云南省玉溪市元江縣第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

云南省玉溪市元江縣第一中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．若正實(shí)數(shù)x，y滿足不等式，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若函數(shù)（）的最大值與最小正周期相同，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在上是增函數(shù) B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?．方程的解集是（）A． B．C． D．4．△中，已知，，，如果△有兩組解，則的取值范圍（）A． B． C． D．5．已知，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．不能確定6．點(diǎn)，，直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C． D．或7．已知數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，滿足，設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A．34B．39C．51D．688．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列敘述正確的是（）①若，則；②若，則；③若，則；④若，則.A．①② B．③④ C．①③ D．②④9．已知函數(shù)，點(diǎn)A、B分別為圖象在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)和第一個(gè)最低點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB為銳角三角形，則的取值范圍為（）A． B． C． D．10．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，角所對(duì)邊長(zhǎng)分別為，若，則的最小值為__________.12．在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，b=1,則_____________13．已知三棱錐，若平面ABC，，則異面直線PB與AC所成角的余弦值為______．14．若是三角形的內(nèi)角，且，則等于_____________．15．已知，，，則的最小值為______．16．已知關(guān)于實(shí)數(shù)x，y的不等式組構(gòu)成的平面區(qū)域?yàn)?，若，使得恒成立，則實(shí)數(shù)m的最小值是______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．求下列各式的值：（1）求的值；（2）已知，，且，，求的值.18．已知長(zhǎng)方體中,，點(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)．建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．（1）寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求線段的長(zhǎng)度；（3）判斷直線與直線是否互相垂直，說(shuō)明理由．19．在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.20．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且.（1）求；（2）若，求的值.21．已知直線經(jīng)過(guò)兩條直線:和:的交點(diǎn)，直線:；(1)若，求的直線方程；(2)若，求的直線方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

試題分析：由正實(shí)數(shù)滿足不等式，得到如下圖陰影所示的區(qū)域：當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，所以的取值范圍是．考點(diǎn)：線性規(guī)劃問(wèn)題．2、A【解析】

先由函數(shù)的周期可得，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)及三角函數(shù)值域的求法逐一判斷即可得解.【詳解】解：由函數(shù)（）的最大值與最小正周期相同，所以，即，即，對(duì)于選項(xiàng)A，令，解得：，即函數(shù)的增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，即A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為：，又無(wú)解，則B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，令，解得，即函數(shù)的對(duì)稱中心為：，又無(wú)解，則C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，，則，即函數(shù)的值域?yàn)椋碊錯(cuò)誤，綜上可得說(shuō)法正確的是選項(xiàng)A，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了三角函數(shù)值域的求法，屬中檔題.3、C【解析】

把方程化為，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)，即可求解方程的解，得到答案.【詳解】由題意，方程，可化為，解得，即方程的解集為.故答案為：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式，以及三角方程的求解，其中解答中熟記正切函數(shù)的性質(zhì)，準(zhǔn)確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】由正弦定理得A+C=180°-60°=120°，

由題意得：A有兩個(gè)值，且這兩個(gè)值之和為180°，

∴利用正弦函數(shù)的圖象可得：60°＜A＜120°，

若A=90，這樣補(bǔ)角也是90°，一解，不合題意，＜sinA＜1，

∵x=sinA，則2＜x＜故選D5、C【解析】

根據(jù)題意，求出與的值，比較易得，變形可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，，易得，則有，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的大小比較，屬于基礎(chǔ)題．6、B【解析】

根據(jù)，在直線異側(cè)或其中一點(diǎn)在直線上列不等式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與線段相交，所以，，在直線異側(cè)或其中一點(diǎn)在直線上，所以，解得或，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，考查了一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且滿足，得，所以，所以，設(shè)數(shù)列的公差為，則，故選D.8、D【解析】可以線在平面內(nèi)，③可以是兩相交平面內(nèi)與交線平行的直線，②對(duì)④對(duì)，故選D.9、B【解析】

△OAB為銳角三角形等價(jià)于,再運(yùn)算即可得解.【詳解】解：由題意可得,,由△OAB為銳角三角形，則,即，解得：，即的取值范圍為，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)圖像的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題.10、C【解析】

由關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，求得，再結(jié)合長(zhǎng)度比的幾何概型，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則滿足，解得，所以在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)a，使得關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根的概率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概型的概率的計(jì)算問(wèn)題，解決此類問(wèn)題的步驟：求出滿足條件A的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，再求出總的基本事件對(duì)應(yīng)的“幾何度量”，然后根據(jù)求解，著重考查了分析問(wèn)題和解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)余弦定理，可得，然后利用均值不等式，可得結(jié)果.【詳解】在中，，由，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故故的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理以及均值不等式，屬基礎(chǔ)題.12、2【解析】

根據(jù)條件，利用余弦定理可建立關(guān)于c的方程，即可解出c.【詳解】由余弦定理得，即，解得或（舍去）.故填2.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用余弦定理求三角形的邊，屬于中檔題.13、【解析】

過(guò)B作，且，則或其補(bǔ)角即為異面直線PB與AC所成角由此能求出異面直線PB與AC所成的角的余弦值．【詳解】過(guò)B作，且，則四邊形為菱形，如圖所示：或其補(bǔ)角即為異面直線PB與AC所成角．設(shè).，，平面ABC，，．異面直線PB與AC所成的角的余弦值為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．14、【解析】∵是三角形的內(nèi)角，且，∴故答案為點(diǎn)睛：本題是一道易錯(cuò)題，在上，，分兩種情況：若，則；若，則有兩種情況銳角或鈍角.15、【解析】

將所求的式子變形為，展開后可利用基本不等式求得最小值.【詳解】解：，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查了“乘1法”和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．由于已知條件和所求的式子都是和的形式，不能直接用基本不等式求得最值，使用“乘1法”之后，就可以利用基本不等式來(lái)求得最小值了.16、【解析】

由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可，再由表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，因此結(jié)合平面區(qū)域即可求出結(jié)果.【詳解】作出約束條件所表示的可行域如下：由，使得恒成立可知，只需求出的最大值即可；令目標(biāo)函數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與定點(diǎn)距離的平方，由圖像易知，點(diǎn)到的距離最大.由得，所以.因此，即的最小值為37.故答案為37【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，只需分析清楚目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，即可結(jié)合可行域來(lái)求解，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）利用二倍角公式以及輔助角公式化簡(jiǎn)即可．（2）利用配湊把打開即可．【詳解】解：（1）原式（2），，又，，，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角公式，兩角和與差的正切的應(yīng)用．輔助角公式．18、（1），，；（2）線段的長(zhǎng)度分別為；（3）不垂直，理由見解析【解析】

（1）由已知條件，利用長(zhǎng)方體的結(jié)構(gòu)特征，能求出點(diǎn)的坐標(biāo)．

（2）直接利用兩點(diǎn)間距離公式公式求解．（3）求出，，計(jì)算數(shù)量積即可判斷是否垂直.【詳解】解：（1）兩直線垂直，證明：由于為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，由得：，因?yàn)辄c(diǎn)N是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，，；（2）由兩點(diǎn)距離公式得：，；（3）直線與直線不垂直，理由：由（1）中各點(diǎn)坐標(biāo)得：，，與不垂直，所以直線與直線不垂直.【點(diǎn)睛】本題考查空間中點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，考查線段長(zhǎng)的求法，以及利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算判斷垂直，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．19、(1)證明見解析；(2)【解析】

(1)取中點(diǎn),連接,可得四邊形為平行四邊形.再證明平面得到,進(jìn)而得到即可.(2)利用等體積法,求出三棱錐的體積,進(jìn)而求得到平面的距離,再得出直線與平面所成角的正弦值即可.【詳解】(1)取中點(diǎn),連接,則.又,故.故四邊形為平行四邊形.故.又,故,又底面,平面,故.又,,故,又,故平面.又平面,故.又,,故(2)因?yàn)榈酌?故.又,,.故.設(shè)到平面的距離為,則,解得.故直線與平面所成角的正弦值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了線線垂直的證明以及利用等體積法求點(diǎn)到面的距離以及線面角的求解,需要根據(jù)題意利用線面線線垂直的判定與性質(zhì)證明,同時(shí)也需要在等體積法時(shí)求解對(duì)應(yīng)的面的面積等.屬于中檔題.20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式、正弦定理、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，結(jié)合已知等式，化簡(jiǎn)，結(jié)合，可得A的值；（2）由已知根據(jù)余弦定理可得，利用正弦定理可得聯(lián)立即可解得λ的值．【詳解】（1），，；（2）