2025屆湖北省武漢市華科附中、吳家山中學等五校高一數學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆湖北省武漢市華科附中、吳家山中學等五校高一數學第二學期期末統(tǒng)考模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設定義域為的奇函數是增函數，若對恒成立，則實數的取值范圍是（）A． B． C． D．2．某單位職工老年人有30人，中年人有50人，青年人有20人，為了了解職工的建康狀況，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，則應抽查的老年人的人數為（）A．3 B．5 C．2 D．13．函數則＝（）A． B． C．2 D．04．某幾何體的三視圖如圖所示(實線部分)，若圖中小正方形的邊長均為1，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．5．在平面直角坐標系中，已知四邊形是平行四邊形，，，則（）A． B． C． D．6．下列結論正確的是（）A．若則； B．若，則C．若，則 D．若，則；7．從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，則取出的產品全是正品的概率是（）A． B． C． D．8．如圖，在中，，用向量，表示，正確的是A． B．C． D．9．某產品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數據如下表根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元時銷售額為()A．63.6萬元 B．65.5萬元 C．67.7萬元 D．72.0萬元10．設為等差數列的前n項和，若，則使成立的最小正整數n為（）A．6 B．7 C．8 D．9二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．用數學歸納法證明“”，在驗證成立時，等號左邊的式子是______.12．己知函數，有以下結論：①的圖象關于直線軸對稱②在區(qū)間上單調遞減③的一個對稱中心是④的最大值為則上述說法正確的序號為__________（請?zhí)钌纤姓_序號）.13．如圖中，，，，M為AB邊上的動點，，D為垂足，則的最小值為______；14．已知，則與的夾角等于____.15．在銳角△ABC中，BC＝2，sinB+sinC＝2sinA，則AB+AC＝_____16．若數列滿足，則_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在平面直角坐標系中，以軸為始邊，作兩個角，它們終邊分別經過點和，其中,，且.（1）求的值；（2）求的值.18．已知三棱柱中,三個側面均為矩形,底面為等腰直角三角形,,點為棱的中點,點在棱上運動.（1）求證；（2）當點運動到某一位置時，恰好使二面角的平面角的余弦值為，求點到平面的距離；（3）在（2）的條件下，試確定線段上是否存在一點，使得平面？若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.19．已知圓的圓心在軸上，且經過點，．（Ⅰ）求線段AB的垂直平分線方程；（Ⅱ）求圓的標準方程；（Ⅲ）過點的直線與圓相交于、兩點，且，求直線的方程．20．從高三學生中抽出50名學生參加數學競賽，由成績得到如圖所示的頻率分布直方圖.利用頻率分布直方圖求：（1）這50名學生成績的眾數與中位數；（2）這50名學生的平均成績.（答案精確到0.1）21．已知向量a=(5sin（1）求cos(α+β)（2）若0<α<β<π2，且sinα=

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由題意可得，即為，可得恒成立，討論是否為0，結合換元法和基本不等式，可得所求范圍．【詳解】解：由題意可得，即為，可得恒成立，當時，上式顯然成立；當時，可得，設，，可得，由，可得，可得，即，故選：A．【點睛】本題主要考查函數的奇偶性和單調性的運用，考查不等式恒成立問題解法，注意運用參數分離和換元法，考查化簡運算能力，屬于中檔題．2、A【解析】

先由題意確定抽樣比，進而可求出結果.【詳解】由題意該單位共有職工人，用分層抽樣的方法從中抽取10人進行體檢，抽樣比為，所以應抽查的老年人的人數為.故選A【點睛】本題主要考查分層抽樣，會由題意求抽樣比即可，屬于基礎題型.3、B【解析】

先求得的值，進而求得的值.【詳解】依題意，，故選B.【點睛】本小題主要考查分段函數求值，考查運算求解能力，屬于基礎題.4、A【解析】

由三視圖得出原幾何體是由半個圓錐與半個圓柱組成的組合體，并且由三視圖得出圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高，再由圓柱和圓錐的體積公式得解.【詳解】由三視圖可知，幾何體是由半個圓錐與半個圓柱組成的組合體，其中圓柱和圓錐的底面半徑，圓錐的高，圓柱的高所以圓柱的體積，圓錐的體積，所以組合體的體積．故選B．【點睛】本題主要考查空間幾何體的三視圖和空間幾何體圓柱和圓錐的體積，屬于基礎題．5、D【解析】因為四邊形是平行四邊形，所以，所以，故選D．考點：1、平面向量的加法運算；2、平面向量數量積的坐標運算．6、D【解析】

根據不等式的性質，結合選項，進行逐一判斷即可.【詳解】因，則當時，；當時，，故A錯誤；因，則或，故B錯誤；因，才有，條件不足，故C錯誤；因，則，則只能是，故D正確.故選：D.【點睛】本題考查不等式的基本性質，需要對不等式的性質非常熟練，屬基礎題.7、B【解析】

利用古典概型概率公式求解即可.【詳解】設三件正品分別記為，一件次品記為則從三件正品、一件次品中隨機取出兩件，取出的產品可能為，共6種情況，其中取出的產品全是正品的有3種所以產品全是正品的概率故選：B【點睛】本題主要考查了利用古典概型概率公式計算概率，屬于基礎題.8、C【解析】

由得，再由向量的加法得，最后把代入，求得答案.【詳解】因為，故選C.【點睛】本題考查向量的加法和數乘運算的幾何意義，考查平面向量基本定理在圖形中的應用.9、B【解析】∵，∵數據的樣本中心點在線性回歸直線上，

回歸方程中的為9.4∴線性回歸方程是y=9.4x+9.1，

∴廣告費用為6萬元時銷售額為9.4×6+9.1=65.5，

故選B．10、C【解析】

利用等差數列下標和的性質可確定，，，由此可確定最小正整數.【詳解】且，使得成立的最小正整數故選：【點睛】本題考查等差數列性質的應用問題，關鍵是能夠熟練應用等差數列下標和性質化簡前項和公式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據左邊的式子是從開始，結束，且指數依次增加1求解即可.【詳解】因為左邊的式子是從開始，結束，且指數依次增加1所以，左邊的式子為，故答案為.【點睛】項數的變化規(guī)律，是利用數學歸納法解答問題的基礎，也是易錯點，要使問題順利得到解決，關鍵是注意兩點：一是首尾兩項的變化規(guī)律；二是相鄰兩項之間的變化規(guī)律.12、②④【解析】

根據三角函數性質，逐一判斷選項得到答案.【詳解】，根據圖像知：①的圖象關于直線軸對稱，錯誤②在區(qū)間上單調遞減，正確③的一個對稱中心是，錯誤④的最大值為，正確故答案為②④【點睛】本題考查了三角函數的化簡，三角函數的圖像，三角函數性質，意在考查學生對于三角函數的綜合理解和應用.13、【解析】

以為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出的值，然后利用換元法求解出對應的最小值即可.【詳解】如圖所示，設，所以，根據條件可知：，所以，設，，，所以，所以，所以，所以當時，有最小值，最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查利用坐標法以及換元法求解最值，著重考查邏輯推理和運算求解的能力，屬于較難題(1)利用換元法求解最值時注意，換元后新元的取值范圍；(2)三角函數中的一組“萬能公式”：，.14、【解析】

根據向量的坐標即可求出，根據向量夾角的公式即可求出．【詳解】∵，，，，∴，又，∴．故答案為：．【點睛】考查向量坐標的數量積運算，向量坐標求向量長度的方法，以及向量夾角的余弦公式，屬于基礎題．15、1【解析】

由正弦定理化已知等式為邊的關系，可得結論．【詳解】∵sinB+sinC＝2sinA，由正弦定理得，即．故答案為1．【點睛】本題考查正弦定理，解題時利用正弦定理進行邊角關系的轉化即可．16、【解析】

由遞推公式逐步求出.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查數列的遞推公式，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

(1)根據正弦的定義求得，再運用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)問可得、兩點的坐標，從而再運用正切的和角公式求解.【詳解】（1）由得：所以：（2）由則故因此.【點睛】本題考查三角函數的定義和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，屬于基礎題.18、（1）見解析；（2）；（3）存在，為中點.【解析】

（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），要證A1C⊥AE，可證,只需證明，利用向量的數量積運算即可證明；（2）分別求出平面EA1D、平面A1DB的一個法向量，由兩法向量夾角余弦值的絕對值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的條件下，設F（x，y，0），可知與平面A1DB的一個法向量平行，由此可求出點F坐標，進而求出||，即得答案.【詳解】（1）以CB為x軸，CA為y軸，CC1為z軸，C為原點建立坐標系，設E（m，0，2），C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），因為＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，所以⊥，即A1C⊥AE；（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），設＝（x，y，z）為平面EA1D的一個法向量，則即，?。剑?，m，﹣2m），＝（2，0，﹣1），設＝（x，y，z）為平面A1DB的一個法向量，則，即，?。剑?，﹣1，2），由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值為，得||＝，解得m＝1，平面A1DB的一個法向量＝（1，﹣1，2），根據點E到面的距離為：.（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）為平面A1DB的一個法向量，設F（x，y，0），則＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，所以＝（﹣1，1，﹣2），＝＝，故EF的長度為，此時點F（0，1，0）．存在F點為AC中點.【點睛】本題考查重點考查直線與平面垂直的性質、二面角的平面角及其求法、空間點、線、面間距離計算，考查學生空間想象能力、推理論證能力．19、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）或.【解析】

（Ⅰ）利用垂直平分關系得到斜率及中點，從而得到結果；（Ⅱ）設圓的標準方程為，結合第一問可得結果；（Ⅲ）由題意可知：圓心到直線的距離為1，分類討論可得結果.【詳解】解：（Ⅰ）設的中點為，則．由圓的性質，得，所以，得.所以線段的垂直平分線的方程是.(II)設圓的標準方程為，其中，半徑為（）.由圓的性質，圓心在直線上，化簡得．所以圓心，，所以圓的標準方程為．(III)由(I)設為中點，則，得．圓心到直線的距離.(1)當的斜率不存在時，，此時，符合題意.(2)當的斜率存在時，設，即，由題意得，解得：．故直線的方程為，即．綜上直線的方程或．【點睛】圓內一點為弦的中點時，則此點與圓心的連線和弦所在的直線垂直；解決圓的弦長有關問題，注意弦長一半、弦心距、半徑構成的直角三角形的三邊的勾股數之間的關系。20、（1）眾數為75分，中位數為分；（2）76.2分【解析】

（1）由眾數的概念及頻率分布直方圖可求得眾數，根據中位數的概念可求得中位數；.（2）由平均數的概念和頻率直方圖可求得平均數.【詳解】（1）由眾數的概念及頻率分布直方圖可知，這50名學生成績的眾數為75分.因為數學競賽成績在的頻率為，數學競賽成績在的頻率為.所以