湖南省長沙市湘一芙蓉中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

湖南省長沙市湘一芙蓉中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為A． B． C． D．2．如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格邊長為，圖中粗線畫的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積等于（）A．B．C．D．3．已知的三個內(nèi)角之比為，那么對應(yīng)的三邊之比等于（）A． B． C． D．4．已知兩點，，若點是圓上的動點，則△面積的最小值是A． B．6 C．8 D．5．直線的傾斜角為（）A．30° B．60° C．120° D．150°6．三角形的一個角為60°，夾這個角的兩邊之比為，則這個三角形的最大角的正弦值為（）A． B． C． D．7．在中，，則（）A． B． C． D．8．圓和圓的公切線條數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．49．邊長為的正方形中，點是的中點，點是的中點，將分別沿折起，使兩點重合于，則直線與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．10．設(shè)m,n是兩條不同的直線，α?A．若m⊥β，n⊥β?，?n⊥α，則m⊥αC．若m⊥n,?n∥α，則m⊥α D．若m⊥n二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，若，則____________.12．已知，且，則的值是_______.13．設(shè)滿足不等式組，則的最小值為_____.14．在數(shù)列中，，則___________.15．已知函數(shù)分別由下表給出：123211123321則當(dāng)時，_____________.16．已知，則與的夾角等于___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知數(shù)列滿足，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）當(dāng)時，證明不等式：.18．正項數(shù)列的前n項和Sn滿足：(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明：對于任意的n∈N*，都有Tn＜.19．已知數(shù)列的前項和為，且，.（1）求證：數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，，求.20．已知某校甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)分別是240，160，160.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7名同學(xué)去某敬老院參加獻(xiàn)愛心活動。（1）應(yīng)從甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者中分別抽取多少人？（2）設(shè)抽出的7名同學(xué)分別用A，B，C，D，E，F(xiàn)，G表示，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取2名同學(xué)承擔(dān)敬老院的衛(wèi)生工作，求事件M“抽取的2名同學(xué)來自同一年級”發(fā)生的概率。21．已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求;（2）若，求.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

根據(jù)三視圖可知幾何體為三棱錐，根據(jù)棱錐體積公式求得結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為三棱錐三棱錐體積為：本題正確選項：【點睛】本題考查棱錐體積的求解，關(guān)鍵是能夠通過三視圖確定幾何體為三棱錐，且通過三視圖確定三棱錐的底面和高.2、C【解析】

由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，作出圖形即可求出表面積?！驹斀狻吭搸缀误w為四棱錐，如圖..選C.【點睛】本題考查了三視圖，考查了四棱錐的表面積，考查了學(xué)生的空間想象能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題。3、D【解析】∵已知△ABC的三個內(nèi)角之比為,∴有,再由,可得，故三內(nèi)角分別為.再由正弦定理可得三邊之比，故答案為點睛：本題考查正弦定理的應(yīng)用，結(jié)合三角形內(nèi)角和等于，很容易得出三個角的大小，利用正弦定理即出結(jié)果4、A【解析】

求得圓的方程和直線方程以及，利用三角換元假設(shè)，利用點到直線距離公式和三角函數(shù)知識可求得，代入三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意知，圓的方程為：，直線方程為：，即設(shè)點到直線的距離：，其中當(dāng)時，本題正確選項：【點睛】本題考查點到直線距離的最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用三角換元的方式將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值的求解問題.5、D【解析】

由直線方程得到直線斜率，進(jìn)而得到其傾斜角.【詳解】因直線方程為，所以直線的斜率，故其傾斜角為150°.故選D【點睛】本題主要考查求直線的傾斜角，熟記定義即可，屬于基礎(chǔ)題型.6、B【解析】

由余弦定理，可得第三邊的長度，再由大角對大邊可得最大角，然后由正弦定理可得最大角的正弦值．【詳解】解：三角形的一個角為，夾這個角的兩邊之比為，設(shè)夾這個角的兩邊分別為和，則由余弦定理，可得第三邊的長度為，三角形的最大邊為，對應(yīng)的角最大，記為，則由正弦定理可得，故選：B．【點睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解析】

根據(jù)向量的三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】∵，∴，又則故選：B【點睛】本題考查向量加減混合運算及其幾何意義，靈活應(yīng)用向量運算的三角形法則即可求解，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】

判斷兩圓的位置關(guān)系，根據(jù)兩圓的位置關(guān)系判斷兩圓公切線的條數(shù).【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑長為.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，半徑長為.圓心距為，由于，即，所以，兩圓相交，公切線的條數(shù)為，故選B.【點睛】本題考查兩圓公切線的條數(shù)，本質(zhì)上就是判斷兩圓的位置關(guān)系，公切線條數(shù)與兩圓位置的關(guān)系如下：①兩圓相離條公切線；②兩圓外切條公切線；③兩圓相交條公切線；④兩圓內(nèi)切條公切線；⑤兩圓內(nèi)含沒有公切線.9、D【解析】

在正方形中連接，交于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)，在折疊圖中平面，得到，從而平面，面平面，則是在平面上的射影，找到直線與平面所所成的角.然后在直角三角中求解.【詳解】如圖所示：在正方形中連接，交于點，在折疊圖，連接，因為，所以平面，所以，又因為，所以平面，又因為平面，所以平面，則是在平面上的射影，所以即為所求.因為故選：D【點睛】本題主要考查了折疊圖問題，還考查了推理論證和空間想象的能力，屬于中檔題.10、A【解析】

依據(jù)立體幾何有關(guān)定理及結(jié)論，逐個判斷即可。【詳解】A正確：利用“垂直于同一個平面的兩條直線平行”及“兩條直線有一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于該平面”，若m⊥β且n⊥β?，則m//n，又n⊥α，所以m⊥αB錯誤：若m∥β,?，?β⊥α，則C錯誤：若m⊥n,?n∥α，則m可能垂直于平面α，也可能平行于平面α，還可能在平面D錯誤：若m⊥n?，?n⊥β?，?β⊥α，則【點睛】本題主要考查立體幾何中的定理和結(jié)論，意在考查學(xué)生幾何定理掌握熟練程度。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、2【解析】

根據(jù)正弦定理角化邊可得答案.【詳解】由正弦定理可得.故答案為：2【點睛】本題考查了正弦定理角化邊，屬于基礎(chǔ)題.12、【解析】

計算出的值，然后利用誘導(dǎo)公式可求得的值.【詳解】，，則，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查利用誘導(dǎo)公式求值，同時也考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、-6【解析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含邊界），作直線，當(dāng)向下平移時，減小，因此當(dāng)過點時，為最小值．14、-1【解析】

首先根據(jù)，得到是以，的等差數(shù)列.再計算其前項和即可求出，的值.【詳解】因為，.所以數(shù)列是以，的等差數(shù)列.所以.所以，，.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的判斷和等差數(shù)列的前項和的計算，屬于簡單題.15、3【解析】

根據(jù)已知，用換元法，從外層求到里層，即可求解.【詳解】令.故答案為:.【點睛】本題考查函數(shù)的表示，考查復(fù)合函數(shù)值求參數(shù)，換元法是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

利用再結(jié)合已知條件即可求解【詳解】由，即，故答案為：【點睛】本題考查向量的夾角計算公式，在考題中應(yīng)用廣泛，屬于中檔題三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）分和兩種情況討論，利用，可得出數(shù)列的通項公式；（2）由得，從而可得，即可證明出結(jié)論.【詳解】（1），，.①當(dāng)時，數(shù)列是各項均為的常數(shù)列，則；②當(dāng)時，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，，.當(dāng)時，也適合.綜上所述，；（2）由，得，，，，因此，.【點睛】本題考查數(shù)列的通項，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．18、（1）（2）見解析【解析】

（1）因為數(shù)列的前項和滿足：，所以當(dāng)時，，即解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，因為，所以，解得或，因為數(shù)列都是正項，所以，當(dāng)時，有，所以，解得，當(dāng)時，，符合所以數(shù)列的通項公式，;（2）因為，所以，所以數(shù)列的前項和為：，當(dāng)時，有，所以，所以對于任意，數(shù)列的前項和.19、（1）；（2）．【解析】

（1）利用即可求出答案；（2）利用裂項相消法即可求出答案．【詳解】解：（1）∵，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴，；（2）∵，∴．【點睛】本題主要考查數(shù)列已知求，考查裂項相消法求和，屬于中檔題．20、(1)應(yīng)分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人(2)P【解析】

（1）由分層抽樣的性質(zhì)可得甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2，可得抽取7名同學(xué)，應(yīng)分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人；(2)從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名的所有可能結(jié)果為21種，其中2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為5種，可得答案.【詳解】解：（1）由已知，甲、乙、丙三個年級的學(xué)生志愿者人數(shù)之比為3：2：2因為采取分層抽樣的方法抽取7名同學(xué)，所以應(yīng)分別從甲、乙、丙三個年級分別抽取3人，2人，2人（2）從抽出的7名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名的所有可能結(jié)果為：ABACADAEAFAGBCBDBEBFBGCDCECF共21種CGDEDFDGEFEGFG不妨設(shè)抽出的7名同學(xué)中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則2名同學(xué)來自同一年級的所有可能結(jié)果為：AB，AC，BC，DE，F(xiàn)G共5種P【點睛】本題主要考查分層