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文檔簡介
寧夏吳忠中學新高考沖刺數(shù)學模擬試題注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚,將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設全集U=R,集合,則()A. B. C. D.2.已知二次函數(shù)的部分圖象如圖所示,則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.3.下列函數(shù)中,值域為R且為奇函數(shù)的是()A. B. C. D.4.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點,,是圓上的動點,點關于直線的對稱點為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.5.在正方體中,,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.若雙曲線:的一條漸近線方程為,則()A. B. C. D.7.設雙曲線的右頂點為,右焦點為,過點作平行的一條漸近線的直線與交于點,則的面積為()A. B. C.5 D.68.已知雙曲線:,,為其左、右焦點,直線過右焦點,與雙曲線的右支交于,兩點,且點在軸上方,若,則直線的斜率為()A. B. C. D.9.執(zhí)行下面的程序框圖,則輸出的值為()A. B. C. D.10.設α,β為兩個平面,則α∥β的充要條件是A.α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面11.記其中表示不大于x的最大整數(shù),若方程在在有7個不同的實數(shù)根,則實數(shù)k的取值范圍()A. B. C. D.12.已知是第二象限的角,,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某校高二(4)班統(tǒng)計全班同學中午在食堂用餐時間,有7人用時為6分鐘,有14人用時7分鐘,有15人用時為8分鐘,還有4人用時為10分鐘,則高二(4)班全體同學用餐平均用時為____分鐘.14.展開式中項系數(shù)為160,則的值為______.15.已知三棱錐中,,,,且二面角的大小為,則三棱錐外接球的表面積為__________.16.已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體外接球的表面積是______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)我們稱n()元有序實數(shù)組(,,…,)為n維向量,為該向量的范數(shù).已知n維向量,其中,,2,…,n.記范數(shù)為奇數(shù)的n維向量的個數(shù)為,這個向量的范數(shù)之和為.(1)求和的值;(2)當n為偶數(shù)時,求,(用n表示).18.(12分)已知數(shù)列的前項和和通項滿足.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列中,,,求數(shù)列的前項和.19.(12分)已知函數(shù)(,),.(Ⅰ)討論的單調(diào)性;(Ⅱ)若對任意的,恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,已知四棱錐,平面,底面為矩形,,為的中點,.(1)求線段的長.(2)若為線段上一點,且,求二面角的余弦值.21.(12分)已知直線l的極坐標方程為,圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)請分別把直線l和圓C的方程化為直角坐標方程;(2)求直線l被圓截得的弦長.22.(10分)記函數(shù)的最小值為.(1)求的值;(2)若正數(shù),,滿足,證明:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補集的定義進行計算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點睛】本題考查集合的交集和補集的運算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎題.2、B【解析】由函數(shù)f(x)的圖象可知,0<f(0)=a<1,f(1)=1-b+a=0,所以1<b<2.又f′(x)=2x-b,所以g(x)=ex+2x-b,所以g′(x)=ex+2>0,所以g(x)在R上單調(diào)遞增,又g(0)=1-b<0,g(1)=e+2-b>0,根據(jù)函數(shù)的零點存在性定理可知,函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是(0,1),故選B.3、C【解析】
依次判斷函數(shù)的值域和奇偶性得到答案.【詳解】A.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;B.,值域為,奇函數(shù),排除;C.,值域為,奇函數(shù),滿足;D.,值域為,非奇非偶函數(shù),排除;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)的值域和奇偶性,意在考查學生對于函數(shù)知識的綜合應用.4、B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯誤選項,得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當時,P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項;當時,,由圖象可知選B.故選:B【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達式是解題的關鍵,屬于中檔題.5、D【解析】
連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,取的中點為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.6、A【解析】
根據(jù)雙曲線的漸近線列方程,解方程求得的值.【詳解】由題意知雙曲線的漸近線方程為,可化為,則,解得.故選:A【點睛】本小題主要考查雙曲線的漸近線,屬于基礎題.7、A【解析】
根據(jù)雙曲線的標準方程求出右頂點、右焦點的坐標,再求出過點與的一條漸近線的平行的直線方程,通過解方程組求出點的坐標,最后利用三角形的面積公式進行求解即可.【詳解】由雙曲線的標準方程可知中:,因此右頂點的坐標為,右焦點的坐標為,雙曲線的漸近線方程為:,根據(jù)雙曲線和漸近線的對稱性不妨設點作平行的一條漸近線的直線與交于點,所以直線的斜率為,因此直線方程為:,因此點的坐標是方程組:的解,解得方程組的解為:,即,所以的面積為:.故選:A【點睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程的應用,考查了兩直線平行的性質(zhì),考查了數(shù)學運算能力.8、D【解析】
由|AF2|=3|BF2|,可得.設直線l的方程x=my+,m>0,設,,即y1=﹣3y2①,聯(lián)立直線l與曲線C,得y1+y2=-②,y1y2=③,求出m的值即可求出直線的斜率.【詳解】雙曲線C:,F(xiàn)1,F(xiàn)2為左、右焦點,則F2(,0),設直線l的方程x=my+,m>0,∵雙曲線的漸近線方程為x=±2y,∴m≠±2,設A(x1,y1),B(x2,y2),且y1>0,由|AF2|=3|BF2|,∴,∴y1=﹣3y2①由,得∴△=(2m)2﹣4(m2﹣4)>0,即m2+4>0恒成立,∴y1+y2=②,y1y2=③,聯(lián)立①②得,聯(lián)立①③得,,即:,,解得:,直線的斜率為,故選D.【點睛】本題考查直線與雙曲線的位置關系,考查韋達定理的運用,考查向量知識,屬于中檔題.9、D【解析】
根據(jù)框圖,模擬程序運行,即可求出答案.【詳解】運行程序,,
,,,,,結束循環(huán),故輸出,故選:D.【點睛】本題主要考查了程序框圖,循環(huán)結構,條件分支結構,屬于中檔題.10、B【解析】
本題考查了空間兩個平面的判定與性質(zhì)及充要條件,滲透直觀想象、邏輯推理素養(yǎng),利用面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可作出判斷.【詳解】由面面平行的判定定理知:內(nèi)兩條相交直線都與平行是的充分條件,由面面平行性質(zhì)定理知,若,則內(nèi)任意一條直線都與平行,所以內(nèi)兩條相交直線都與平行是的必要條件,故選B.【點睛】面面平行的判定問題要緊扣面面平行判定定理,最容易犯的錯誤為定理記不住,憑主觀臆斷,如:“若,則”此類的錯誤.11、D【解析】
做出函數(shù)的圖象,問題轉化為函數(shù)的圖象在有7個交點,而函數(shù)在上有3個交點,則在上有4個不同的交點,數(shù)形結合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示,由圖可知方程在上有3個不同的實數(shù)根,則在上有4個不同的實數(shù)根,當直線經(jīng)過時,;當直線經(jīng)過時,,可知當時,直線與的圖象在上有4個交點,即方程,在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù),利用函數(shù)零點和方程之間的關系轉化為兩個函數(shù)的交點是解題的關鍵,運用數(shù)形結合是解決函數(shù)零點問題的基本思想,屬于中檔題.12、D【解析】
利用誘導公式和同角三角函數(shù)的基本關系求出,再利用二倍角的正弦公式代入求解即可.【詳解】因為,由誘導公式可得,,即,因為,所以,由二倍角的正弦公式可得,,所以.故選:D【點睛】本題考查誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系和二倍角的正弦公式;考查運算求解能力和知識的綜合運用能力;屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、7.5【解析】
分別求出所有人用時總和再除以總人數(shù)即可得到平均數(shù).【詳解】故答案為:7.5【點睛】此題考查求平均數(shù),關鍵在于準確計算出所有數(shù)據(jù)之和,易錯點在于概念辨析不清導致計算出錯.14、-2【解析】
表示該二項式的展開式的第r+1項,令其指數(shù)為3,再代回原表達式構建方程求得答案.【詳解】該二項式的展開式的第r+1項為令,所以,則故答案為:【點睛】本題考查由二項式指定項的系數(shù)求參數(shù),屬于簡單題.15、【解析】
設的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,將的長度求出或用球半徑表示,再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【詳解】設的中心為T,AB的中點為N,AC中點為M,分別過M,T做平面ABC,平面PAB的垂線,則垂線的交點為球心O,如圖所示因為,,所以,,,又二面角的大小為,則,,所以,設外接球半徑為R,則,,在中,由余弦定理,得,即,解得,故三棱錐外接球的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題,解決此類問題一定要數(shù)形結合,建立關于球的半徑的方程,本題計算量較大,是一道難題.16、【解析】
先由三視圖在長方體中將其還原成直觀圖,再利用球的直徑是長方體體對角線即可解決.【詳解】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐,如圖所示長方體對角線長為,所以三棱錐外接球半徑為,故所求外接球的表面積.故答案為:.【點睛】本題考查幾何體三視圖以及幾何體外接球的表面積,考查學生空間想象能力以及基本計算能力,是一道基礎題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),.(2),【解析】
(1)利用枚舉法將范數(shù)為奇數(shù)的二元有序實數(shù)對都寫出來,再做和;(2)用組合數(shù)表示和,再由公式或將組合數(shù)進行化簡,得出最終結果.【詳解】解:(1)范數(shù)為奇數(shù)的二元有序實數(shù)對有:,,,,它們的范數(shù)依次為1,1,1,1,故,.(2)當n為偶數(shù)時,在向量的n個坐標中,要使得范數(shù)為奇數(shù),則0的個數(shù)一定是奇數(shù),所以可按照含0個數(shù)為:1,3,…,進行討論:的n個坐標中含1個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數(shù)為;的n個坐標中含3個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數(shù)為;的n個坐標中含個0,其余坐標為1或,共有個,每個的范數(shù)為1;所以,.因為,①,②得,,所以.解法1:因為,所以..解法2:得,.又因為,所以.【點睛】本題考查了數(shù)列和組合,是一道較難的綜合題.18、(1);(2)【解析】
(1)當時,利用可得,故可利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項.(2)利用分組求和法可求數(shù)列的前項和.【詳解】(1)當時,,所以,當時,,①,②所以,即,又因為,故,所以,所以是首項,公比為的等比數(shù)列,故.(2)由得:數(shù)列為等差數(shù)列,公差,,,.【點睛】本題考查數(shù)列的通項與求和,注意數(shù)列求和關鍵看通項的結構形式,如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的和,則用分組求和法;如果通項是等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積,則用錯位相減法;如果通項可以拆成一個數(shù)列連續(xù)兩項的差,那么用裂項相消法;如果通項的符號有規(guī)律的出現(xiàn),則用并項求和法.19、(Ⅰ)見解析(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)求導得到,討論和兩種情況,得到答案.(Ⅱ)變換得到,設,求,令,故在單調(diào)遞增,存在使得,,計算得到答案.【詳解】(Ⅰ)(),當時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;當時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.(Ⅱ)(),即,().令(),則,令,,故在單調(diào)遞增,注意到,,于是存在使得,可知在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.∴.綜上知,.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,恒成立問題,意在考查學生對于導數(shù)知識的綜合應用能力.20、(1)的長為4(2)【解析】
(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,設,根據(jù)向量垂直關系計算得到答案.(2)計算平面的法向量為,為平面的一個法向量,再計算向量夾角得到答案.【詳解】(1)分別以所在直線為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系.設,則,所以.,因為,所以,即,解得
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