佛山市普通高中2025屆高一數學第二學期期末聯考試題含解析

佛山市普通高中2025屆高一數學第二學期期末聯考試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設為銳角三角形，則直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積的最小值是（）A．10 B．8 C．4 D．22．已知圓與直線及都相切，圓心在直線上，則圓的方程為（）A． B．C． D．3．已知，，，則（）A． B． C． D．4．如圖，已知矩形中，，，該矩形所在的平面內一點滿足，記，，，則（）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．對任意的點，有 D．對任意的點，有5．若，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．6．已知圓錐的母線長為8，底面圓周長為，則它的體積是()A． B． C． D．7．若點在圓外，則a的取值范圍是（）A． B． C． D．或8．設，過定點的動直線和過定點的動直線交于點，則的最大值是（）A． B． C． D．9．我國古代著名的周髀算經中提到：凡八節(jié)二十四氣，氣損益九寸九分六分分之一；冬至晷長一丈三尺五寸，夏至晷長一尺六寸意思是：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分；且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分則“立春”時日影長度為A．分 B．分 C．分 D．分10．將所有的正奇數按以下規(guī)律分組，第一組：1；第二組：3，5，7；第三組：9，11，13，15，17；…表示n是第i組的第j個數，例如，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知等差數列{an}的公差為d，且d≠0，其前n項和為Sn，若滿足a1，a2，a5成等比數列，且S3＝9，則d＝_____，Sn＝_____.12．已知算式，在方框中填入兩個正整數，使它們的乘積最大，則這兩個正整數之和是___.13．已知是等比數列，，，則公比______.14．若函數是奇函數，其中，則__________．15．已知函數的部分圖象如圖所示，則_______.16．若，則=_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數列滿足．證明數列為等差數列；求數列的通項公式．18．已知向量，.（1）當時，求的值；（2）設函數，已知在中，內角、、的對邊分別為、、，若，，，求的取值范圍.19．本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數列，，求的取值范圍；（3）若成等差數列，且，求正整數的最大值，以及取最大值時相應數列的公差.20．在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大?。唬?）若，求的面積21．已知函數，若，且，，求滿足條件的，.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

令，得直線在x、y軸上的截距，求得三角形面積并利用二倍角公式化簡，根據三角函數圖象和性質求得面積最小值即可.【詳解】令得直線在y軸上的截距為，令得直線在x軸上的截距為，其圍成的三角形面積：，求S的最小值轉化為求函數的最小值，因為為銳角，所以，當時取最小值?1，則，故圍成三角形面積最小值為8.故選：B.【點睛】本題考查直線方程與三角函數二倍角公式的應用，綜合題性較強，屬于中等題.2、B【解析】

由平行線間的距離公式求出圓的直徑，然后設出圓心，由點到兩條切線的距離都等于半徑，求出,即可求得圓的方程.【詳解】因為兩條直線與平行,所以它們之間的距離即為圓的直徑,所以,所以.設圓心坐標為,則點到兩條切線的距離都等于半徑,所以,,解得,故圓心為,所以圓的標準方程為.故選：.【點睛】本題主要考查求解圓的方程,同時又進一步考查了直線與圓的位置關系,圓的切線性質等.本題也注重考查審題能力,分析問題和解決問題的能力.難度較易.3、C【解析】

利用指數函數、對數函數的單調性即可求解.【詳解】為減函數，，為增函數，，為增函數，，所以，故.故選：C【點睛】本題考查了指數函數、對數函數的單調性比較指數式、對數式的大小，屬于基礎題.4、C【解析】以為原點，以所在直線為軸、軸建立坐標系，則，，且在矩形內，可設，，，，，，錯誤，正確，，，錯誤，錯誤，故選C.【方法點睛】本題主要考查平面向量數量積公式的坐標表示，屬于中檔題.平面向量數量積公式有兩種形式，一是幾何形式，，二是坐標形式，（求最值問題與求范圍問題往往運用坐標形式），主要應用以下幾個方面:(1)求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直則;(4)求向量的模（平方后需求）.5、D【解析】

取特殊值檢驗，利用排除法得答案?！驹斀狻恳驗?，則當時，故A錯；當時，故B錯；當時，，故C錯；因為且，所以故選D.【點睛】本題考查不等式的基本性質，屬于簡單題。6、D【解析】

圓錐的底面周長，求出底面半徑，然后求出圓錐的高，即可求出圓錐的體積．【詳解】∵圓錐的底面周長為

∴圓錐的底面半徑

雙∵圓錐的母線長∴圓錐的高為∴圓錐的體積為故選D.【點睛】本題是基礎題，考查計算能力，圓錐的高的求法，熟練掌握公式是解題的關鍵．7、C【解析】

先由表示圓可得，然后將點代入不等式即可解得答案【詳解】由表示圓可得，即因為點在圓外所以，即綜上：a的取值范圍是故選：C【點睛】點與圓的位置關系（1）在圓外（2）在圓上（3）在圓內8、A【解析】

由題意知兩直線互相垂直，根據直線分別求出定點與定點，再利用基本不等式，即可得出答案?！驹斀狻恐本€過定點，直線過定點,又因直線與直線互相垂直，即即，當且僅當時取等號故選A【點睛】本題考查直線位置關系，考查基本不等式，屬于中檔題。9、B【解析】

首先“冬至”時日影長度最大，為1350分，“夏至”時日影長度最小，為160分，即可求出,進而求出立春”時日影長度為.【詳解】解：一年有二十四個節(jié)氣，每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分，且“冬至”時日影長度最大，為1350分；“夏至”時日影長度最小，為160分．，解得，“立春”時日影長度為：分．故選B．【點睛】本題考查等差數列的性質等基礎知識，考查運算求解能力，利用等差數列的性質直接求解．10、C【解析】

由等差數列求和公式及進行簡單的合情推理可得：2019為第1010個正奇數，設2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數，則2019為第32組的第1010-961=49個數，得解．【詳解】由已知有第n組有2n-1個連續(xù)的奇數，則前n組共有個連續(xù)的奇數，又2019為第1010個正奇數，設2019在第n組中，則有，，解得：n=32，又前31組共有961個奇數，則2019為第32組的第1010-961=49個數，即2019=（32，49），故選：C．【點睛】本題考查歸納推理，解題的關鍵是根據等差數列求和公式分析出規(guī)律，再結合數列的性質求解，屬于中等題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2n2.【解析】

由已知列關于首項與公差的方程組，求解可得首項與公差，再由等差數列的前項和求解.【詳解】由題意，有，即，解得，所以.故答案為：，.【點睛】本題考查等差數列的通項公式與前項和，考查等比數列的性質，屬于基礎題.12、.【解析】

設填入的數從左到右依次為，則，利用基本不等式可求得的最大值及此時的和.【詳解】設在方框中填入的兩個正整數從左到右依次為，則，于是，，當且僅當時取等號，此時.故答案為：15【點睛】本題考查基本不等式成立的條件，屬于基礎題.13、【解析】

利用等比數列的性質可求.【詳解】設等比數列的公比為，則，故.故答案為：【點睛】一般地，如果為等比數列，為其前項和，則有性質：（1）若，則；（2）（為公比）；（3）公比時，則有，其中為常數且；（4）為等比數列（）且公比為.14、【解析】

定義域上的奇函數，則【詳解】函數是奇函數，所以,又，則所以填【點睛】定義域上的奇函數，我們可以直接搭建方程，若定義域中則不能直接代指.15、【解析】

由圖可得，即可求得：，再由圖可得：當時，取得最大值，即可列方程，整理得：，解得：（），結合即可得解.【詳解】由圖可得：，所以，解得：由圖可得：當時，取得最大值，即：整理得：，所以（）又，所以【點睛】本題主要考查了三角函數圖象的性質及觀察能力，還考查了轉化思想及計算能力，屬于中檔題．16、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）【解析】

（1）已知遞推關系取倒數，利用等差數列的定義，即可證明.（2）由（1）可知數列為等差數列，確定數列的通項公式，即可求出數列的通項公式．【詳解】證明：，且有，，又，，即，且，是首項為1，公差為的等差數列．解：由知，即，所以．【點睛】本題考查數列遞推關系、等差數列的判斷方法，考查了運用取倒數法求數列的通項公式，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題.18、(1)；(2)【解析】

（1）由共線向量的坐標運算化簡可得，將化切后代入即可（2）利用向量的坐標運算化簡，利用正弦定理求,根據角的范圍求值域即可.【詳解】（1）∵，，且；∴，∴；∴；（2）∵；在中，由正弦定理得，∴，∴，或；又∵，∴，∴，∵，∴；∴，∴；即的取值范圍是．【點睛】本題主要考查了向量數量積的坐標運算，三角恒等式，型函數的值域，屬于中檔題.19、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當q＝1時，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當1＜q≤3時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當n＝1時，d≤2；當n＝2，3，…，k﹣1時，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時，a1，a2，…ak的公差為．【點睛】本題考查等比數列的通項公式及前n項和的求法；考查不等式組的解法；找好分類討論的起點是解決本題的關鍵，屬于一道難題．20、（1）；（2）.【解析】

(1)根據正弦定理把題設等式中的邊換成相應角的正弦,化簡整理可求得,進而求得;(2)根據余弦定理得,結合