2025屆福建省福州第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

2025屆福建省福州第四中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于()A．π B．πC．16π D．32π2．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的外接球表面積為（）A． B． C． D．3．已知平面向量，，若與同向，則實(shí)數(shù)的值是()A． B． C． D．4．把一塊長是10，寬是8，高是6的長方形木料削成一個體積最大的球，這個球的體積等于（）A． B．480 C． D．5．在正方體中，當(dāng)點(diǎn)在線段（與，不重合）上運(yùn)動時，總有：①；②平面平面；③平面；④．以上四個推斷中正確的是()A．①② B．①④ C．②④ D．③④6．已知關(guān)于的不等式的解集為，則的值為（）A．4 B．5 C．7 D．97．已知為等差數(shù)列，，，則等于（）.A． B． C． D．8．已知角的終邊過點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．《九章算術(shù)》是我國古代的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等．問各得幾何．”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列．問五人各得多少錢？”（“錢”是古代的一種重量單位）．這個問題中，甲所得為（）A．錢 B．錢 C．錢 D．錢10．如圖所示四棱錐的底面為正方形，平面則下列結(jié)論中不正確的是（）A． B．平面C．直線與平面所成的角等于30° D．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P，則使點(diǎn)P到三個頂點(diǎn)的距離至少有一個小于1的概率是________．12．已知向量，向量，若與垂直，則__________．13．如圖所示為函數(shù)的部分圖像，其中、分別是函數(shù)圖像的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且，那么________．14．已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)．當(dāng)時，，關(guān)于的方程，有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____．15．已知實(shí)數(shù)滿足則的最小值為__________．16．在等差數(shù)列中，，，則的值為_______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，某污水處理廠要在一個矩形污水處理池的池底水平鋪設(shè)污水凈化管道（三條邊，是直角頂點(diǎn)）來處理污水，管道越長，污水凈化效果越好.要求管道的接口是的中點(diǎn)，分別落在線段上，已知米，米，記.(1)試將污水凈化管道的總長度（即的周長）表示為的函數(shù)，并求出定義域；(2)問取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的總長度.18．將函數(shù)的圖像向右平移1個單位，得到函數(shù)的圖像.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖像自左至右相交于點(diǎn)，，，求的值.19．如果有窮數(shù)列(m為正整數(shù))滿足,即,那么我們稱其為對稱數(shù)列.(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的對稱數(shù)列,其中,為等差數(shù)列,且,依次寫出數(shù)列的各項(xiàng);(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為(正整數(shù))的對稱數(shù)列,其中是首項(xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列.記數(shù)列的各項(xiàng)和為數(shù)列,當(dāng)k為何值時,取得最大值?并求出此最大值;(3)對于確定的正整數(shù),寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的對稱數(shù)列,使得依次為該數(shù)列中連續(xù)的項(xiàng).當(dāng)時,求其中一個數(shù)列的前2015項(xiàng)和.20．足球，有“世界第一運(yùn)動的美譽(yù)，是全球體育界最具影響力的單項(xiàng)體育運(yùn)動之一．足球傳球是足球運(yùn)動技術(shù)之一，是比賽中組織進(jìn)攻、組織戰(zhàn)術(shù)配合和進(jìn)行射門的主要手段．足球截球也是足球運(yùn)動技術(shù)的一種，是將對方控制或傳出的球占為己有，或破壞對方對球的控制的技術(shù)，是比賽中由守轉(zhuǎn)攻的主要手段．這兩種運(yùn)動技術(shù)都需要球運(yùn)動員的正確判斷和選擇．現(xiàn)有甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行足球友誼賽，A、B兩名運(yùn)動員是甲隊(duì)隊(duì)員，C是乙隊(duì)隊(duì)員，B在A的正西方向，A和B相距20m，C在A的正北方向，A和C相距14m．現(xiàn)A沿北偏西60°方向水平傳球，球速為10m/s，同時B沿北偏西30°方向以10m/s的速度前往接球，C同時也以10m/s的速度前去截球．假設(shè)球與B、C都在同一平面運(yùn)動，且均保持勻速直線運(yùn)動．（1）若C沿南偏西60°方向前去截球，試判斷B能否接到球？請說明理由．（2）若C改變（1）的方向前去截球，試判斷C能否球成功？請說明理由．21．已知數(shù)列滿足=(1)若求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)若==對一切恒成立求實(shí)數(shù)取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，外接球的截面是圓為球的大圓是的外接圓，由圖可得球的半徑與圓錐的關(guān)系．【詳解】如圖，作軸截面，圓錐的軸截面是等腰三角形，的外接圓是球的大圓，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R，依題意得，R2＝(3－R)2＋()2，解得R＝2，所以所求球的體積V＝πR3＝π×23＝π，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查球的體積，關(guān)鍵是確定圓錐的外接球與圓錐之間的關(guān)系，即球半徑與圓錐的高和底面半徑之間的聯(lián)系，而這個聯(lián)系在其軸截面中正好體現(xiàn)．2、D【解析】

根據(jù)三視圖還原幾何體，由三棱錐的幾何特征即可求出其外接球表面積．【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體如圖所示：所以該幾何體的外接球，即是長方體的外接球．因?yàn)?，所以外接球直徑．故該三棱錐的外接球表面積為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查由三視圖還原幾何體，并計(jì)算其外接球的表面積，意在考查學(xué)生的直觀想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、D【解析】

通過同向向量的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】與同向，，解得或(舍去)，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查平行向量的坐標(biāo)運(yùn)算，但注意同向，難度較小.4、A【解析】

由題意知，此球是棱長為6的正方體的內(nèi)切球，根據(jù)其幾何特征知，此球的直徑與正方體的棱長是相等的，故可得球的直徑為6，再由球的體積公式求解即可．【詳解】解：由已知可得球的直徑為6，故半徑為3，其體積是，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查長方體內(nèi)切球的幾何特征，以及球的體積公式，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

每個結(jié)論可以通過是否能證偽排除即可．【詳解】①因?yàn)椋c相交，所以①錯．②很明顯不對，只有當(dāng)E在中點(diǎn)時才滿足條件．③易得平面平面，而AE平面，所以平面；④因?yàn)槠矫?，而AE平面，所以．故選D【點(diǎn)睛】此題考查空間圖像位置關(guān)系，一般通過特殊位置排除即可，屬于較易題目．6、D【解析】

將原不等式化簡后，根據(jù)不等式的解集列方程組，求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由得，依題意上述不等式的解集為，故，解得（舍去），故.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查類似：已知一元二次不等式解集求參數(shù)，考查函數(shù)與方程的思想，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，列出方程組，求出首項(xiàng)和公差，由此能求出．【詳解】解：為等差數(shù)列，，，，，，，，，．故選：【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的第20項(xiàng)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用．8、D【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，之后應(yīng)用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡求得結(jié)果.【詳解】由已知得，則.故選D【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)的化簡求值問題，涉及到的知識點(diǎn)有三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，屬于簡單題目.9、B【解析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊所得錢分別為,則,解得,又,則,故選B.10、C【解析】

根據(jù)空間中垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)，平行關(guān)系的判定和性質(zhì)，以及線面角的相關(guān)知識，對選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】對A：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，故ACBD，又SD底面ABCD，AC平面ABCD，故SDAC，又BD平面SBD，SD平面SBD，故AC平面SBD，又SB平面SBD，故AC.故A正確；對B：因?yàn)榈酌鍭BCD為正方形，故AB//CD，又CD平面SCD，故AB//平面SCD.故B正確.對C：由A中推導(dǎo)可知AC平面SBD，故取AC與BD交點(diǎn)為O，連接SO，如圖所示：則即為所求線面角，但該三角形中邊長關(guān)系不確定，故線面角的大小不定，故C錯誤；對D：由AC平面SBD，故取AC與BD交點(diǎn)為O，連接SO，則即為SA和SC與平面SBD所成的角，因?yàn)?，故，故D正確.綜上所述，不正確的是C.故選：C.【點(diǎn)睛】本題綜合考查線面垂直的性質(zhì)和判定，線面平行的判定，線面角的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】以A,B,C為圓心,以1為半徑作圓,與△ABC交出三個扇形,當(dāng)P落在其內(nèi)時符合要求,∴P==.12、；【解析】

由計(jì)算可得．【詳解】，∵與垂直，∴，．故答案為－1．【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算．由向量垂直得其數(shù)量積為0，本題屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

由圖可知：，因?yàn)?，由周期公式得到，結(jié)合以及誘導(dǎo)公式即可求解.【詳解】由圖可知：，因?yàn)樗裕从深}意可知：，即故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦型函數(shù)的圖像的性質(zhì)以及求值，關(guān)鍵是從圖像得出周期，最值等，屬于基礎(chǔ)題.14、.【解析】

令，則原方程為，根據(jù)原方程有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根，則有5個不同的解，結(jié)合圖像特征，求出的值或范圍，即為方程解的值或范圍，轉(zhuǎn)化為范圍，即可求解.【詳解】令，則原方程為，當(dāng)時，，且為偶函數(shù)，做出圖像，如下圖所示：當(dāng)時，有一個解；當(dāng)或，有兩個解；當(dāng)時，有四個解；當(dāng)或時，無解.，有且僅有5個不同實(shí)數(shù)根，關(guān)于的方程有一個解為，，另一個解為，在區(qū)間上，所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合方程根的個數(shù)求參數(shù)范圍，考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，利用換元法結(jié)合的函數(shù)的奇偶性的對稱性，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵，屬于難題.15、【解析】

本題首先可以根據(jù)題意繪出不等式組表示的平面區(qū)域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何性質(zhì)，找出目標(biāo)函數(shù)取最小值所過的點(diǎn)，即可得出結(jié)果?！驹斀狻坷L制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，即?！军c(diǎn)睛】本題考查根據(jù)不等式組表示的平面區(qū)域來求目標(biāo)函數(shù)的最值，能否繪出不等式組表示的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，考查數(shù)形結(jié)合思想，是簡單題。16、.【解析】

設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題中條件建立、的方程組，求出、的值，即可求出的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，解得，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的項(xiàng)的計(jì)算，常利用首項(xiàng)和公差建立方程組，結(jié)合通項(xiàng)公式以及求和公式進(jìn)行計(jì)算，考查方程思想，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）或時，L取得最大值為米．.【解析】

（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由L=EH+FH+EF得到污水凈化管道的長度L的函數(shù)解析式，并注明θ的范圍．（2）設(shè)sinθ+cosθ=t，根據(jù)函數(shù)L=在[，]上是單調(diào)減函數(shù)，可求得L的最大值．所以當(dāng)時，即

或

時，L取得最大值為米．【詳解】由題意可得，，，由于

，，所以，，，即，設(shè)，則，由于，由于在上是單調(diào)減函數(shù)，當(dāng)時，即或時，L取得最大值為米．【點(diǎn)睛】三角函數(shù)值域得不同求法：1.利用和的值域直接求2.把所有的三角函數(shù)式變換成的形式求值域3.通過換元，轉(zhuǎn)化成其他類型函數(shù)求值域18、（1）()；（2）【解析】

（1）通過“左加右減”可得到函數(shù)的解析式，從而求得的單調(diào)遞增區(qū)間;（2）先求得直線與軸的交點(diǎn)為，則，又，關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，從而.【詳解】(1)令，，的單調(diào)遞增區(qū)間是()(2)直線與軸的交點(diǎn)為，即為函數(shù)的對稱中心，且，關(guān)于點(diǎn)對稱，【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)平移，增減區(qū)間的求解，對稱中心的性質(zhì)及向量的基本運(yùn)算，意在考查學(xué)生的分析能力和計(jì)算能力.19、(1)2,5,8,11,8,5,2;(2);(3)答案見詳解【解析】

(1)求出前四項(xiàng)的公差，然后寫出即可(2)先算出，然后(3)依題意，可寫出所有項(xiàng)數(shù)不超過2m的對稱數(shù)列，然后求出第一個數(shù)列的【詳解】(1)設(shè)數(shù)列的公差為，則，解得所以各項(xiàng)為2,5,8,11,8,5,2(2)因?yàn)槭鞘醉?xiàng)為50,公差為-4的等差數(shù)列所以所以所以當(dāng)時取得最大值，為626(3)所有可能的對稱數(shù)列是①,②,③,④,對于①，當(dāng)時，當(dāng)時所以【點(diǎn)睛】本題是一道數(shù)列的新定義的題，考查了數(shù)列的求和和最值問題.2