江蘇省鎮(zhèn)江2022-2023學年高一年級下冊4月期中數學試題（含解析）

江蘇省鎮(zhèn)江中學2022-2023學年高一下學期4月期中數學試題（含解

析）【2022-2023鎮(zhèn)江中學高一期中數學】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

1.復數z滿足i-z=—l+i,貝ij|z|=（）

A.75B.V2C.1D.2

2.如圖所示的是用斜二測畫法畫出的「AOB的直觀圖（圖中虛線分別與x'軸，/軸平行），則原圖形

A.8B.16C.32D.64

3.已知向量〃=（1,0）,若a+X8與共線，則實數4值為（）

A.-1B.1C.±1D.0

4.在.ABC中，角A,8,。的對邊分別為a,Ac,若a=2夜,。=2,A=二，則8=（）

4

71715兀兀-5兀

A—B.-C.一D.一或一

63666

5.在中，cos2-=^（a,b,c分別為角A,B,C的對邊），則的形狀為

22c

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

6.若“，匕為兩條異面直線，a,￡為兩個平面，aua,bu/3,aCB=l，則下列結論中正確的是

（）

A./至少與a,b中一條相交

B./至多與a,b中一條相交

C」至少與小6中一條平行

D./必與mb中一條相交，與另一條平行

7.在_ABC中，〃是邊8c的中點，N是線段的中點.若NA=壬,的面積為6,則

6

AM?AN取最小值時，BC=（）

A.2B.4C.873-12D.1^-4

3

8.湖北省第十六屆運動會將于2022年10月在宜昌舉行，為了方便宜昌市民觀看，夷陵廣場大屏幕屆時會

滾動直播賽事，已知大屏幕下端8離地面3.5m,大屏幕高3m,若某位觀眾眼睛離地面1.5m,則這位觀眾

在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）（）

A.272B.V10C.275D.2瓜

二、多選題：本題共4小題，每小題5分,共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目

要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分

9.下列說法正確是（）

A.棱柱的側面一定是矩形

B.三個平面至多將空間分為3個部分

C.圓臺可由直角梯形以高所在直線為旋轉軸旋轉一周形成

D.任意五棱錐都可以分成3個三棱錐

10.設有下面四個命題，其中正確的命題是（）

A.若復數z滿足』eR,則zeR；

Z

B.若復數z滿足z2wR，則zwR；

C.若復數ZpZ2滿足Z|Z2wR,則Z1=Z2；

D.若復數Z1,Z2，則忖*22|=團*%|

11.給出下列命題中，其中正確選項有（）

A.若非零向量滿足斗+.=|4+瓦則a與匕共線且同向

B.若非零向量a為滿足：問=忖=卜-4，則a與a+6的夾角為60。

C.若單位向量q,02的夾角為60°，則當區(qū)+聞(feR)取得最小值時，f=-l

AHAT

D.在一ABC中，若1L網T+IM~?JBC=0,則JRC為等腰三角形

12.在_ABC中，角AB,C的對邊分別為a,dc,下列命題正確的是()

A.若C=57r,則(l+tanA)(l+tarLB)=2

B.若8s2A>COS2B，則a<Z?

TT

C.若滿足8=—,。=6,BC=a的ABC恰有一個，則0<a<6

6

D.若一ABC為銳角三角形，則sinA+sinB+sinCAcosA+cosB+cosC

三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在正方體ABC。-ABC。中，棱AVA9的中點分別為區(qū)F,則異面直線EF與BC所成角的度數

為.

14.已知a>0J(x)=sin(x-m)-asiar的最大值為百，則。=.

15.如圖，為了測量某濕地A,8兩點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點C,D,E.從。點測

得NAOC=67.5。，從C點測得ZAC￡>=45。，N5CE=75。，從￡點測得N8EC=60。.若測得

DC=2yfi，CE=V5(單位：百米)，則A，B兩點的距離為.

16.如圖1是1992年第七屆國際數學教育大會(ICME-7)的會徽圖案，它是由一串直角三角形演化而成

的(如圖2),其中。4=44=44==44=1，則卜

OA3?=

圖I

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟

17.已知復數ZI=l+2i,z2=3-4i.

(1)若復數Z1+/IZ2在復平面內對應的點在第二象限，求實數4的取值范圍;

(2)若復數z=z/(//+Z2)(〃eR)為純虛數，求z的虛部.

18.已知向量a=(T3),6=(1,2).

⑴求心-目的值；

⑵求a4及向量a在向量。上的投影向量的坐標;

(3)若(a-〃,求實數加的值.

137

19.在AABC中，已知cosC=—,a=—c

143

(1)求NA的大?。?/p>

(2)請從條件①：h—a=1；條件②：bcosA=—這兩個條件中任選一個作為條件，求cosB和a的值.

2

siv+f

⑴求sin2a的值;

⑵求儀一夕的值.

21.在ABC中，M,N為一ABC所在平面內的兩點，AB=3,AC=2五,NBAC=%,

4

MC=；BC,NA+NC=b.

(1)以AB和AC作為一組基底表示NM，并求；

(2)。為直線MN上一點，設CO=xA3+yAC(x,yeR),若直線C。經過二ABC的垂心，求乂兒

22如圖：某公園改建一個三角形池塘，ZC=90°,AB=2百米，8c=1百米，現準備養(yǎng)一批觀賞魚供

游客觀賞.

(1)若在內部取一點P,建造4尸。連廊供游客觀賞，如圖①，使得點P是等腰三角形PBC的頂

271

點，且NCPB=—,求連廊AP+尸C+P3的長(單位為百米);

3

(2)若分別在A8，BC,C4上取點。，E，F，并連建造連廊，使得一DEF變成池中池，放養(yǎng)更名貴

的魚類供游客觀賞，如圖②，使得一DEF為正三角形,或者如圖③，使得OE平行4B，且EE垂直

DE,則兩種方案的..。防的面積分別設為§2，S3,則邑和$3哪一個更小？

[2022-2023鎮(zhèn)江中學

高一期中數學】

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.復數z滿足i?z=—l+i,則Iz|=（）

A.V5B.V2D.2

【答案】B

【解析】

【分析】先求出復數z,再求出其模

【詳解】因為i.z=-l+i，

二匚—1+ii+i1.

所以z=--------=--------=1+1,

ii

所以|z|=Vl2+12=5/2，

故選：B

2.如圖所示的是用斜二測畫法畫出的的直觀圖（圖中虛線分別與x'軸，V軸平

行），則原圖形的面積是（）

C.32D.64

【答案】C

【解析】

【分析】由斜二測畫法知識得原圖形底和高

【詳解】原圖形中，OB=4,OB邊上的高為8x2=16,故面積為32

故選：C

3.已知向量a=（L0）,8=（1,1）,若d+47與/14+方共線，則實數X的值為（）

A.-1B.1C.±]D.O

【答案】c

【解析】

【分析】根據向量共線的坐標表示計算.

【詳解】由已知。+26=(1+2,4),+b=(4+1,1),

又Q+丸Z?與2Q+Z?共線，所以(1+X)—2(1+2)=。,解得4=±1.

故選：C.

4.在中，角ARC的對邊分別為a,"c,若a=2夜/=2,A=二，則8=()

4

71K5兀71?

A.—B.—C.—D.一或

6366

571

~6

【答案】A

【解析】

1T

【分析】由已知及正弦定理可求sinB,利用大邊對大角可知8<A=一，從而得出結果.

4

【詳解】?：a=2&,。=2,A=~,

4

,-1一不.八/?sinA1

由正弦定理可得：sin8=-----=一，

a2

h<a\B<A=—：.B=—.

94f6

故選：A.

5.在中，cos2-=-(a,h,c分別為角A,B,C的對邊)，則的形狀為

22c

A.等邊三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【解析】

【分析】由二倍角公式和余弦定理化角為邊后變形可得.

,*⑼...2Ba+c.三2Ba+c.?a+c

【詳解1?cos——----,?>2cos——----,1+cosB-----,

22c2cc

.a2+c2-b1a+c

1+----------=----，整理得a2+》2=c2,.?.三角形為直角三角形.

2acc

故選：B.

【點睛】本題考查三角形形狀的判斷，考查二倍角公式和余弦定理，用余弦定理化角為邊

是解題關鍵.

6.若m分為兩條異面直線，a,￡為兩個平面，&ua,bu/3,a，=/,則下列

結論中正確的是()

A」至少與小〃中一條相交

B.I至多與a,6中一條相交

C」至少與小6中一條平行

D./必與a,b中一條相交，與另一條平行

【答案】A

【解析】

【分析】此種類型的題可以通過舉反例判斷正誤.

【詳解】因為小b為兩條異面直線且aua,bu/3,a/3=l,所以。與/共面，b與

/共面.

若/與°、人都不相交，則a///,hIII,aIIb,與“、人異面矛盾，故A對；

當a、b為如圖所示位置時，可知/與a、b都相交，故B、C、D錯.

TT

7.在中，M是邊3C的中點，N是線段8M的中點.若NA=",二ABC的面積

6

為百，則AM-4V取最小值時，BC=()

A.2B.4C.873-12D.

16出.

---------4

3

【答案】A

【解析】

【分析】

根據題中條件，先得到A3-AC,再由向量數量積運算，結合基本不等式，得到

AM-AN的最小值，以及取得最小值時,可與的值，最后根據余弦定理，即可求出

結果.

TT

【詳解】因為在..ABC中，NA=一,..A5C的面積為6,

所以百=!AB?ACsin9,則AB?AC4垂），

又M是邊的中點，N是線段8M的中點，

uuur?Zuunnun、

所以AM=5（A8+AC）,

AN=-（AB+AM]=-\AB+-AB+-AC\=-AB+-AC,

2、72<22J44

則A〃.AN=g（A8+AC）（lA5+；AC）=|M2+gAB.AC+?AC『

=|朋2+小機M+如◎加阿+由叩卜”|"=6

%司=2

當且僅當6網=,4，即L時，等號成立，

AC=273

所以在SBC中，

由余弦定理可得：BC2=AB2+AC2-2AB?ACCOSA=4+12-2X2X26X@=4，

2

則3C=2.

故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：

求解本題的關鍵在于根據平面向量數量積以及平面向量基本定理，確定AM-AN取得最小

值的條件，根據三角形面積公式，以及余弦定理，求解即可.

8.湖北省第十六屆運動會將于2022年10月在宜昌舉行，為了方便宜昌市民觀看，夷陵廣

場大屏幕屆時會滾動直播賽事，已知大屏幕下端8離地面3.5m,大屏幕高3m,若某位觀眾

眼睛離地面1.5m,則這位觀眾在距離大屏幕所在的平面多遠，可以獲得觀看的最佳視野？（最

佳視野是指看到屏幕上下夾角的最大值）（）

A.2V2B.VlOc.2加D.2A/6

【答案】B

【解析】

【分析】設CO=f，表示出tan/BC￡>,tanNACD,利用兩角差正切公式，結合基本不

等式可確定當f=J而時，tan4CB取得最大值，由此可得結論.

【詳解】如圖所示，

25

設CD=t,則tan/BCD--,tanZACD--,

tt

3

tanZACD-tanZBCD73r3,33

1+tanZACD-tanZBCD〔JO/2+10-100()2麗

1+7r+7V'7

當且僅當，=:,即『=歷時取等號，

,乙.?.當CO=而時，可以獲得觀看的最佳視野.

故選：B.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有

多項符合題目要求全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分

9.下列說法正確的是()

A.棱柱的側面一定是矩形

B.三個平面至多將空間分為3個部分

C.圓臺可由直角梯形以高所在直線為旋轉軸旋轉一周形成

D.任意五棱錐都可以分成3個三棱錐

【答案】CD

【解析】

【分析】利用斜棱柱的側面可判斷A選項；取三個兩兩相互垂直的平面可判斷B選項；利

用圓臺的形成可判斷C選項；利用五棱錐的結構特征可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，斜棱柱的側面不一定是矩形，A錯；

對于B選項，若三個平面兩兩垂直，則這三個平面可將空間分為8個部分，B錯；

對于C選項，圓臺可由直角梯形以高所在直線為旋轉軸旋轉一周形成，C對；

對于D選項，一個五邊形可分為三個三角形，所以，任意五棱錐都可以分成3個三棱錐,

D對.

故選：CD.

10.設有下面四個命題，其中正確的命題是()

A.若復數z滿足，eR,則zeR；

Z

B.若復數z滿足z2eR，則zeR；

C.若復數滿足z/2GR,則4=4；

D.若復數4，Z2，則歸*Z2]=㈤*㈤

【答案】AD

【解析】

【分析】根據復數的運算性質，即可判定A正確；Wz=i，可判定B不正確；取

4=l+i,Z2=2-2i,可判斷C不正確；根據復數的模運算法則，可判定D正確.

【詳解】對于A中，設復數z=a+0i,(a,0eR),

1_a-b\_。b

可得7=荷西麗麗=/7正一方壽1'

因為LeR,可得匕=0,所以z=aeR,所以A正確；

z

對于B中，Wz=i,可得z2=-l，所以B不正確；

對于C中，例如：z,=l+i,z2=2-2i,則ZR2=(l+i)x2(l-i)=4wR,止匕時

Z)z,,所以C不正確；

對于D中，設Z|=a+/>i,(a,0eR),z2=c+di,(c,dG/?),

所以|z|*z2|=|(a+^i)(c+6/i)|=\ac-bd+^ad+bc^=J(ac-bd)°+(ad+Me,

-yla2c2+b2d2+crd2+lrc2,

㈤*卜卜二優(yōu)片+⑻6+/);^a2c2+b2d2+a2d2+b2c2

所以k*z21Tzi卜㈤,故D正確；

故選：AD

11.給出下列命題中，其中正確的選項有（）

A.若非零向量4力滿足斗+.=|4+W，則a與b共線且同向

B.若非零向量滿足：同=1|=%一同，則d與a+人的夾角為60。

C.若單位向量q,02的夾角為60。，則當|2q+re2|（feR）取得最小值時，，=一1

/、

A8AC

D.在二ABC中，若?一|+）—j?3C=0,則一A3。為等腰三角形

1網

【答案】ACD

【解析】

【分析】選項A：把|a+6|平方得到|。+切2=同2+1（+2時.問以《卜力），然后根據

\a+h\=\a\+\h\,得出cos（a力）=1,從而得出卜,9=0；選項B：根據

Ia|=|b\=\a-b\得到以|上|,|」|,|&一。|為三邊的三角形為等邊三角形,從而得到a與

a+b的夾角為30。；選項C：利用平方法得到,+聞2=。+1丫+3,從而判斷出「=一1

時26+修2QeR）取最小值；選項D：根據題意分析出」都為單位向量，從而

11\AB\\AC\

ADAr

得到向量一?+二二所在的宜線為角A的角平分線，再根據條件

\AB\|AC|

‘AQA（J、

——+——?8C=0,即可判斷ABC為等腰三角形.

[\AB\\AC\）

【詳解】選項A：對非零向量a1,

|a+Z?『=+8）=。2+〃2+24.0+|可+2|a|-|z?|cos^a,/?^,

若使|。+以=|4|+聞成立，即使|a+b『=（|a|+⑸『成立，

則cos（a/）=l,即卜,可=0,所以a與8共線且同向，選項A正確；

選項B：非零向量a,b滿足|G|=仍|=|&一〃則以|a|,g|,|a—切為三邊的三角形為等

邊三角形，故a與a+b的夾角為30。，選項B錯誤；

選項C：因為單位向量q,e；的夾角為60。，

所以12e；+闖=4e：+）,2+4居..=4同+*同+4，同?卜21cos60。

=4+r+2r=r+2/+4=(f+l)2+3,所以，=一1時，'+聞(feR)取最小值，故選項C

正確;

4?ArAftAr'

選項D：因為一一,—^都為單位向量，所以向量——+二二所在的直線為角A的角

\AB\\AC\\AB\\AC\

ABACABAC

平分線,又因為BC=O,即IBC,

\AC\)1網ki

所以AB=AC,即一ABC為等腰三角形，所以選項D正確.

故選：ACD

12.在JRC中，角4,8,C的對邊分別為a/,c,下列命題正確的是()

A.若C=],則(1+tanA)(l+tanB)=2

B.若COS?AACOS2^，則。＜人

7T

C.若滿足8=一力=6,6C=a的―ABC恰有一個，則0＜。＜6

6

D.若「45。為銳角三角形，則sinA+siiiB+sinC＞cosA+cos8+8sC

【答案】ABD

【解析】

【分析】根據兩角和的正切公式可判斷A；利用同角的三角函數關系結合正弦定理可判斷B；

作圖分析結合解三角形可判斷C；利用三角形為銳角三角形結合誘導公式可判斷D.

【詳解】對于A,由于C=：7t,故(l+tanA)(l+tan8)=1+tanA+tanB+tanAtanB

=1+tan(A+5)(1-tanAtanB)+tanAtanB=1—tanC(1-tanAtan8)+tanAtanB

3

=1-(tan—K)(1-tanAtanB)+tanAtanB—1+1-tanAtan8+tanAtan3=2,A正

4

確；

對于B由于CC^AACOS*，故l-sin2A＞1-sin?AvsiYB,

由正弦定理可知＜從,；.。＜。，B正確；

對于C,設A3上的高為CO,則CO=Qsin8=，Q,

2

當8=6,即。=12時，如圖，A點即。點，此時一ABC為直角三角形形，恰有一個;

C

B\4

D

當AC25C,即0<aW6時，此時以C為圓心，以6為半徑畫弧，與射線84的交點只

有一個(B除外)，

即.ABC恰有一個，故C錯誤；

7TTT

對于D,由于_A5c為銳角三角形，故A+8>—,.?.A>一—B,

22

TT7T

由于y=sinx在(0,—)上單調遞增，故sinA>sin(——B)=cosB,

22

同理sin3>cosC,sinC>cosA,故sinA+sinB+sinC>cosA+cosfi+cosC,D正確，

故選：ABD

三、填空題；本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.在正方體48。一4與。|。|中，棱AV42的中點分別為E,F,則異面直線EF與

耳。所成角的度數為.

【答案】90°

【解析】

【分析】利用中位線定理可得EF〃AA，再利用平行四邊形的性質可得BC//A2,從而

可得BCJIEF，再利用正方形的性質可得BC,LB.C,進而求得答案.

因為棱44,,A。的中點分別為E,F,所以

因為ABHCDHGD、且AB=CD=CR,所以四邊形ABC,D,是平行四邊形，

所以BCJ/A。，則BC"EF.

因為四邊形BCC4是正方形，所以則Ef_L8C.

所以異面直線EF與8。所成角的度數為90。.

故答案：90°

14.已知a>0,/(x)=sinx-g]-asiax的最大值為6,則。=.

\3)

【答案】2

【解析】

【分析】利用兩角差的正弦公式化簡，再結合輔助角公式列出關于。的方程，即可求得答案.

［詳解］由Q>O"（x）=sin［x_,J_asinx=（；-q）sinx——^-cosx?

由于/（X）最大值為6,故（g—af+（-￥）2=3，

解得“=2,或〃=-1（負值舍去），

故答案為：2

15.如圖，為了測量某濕地A,8兩點間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點C,

D,E.從。點測得NADC=67.5°,從C點測得ZA8=45。，NBCE=75。,從E點

測得N8EC=60。.若測得。。=2百，?！?夜（單位：百米），則A,8兩點的距離為

【答案】3（百米）

【解析】

【分析】根據題意，在“以;中，分析角邊關系可得AC=OC=26，在二8CE中,

由正弦定理可得BC的值，然后在_A8C中，利用余弦定理可得答案.

【詳解】根據題意，在△A0C中，ZACD=45°,ZADC=67.5°,DC=2y/3.

則ZDAC=180°-45°-67.5°=67.5°,則AC=DC=26，

在，BCE中，N5CE=75°,Zfi￡C=60°,CE=應,

貝ZEBC=180°—75°-60°=45°,

B下）

“ECBC_“ECxsinNBEC^2A

則有---------=----------,變形可得BC=------；---------------=7=——=V3,

sinZ.EBCsinZ.BECsinZEBC41

V

在「ABC中，AC=2百，BC=6ZACB=180°-ZACD-ZBCE=60°,

則AB2=AC2+BC2-33MTBC^ACB=

則AB=3；

故答案為：3（百米）

16.如圖1是1992年第七屆國際數學教育大會（ICME-7）的會徽圖案，它是由一串直角

三角形演化而成的（如圖2）,其中。4=44=44==44=1,則

，OA3?OAi—.

SI

【答案】①.2夜

【解析】

【分析】由題設結合勾股定理即可得出IQ4I；求出NA3Q44，NA10A正、余弦值,

利用兩角和的余弦公式求得cosNA30A,再由數量積定義可得。2.（?人.

【詳解】由題設結合勾股定理知：|04|=曬/+座『=日

同理1。41=6，|網|="=2,|。4|=石，穴|=卡，10^1=77,

所以|<?4I=J§=20；

1人?c>A

sinZAOA==M,==—,cosNA0A=——=

34t2，

OA42OA4

-AA-1_75/i=空一2275

sinZA)===—,cos飛r

cos/43。&=COS(ZA3OA4+NA+°A)

cos

=cosZA30A4/44°&一sinZA3OA4sinNA40A

732751752V15-V5

—__x_____x__—_______,

2525-10

OA^OA,=網股聞cos幺。4=V3xV5x占=3-

故答案為：2起，3-—.

2

四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟

17.已知復數4=l+2i,z2=3-4i.

(1)若復數Z1+/lz2在復平面內對應的點在第二象限，求實數之的取值范圍;

(2)若復數z=4?(4+Z2)(〃eR)為純虛數，求z的虛部.

【答案】(1)4〈一g

⑵—20

【解析】

【分析】(1)根據復數的運算公式和復數的幾何意義確定數4+/Lz2在復平面內對應的點的

坐標，由條件列不等式求義的取值范圍；(2)根據純虛數的定義列方程求〃，由此可求Z

的虛部.

【小問1詳解】

Z1+2z2=l+2i+2(3-4i)=(l+32)+(2-42)i,

Z1+；lZ2在復平面內對應的點在第二象限，則

2<--

1+32<0_3.<二

2-4/1>00

2<13

2

所以實數；I的取值范圍為1-8,

I3J

【小問2詳解】

z=z,?(/.z+z2)=(l+2i)x(//+3-4i)=〃+3+8+[2(〃+3)-4]i.

z為純虛數，則〃+3+8=0且2〃+2工0,

所以〃=T1,

此時z=-20i,所以z虛部為-20.

18.已知向量4=(-1,3),b=(l,2).

⑴求囚一4的值；

⑵求a6及向量a在向量b上的投影向量的坐標;

⑶若(a-，泌),a,求實數〃？的值.

【答案】⑴5

(2)。力=5，。，2)

(3)m=2

【解析】

【分析】(1)求出的坐標，進而可得模；

(2)直接利用數量積的坐標運算求。乃，至于投影向量也直接用公式求解即可；

(3)求出a-mb的坐標，然后利用-mb)a=0求解實數m的值即可.

【小問1詳解】

.a=(—1,3),b=(l,2),

/.2a-b=(-3,4),

.?.囚-@=J9+16=5；

【小問2詳解】

a=(—1,3),〃=(1,2),

，a?b=-lxl+3x2=5，

a-bb5(1,2),.

向重a在向量b上的投影向量為=7市、7￡了=(1,2)；

【小問3詳解】

由已知a-〃歷=(—1—m,3—2〃z),

(。-7泌)_LQ,

(a—itib^,ci——1x(—1—加)+3(3-2m)=0,解得m=2.

137

19.在△ABC中，已知cosC=—,Q=—c.

143

⑴求NA的大小；

(2)請從條件①：b—a=l；條件②：bcosA=—之這兩個條件中任選一個作為條件，求

2

cosB和4的值.

【答案】(1)A=q或4=用；

(2)選條件①：cosB=—,a=7；選條件②：cosB=—,a=7.

714

【解析】

【分析】(1)先用正弦定理求出角A；

JT

(2)選條件①：先判斷出A=§,分別求出cosC、sinC、cosA、sinA,利用兩角和的余弦

公式即可求出cos3,再用余弦定理求出〃；

-jr

選條件②：先判斷出A=《，分別求出cosC、sinC、cosA、sinA,利用兩角和的余弦公

式即可求出cos8,再用正弦定理求出a.

【小問1詳解】

△ABC中，因為cosC=1,所以sinC=—cos?C=Jl—.

14\<14J14

由正弦定理得：」一=」一，所以sinA=2sinC=Zxh叵=立.

sinAsinCc3142

所以A=［或A=22.

33

【小問2詳解】

選條件①：b—a=T,則6>。，所以A=§（A=-§-舍去）.

1331

此時cosC=--,sinC=-----，cosA=—,sinA=—，

所以cosB=—cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=----x—d-------x——=—

''1421427

即cosB=-

由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosB

即（a+l[=/+

7

解得：a=7（a=--舍去）.

選條件②：6cosA——

2

因為b>0,所以cosA<0,所以4=」（人=個舍去）.

33

此時cosC=—,sinC--~.cosA=一■-,sinA=—:

141422

13W3J311

cosB--cos（A+C）=-cosAcosC+sinAsinC=___x____—___

14142-14

由正弦定理得：——=——

sinAsinB

5

x

即a=------xsinA=2c°sAxsinA=-------~=7'

sinBsinB5A/32

11

即a=7.

20.已知a,尸G俘亨)，且cos(a-,)='4,sin(/?+0)=乎.

(1)求sin2a的值；

⑵求a-〃的值.

【答案】(1)?+41；(2)--.

104

【解析】

【分析】(1)利用同角三角函數和二倍角公式可求得sin(2a—cos(2a—根據

兀、71

(2a-y+j,利用兩角和差正弦公式可求得結果；

⑵根據同角三角函數可求得cos(/?+5),由sin(a-/?)=cos

結合兩角和差余弦公式和。-￡的范圍可求得結果.

cos1a--

l3

nn7t

sin2a=sinla--+—sinl2a--Icos—+cos2a--jsin—

I333333

314G3+473

—X—+—X——=-------------；

7t

coscr---嗚

21.在一ABC中，M,N為<ABC所在平面內的兩點，AB=3,AC=20NBAcJ,

4

MC=-BC,NA+NC=O.

3

（1）以AB和AC作為一組基底表示NM，并求|NM|；

（2）。為直線MN上一點，設CO=xAB+yAC（x,yeR）,若直線8經過的垂

心，求羽兒

【答案】（1）NM=1A8+LAC；且；（2）x=1,y=—

3634-8

【解析】

【分析】（1）利用基底法，以和AC作為一組基底表示即可；

（2）因為直線CD經過一48。的垂心，所以CDLA3,即C￡>.AB=0,分別表示出

CD,48代入即可.

【詳解】（1）由MC=；8C,所以M為線段BC上靠近。的三等分點.

由M4+NC=0，

所以N為線段AC的中點，

NM=NC+CM=-AC+-CB=-AC+-（AB-AC]=-AB+-AC,

2323、>36

因為AB.AC=|x|A。xcosZBAC3x2V2x—=6

2

+—AC+-ABAC

所以=J(-A/?+-AC|

\(36J\93693

(2)D為直線MN上一裊，設ND=kNM，

則CO=CN+ND=」AC+AMW=」AC+Z：dAB+LAC)

2236

、

=-1kAB+(\1-k一1一AC

3162)

所以，CDAB=(后筋+(,k_g)AC-AB=^kAB+[^k-^AC-AB

=—A:-9+1—Z:--|x3x2V2xsin—,

3[62)4

因為直線CD經過_ABC的垂心，所以CDLA5,即C0.A3=O，

所以CD-24B=|-Z:|x9+|—|x3x2夜xsin—=0,解得k--,

13)^62)44

所以。。=,攵46+(‘左一,]4。=!48—34。，

3(62)48

因為CO=xAB+yAC,

13

所以x=±,y=_士.

48

【點睛】本題關鍵之處在于第二問中“直線CO經過_ABC的垂心”轉化為

,iCD±AB,,,進而有“C￡).A6=0”.

22.如圖：某公園改建一個三角形池塘，NC=90°,AB=2百米，BC=1百米，現準備

養(yǎng)