待它們完

全混合于同類后又捕捉了20只，發(fā)現(xiàn)其中有4只帶有標記，從而估計該地區(qū)此種鳥類的數(shù)量大約有只?

18.如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,點E為射線DC上一個動點，把△ADE沿直線AE折疊，當點D的對

應點F剛好落在線段AB的垂直平分線上時，則DE的長為.

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）如圖，在AABC,AB=AC,以AB為直徑的。O分別交AC、BC于點D、E,且BF是。O的切線，BF

交AC的延長線于F.

（1）求證：ZCBF=-ZCAB.（2）若AB=5,sinZCBF=—,求BC和BF的長.

25

20.（6分）為了解某校七年級學生的英語口語水平，隨機抽取該年級部分學生進行英語口語測試，學生的測試成績按

標準定為A、B、C、D四個等級，并把測試成績繪成如圖所示的兩個統(tǒng)計圖表.

七年級英語口語測試成績統(tǒng)計表

成績x（分）等級人數(shù)

x>90A12

75<x<90Bm

60<x<75Cn

x<60D9

七年級英語口語

測試成績統(tǒng)計圖

請根據(jù)所給信息，解答下列問題：本次被抽取參加英語口語測試的學生共有多少人？求扇形統(tǒng)計圖中C級的圓心角度

數(shù)；若該校七年級共有學生640人，根據(jù)抽樣結課，估計英語口語達到B級以上（包括B級）的學生人數(shù).

21.（6分）“六一”兒童節(jié)前夕，某縣教育局準備給留守兒童贈送一批學習用品，先對紅星小學的留守兒童人數(shù)進行

抽樣統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)各班留守兒童人數(shù)分別為6名，7名，8名，10名，12名這五種情形，并繪制出如下的統(tǒng)計圖①和圖

②.請根據(jù)相關信息，解答下列問題：

全校五種情況留守兒童全校五種情況留守兒童

Z3峰孱械計圖班級數(shù)人恪稱計圖

(1)該校有個班級，補全條形統(tǒng)計圖；

(2)求該校各班留守兒童人數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，眾數(shù)與中位數(shù)；

(3)若該鎮(zhèn)所有小學共有60個教學班，請根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，估計該鎮(zhèn)小學生中，共有多少名留守兒童.

22.(8分)如圖，A5是半徑為2的。。的直徑，直線/與A5所在直線垂直，垂足為C,OC=3,尸是圓上異于A、

3的動點，直線AP、3P分別交/于M、N兩點.

(1)當NA=30。時，MN的長是；

(2)求證：MGCN是定值；

(3)MN是否存在最大或最小值，若存在，請寫出相應的最值，若不存在，請說明理由；

(4)以拉N為直徑的一系列圓是否經(jīng)過一個定點，若是，請確定該定點的位置，若不是，請說明理由.

23.(8分)某校學生會準備調查六年級學生參加“武術類”、“書畫類”、“棋牌類”、“器樂類”四類校本課程的人數(shù).

(1)確定調查方式時，甲同學說：“我到六年級(1)班去調查全體同學”；乙同學說：“放學時我到校門口隨機調查部

分同學”；丙同學說：“我到六年級每個班隨機調查一定數(shù)量的同學”.請指出哪位同學的調查方式最合理.

類別頻數(shù)(人數(shù))頻率

武術類0.25

書畫類200.20

棋牌類15b

器樂類

合計a1.00

（2）他們采用了最為合理的調查方法收集數(shù)據(jù)，并繪制了如圖所示的統(tǒng)計表和扇形統(tǒng)計圖.

請你根據(jù)以上圖表提供的信息解答下列問題：

?a=,b=；

②在扇形統(tǒng)計圖中，器樂類所對應扇形的圓心角的度數(shù)是;

③若該校六年級有學生560人，請你估計大約有多少學生參加武術類校本課程.

b—c*

24.（10分）小明遇到這樣一個問題：已知：——=1.求證：b2-4ac>0.

a

經(jīng)過思考，小明的證明過程如下：

b—c

V----=1,Z?-c=a.，a—b+c=O.接下來，小明想：若把％=—1帶入一元二次方程依？+法+C=。（“wo）,

a

恰好得到a-b+c=O.這說明一元二次方程依2+公+。=。有根，且一個根是X=-1.所以，根據(jù)一元二次方程根的判

別式的知識易證：b2-4ac>Q.

根據(jù)上面的解題經(jīng)驗，小明模仿上面的題目自己編了一道類似的題目：

4〃+c

已知：^^=-2.求證：〃24ac.請你參考上面的方法，寫出小明所編題目的證明過程.

b

25.（10分）如圖，對稱軸為直線x=—l的拋物線丫=瞅2+6*+（3但#0）與*軸相交于人、B兩點，其中A點的坐

標為（-3,0）.

(1)求點B的坐標；

(2)已知a=1,C為拋物線與y軸的交點.

①若點P在拋物線上，且SAPOcudS^oc，求點P的坐標；

②設點Q是線段AC上的動點，作QDLx軸交拋物線于點D,求線段QD長度的最大值.

26.(12分)如圖1,在△ABC中，點尸為邊A5所在直線上一點，連結CP,M為線段CP的中點，若滿足NACP=

ZMBA,則稱點P為4ABC的“好點”.

⑴如圖2,當NABC=90。時，命題“線段A3上不存在“好點”為(填“真”或"假”)命題，并說明理由；

⑵如圖3,P是△A3C的5A延長線的一個“好點”，若PC=4,PB=5,求AP的值；

(3汝口圖4,在RtAABC中，ZCAB=90°,點尸是△ABC的“好點”，若AC=4,AB=5,求A尸的值.

27.(12分)問題提出

(1)如圖①，在矩形ABCD中，AB=2AD,E為CD的中點，貝！J/AEBZACB(填

問題探究

(2)如圖②，在正方形ABCD中，P為CD邊上的一個動點，當點P位于何處時，NAPB最大？并說明理由；

問題解決

(3)如圖③，在一幢大樓AD上裝有一塊矩形廣告牌，其側面上、下邊沿相距6米(即AB=6米)，下邊沿到地面的

距離BD=11.6米.如果小剛的睛睛距離地面的高度EF為1.6米，他從遠處正對廣告牌走近時，在P處看廣告效果」最

好（視角最大），請你在圖③中找到點P的位置，并計算此時小剛與大樓AD之間的距離.

BE

\_______L

DF

圖③

參考答案

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1、C

【解題分析】

作點A關于的對稱點4,連接交MN于點P,則B4+PB最小，

連接OA'^A'.

?.?點A與4關于MN對稱，點A是半圓上的一個三等分點,

:.ZA'ON=ZAON=60°,PA=PA',

???點3是弧ANA的中點，

N5ON=30°,

:.ZA'0B=ZA'0N+ZB0N=9Q°,

又,.?。4=0￡=1,

：.A'B=yfl

：.PA+PB=PA'+PB=A'B=0

故選：C.

2、C

【解題分析】

如圖，過點A作AM，。。于點跖過點3作BMLOC于點N.貝！JAM=BN.通過解直角AACM和△3CN分別求得

CM.CN的長度，貝!J易得A3=MN=CM-CN,即可得到結論.

【題目詳解】

如圖，過點A作AMLOC于點M,過點5作8NLOC于點N.

貝!]A3=MN,AM=BN.

在直角△ACM中，?；NACM=45。，AM=50m,：.CM=AM=50m.

BN

在直角△3CN中，,.,N3CN=NAC3+NACD=60°,3N=50機，：.CN==^=^H.(m),：.MN=CM-CN=50

tan60°^/33

50A/3,、

---------(機).

3

則AB=MN=(50-)in.

3

故選C.

【題目點撥】

本題考查了解直角三角形的應用.解決此問題的關鍵在于正確理解題意的基礎上建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)

學問題.

3、C

【解題分析】

根據(jù)向下平移，縱坐標相減，即可得到答案.

【題目詳解】

???拋物線y=x2+2向下平移1個單位，

.??拋物線的解析式為y=x2+2-l,即y=x2+l.

故選C.

4、C

【解題分析】

根據(jù)乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)，可得一個數(shù)的倒數(shù).

【題目詳解】

./1、

?-18x(-----)=1,

18

???-18的倒數(shù)是-2，

18

故選C.

【題目點撥】

本題考查了倒數(shù)，分子分母交換位置是求一個數(shù)的倒數(shù)的關鍵.

5、A

【解題分析】

如圖，0<當<1,1</<2

且圖像與y軸交于點(0,-2),

可知該拋物線的開口向下，即a<0,c=—2

①當x=2時，y=Aa+2b-2<0

4Q+2/?<22a+b<l

故①錯誤.

②由圖像可知，當％=1時，y>0

：?a+b-2>0

：?a+b>2

故②錯誤.

③?.?0<X1<1,1<X2<2

Kx1+X2<3,

又:玉+%2=----，

a

a

a<b<-3a,

J3a+b<0,

故③錯誤；

(4)0<Xj%2<2,xtx2=—<2,

a

又c=—2,

ci<—1.

故④正確.

故答案選A.

【題目點撥】

本題考查二次函數(shù)y^a^+bx+c系數(shù)符號的確定由拋物線的開口方向、對稱軸和拋物線與坐標軸的交點確定.

6、D

【解題分析】

首先根據(jù)勾股定理求得AC的長，然后利用正弦函數(shù)的定義即可求解.

【題目詳解】

VZC=90°,BC=1,AB=4,

???AC=y/AB--BC2=A/42-I2=A/15，

.._AC_V15

??siDnH--------9

AB4

故選：D.

【題目點撥】

本題考查了三角函數(shù)的定義，求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，轉化成直角三角形的邊長的比.

7、C

【解題分析】

根據(jù)反比例函數(shù)k的幾何意義，求出k的值即可解決問題

【題目詳解】

解：?.?過點P作PQ，x軸于點Q,AOPQ的面積為2,

.k

?,1~1=2,

Vk<0,

/.k=-l.

故選：C.

【題目點撥】

本題考查反比例函數(shù)k的幾何意義，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型.

8、C

【解題分析】

根據(jù)幾何體的三視圖畫法先畫出物體的正視圖再解答.

【題目詳解】

解：4、3、。三個幾何體的主視圖是由左上一個正方形、下方兩個正方形構成的，

而C選項的幾何體是由上方2個正方形、下方2個正方形構成的，

故選：C.

【題目點撥】

此題重點考查學生對幾何體三視圖的理解，掌握幾何體的主視圖是解題的關鍵.

9、C

【解題分析】

根據(jù)一元二次方程的解的定義即可求出答案.

【題目詳解】

由題意可知：a2-a-l=0,

a2-a=l,

或a2-l=a

a3-2a+l

=a3-a-a+l

=a(a2-l)-(a-1)

=a2-a+l

=1+1

=2

故選：C.

【題目點撥】

本題考查了一元二次方程的解，解題的關鍵是正確理解一元二次方程的解的定義.

10、A

【解題分析】

作BM±ED交ED的延長線于M,CN±DM于N.首先解直角三角形RtACDN,求出CN,DN,再根據(jù)tan24°=——，

EM

構建方程即可解決問題.

【題目詳解】

作BM_LED交ED的延長線于M,CN_LDM于N.

CN14

在RtACDN中，?:——=----=-,設CN=4k,DN=3k,

DN0.753

.\CD=10,

:.(3k)2+(4k)2=100,

k=2,

ACN=8,DN=6,

???四邊形BMNC是矩形，

；.BM=CN=8,BC=MN=20,EM=MN+DN+DE=66,

AM

在RtAAEM中，tan24°=------

EM

8+AB

.,.0.45=

66

.\AB=21.7(米),

故選A.

【題目點撥】

本題考查的是解直角三角形的應用-仰角俯角問題，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

11、B

【解題分析】

由主視圖和左視圖確定是柱體，錐體還是球體，再由俯視圖確定具體形狀

【題目詳解】

解：根據(jù)主視圖和左視圖為矩形判斷出是柱體，根據(jù)俯視圖是長方形可判斷出這個幾何體應該是四棱柱.

故選B.

【題目點撥】

本題考查了由三視圖找到幾何體圖形，屬于簡單題，熟悉三視圖概念是解題關鍵.

12、D

【解題分析】

根據(jù)相反數(shù)的定義求解即可.

【題目詳解】

0-1的相反數(shù)是-0+1,

故選D.

【題目點撥】

本題考查了實數(shù)的性質，在一個數(shù)的前面加上負號就是這個數(shù)的相反數(shù).

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、24

【解題分析】

試題分析：因為四邊形ABCD是菱形，根據(jù)菱形的性質可知，BD與AC互相垂直且平分，因為sm次4C=：AB=10,

所以，D=6,根據(jù)勾股定理可求的gAC=8,即AC=16；

考點：三角函數(shù)、菱形的性質及勾股定理；

14、1

【解題分析】

設這個多邊形的邊數(shù)是n,根據(jù)多邊形的內角和公式：（n-2）x180,列方程計算即可.

【題目詳解】

解：設這個多邊形的邊數(shù)是n

根據(jù)多邊形內角和公式可得（n—2）x180=720,

解得n=6.

故答案為：1.

【題目點撥】

此題考查的是根據(jù)多邊形的內角和，求邊數(shù)，掌握多邊形內角和公式是解決此題的關鍵.

15、5x-3y=83x+8y=9

【解題分析】

[5x-3y=8

方程組:oc的解一定是方程5X-3尸8與3x+8j=9的公共解.

3%+8y=9

故答案為5x-3j=8；3x+8j=9.

16、1

【解題分析】

解：由圖象可知，AB+BC=6,AB+BC+CD=10,：.CD=4,根據(jù)題意可知，當尸點運動到C點時，△如O的面積最大,

SA出口=lxAOxZ>C=8,二4。=4,又；SAxA3x4O=2,.*.43=1,；.當P點運動到BC中點時，△PAD的面積='x，

2222

(AB+CD)xAO=l,故答案為1.

17、1

【解題分析】

求出樣本中有標記的所占的百分比，再用樣本容量除以百分比即可解答.

【題目詳解】

解：20+(4+20)

=20+20%

=100只.

故答案為：1.

【題目點撥】

本題考查的是通過樣本去估計總體，總體百分比約等于樣本百分比.

5一

18、一或10

2

【解題分析】

試題分析：根據(jù)題意，可分為E點在DC上和E在DC的延長線上，兩種情況求解即可：

如圖①，當點E在DC上時，點D的對應點F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，易求FP=3,所以FQ=2,設

FE=x,貝!|FE=x,QE=4-x,在RtAEQF中，(4-x)2+22=x2,所以x=^.(2)如圖②，當，所以FQ=點E在DG的

2

延長線上時，點D的對應點F剛好落在線段AB的垂直平分線QP上，易求FP=3,所以FQ=8,設DE=x,貝!jFE=x,

QE=x-4,在RtAEQF中，(x-4)2+82=x2,所以x=10,綜上所述，DE=|■或10.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

2Q

19、(1)證明略；(2)BC=2V5,BF=一.

3

【解題分析】

試題分析：(1)連結AE.有AB是。O的直徑可得NAEB=90。再有BF是。O的切線可得BFLAB,利用同角的余角相

等即可證明；

(2)在RtAABE中有三角函數(shù)可以求出BE,又有等腰三角形的三線合一可得BC=2BE,

過點C作CG_LAB于點G.可求出AE,再在RSABE中，求出sin/2,cosN2.然后再在RtACGB中求出CG,最后

證出△AGC^AABF有相似的性質求出BF即可.

試題解析：

(1)證明：連結AE.TAB是。O的直徑，/.ZAEB=90°,/.Zl+Z2=90°.

；BF是。O的切線，/.BFIAB,/.ZCBF+Z2=90°..\ZCBF=Z1.

VAB=AC,NAEB=90。，/.Zl=-ZCAB.

2

/.ZCBF=-ZCAB.

2

(2)解：過點C作CG_LAB于點G.；sinNCBF=g,Z1=ZCBF,.,.sinZl=^

VZAEB=90°,AB=5..,.BE=ABsinZl=75.

VAB=AC,ZAEB=90°,/.BC=2BE=275.

在RtAABE中，由勾股定理得AE=一止=2后.

；.sinN2=述，cosZ2=—

55

在RtACBG中，可求得GC=4,GB=2./.AG=3.

；GC〃BF,.?.△AGC^AABF.二一=—

BFAB

...叫阻此型

AG3

考點：切線的性質，相似的性質，勾股定理.

20、(1)60人;(2)144。;(3)288人.

【解題分析】

(l)D等級人數(shù)除以其所占百分比即可得；

(2)先求出A等級對應的百分比，再由百分比之和為1得出C等級的百分比，繼而乘以360即可得；

(3)總人數(shù)乘以A、B等級百分比之和即可得.

【題目詳解】

解：(1)本次被抽取參加英語口語測試的學生共有9?15%=60人；

19

(2)A級所占百分比為一義100%=20%,

v760

C級對應的百分比為1—(20%+25%+15%)=40%,

則扇形統(tǒng)計圖中C級的圓心角度數(shù)為360x40%=144;

(3)640x(20%+25%)=288(A)，

答:估計英語口語達到B級以上(包括B級)的學生人數(shù)為288人.

【題目點撥】

本題考查讀頻數(shù)分布直方圖的能力和利用統(tǒng)計圖獲取信息的能力?利用統(tǒng)計圖獲取信息時，必須認真觀察、分析、研究

統(tǒng)計圖，才能作出正確的判斷和解決問題?也考查了樣本估計總體.

21、(1)16；(2)平均數(shù)是3,眾數(shù)是10,中位數(shù)是3；(3)1.

【解題分析】

(1)根據(jù)有7名留守兒童班級有2個，所占的百分比是2.5%,即可求得班級的總個數(shù)，再求出有8名留守兒童班級

的個數(shù)，進而補全條形統(tǒng)計圖；

(2)將這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列即可求得統(tǒng)計的這組留守兒童人數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)利用班級數(shù)60乘以(2)中求得的平均數(shù)即可.

【題目詳解】

解：(1)該校的班級數(shù)是：2+2.5%=16(個).

則人數(shù)是8名的班級數(shù)是：16-1-2-6-2=5(個).

條形統(tǒng)計圖補充如下圖所示：

全校五種情況留守兒童

(2)每班的留守兒童的平均數(shù)是：(1x6+2x7+5x8+6x10+2x2)4-16=3

將這組數(shù)據(jù)按照從小到大排列是：6,7,7,8,8,8,8,8,10,10,10,10,10,10,2,2.

故這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是10,中位數(shù)是(8+10)+2=3.

即統(tǒng)計的這組留守兒童人數(shù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3,眾數(shù)是10,中位數(shù)是3；

(3)該鎮(zhèn)小學生中，共有留守兒童60x3=1(名).

答：該鎮(zhèn)小學生中共有留守兒童1名.

【題目點撥】

本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關

鍵.條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據(jù)；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大小.也考查了平均數(shù)、

中位數(shù)和眾數(shù)以及用樣本估計總體.

22、(1)空；(2)MC?NC=5；(3)的最小值為26；(4)以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過定點。，此定點O

在直線AB上且CD的長為75.

【解題分析】

SCBCr~

⑴由題意得4。=。5=2、OC=3、AC=5、BC=1,根據(jù)MC=ACtanNA=>CN=----------可得答

3tanZBNC

案；

(2)證AACMs^NCB得必=—,由此即可求得答案；

BCNC

(3)設MC=a、NC=b,由(2)知成=5,由P是圓上異于4、5的動點知。>0,可得6=：(a>0),根據(jù)反比例函數(shù)的

性質得不存在最大值，當。=分時，a+b最小，據(jù)此求解可得；

(4)設該圓與AC的交點為D,連接DM.DN,證小得^￡=,即MC“NC=DC=5,即DC=有，

據(jù)此知以為直徑的一系列圓經(jīng)過定點D,此頂點D在直線AB上且CD的長為逐.

【題目詳解】

(1)如圖所示，根據(jù)題意知，AO=OB=2,0C=3,

典IAC=Q4+OC=5,BC=OC-05=1,

直線I,

：.NACM=/ACN=90°,

J35J3

.,.MC=ACtanNA=5x2￡±=

33

ZABP=ZNBC,

...NBNC=NA=30°,

BC=J_=8

；.CN=tanN3NC

T

則MN=MC+CN=+J3-—,

33

故答案為：巫;

3

(2)VZACM=NNCB=90。,ZA=ZBNC,

.MCAC

"BCJVC'

即MC?NC=AGBC=5xl=5；

(3)設MC=a、NC=b,

由(2)知ab=5,

是圓上異于A、3的動點,

.\a>0,

.\Z?=|(a>0),

根據(jù)反比例函數(shù)的性質知，a+b不存在最大值，當“=》時，最小,

由。=/>得。=\,解之得4=?(負值舍去)，此時5=迅，

此時a+b的最小值為26；

(4)如圖，設該圓與AC的交點為。，連接。M、DN,

：MN為直徑，

:.NMDN=90。,

則ZMDC+ZNDC=9Q°,

■:NDCM=NDCN=90°,

:.ZMDC+ZDMC=90°,

J.ZNDC^ZDMC,

則4MDC^/XDNC,

MCDC?

——=——，即nnMGNCuOC2,

DCNC

由(2)知MGNC=5,

:.Dd=5,

：.DC=45，

：.以MN為直徑的一系列圓經(jīng)過定點D,此定點D在直線AB上且CD的長為6.

【題目點撥】

本題考查的是圓的綜合問題，解題的關鍵是掌握相似三角形的判定與性質、三角函數(shù)的應用、反比例函數(shù)的性質等知

識點.

23、(1)見解析；(2)①a=100,b=0.15;②144°;③140人.

【解題分析】

(1)采用隨機調查的方式比較合理，隨機調查的關鍵是調查的隨機性，這樣才合理；

(2)①用喜歡書畫類的頻數(shù)除以喜歡書畫類的頻率即可求得a值，用喜歡棋牌類的人數(shù)除以總人數(shù)即可求得b值.②

求得器樂類的頻率乘以360。即可.③用總人數(shù)乘以喜歡武術類的頻率即可求喜歡武術的總人數(shù).

【題目詳解】

(1)???調查的人數(shù)較多，范圍較大，

應當采用隨機抽樣調查，

?.?到六年級每個班隨機調查一定數(shù)量的同學相對比較全面，

丙同學的說法最合理.

（2）①???喜歡書畫類的有20人，頻率為0.20,

.,.a=20-r0.20=100,

b=15-rl00=0.15；

②,喜歡器樂類的頻率為：1-0.25-0.20-0.15=0.4,

,喜歡器樂類所對應的扇形的圓心角的度數(shù)為：360x0.4=144°；

③喜歡武術類的人數(shù)為：560x0.25=140人.

【題目點撥】

本題考查了用樣本估計總體和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的

關鍵.

24、證明見解析

【解題分析】

4〃+c

解：V---------=-2,/.4a+c=-2b.'-4a+2b+c=0.

b

**?x=2是一元二次方程at?+bx+c=0的根.

**?b1-4-ac>0>?'-b1>4-ac-

25、（1）點B的坐標為（1,0）.

（2）①點P的坐標為（4,21）或（-4,5）.

9

②線段QD長度的最大值為一.

4

【解題分析】

（1）由拋物線的對稱性直接得點B的坐標.

（2）①用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式，從而可得點C的坐標，得到SAB℃，設出點P的坐標，根據(jù)$醺3=45醺℃

列式求解即可求得點P的坐標.

②用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，由點Q在線段AC上，可設點Q的坐標為（q,-q-3）,從而由QD，x軸交拋物

線于點D,得點D的坐標為（q,q2+2q-3）,從而線段QD等于兩點縱坐標之差，列出函數(shù)關系式應用二次函數(shù)最值原理

求解.

【題目詳解】

解：（1）*.*A,B兩點關于對稱軸x=—1對稱，且A點的坐標為（-3,0）,

.?.點B的坐標為（1,0）.

(2)①?.?拋物線a=1,對稱軸為x=—1,經(jīng)過點A(-3,0),

，<一?=一1，解得<b=2.

2a

9a2-3b+c=0卜--。

二拋物線的解析式為y=x2+2x-3.

13

；.B點的坐標為(0,-3).，OB=1,OC=3..\SABOC=-xlx3=-.

設點P的坐標為(p,p2+2p-3),貝!1sAp°C=-x3x|p|=-|p|.

3

'''S^poc=4sABOC，二51Pl=6，解得p=±4.

當p=4時p2+2p—3=21；當p=—4時，p2+2p-3=5,

.?.點P的坐標為(4,21)或(-4,5).

②設直線AC的解析式為y=kx+b,將點A,C的坐標代入，得：

-3k+b=0k=-l

解得:

b=-3b=-3

...直線AC的解析式為y=-x-3.

V點Q在線段AC上，???設點Q的坐標為(q,-q-3).

XVQD±x軸交拋物線于點D,...點D的坐標為(q,q2+2q-3).

QD=—q—3—(q2+2q—3)=—q2—3q=一/+號+-1.

3

；a=—1<0,-3<——<0

2

9

線段QD長度的最大值為一.

4

8

26、(1)真；(2)j；(3)AP=2或AP=8或=d—5?

【解題分析】

(1)先根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可知"P=M3,從而NMPB=NM3P,然后根據(jù)三角形外角的性質

說明即可；

(2)先證明△PAC^APMB,然后根據(jù)相似三角形的性質求解即可；

(3)分三種情況求解：P為線段AB上的“好點”，P為線段AB延長線上的“好點”，P為線段BA延長線上的“好點”.

【題目詳解】

⑴真.

理由如下：如圖，當N4BC=90。時，M為尸C中點，BM=PM,

貝!INMPB=NMBP>NACP,

所以在線段AB上不存在“好點”；

C

f\

P4；

(2)?.?尸為BA延長線上一個“好點”；

:*NACP=NMBP；

：.ABiC^APMB；

PMPA

：.——=——即

PBPC

為尸C中點，

：.MP=2,

.?.2x4=524；

APA=~.

5

⑶第一種情況，尸為線段A8上的“好點”，貝?。軳ACP=NM3A,找AP中點O,連結M。；

為CP中點；

:.MD為4CPA中位線；

：.MD=2,MD〃CA；

：.ZDMP=ZACP=ZMBAf

:./\DMPs/\DBM；

：.DMP=DPDBBP4=DP-(5-OP)；

解得Z>P=LOP=4(不在AB邊上，舍去；)

：.AP=2

(

▲DPB

第二種情況(1),P為線段45延長線上的“好點”，貝！JNACP=NA/A4,找AP中點D,此時，D在線段45上，如圖,

連