湖南省永州市祁陽縣第一中學高三第六次模擬考試新高考數(shù)學試卷及答案解析_第1頁
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文檔簡介

湖南省永州市祁陽縣第一中學高三第六次模擬考試新高考數(shù)學試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.如圖,正方體的棱長為1,動點在線段上,、分別是、的中點,則下列結論中錯誤的是()A., B.存在點,使得平面平面C.平面 D.三棱錐的體積為定值2.已知底面是等腰直角三角形的三棱錐P-ABC的三視圖如圖所示,俯視圖中的兩個小三角形全等,則()A.PA,PB,PC兩兩垂直 B.三棱錐P-ABC的體積為C. D.三棱錐P-ABC的側面積為3.已知實數(shù),滿足約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.4.已知實數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.5.相傳黃帝時代,在制定樂律時,用“三分損益”的方法得到不同的竹管,吹出不同的音調.如圖的程序是與“三分損益”結合的計算過程,若輸入的的值為1,輸出的的值為()A. B. C. D.6.已知命題:,,則為()A., B.,C., D.,7.若干年前,某教師剛退休的月退休金為6000元,月退休金各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的條形圖.該教師退休后加強了體育鍛煉,目前月退休金的各種用途占比統(tǒng)計圖如下面的折線圖.已知目前的月就醫(yī)費比剛退休時少100元,則目前該教師的月退休金為().A.6500元 B.7000元 C.7500元 D.8000元8.設是虛數(shù)單位,,,則()A. B. C.1 D.29.歐拉公式為,(虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)現(xiàn)的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系,它在復變函數(shù)論里非常重要,被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知,表示的復數(shù)位于復平面中的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點,F(xiàn)為C的焦點,若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.411.如圖,正四面體的體積為,底面積為,是高的中點,過的平面與棱、、分別交于、、,設三棱錐的體積為,截面三角形的面積為,則()A., B.,C., D.,12.已知函數(shù),若函數(shù)的所有零點依次記為,且,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設,分別是橢圓C:()的左、右焦點,直線l過交橢圓C于A,B兩點,交y軸于E點,若滿足,且,則橢圓C的離心率為______.14.過拋物線C:()的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A,B兩點,過線段的中點N且垂直于l的直線與C的準線交于點M,若,則l的斜率為______.15.如圖,在平面四邊形ABCD中,|AC|=3,|BD|=4,則(AB16.若函數(shù)恒成立,則實數(shù)的取值范圍是_____.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內100天的空氣質量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結果統(tǒng)計如表:AQI空氣質量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質量造成的經濟損失y(單位:元)與空氣質量指數(shù)x的關系式為,假設該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質量對應的概率以表中100天的空氣質量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質量造成的經濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成的經濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.18.(12分)已知橢圓:的離心率為,右焦點為拋物線的焦點.(1)求橢圓的標準方程;(2)為坐標原點,過作兩條射線,分別交橢圓于、兩點,若、斜率之積為,求證:的面積為定值.19.(12分)[選修4-5:不等式選講]設函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)已知關于的不等式在上有解,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標系xOy中,以O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為;直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).直線l與曲線C分別交于M,N兩點.(1)寫出曲線C的直角坐標方程和直線l的普通方程;(2)若點P的極坐標為,,求的值.21.(12分)橢圓的右焦點,過點且與軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為.(1)求橢圓的方程;(2)過點且斜率不為0的直線與橢圓交于,兩點.為坐標原點,為橢圓的右頂點,求四邊形面積的最大值.22.(10分)過點作傾斜角為的直線與曲線(為參數(shù))相交于M、N兩點.(1)寫出曲線C的一般方程;(2)求的最小值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A;根據(jù)面面平行的定義判斷B;根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C;由三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,判斷D.【詳解】在A中,因為分別是中點,所以,故A正確;在B中,由于直線與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故B錯誤;在C中,由平面幾何得,根據(jù)線面垂直的性質得出,結合線面垂直的判定定理得出平面,故C正確;在D中,三棱錐以三角形為底,則高和底面積都為定值,即三棱錐的體積為定值,故D正確;故選:B【點睛】本題主要考查了判斷面面平行,線面垂直等,屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖,然后再計算可得.【詳解】解:根據(jù)三視圖,可得三棱錐P-ABC的直觀圖如圖所示,其中D為AB的中點,底面ABC.所以三棱錐P-ABC的體積為,,,,,、不可能垂直,即不可能兩兩垂直,,.三棱錐P-ABC的側面積為.故正確的為C.故選:C.【點睛】本題考查三視圖還原直觀圖,以及三棱錐的表面積、體積的計算問題,屬于中檔題.3、B【解析】

畫出可行域,根據(jù)可行域上的點到原點距離,求得的取值范圍.【詳解】由約束條件作出可行域是由,,三點所圍成的三角形及其內部,如圖中陰影部分,而可理解為可行域內的點到原點距離的平方,顯然原點到所在的直線的距離是可行域內的點到原點距離的最小值,此時,點到原點的距離是可行域內的點到原點距離的最大值,此時.所以的取值范圍是.故選:B【點睛】本小題考查線性規(guī)劃,兩點間距離公式等基礎知識;考查運算求解能力,數(shù)形結合思想,應用意識.4、A【解析】

所求的分母特征,利用變形構造,再等價變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因為滿足,則,當且僅當時取等號,故選:.【點睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎,注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調整,做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.5、B【解析】

根據(jù)循環(huán)語句,輸入,執(zhí)行循環(huán)語句即可計算出結果.【詳解】輸入,由題意執(zhí)行循環(huán)結構程序框圖,可得:第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,不滿足判斷條件;第次循環(huán):,,滿足判斷條件;輸出結果.故選:【點睛】本題考查了循環(huán)語句的程序框圖,求輸出的結果,解答此類題目時結合循環(huán)的條件進行計算,需要注意跳出循環(huán)的判定語句,本題較為基礎.6、C【解析】

根據(jù)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,即得答案.【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題,且命題:,,.故選:.【點睛】本題考查含有一個量詞的命題的否定,屬于基礎題.7、D【解析】

設目前該教師的退休金為x元,利用條形圖和折線圖列出方程,求出結果即可.【詳解】設目前該教師的退休金為x元,則由題意得:6000×15%﹣x×10%=1.解得x=2.故選D.【點睛】本題考查由條形圖和折線圖等基礎知識解決實際問題,屬于基礎題.8、C【解析】

由,可得,通過等號左右實部和虛部分別相等即可求出的值.【詳解】解:,,解得:.故選:C.【點睛】本題考查了復數(shù)的運算,考查了復數(shù)相等的涵義.對于復數(shù)的運算類問題,易錯點是把當成進行運算.9、A【解析】

計算,得到答案.【詳解】根據(jù)題意,故,表示的復數(shù)在第一象限.故選:.【點睛】本題考查了復數(shù)的計算,意在考查學生的計算能力和理解能力.10、C【解析】

方法一:設,利用拋物線的定義判斷出是的中點,結合等腰三角形的性質求得點的橫坐標,根據(jù)拋物線的定義求得,進而求得.方法二:設出兩點的橫坐標,由拋物線的定義,結合求得的關系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫出韋達定理,由此求得,進而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準線方程為,直線恒過定點,過分別作于,于,連接,由,則,所以點為的中點,又點是的中點,則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點的橫坐標為,所以,所以.方法二:拋物線的準線方程為,直線由題意設兩點橫坐標分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關系,屬于中檔題.11、A【解析】

設,取與重合時的情況,計算出以及的值,利用排除法可得出正確選項.【詳解】如圖所示,利用排除法,取與重合時的情況.不妨設,延長到,使得.,,,,則,由余弦定理得,,,又,,當平面平面時,,,排除B、D選項;因為,,此時,,當平面平面時,,,排除C選項.故選:A.【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱錐的體積計算公式、排除法,考查了空間想象能力、推理能力與計算能力,屬于難題.12、C【解析】

令,求出在的對稱軸,由三角函數(shù)的對稱性可得,將式子相加并整理即可求得的值.【詳解】令,得,即對稱軸為.函數(shù)周期,令,可得.則函數(shù)在上有8條對稱軸.根據(jù)正弦函數(shù)的性質可知,將以上各式相加得:故選:C.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱性,考查了三角函數(shù)的周期性,考查了等差數(shù)列求和.本題的難點是將所求的式子拆分為的形式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

采用數(shù)形結合,計算以及,然后根據(jù)橢圓的定義可得,并使用余弦定理以及,可得結果.【詳解】如圖由,所以由,所以又,則所以所以化簡可得:則故答案為:【點睛】本題考查橢圓的定義以及余弦定理的使用,關鍵在于根據(jù)角度求出線段的長度,考查分析能力以及計算能力,屬中檔題.14、【解析】

分別過A,B,N作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,,,根據(jù)拋物線定義和求得,從而求得直線l的傾斜角.【詳解】分別過A,B,N作拋物線的準線的垂線,垂足分別為,,,由拋物線的定義知,,,因為,所以,所以,即直線的傾斜角為,又直線與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角,所以直線l的傾斜角為,.故答案為:【點睛】此題考查拋物線的定義,根據(jù)已知條件做出輔助線利用拋物線定義和幾何關系即可求解,屬于較易題目.15、-7【解析】

由題意得AB+【詳解】由題意得ABBC+∴AB+【點睛】突破本題的關鍵是抓住題中所給圖形的特點,利用平面向量基本定理和向量的加減運算,將所給向量統(tǒng)一用AC,16、【解析】

若函數(shù)恒成立,即,求導得,在三種情況下,分別討論函數(shù)單調性,求出每種情況時的,解關于的不等式,再取并集,即得?!驹斀狻坑深}意得,只要即可,,當時,令解得,令,解得,單調遞減,令,解得,單調遞增,故在時,有最小值,,若恒成立,則,解得;當時,恒成立;當時,,單調遞增,,不合題意,舍去.綜上,實數(shù)的取值范圍是.故答案為:【點睛】本題考查恒成立條件下,求參數(shù)的取值范圍,是??碱}型。三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解析】

(1)利用組合進行計算以及概率表示,可得結果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應的概率,列出表格可得結果.(ii)由(i)的條件結合7月與8月空氣質量所對應的概率,可得7月與8月經濟損失的期望和,最后7月、8月、9月經濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較,可得結果.【詳解】(1)設ξ為選取的3天中空氣質量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經濟損失的數(shù)學期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設7月、8月每天因空氣質量造成的經濟損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質量造成經濟損失總額的數(shù)學期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個月因空氣質量造成經濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望,屬基礎題。18、(1);(2)見解析【解析】

(1)由條件可得,再根據(jù)離心率可求得,則可得橢圓方程;(2)當與軸垂直時,設直線的方程為:,與橢圓聯(lián)立求得的坐標,通過、斜率之積為列方程可得的值,進而可得的面積;當與軸不垂直時,設,,的方程為,與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達定理和、斜率之積為可得,再利用弦長公式求出,以及到的距離,通過三角形的面積公式求解.【詳解】(1)拋物線的焦點為,,,,,,橢圓方程為;(2)(?。┊斉c軸垂直時,設直線的方程為:代入得:,,,解得:,;(ⅱ)當與軸不垂直時,設,,的方程為由,由①,,,即整理得:代入①得:到的距離綜上:為定值.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,考查直線和橢圓的位置關系,考查韋達定理的應用,考查了學生的計算能力,是中檔題.19、(1)(2)【解析】

(1)零點分段去絕對值解不等式即可(2)由題在上有解,去絕對值分離變量a即可.【詳解】(1)不等式,即等價于或或解得,所以原不等式的解集為;(2)當時,不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【點睛】本題考查絕對值不等式解法,不等式有解求參數(shù),熟記零點分段,熟練處理不等式有解問題是關鍵,是中檔題.20、(1),;(2)2.【解析】

(1)由得,求出曲線的直角坐標方程.由直線的參數(shù)方程消去參數(shù),即求直線的普通方程;(2)將直線的參數(shù)方程化為標準式(

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