2025屆開(kāi)封市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆開(kāi)封市重點(diǎn)中學(xué)高一下數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在中，已知a，b，c分別為，，所對(duì)的邊，且a，b，c成等差數(shù)列，，,則（）A． B． C． D．2．在正四棱柱中，，則點(diǎn)到平面的距離是（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列．若，則（）A．15 B．7 C．8 D．164．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c．已知，a=2，c=，則C=A． B． C． D．5．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，若，則（）A． B． C． D．6．已知，成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是A．0 B．1 C．2 D．47．從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A．至少有一個(gè)紅球與都是紅球B．至少有一個(gè)紅球與都是白球C．恰有一個(gè)紅球與恰有二個(gè)紅球D．至少有一個(gè)紅球與至少有一個(gè)白球8．在一個(gè)平面上，機(jī)器人到與點(diǎn)的距離為8的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，它在行進(jìn)過(guò)程中到經(jīng)過(guò)點(diǎn)與的直線的最近距離為（）A． B． C． D．9．若不等式的解集是，則的值為（）A．12 B． C． D．1010．若直線與直線互相平行，則的值為（）A．4 B． C．5 D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，數(shù)列的前項(xiàng)和為_(kāi)____．12．一條河的兩岸平行，河的寬度為560m，一艘船從一岸出發(fā)到河對(duì)岸，已知船的靜水速度，水流速度，則行駛航程最短時(shí)，所用時(shí)間是__________（精確到）．13．已知數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的通項(xiàng)______.14．已知，若直線與直線垂直，則的最小值為_(kāi)____15．若，方程的解為_(kāi)_____.16．的化簡(jiǎn)結(jié)果是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．設(shè)有關(guān)于的一元二次方程．（Ⅰ）若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．（Ⅱ）若是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，是從區(qū)間任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．18．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值和最小值.19．已知向量垂直于向量，向量垂直于向量.（1）求向量與的夾角；（2）設(shè)，且向量滿足，求的最小值；（3）在（2）的條件下，隨機(jī)選取一個(gè)向量，求的概率.20．中，角A，B，C所對(duì)邊分別是a、b、c，且．(1)求的值；(2)若，求面積的最大值．21．某種汽車(chē),購(gòu)車(chē)費(fèi)用是10萬(wàn)元,每年使用的保險(xiǎn)費(fèi)和汽油費(fèi)為萬(wàn)元,年維修費(fèi)第一年為萬(wàn)元,以后逐年遞增萬(wàn)元,問(wèn)這種汽車(chē)使用多少年時(shí),它的年平均費(fèi)用最少?

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

利用成等差數(shù)列可得,再利用余弦定理構(gòu)造的結(jié)構(gòu)再代入求得即可.【詳解】由成等差數(shù)列可得,由余弦定理有,即,解得,即.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差中項(xiàng)與余弦定理的運(yùn)算,需要根據(jù)題意構(gòu)造與的結(jié)構(gòu)代入求解.屬于中檔題.2、A【解析】

計(jì)算的面積，根據(jù)可得點(diǎn)到平面的距離．【詳解】中，，，∴的邊上的高為，∴，設(shè)到平面的距離為，則，又，∴，解得．故選A．【點(diǎn)睛】本題涉及點(diǎn)面距離的求法，點(diǎn)面距可以通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系來(lái)求得點(diǎn)面距離，或者尋找面面垂直，再直接過(guò)點(diǎn)做交線的垂線即可;當(dāng)點(diǎn)面距離不好求時(shí)，也可以根據(jù)等積法把點(diǎn)到平面的距離歸結(jié)為一個(gè)容易求得的幾何體的體積.3、B【解析】

通過(guò)，，成等差數(shù)列,計(jì)算出，再計(jì)算【詳解】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列即故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式，等差中項(xiàng)，前N項(xiàng)和，屬于常考題型.4、B【解析】

試題分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的正弦公式以及正弦定理計(jì)算即可詳解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故選B．點(diǎn)睛：本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，正弦定理、余弦定理是兩個(gè)主要依據(jù).解三角形時(shí)，有時(shí)可用正弦定理，有時(shí)也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個(gè)定理更方便、簡(jiǎn)捷一般來(lái)說(shuō),當(dāng)條件中同時(shí)出現(xiàn)及、時(shí)，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時(shí)，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.5、B【解析】

已知兩角及一對(duì)邊，求另一邊，我們只需利用正弦定理.【詳解】在三角形中由正弦定理公式:，所以選擇B【點(diǎn)睛】本題直接屬于正弦定理的直接考查，代入公式就能求解.屬于簡(jiǎn)單題.6、D【解析】解：∵x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)可知：a+b=x+y，cd=xy，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取“=”，7、C【解析】

從裝有5個(gè)紅球和3個(gè)白球的口袋內(nèi)任取3個(gè)球，不同的取球情況共有以下幾種：3個(gè)球全是紅球；2個(gè)紅球和1個(gè)白球；1個(gè)紅球2個(gè)白球；3個(gè)全是白球.選項(xiàng)A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個(gè)紅球”的子事件；選項(xiàng)B中，事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“都是白球”是對(duì)立事件；選項(xiàng)D中，事件“至少有一個(gè)紅球”與事件“至少有一個(gè)白球”的事件為“2個(gè)紅球1個(gè)白球”與“1個(gè)紅球2個(gè)白球”；選項(xiàng)C中，事件“恰有一個(gè)紅球”與事件“恰有2個(gè)紅球”互斥不對(duì)立，故選C.8、A【解析】

由題意知機(jī)器人的運(yùn)行軌跡為圓，利用圓心到直線的距離求出最近距離．【詳解】解：機(jī)器人到與點(diǎn)距離為8的地方繞點(diǎn)順時(shí)針而行，在行進(jìn)過(guò)程中保持與點(diǎn)的距離不變，機(jī)器人的運(yùn)行軌跡方程為，如圖所示；與，直線的方程為，即為，則圓心到直線的距離為，最近距離為．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】

將不等式解集轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)方程的根，然后根據(jù)韋達(dá)定理求出方程中的參數(shù)，從而求出所求．【詳解】解：不等式的解集為，為方程的兩個(gè)根，根據(jù)韋達(dá)定理：解得，故選：B?！军c(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，以及韋達(dá)定理的運(yùn)用和一元二次不等式解集與所對(duì)應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，屬于中檔題．10、C【解析】

根據(jù)兩條存在斜率的直線平行，斜率相等且在縱軸上的截距不相等這一性質(zhì)，可以求出的值.【詳解】直線的斜率為，在縱軸的截距為，因此若直線與直線互相平行，則一定有直線的斜率為，在縱軸的截距不等于，于是有且，解得，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了已知兩直線平行求參數(shù)問(wèn)題.其時(shí)本題也可以運(yùn)用下列性質(zhì)解題：若直線與直線平行，則有且.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、．【解析】

首先利用數(shù)列的關(guān)系式的變換求出數(shù)列為等差數(shù)列，進(jìn)一步求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后求出數(shù)列的和．【詳解】解：數(shù)列中，，當(dāng)時(shí)，，整理得，即，∴數(shù)列是以為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列，故，所以，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查定義法判斷等差數(shù)列，考查等差數(shù)列的前項(xiàng)和，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于中檔題．12、6【解析】

先確定船的方向，再求出船的速度和時(shí)間.【詳解】因?yàn)樾谐套疃蹋源瑧?yīng)該朝上游的方向行駛，所以船的速度為km/h,所以所用時(shí)間是.故答案為6【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

直接利用數(shù)列的遞推關(guān)系式和疊加法求出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.時(shí)也成立.所以數(shù)列的通項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，疊加法在數(shù)列中的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于基礎(chǔ)題．14、8【解析】

兩直線斜率存在且互相垂直，由斜率乘積為-1求得等式，把目標(biāo)式子化成，運(yùn)用基本不等式求得最小值.【詳解】設(shè)直線的斜率為，，直線的斜率為，，兩條直線垂直，，整理得：，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，的最小值為.【點(diǎn)睛】利用“1”的代換，轉(zhuǎn)化成可用基本不等式求最值，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想.15、【解析】

運(yùn)用指數(shù)方程的解法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域，可得所求解．【詳解】由，即，因，解得，即.故答案：.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)方程的解法，以及指數(shù)函數(shù)的值域，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】原式，因?yàn)椋?，且，所以原式．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（1）本題是一個(gè)古典概型，可知基本事件共12個(gè)，方程當(dāng)時(shí)有實(shí)根的充要條件為，滿足條件的事件中包含9個(gè)基本事件，由古典概型公式得到事件發(fā)生的概率．（2）本題是一個(gè)幾何概型，試驗(yàn)的全部約束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，．?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋?，．根?jù)幾何概型公式得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)事件為“方程有實(shí)數(shù)根”．當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根的充要條件為．（Ⅰ）基本事件共12個(gè)：．其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值．事件中包含9個(gè)基本事件，事件發(fā)生的概率為．（Ⅱ）實(shí)驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)椋畼?gòu)成事件的區(qū)域?yàn)椋蟮母怕蕿椤军c(diǎn)睛】本題考查幾何概型和古典概型，放在一起的目的是把兩種概型加以比較，屬于基礎(chǔ)題．18、（1）；（2）函數(shù)的最大值為，最小值為.【解析】

用二倍角正弦公式、降冪公式、輔助角公式對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】.（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）因?yàn)?，所以，因此所以函?shù)的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了輔助角公式、二倍角的正弦公式、降冪公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.19、（1）；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)向量的垂直，轉(zhuǎn)化出方程組，求解方程組即可；（2）將向量賦予坐標(biāo)，求得向量對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡方程，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓外一點(diǎn)，到圓上一點(diǎn)的距離的最值問(wèn)題，即可求解；（3）根據(jù)余弦定理，解得，以及的臨界狀態(tài)時(shí)，對(duì)應(yīng)的圓心角的大小，利用幾何概型的概率計(jì)算公式，即可求解.【詳解】（1）因?yàn)楣士傻茫獾芒佗谟散?②可得，解得，將其代入①可得，即將其代入②可得解得，又向量夾角的范圍為，故向量與的夾角為.（2）不妨設(shè)，由可得.不妨設(shè)的起始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，終點(diǎn)為C.因此，點(diǎn)C落在以)為圓心，1為半徑的圓上（如圖）.因?yàn)椋从蓤A的特點(diǎn)可知的最小值為，即：.（3）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，，滿足勾股定理，故容易得.當(dāng)時(shí)，假設(shè)此時(shí)點(diǎn)落在如圖所示的F點(diǎn)處.如圖所示.因?yàn)?，由余弦定理容易得，?所以，本題化為，在半圓上任取一點(diǎn)C，點(diǎn)C落在弧CF上的概率.由幾何概型的概率計(jì)算可知：的概率即為圓心角的弧度除以，即.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直時(shí)數(shù)量積的表示，以及利用解析的手段解決向量問(wèn)題的能力，還有幾何概型的概率計(jì)算，涉及圓方程的求解，以及余弦定理.本題屬于綜合