滬教版整式概念講義

第九章整式第1節(jié)整式的概念【知識(shí)要點(diǎn)】1．字母表示數(shù):字母表示數(shù)具有簡(jiǎn)明、普遍的優(yōu)越性。從具體的數(shù)過(guò)渡到用字母表示數(shù)，滲透了從特殊到一般的抽象概括的思維方式。2．列代數(shù)式:即用字母把數(shù)字和數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明地表示出來(lái)。3．代數(shù)式的值:列代數(shù)式解決問(wèn)題時(shí)，往往要根據(jù)代數(shù)式里的字母的取值來(lái)確定代數(shù)式的值，因此求代數(shù)式的值是運(yùn)用列代數(shù)式解決問(wèn)題的一個(gè)重要方面。4．整式:最簡(jiǎn)單、最根本的代數(shù)式〔1〕單項(xiàng)式:由數(shù)與字母的積或字母與字母的積組成的代數(shù)式叫單項(xiàng)式。單獨(dú)的一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母也是單項(xiàng)式?！?〕多項(xiàng)式：幾個(gè)單項(xiàng)式的和組成的代數(shù)式叫做多項(xiàng)式。把一個(gè)多項(xiàng)式按某一個(gè)字母的指數(shù)從大到小的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母降冪排列，反之按某一個(gè)字母的指數(shù)從小到大的順序排列起來(lái)，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式按這個(gè)字母升冪排列。如：多項(xiàng)式按的降冪排列為，按的升冪排列為?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】1．正確理解單項(xiàng)式、單項(xiàng)式系數(shù)、單項(xiàng)式的次數(shù)、多項(xiàng)式、多項(xiàng)式系數(shù)、多項(xiàng)式的次數(shù)、整式等含義；2．會(huì)用抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述實(shí)際問(wèn)題；【典型例題】用字母表示數(shù)黑板的長(zhǎng)為2.5米，寬為米，那么他的面積和周長(zhǎng)分別是多少？【分析】此題是根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)求解的，要熟記長(zhǎng)方形的面積公式，周長(zhǎng)公式?！窘獯稹棵娣e周長(zhǎng)【點(diǎn)評(píng)】數(shù)字與字母或數(shù)字與括號(hào)相乘時(shí)，通常省略乘號(hào)，但要把數(shù)字寫(xiě)在字母或括號(hào)前面。請(qǐng)用字母表示已學(xué)過(guò)的四那么運(yùn)算律，如加法結(jié)合律等?！窘獯稹考臃ń粨Q律：加法結(jié)合律：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法分配律：【點(diǎn)評(píng)】這里的“×”號(hào)，只是為了使表達(dá)清晰，實(shí)際做題時(shí)要注意書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)。設(shè)某數(shù)為米，用表示以下各數(shù)：〔1〕某數(shù)的平方的相反數(shù)；〔2〕比某數(shù)的三倍大7；〔3〕7加上某數(shù)的和的三倍〔4〕某數(shù)與5的和除以某數(shù)；〔5〕某數(shù)的倍減去2的差【分析】解此題的關(guān)鍵是審清題意，審題時(shí)要抓住關(guān)鍵字，如和、差、積、商、多、少、幾倍、幾分之幾等；要注意書(shū)寫(xiě)的標(biāo)準(zhǔn)；按“先讀先寫(xiě)”的規(guī)那么表示?！窘獯稹俊?〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；【點(diǎn)評(píng)】書(shū)寫(xiě)標(biāo)準(zhǔn)的通常約定式中出現(xiàn)的乘號(hào)，通常乘號(hào)寫(xiě)作“”或省略不寫(xiě)。如常寫(xiě)成或數(shù)字與字母相乘，將數(shù)字寫(xiě)在字母前面〔1省略不寫(xiě)〕，如不寫(xiě)成數(shù)字與數(shù)字相乘，一般仍用“”號(hào)。式中出現(xiàn)的除法運(yùn)算，一般按照分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法書(shū)寫(xiě)，如通常寫(xiě)成表示字母與分?jǐn)?shù)的積時(shí)，分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)要化成假分?jǐn)?shù)。如：要寫(xiě)成，免得產(chǎn)生的誤解。另外的一些約定在以后逐步了解。觀察以下格式：第一式：；第二式：；第三式：；第四式：；用含字母的式子表示第個(gè)式子【分析】歸納一般性的規(guī)律，應(yīng)從最根本、最簡(jiǎn)單的情形入手思考，此題觀察前四個(gè)式子的特點(diǎn)，從變化中發(fā)現(xiàn)一般性的特點(diǎn)，這樣便于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，也是一個(gè)從特殊到一般的過(guò)程，這也是常用的解題方法和策略?！窘獯稹康趥€(gè)式子是如圖9-1，邊長(zhǎng)為m的正方形卡片，四個(gè)角上分別剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，然后折成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體盒子，如圖9-1，試寫(xiě)出計(jì)算這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方形的體積和外表積的公式圖9-1【分析】長(zhǎng)方體體積等于它的長(zhǎng)、寬、高三者之積，也等于它的底面積乘以高。由此題的條件可知：長(zhǎng)方體盒子的高為，而底面是一個(gè)正方形，關(guān)鍵是求出它的邊長(zhǎng)。要求這個(gè)無(wú)蓋長(zhǎng)方體的外表積，它既可以看成由底面正方形與四塊側(cè)面拼成，也可以看成一個(gè)大正方形剪去四個(gè)小正方形所得?！窘獯稹拷夥ㄒ唬河蓤D9-1可知，無(wú)蓋長(zhǎng)方體的底面為有陰影的正方形，它的邊長(zhǎng)為，所以長(zhǎng)方體的底面積為，該長(zhǎng)方形的高為，故長(zhǎng)方體的體積公式為：無(wú)蓋長(zhǎng)方體的外表由一個(gè)正方形底面和四個(gè)矩形側(cè)面所組成。每個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬分別為和面積為，而底面積為，所以其外表積的公式為：解法二：同一解法得，無(wú)蓋長(zhǎng)方體的外表的實(shí)質(zhì)可看成一個(gè)大正方形剪去四個(gè)小正方形，所以外表積等于大正方形的面積與四個(gè)小正方形的面積之差，即。以下用字母表示的式子都有其特定的意義，請(qǐng)結(jié)合已學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)對(duì)他們作出說(shuō)明：〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕；【解答】〔1〕表示互為相反數(shù)〔2〕表示異號(hào)〔3〕表示中至少一個(gè)為0 〔4〕表示均不為0〔5〕表示互為倒數(shù)〔6〕表示互為負(fù)倒數(shù)【點(diǎn)評(píng)】此題中的字母是正整數(shù)，要注意字母的取值必須使實(shí)際問(wèn)題中提煉出的數(shù)量有意義。代數(shù)式以下各式，那些是代數(shù)式？①②③④⑤0⑥⑦⑧⑨【分析】①、⑥、⑧是典型的用運(yùn)算符號(hào)將數(shù)或表示數(shù)的字母聯(lián)結(jié)而成。④、⑤屬于單獨(dú)一個(gè)數(shù)或一個(gè)字母。②是一個(gè)等式，③、⑦、⑨是不等式?！窘獯稹竣?、④、⑤、⑥、⑧是代數(shù)式【點(diǎn)評(píng)】用等號(hào)或不等號(hào)聯(lián)結(jié)的不是代數(shù)式！用代數(shù)式表示：〔1〕汽車(chē)每小時(shí)行駛60千米，t小時(shí)行駛千米；〔2〕哥哥今年歲，比妹妹大歲，妹妹今年歲；〔3〕n行樹(shù)一共有m棵，平均每行數(shù)有棵；〔4〕某件商品原價(jià)元，春節(jié)期間以8折出售，那么打折后售價(jià)為元；〔5〕與和的平方的倍；〔6〕如圖正方形的邊長(zhǎng)為，求陰影局部的面積；圖9-2【分析】此題考查用代數(shù)式表示幾個(gè)比擬簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系。題〔1〕關(guān)鍵掌握行程問(wèn)題中三量的關(guān)系，即路程=時(shí)間×速度。題〔2〕關(guān)鍵在于分清大數(shù)、小數(shù)的和差關(guān)系。題〔3〕在于區(qū)分份數(shù)。題〔4〕弄清打折的意義。題〔5〕注意平方和與和平方的區(qū)別。此類(lèi)題解題關(guān)鍵之一是抓住語(yǔ)句中的關(guān)鍵性詞語(yǔ)，如：“和、差、倍、份、倒數(shù)、積、商、平方”等，第二分清運(yùn)算的順序。題〔6〕陰影局部面積可以看作兩個(gè)以為直徑的圓的面積減去正方形的面積【解答】〔1〕；〔2〕；〔3〕；〔4〕；〔5〕；〔6〕請(qǐng)展開(kāi)聯(lián)想，結(jié)合你的實(shí)際生活，設(shè)計(jì)具體情境，解釋代數(shù)式可表示什么實(shí)際意義？代數(shù)式又可代表什么實(shí)際意義？【解答】此題答案不唯一，這里只給一個(gè)范例〔1〕假設(shè)a表示某工廠第一年的產(chǎn)值，第二年產(chǎn)值增加20%，那么表示此工廠第二年的產(chǎn)值〔2〕假設(shè)x表示正方形的邊長(zhǎng)，那么表示正方形的體積，那么表示2個(gè)邊長(zhǎng)為正方形的體積；一個(gè)三位數(shù)，他的百位上的數(shù)字式x，十位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字的2倍多3，個(gè)位上的數(shù)字比百位上的數(shù)字的少2，那么這個(gè)三位數(shù)可表示多少？【分析】先確定十位數(shù)字是，再確定個(gè)位數(shù)字是，從而這個(gè)三位數(shù)可以表達(dá)為【點(diǎn)評(píng)】設(shè)百位上數(shù)字為a，十位上數(shù)字為b，個(gè)位上數(shù)字為c，用代數(shù)式表示這個(gè)三位數(shù)不能表示為abc〔因?yàn)閍bc表示〕，而應(yīng)表示為。如圖，一個(gè)長(zhǎng)方形恰好被分成六個(gè)正方形，其中最小的正方形A的變長(zhǎng)為1，求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。【分析】仔細(xì)觀察這個(gè)圖形的結(jié)構(gòu)可以看出C的邊長(zhǎng)是B的邊長(zhǎng)減去A的邊長(zhǎng)1；D的邊長(zhǎng)等于C的邊長(zhǎng)減去1；E和F的邊長(zhǎng)等于D的邊長(zhǎng)減去1，所以只要求出B的邊長(zhǎng)，問(wèn)題就迎刃而解了。圖圖9-3【解答】設(shè)正方形B的邊長(zhǎng)x，那么正方形C、D、E、F的邊長(zhǎng)分別為、、、由長(zhǎng)方形對(duì)邊長(zhǎng)相等，可得解得：所以，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為，寬為答：所求長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為13，寬為11。我國(guó)政府為解決人民群眾看病難，決定下調(diào)藥品價(jià)格。某種藥品在1999年漲價(jià)30%后，2001年降價(jià)70%至a元，那么這種藥品在1999年漲價(jià)前的價(jià)格為元?！窘獯稹恳?yàn)樵撍幤方?jīng)過(guò)兩次調(diào)價(jià)后的價(jià)格是a元，而所求的問(wèn)題是第一次調(diào)價(jià)前的價(jià)格，可以用逆向思維的方法來(lái)解：因?yàn)?001年降價(jià)70%至a元，所以降價(jià)前的價(jià)格應(yīng)為，用同樣的方法可列出第一次調(diào)價(jià)前的價(jià)格為，整理得【點(diǎn)評(píng)】逆向思維是一種常用數(shù)學(xué)思想。代數(shù)式的值求代數(shù)式的值①②③【分析】求代數(shù)式的值分兩步進(jìn)行：〔1〕代入；〔2〕計(jì)算【解答】〔1〕29〔2〕〔3〕當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】〔1〕代入數(shù)值時(shí)，原來(lái)的運(yùn)算符號(hào)和數(shù)字不能改變；數(shù)字間相乘，原來(lái)省略的乘號(hào)要重新填上；如果數(shù)值是負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)時(shí)，應(yīng)該主動(dòng)添括號(hào)?！?〕計(jì)算中遇到小數(shù)的乘法，通常將小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的形式再計(jì)算。結(jié)果是分?jǐn)?shù)的話(huà)應(yīng)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。當(dāng)時(shí)，求以下各代數(shù)式的值〔1〕；〔2〕；〔3〕【解答】當(dāng)時(shí)〔1〕〔2〕〔3〕挖一條長(zhǎng)為x的水渠，渠道的截?cái)嗝媸堑妊菪?，如圖9-4，梯形的底分別為，水渠深h，假設(shè)。求挖這條水渠的土方量【分析】求水渠的土方量，即求體積，體積=底面積×高。這里即是等腰梯形的面積×水渠的長(zhǎng)度。圖9-4【解答】水渠的土方量當(dāng)時(shí)，答：求挖這條水渠的土方量為1500m3某企業(yè)去年的年產(chǎn)值是億元，今年比去年增長(zhǎng)了10%，如果明年還能按照這個(gè)速度增長(zhǎng)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下，該企業(yè)明年的年產(chǎn)值將能到達(dá)多少億元？如果去年的年產(chǎn)值是2億元，那么明年的年產(chǎn)值是多少億元？【分析】這是一道應(yīng)用題，首先應(yīng)該搞清楚其中的數(shù)據(jù)的數(shù)量關(guān)系?！窘獯稹坑深}意可得，今年的年產(chǎn)值為億元，于是明年的年產(chǎn)值為(億元).假設(shè)去年的年產(chǎn)值為2億元，即億元時(shí)，那么明年的年產(chǎn)值為(億元)答：該企業(yè)明年的年產(chǎn)值能到達(dá)億元，由去年的年產(chǎn)值是2億元，可以預(yù)計(jì)明年的年產(chǎn)值是2.42億元【點(diǎn)評(píng)】(1)代數(shù)式的值是由代數(shù)式里字母所取值確實(shí)定而確定的；(2)代數(shù)式在取值時(shí)，應(yīng)當(dāng)使代數(shù)式所表示的實(shí)際數(shù)量有意義。，求代數(shù)式的值【分析】此題由于無(wú)法知道的值是多少，所以只能用整體代入，與互為倒數(shù)，所以，再將它們一起代入就可以求出代數(shù)式的值?！窘獯稹俊军c(diǎn)評(píng)】遇到條件中沒(méi)有告訴每個(gè)字母的值，就可以考慮整體代入求值，這是求代數(shù)式值的常見(jiàn)方法。當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是2001，那么當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為()A. —1999 B. —2000 C. —2001 D. 1999【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者互為相反數(shù)當(dāng)時(shí)，代數(shù)式，所以，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式【解答】選A?！军c(diǎn)評(píng)】要靈活運(yùn)用整體代入的方法。整式以下代數(shù)式中，哪些是單項(xiàng)式，哪些是多項(xiàng)式，哪些是整式？，，，，，，，，，【解答】單項(xiàng)式有：，，，多項(xiàng)式有：，，，，整式：除外，其余都是整式?！军c(diǎn)評(píng)】不是單項(xiàng)式，因?yàn)閱雾?xiàng)式只含有乘法以及以數(shù)字為除數(shù)的除法運(yùn)算?？梢詫?xiě)成，因此是多項(xiàng)式。指出以下各單項(xiàng)式的系數(shù)和次數(shù)：，，，【分析】根據(jù)單項(xiàng)式的次數(shù)和系數(shù)的意義來(lái)確定【解答】的系數(shù)是，次數(shù)是2；的系數(shù)是，次數(shù)是3；的系數(shù)是1，次數(shù)是1；的系數(shù)是，次數(shù)是7；【點(diǎn)評(píng)】此類(lèi)練習(xí)需注意幾點(diǎn)：〔1〕單個(gè)字母的次數(shù)是1而不是0次?！?〕單獨(dú)一個(gè)數(shù)的單項(xiàng)式是零次單項(xiàng)式。〔3〕是分?jǐn)?shù)，是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，、數(shù)字因數(shù)，所以是單項(xiàng)式的系數(shù)。多項(xiàng)式是幾次幾項(xiàng)式？并按字母的降冪排列和字母的升冪排列?！窘獯稹渴俏宕挝屙?xiàng)式。按字母的降冪排列：按字母的升冪排列?！军c(diǎn)評(píng)】〔1〕不含有x，視為常數(shù)項(xiàng)，因此是關(guān)于x的最低此項(xiàng)；類(lèi)似地是關(guān)于y的最低次項(xiàng)?！?〕多項(xiàng)式中的項(xiàng)是包括它前面的符號(hào)的。變更項(xiàng)的位置時(shí)連同他前面的符號(hào)一起移動(dòng)。如果原來(lái)的第一項(xiàng)省略“+”號(hào)，移到后面時(shí)就應(yīng)補(bǔ)上“+”號(hào)，如果原來(lái)中間項(xiàng)移到第一項(xiàng)而性質(zhì)符號(hào)是“+”，也可以省略“+”，但性質(zhì)符號(hào)“—”不能省略。含有兩個(gè)〔或多個(gè)〕字母的多項(xiàng)式，按某一字母排列時(shí)，只按這個(gè)字母的指數(shù)排列，沒(méi)有這個(gè)字母的項(xiàng)，當(dāng)成那么個(gè)字母的常數(shù)項(xiàng)，即指數(shù)為0。時(shí)，多項(xiàng)式的值等于—17，那么當(dāng)時(shí)，多項(xiàng)式的值等于多少？為什么？【解答】因?yàn)闀r(shí)，多項(xiàng)式的值等于—17，所以，即。當(dāng)時(shí)，【點(diǎn)評(píng)】單個(gè)字母求不出時(shí)，?？紤]整體代入。假設(shè)多項(xiàng)式是三次二項(xiàng)式，求代數(shù)式的值?！痉治觥慷囗?xiàng)式是三次二項(xiàng)式，但最高次項(xiàng)有兩種可能，可能是也可能是，所以此題要分情況討論?！窘獯稹俊?〕當(dāng)是最高次項(xiàng)，那么，那么，〔2〕當(dāng)是最高次項(xiàng)，那么，那么當(dāng)時(shí)，下面4個(gè)代數(shù)式的值的最大值()。(A) (B) (C) (D) 【分析】條件和結(jié)論的聯(lián)系不明顯，題目本身很抽象，如何變抽象為具體，根據(jù)題目所給的條件，用一些特殊值代替抽象的字母進(jìn)行計(jì)算，從而選擇出正確的答案?！窘獯稹咳。葦M可得(A)選項(xiàng)是最大的?！军c(diǎn)評(píng)】特殊值法是一種化抽象為具體的數(shù)學(xué)方法?！靖子?xùn)練】汽車(chē)每4小時(shí)行a千米，它的速度是千米/小時(shí)。教室里原有m個(gè)同學(xué)，走出去4人，那么教室剩下的同學(xué)人數(shù)是人。某商品現(xiàn)價(jià)a元，比原價(jià)降低了25%，那么原價(jià)為元買(mǎi)單價(jià)x元的球拍n個(gè)，應(yīng)找回的錢(qián)用代數(shù)式表示是元。實(shí)驗(yàn)中學(xué)初一年級(jí)12個(gè)班級(jí)中共有團(tuán)員a人，那么表示的實(shí)際意義是如圖，用代數(shù)式表示圖中陰影局部的面積題6圖商場(chǎng)為了促銷(xiāo)，常用打折的方法，某商品原零售價(jià)為m元，先后兩次打折，第一次打八折，第二次打七折，兩次打折后零售價(jià)為元。當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是多項(xiàng)式的次數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是將多項(xiàng)式按x的降冪排列是假設(shè)是關(guān)于字母的單項(xiàng)式，其系數(shù)為－5，次數(shù)是5，那么