高中數(shù)學(xué)第一講坐標(biāo)系二極坐標(biāo)系學(xué)案含解析新人教A版選修

二極坐標(biāo)系1．極坐標(biāo)系的概念(1)極坐標(biāo)系的建立：在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，自極點(diǎn)O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個(gè)長(zhǎng)度單位、一個(gè)角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時(shí)針?lè)较?，這樣就建立了一個(gè)極坐標(biāo)系．(2)極坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)的規(guī)定：設(shè)M是平面內(nèi)一點(diǎn)，極點(diǎn)O與M的距離|OM|叫做點(diǎn)M的極徑，記為ρ；以極軸Ox為始邊，射線OM為終邊的角xOM叫做點(diǎn)M的極角，記為θ.有序數(shù)對(duì)(ρ，θ)就叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記為M(ρ，θ)．2．極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化的前提條件：①極坐標(biāo)系中的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系中的原點(diǎn)重合；②極軸與x軸的正半軸重合；③兩種坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位．(2)互化公式eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ，,y＝ρsinθ，))eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρ2＝x2＋y2，,tanθ＝\f(y,x)x≠0.))求點(diǎn)的極坐標(biāo)已知點(diǎn)Q(ρ，θ)，分別按下列條件求出點(diǎn)P的極坐標(biāo)．(1)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)；(2)點(diǎn)P是點(diǎn)Q關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)的對(duì)稱點(diǎn)．確定一點(diǎn)的極坐標(biāo)關(guān)鍵是確定它的極徑和極角兩個(gè)量，為此應(yīng)明確它們的含義．(1)由于P，Q關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱，得極徑|OP|＝|OQ|，極角相差(2k＋1)π(k∈Z)．所以，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π＋θ)(k∈Z)或(－ρ，2kπ＋θ)(k∈Z)．(2)由P，Q關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)對(duì)稱，得它們的極徑|OP|＝|OQ|，點(diǎn)P的極角θ′滿足θ′＝π－θ＋2kπ(k∈Z)，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(ρ，(2k＋1)π－θ)或(－ρ，2kπ－θ)(k∈Z)．設(shè)點(diǎn)M的極坐標(biāo)是(ρ，θ)，則M點(diǎn)關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(－ρ，θ)或(ρ，θ＋π)；M點(diǎn)關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ，－θ)；M點(diǎn)關(guān)于過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)是(ρ，π－θ)或(－ρ，－θ)．另外要注意，平面上的點(diǎn)與這一點(diǎn)的極坐標(biāo)不是一一對(duì)應(yīng)的．1．設(shè)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,3)))，直線l為過(guò)極點(diǎn)且垂直于極軸的直線，分別求：(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)；(2)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)；(3)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)．(規(guī)定ρ>0，－π＜θ≤π)．解：如圖所示：(1)點(diǎn)A關(guān)于極軸的對(duì)稱點(diǎn)為Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(π,3))).(2)點(diǎn)A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2π,3))).(3)點(diǎn)A關(guān)于極點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(2π,3))).2．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的極坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，求點(diǎn)A關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)的對(duì)稱點(diǎn)的極坐標(biāo)(規(guī)定ρ>0，θ∈)．解：作出圖形，可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))關(guān)于直線θ＝eq\f(π,2)的對(duì)稱點(diǎn)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(5π,6))).點(diǎn)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化(1)把點(diǎn)A的極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,6)))化成直角坐標(biāo)；(2)把點(diǎn)P的直角坐標(biāo)(1，－eq\r(3))化成極坐標(biāo)．(ρ>0，0≤θ<2π)．依據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的公式解題．(1)x＝2coseq\f(7π,6)＝－eq\r(3)，y＝2sineq\f(7π,6)＝－1，故點(diǎn)A的直角坐標(biāo)為(－eq\r(3)，－1)．(2)ρ＝eq\r(12＋－\r(3)2)＝2，tanθ＝eq\f(－\r(3),1)＝－eq\r(3).又因?yàn)辄c(diǎn)P在第四象限且0≤θ<2π，得θ＝eq\f(5π,3).因此點(diǎn)P的極坐標(biāo)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,3))).(1)極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化的前提條件有三，即極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸正半軸重合，有相同的長(zhǎng)度單位，三者缺一不可．(2)熟記互化公式，必要時(shí)可畫圖來(lái)分析．3．點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(－eq\r(2)，eq\r(2))，那么它的極坐標(biāo)可表示為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3π,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5π,4))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7π,4)))解析：選B點(diǎn)P(－eq\r(2)，eq\r(2))在第二象限，與原點(diǎn)的距離為2，且與極軸的夾角為eq\f(3π,4).4．若以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸建立直角坐標(biāo)系．(1)已知點(diǎn)A的極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(5π,3)))，求它的直角坐標(biāo)；(2)已知點(diǎn)B和點(diǎn)C的直角坐標(biāo)為(2，－2)和(0，－15)，求它們的極坐標(biāo)．(ρ＞0,0≤θ＜2π)解：(1)∵x＝ρcosθ＝4coseq\f(5π,3)＝2.y＝ρsinθ＝4sineq\f(5π,3)＝－2eq\r(3).∴A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(2，－2eq\r(3))．(2)∵ρ＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(22＋－22)＝2eq\r(2)，tanθ＝eq\f(－2,2)＝－1.且點(diǎn)B位于第四象限內(nèi)，∴θ＝eq\f(7π,4)，∴點(diǎn)B的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(7π,4))).又∵x＝0，y＜0，∴ρ＝15，θ＝eq\f(3π,2).∴點(diǎn)C的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15，\f(3π,2))).課時(shí)跟蹤檢測(cè)(二)一、選擇題1．在極坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，200π))，Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－π,3)，201π))，Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，－200π))，Heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,3)，200π))中互相重合的兩個(gè)點(diǎn)是()A．M和NB．M和GC．M和HD．N和H解析：選A由極坐標(biāo)的定義知，M，N表示同一個(gè)點(diǎn)．2．將點(diǎn)M的極坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(π,3)))化成直角坐標(biāo)是()A．(5,5eq\r(3))B．(5eq\r(3)，5)C．(5,5)D．(－5，－5)解析：選Ax＝ρcosθ＝10coseq\f(π,3)＝5，y＝ρsinθ＝10sineq\f(π,3)＝5eq\r(3).3．在極坐標(biāo)系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是兩點(diǎn)M(ρ1，θ1)和N(ρ2，θ2)重合的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件解析：選A前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因?yàn)棣?與θ2可相差2π的整數(shù)倍．4．若ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，則點(diǎn)M1(ρ1，θ1)與點(diǎn)M2(ρ2，θ2)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱B．關(guān)于極點(diǎn)對(duì)稱C．關(guān)于過(guò)極點(diǎn)垂直于極軸的直線對(duì)稱D．兩點(diǎn)重合解析：選A因?yàn)辄c(diǎn)(ρ，θ)關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱的點(diǎn)為(－ρ，π－θ)．由此可知點(diǎn)(ρ1，θ1)和(ρ2，θ2)滿足ρ1＋ρ2＝0，θ1＋θ2＝π，關(guān)于極軸所在直線對(duì)稱．二、填空題5．點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))關(guān)于極點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為________．解析：如圖，易知對(duì)稱點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,6)π)).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,6)π))6．在極坐標(biāo)系中，已知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3π,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))兩點(diǎn)，則|AB|＝________.解析：|AB|＝eq\r(12＋22－2×1×2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)－\f(π,4))))＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7．直線l過(guò)點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,6)))，則直線l與極軸的夾角等于________．解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個(gè)銳角)，然后根據(jù)點(diǎn)A，B的位置分析夾角大?。?yàn)閨AO|＝|BO|＝3，∠AOB＝eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，所以∠OAB＝eq\f(π－\f(π,6),2)＝eq\f(5π,12)，所以∠ACO＝π－eq\f(π,3)－eq\f(5π,12)＝eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)三、解答題8．在極軸上求與點(diǎn)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))的距離為5的點(diǎn)M的坐標(biāo)．解：設(shè)M(r,0)，因?yàn)锳eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4\r(2)，\f(π,4)))，所以eq\r(4\r(2)2＋r2－8\r(2)rcos\f(π,4))＝5，即r2－8r＋7＝0.解得r＝1或r＝7.所以M點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0)或(7,0)．9．將下列各點(diǎn)的直角坐標(biāo)化為極坐標(biāo)(ρ＞0,0≤θ＜2π)．(1)(eq\r(3)，3)；(2)(－1，－1)；(3)(－3,0)．解：(1)ρ＝eq\r(\r(3)2＋32)＝2eq\r(3).tanθ＝eq\f(3,\r(3))＝eq\r(3).又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限，所以θ＝eq\f(π,3).所以點(diǎn)(eq\r(3)，3)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,3))).(2)ρ＝eq\r(－12＋－12)＝eq\r(2)，tanθ＝1.又因?yàn)辄c(diǎn)在第三象限，所以θ＝eq\f(5π,4).所以點(diǎn)(－1，－1)的極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(5π,4))).(3)ρ＝eq\r(－32＋02)＝3，畫圖可知極角為π，所以點(diǎn)(－3,0)的極坐標(biāo)為(3，π)．10．已知定點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,3))).(1)將極點(diǎn)移至O′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(3)，\f(π,6)))處極軸方向不變，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)；(2)極點(diǎn)不變，將極軸順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)eq\f(π,6)角，求P點(diǎn)的新坐標(biāo)．解：(1)設(shè)點(diǎn)P新坐標(biāo)為(ρ，θ)，如圖所示，由題意可知|OO′|＝2eq\r(3)，|OP|＝4，∠POx＝eq\f(π,3)，∠O′Ox＝eq\f(π,6)，∴∠POO′＝eq\f(π,6).在△POO′中，ρ2＝42＋(2eq\r(3))2－2·4·2eq\r(3)·coseq\f(π,6)＝16＋12－24＝4，∴ρ＝2.又∵eq\f(sin∠OPO′,2\r(3))＝eq\f(sin∠POO′,2)，∴sin∠OPO′＝eq\f(sin\f(π,6),2)·2eq\r(3)＝eq\f(\