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2025屆江蘇省兩校數(shù)學(xué)高一下期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題考生請(qǐng)注意:1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi),第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分線方程為y=x+1,則AC所在的直線方程為()A.y=2x+4 B.y=x-3 C.x-2y-1=0 D.3x+y+1=02.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為成等比數(shù)列,且,則等于()A. B. C. D.3.的值為()A. B. C. D.4.在中,角所對(duì)的邊分別為,已知,則最大角的余弦值是()A. B. C. D.5.在△中,若,則△為()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰或直角三角形 D.等腰直角三角形6.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.7.已知圓,直線,點(diǎn)在直線上.若存在圓上的點(diǎn),使得(為坐標(biāo)原點(diǎn)),則的取值范圍是A. B. C. D.8.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則()A. B.2 C. D.9.《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:今有竹九節(jié),欲均減容之(其意為:使容量均勻遞減),上三節(jié)容四升,下三節(jié)容二升,中三節(jié)容幾何?()A.二升 B.三升 C.四升 D.五升10.若直線上存在點(diǎn)滿足則實(shí)數(shù)的最大值為A. B. C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)之和為,則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.12.已知三棱錐(如圖所示),平面,,,,則此三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_____.13.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是.14.設(shè)變量x、y滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為_(kāi)______.15.已知四面體的四個(gè)頂點(diǎn)均在球的表面上,為球的直徑,,四面體的體積最大值為_(kāi)___16.與終邊相同的最小正角是______.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.某生產(chǎn)廠家生產(chǎn)一種產(chǎn)品的固定成本為4萬(wàn)元,并且每生產(chǎn)1百臺(tái)產(chǎn)品需增加投入0.8萬(wàn)元.已知銷售收入(萬(wàn)元)滿足(其中是該產(chǎn)品的月產(chǎn)量,單位:百臺(tái)),假定生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉,請(qǐng)完成下列問(wèn)題:(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù);(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)為多少萬(wàn)元?18.正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n,證明:對(duì)于任意的n∈N*,都有Tn<.19.已知(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,求的值.20.某中學(xué)的高二(1)班男同學(xué)有45名,女同學(xué)有15名,老師按照分層抽樣的方法組建了一個(gè)4人的課外興趣小組.(1)求課外興趣小組中男、女同學(xué)的人數(shù);(2)經(jīng)過(guò)一個(gè)月的學(xué)習(xí)、討論,這個(gè)興趣小組決定選出兩名同學(xué)做某項(xiàng)實(shí)驗(yàn),方法是先從小組里選出1名同學(xué)做實(shí)驗(yàn),該同學(xué)做完后,再?gòu)男〗M內(nèi)剩下的同學(xué)中選一名同學(xué)做實(shí)驗(yàn),求選出的兩名同學(xué)中恰有一名女同學(xué)的概率;(3)試驗(yàn)結(jié)束后,第一次做試驗(yàn)的同學(xué)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為68,70,71,72,74,第二次做試驗(yàn)的同學(xué)得到的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為69,70,70,72,74,請(qǐng)問(wèn)哪位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定?并說(shuō)明理由.21.求過(guò)三點(diǎn)的圓的方程.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】設(shè)點(diǎn)A(3,1)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為,則,解得,即,所以直線的方程為,聯(lián)立解得,即,又,所以邊AC所在的直線方程為,選C.點(diǎn)睛:本題主要考查了直線方程的求法,屬于中檔題。解題時(shí)要結(jié)合實(shí)際情況,準(zhǔn)確地進(jìn)行求解。2、B【解析】
成等比數(shù)列,可得,又,可得,利用余弦定理即可得出.【詳解】解:成等比數(shù)列,,又,,則故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.3、B【解析】
直接利用誘導(dǎo)公式結(jié)合特殊角的三角函數(shù)求解即可.【詳解】,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查誘導(dǎo)公式以及特殊角的三角函數(shù),意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握情況,屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】
由邊之間的比例關(guān)系,設(shè)出三邊長(zhǎng),利用余弦定理可求.【詳解】因?yàn)椋詂邊所對(duì)角最大,設(shè),由余弦定理得,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理,計(jì)算求解能力,屬于基本題.5、A【解析】
利用正弦定理化簡(jiǎn)已知條件,得到,由此得到,進(jìn)而判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由正弦定理得,所以,所以,故三角形為等腰三角形,故選A.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用正弦定理判斷三角形的形狀,考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
通過(guò)對(duì)兩函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)行化簡(jiǎn),變成我們熟悉的函數(shù)模型,比如反比例、一次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)及三角函數(shù),看圖直接判斷【詳解】由,作圖如下:共6個(gè)交點(diǎn),所以答案選擇D【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題與函數(shù)零點(diǎn)、方程根可以作相應(yīng)等價(jià),用函數(shù)零點(diǎn)及方程根本題不現(xiàn)實(shí),所以我們更多去考慮分別作圖象,直接看交點(diǎn)個(gè)數(shù).7、B【解析】
根據(jù)條件若存在圓C上的點(diǎn)Q,使得為坐標(biāo)原點(diǎn)),等價(jià)即可,求出不等式的解集即可得到的范圍【詳解】圓O外有一點(diǎn)P,圓上有一動(dòng)點(diǎn)Q,在PQ與圓相切時(shí)取得最大值.
如果OP變長(zhǎng),那么可以獲得的最大值將變小.可以得知,當(dāng),且PQ與圓相切時(shí),,
而當(dāng)時(shí),Q在圓上任意移動(dòng),存在恒成立.
因此滿足,就能保證一定存在點(diǎn)Q,使得,否則,這樣的點(diǎn)Q是不存在的,
點(diǎn)在直線上,,即
,
,
計(jì)算得出,,
的取值范圍是,
故選B.考點(diǎn):正弦定理、直線與圓的位置關(guān)系.8、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列前項(xiàng)和為帶入即可?!驹斀狻慨?dāng)時(shí),不成立。當(dāng)時(shí),則,選擇C【點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項(xiàng)和,,屬于基礎(chǔ)題。9、B【解析】
由題意可得,上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列.再利用等差數(shù)列的性質(zhì),求出中三節(jié)容量,即可得到答案.【詳解】由題意,上、中、下三節(jié)的容量成等差數(shù)列,上三節(jié)容四升,下三節(jié)容二升,則中三節(jié)容量為,故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用,其中解答中熟記等差數(shù)列的等差中項(xiàng)公式是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
首先畫(huà)出可行域,然后結(jié)合交點(diǎn)坐標(biāo)平移直線即可確定實(shí)數(shù)m的最大值.【詳解】不等式組表示的平面區(qū)域如下圖所示,由,得:,即C點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),平移直線x=m,移到C點(diǎn)或C點(diǎn)的左邊時(shí),直線上存在點(diǎn)在平面區(qū)域內(nèi),所以,m≤-1,即實(shí)數(shù)的最大值為-1.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃及其應(yīng)用,屬于中等題.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】令,則,即,因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為,所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為,即常數(shù)項(xiàng)為.點(diǎn)睛:本題考查二項(xiàng)式定理;求二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和往往利用賦值法(常賦值為),還要注意整體賦值,且要注意展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.12、【解析】
由于圖形特殊,可將圖形補(bǔ)成長(zhǎng)方體,從而求長(zhǎng)方體的外接球表面積即為所求.【詳解】,,,,平面,將三棱錐補(bǔ)形為如圖的長(zhǎng)方體,則長(zhǎng)方體的對(duì)角線,則【點(diǎn)睛】本題主要考查外接球的相關(guān)計(jì)算,將圖形補(bǔ)成長(zhǎng)方體是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的劃歸能力及空間想象能力.13、【解析】
先求出函數(shù)的定義域,找出內(nèi)外函數(shù),根據(jù)同增異減即可求出.【詳解】由,解得或,所以函數(shù)的定義域?yàn)?令,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又為增函數(shù),則根據(jù)同增異減得,函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為.【點(diǎn)睛】復(fù)合函數(shù)法:復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律是“同則增,異則減”,即與若具有相同的單調(diào)性,則為增函數(shù),若具有不同的單調(diào)性,則必為減函數(shù).14、3【解析】
可通過(guò)限定條件作出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域圖,再根據(jù)目標(biāo)函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行求值【詳解】可行域如圖所示;則可化為,由圖象可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),有最大值,則其最大值為:故答案為:3.【點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題關(guān)鍵是能正確畫(huà)出可行域,目標(biāo)函數(shù)可由幾何意義確定具體含義(最值或斜率)15、2【解析】
為球的直徑,可知與均為直角三角形,求出點(diǎn)到直線的距離為,可知點(diǎn)在球上的運(yùn)動(dòng)軌跡為小圓.【詳解】如圖所示,四面體內(nèi)接于球,為球的直徑,,,,過(guò)作于,,點(diǎn)在以為圓心,為半徑的小圓上運(yùn)動(dòng),當(dāng)面面時(shí),四面體的體積達(dá)到最大,.【點(diǎn)睛】立體幾何中求最值問(wèn)題,核心通過(guò)直觀想象,找到幾何體是如何變化的?本題求解的突破口在于找到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡,考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯思維能力.16、【解析】
根據(jù)終邊相同的角的定義以及最小正角的要求,可確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋耘c終邊相同的最小正角是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查終邊相同的角,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)當(dāng)月產(chǎn)量為8百臺(tái)時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.【解析】
(1)由題可得成本函數(shù)G(x)=4+,通過(guò)f(x)=R(x)-G(x)得到解析式;(2)當(dāng)x>10時(shí),當(dāng)0≤x≤10時(shí),分別求解函數(shù)的最大值即可.【詳解】(1)由條件知成本函數(shù)G(x)=4+可得(2)當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),的最大值為萬(wàn)元;當(dāng)時(shí),萬(wàn)元,綜上所述,當(dāng)月產(chǎn)量為8百臺(tái)時(shí),公司所獲利潤(rùn)最大,最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用,分段函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的最大值的求法,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.18、(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足:,所以當(dāng)時(shí),,即解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,因?yàn)?,所以,解得或,因?yàn)閿?shù)列都是正項(xiàng),所以,當(dāng)時(shí),有,所以,解得,當(dāng)時(shí),,符合所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,;(2)因?yàn)?,所以,所以?shù)列的前項(xiàng)和為:,當(dāng)時(shí),有,所以,所以對(duì)于任意,數(shù)列的前項(xiàng)和.19、(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)利用兩角和與差的正弦公式將已知兩式展開(kāi),分別作和、作差可得,,再利用,即可求出結(jié)果;(Ⅱ)由已知求得,再由,利用兩角差的余弦公式展開(kāi)求解,即可求出結(jié)果.【詳解】解:(I)①②由①+②得③由①-②得④由③÷④得(II)∵,,【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩角和差的正余弦公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.20、(1)男、女同學(xué)的人數(shù)分別為3人,1人;(2);(3)第二位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)更穩(wěn)定,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè)有名男同學(xué),利用抽樣比列方程即可得解(2)列出基本事件總數(shù)為12,其中恰有一名女同學(xué)的有6種,利用古典概型概率公式計(jì)算即可(3)計(jì)算出兩位同學(xué)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差,問(wèn)題得解【詳解】(1)設(shè)有名男同學(xué),則,∴,∴男、女同學(xué)的人數(shù)分別為3人,1人(2)把3名男同學(xué)和1名女同學(xué)記為,則選取兩名同學(xué)的基本事件有,,,,,,,,,,,
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