應用熱極限曲線來定義感應電機的熱模型

應用熱極限曲線來定義感應電機的熱模型介紹IEEE標準C37.96-2000《交流電機保護指南》，推薦對于過載和堵轉(zhuǎn)保護使用過電流繼電器。在這些應用場合，通過設置過電流倒轉(zhuǎn)時間-電流特性協(xié)同電機熱極限曲線以提供保護。由于通常使用過電流保護，因而對于感應電機沒有給予其熱極限曲線的本質(zhì)以及該曲線與繞組溫度的關聯(lián)以很多注意。然而，熱極限曲線是熱模型特性，其使得微處理繼電器連續(xù)地實時計算和監(jiān)控電機溫度。本文應用感應電機的熱極限曲線來定義熱模型以及相關的對應溫度的電流。本文采用MATLAB模擬來在周期過載下比較熱模型動力與其加載過電流情況下的動力。熱極限曲線一臺400HP、3600轉(zhuǎn)每分鐘、440V的感應電機的熱極限曲線顯示在圖1。按照定義，該曲線給出超負載系數(shù)電流使得初始負載溫度提高到過載溫度而使電機斷開的時間。在本案例的負載系數(shù)（SF）是1.15。制造商已經(jīng)指明“熱態(tài)”和“冷態(tài)”的過負載和堵轉(zhuǎn)曲線的初始溫度。（上圖中橫坐標為滿載電流倍數(shù)，縱坐標為秒。兩條曲線中，一條是過載情況，另一條是堵轉(zhuǎn)情況）圖1對于一臺400HP負載系數(shù)1.15的電機的熱態(tài)和冷態(tài)極限曲線在每條曲線上標注了初始電機溫度值。該曲線按照在IEEE標準620-1996《展現(xiàn)鼠籠式感應機器的熱極限曲線的指南》[2]里的指導方針來呈現(xiàn)。另外，該指南沒有給出關于如何構建曲線的任何信息。但是，我們可以斷定每一條曲線都是一個具體的極限溫度的圖。定義熱模型在熱保護模型中的基本公式的出處見附錄。公式A21向我們給出畫在圖1中的過載熱極限曲線的形式。對于圖1的過載曲線的公式有如下形式：t(1)t其中：TthI為每個滿載單位的電機電流ISFIH為將溫度提高到130℃的IC為將溫度提高到114℃的如果曲線服從一階熱過程，我們將能夠選出Tth、IH和IC以便公式與曲線相配。并且，IH和IC必須II通過同時滿足公式4來獲得配合，在公式中方程式已經(jīng)解決了負載系數(shù)SF2選擇一個電流并在圖1中從熱態(tài)（130℃）和冷態(tài)（114℃）過載曲線里讀出相關時間點。在公式4中輸入電流和時間值。比方說，在2%電流點，熱態(tài)和冷態(tài)時間分別為tH-曲線=223選擇Tth和IH以便公式相交并試著提煉值。比方說，當Tth=1370和IH在曲線上的另外點核對該結果。曲線值顯示在表1中。I(4)I表1熱極限曲線檢查點I（按單位）t（秒）t（秒）T（秒）I（按單位）I（按單位）I（按單位）2.022327913700.8460.7171.152.512615813700.8460.7171.153.08210413700.8460.7171.15當使用Tth、IH和ICt(5)t公式5是一階微分方程的解，我們將其用于完成熱模型：I其中：RTCT是熱時間常數(shù)θ=R公式6的時間-離散形式可以被寫作：I為解決θn給出該微分方程的時間-θ公式7是使微處理繼電器連續(xù)地計算電機溫度的運算法則。接著通過對溫度與預先確定的行程和警報臨界值進行比較以提供基于任何運行條件下的熱保護。熱與過電流模型對熱模型的反應與熱極限曲線的過電流模型進行比較比較是有益的。通過整合在IEEE標準C37.112-1996[3]的公式3中指定的熱態(tài)熱極限曲線的相互作用而實現(xiàn)該過電流模型。對該過程的離散方程式為：t對于I>1.15θ對于I≤1.15θ公式9被用于計算過電流繼電器在吸動電流之上的反應。公式8是時間-電流特性。θn和θn-1是以時間離散分布的連續(xù)樣本點。圖2顯示兩種模型在吸動電流之下的反應。鑒于過電流模型沒有反應，熱模型計算通往穩(wěn)態(tài)溫度θ=0.846的以指數(shù)方式上升的溫度。在圖3中，兩種模型在0.846熱能力單位（上圖中橫坐標為以秒為單位的時間，縱坐標為熱能力。兩條曲線中，一條是電流=0.92，另一條是熱模型）圖2對低于負載系數(shù)電流（I=0.92）的模型的反應（上圖中橫坐標為以秒為單位的時間，縱坐標為熱能力。在上圖中，較深色的脈沖為熱模型，較淺色的脈沖為過電流模型，上面的實線為跳開溫度1.152圖3對周期性過載電流的模型的反應在圖2中的周期性電流每10分鐘在1.4和0.4單位電流之間轉(zhuǎn)換。注意電流的平方的平均值和均方根電流值為：II周期性電流不是使溫度上升到跳開值的過載。圖3顯示熱模型的周期性溫度反應，該模型達到1.06平均值或跳開值的80%。過電流繼電器模型不測量溫度和跳開，因為它不能解釋熱的歷史記錄。（上圖中橫坐標為以秒為單位的時間，縱坐標為熱能力。上線為熱模型和跳開溫度，下線為過電流模型和過電流跳開水準。）圖4對初始溫度=0.846的熱和過電流模型的反應（上圖中橫坐標為以秒為單位的時間，縱坐標為熱能力。上線為熱模型和跳開溫度（1.152圖5對初始溫度=0.717的熱和過電流模型的反應圖4顯示當電機最初在為熱態(tài)熱極限曲線所指定的溫度時，過電流和熱模型產(chǎn)生同樣的跳開時間。圖5顯示當電機最初在為冷態(tài)熱極限曲線所指定的溫度時的跳開時間，熱模型在限定溫度跳開，然而過電流情況在獨立于電機初始溫度的熱態(tài)曲線時間跳開。電流與溫度的相關性給出“熱態(tài)”和“冷態(tài)”過載熱極限曲線的初始溫度分別為130℃和140℃。并且，公式5給出初始電流的平方分別為0.846和0.717按單位，在熱模型中可讀作按單位瓦。因為溫度與電流的平方成正比，我們可以寫為：θ其中θ為電機在環(huán)境溫度之上的溫升，I為按單位的電流，我們可以接著寫為：θ其中θ是在給定按單位電流時的以攝氏度為單位的穩(wěn)態(tài)溫度，制成表格的值顯示在表2中。表2電流對溫度的相關性電機電流（按單位）溫度1.15（負載系數(shù)）180℃0.92130℃0.85114℃0.025℃結論在本文中，我們介紹了在熱保護模型中發(fā)現(xiàn)的基本原則和數(shù)學等式。我們說明了一次熱方程可以與400HP的3600轉(zhuǎn)每分鐘的440V電機的熱極限曲線相配。我們接著運用熱態(tài)和冷態(tài)熱模型方程及初始溫度數(shù)據(jù)來推導出熱模型的時間常數(shù)。我們展示了用熱極限方程完善為過電流模型。我們通過使用MATLAB模擬來比較過電流模型和熱模型的動態(tài)反應。該模擬顯示熱模型決定由周期性過載電流引起的真實溫度，然而過電流模型的由周期性電流而引起的跳開不會使電機過熱。最后，我們使用熱態(tài)和冷態(tài)方程的初始電流以及初始溫度數(shù)據(jù)來關聯(lián)電機電流與以攝氏度為單位的溫度。

附錄：熱模型的基本要素本附錄介紹了通過分解簡單一階熱過程而在熱保護模型中發(fā)現(xiàn)的基本原則和數(shù)學方程，該熱過程為：通過包含1升水的容器內(nèi)的電阻來加熱。簡單熱系統(tǒng)讓我們假設一個容器內(nèi)裝有1升（或1千克）水。這些水通過能源V來加熱。θA為圍繞容器的環(huán)境溫度且θw是水溫。我們不想讓水達到沸點或100攝氏度。該溫度被定義為最大或熱點溫度圖A1簡單熱系統(tǒng)讓我們定義θ為超過環(huán)境溫度之上的水溫部分或者：θ由表達熱平衡的方程來提供水溫的增加率。提供給水的能量在該等式中，Cs是水的比熱。它與提供給1千克水的使其溫度升高1攝氏度的熱量有關。其值為4.19E3焦耳-千克/℃，m以千克為單位，是水的質(zhì)量。損耗或者通過容器壁傳輸?shù)街車h(huán)境中的熱量可以損耗等式A2可被另外表示為：I或：I質(zhì)量m乘以比熱Cs被稱作C，系統(tǒng)的熱能力的單位為焦耳/℃。它體現(xiàn)為將系統(tǒng)提高1帶熱阻R和熱能力C的產(chǎn)品擁有單位秒，且體現(xiàn)系統(tǒng)的熱時間常數(shù)TthT溫度作為時間和電流的函數(shù)，在時間域中的解為：θ記住θ為超過環(huán)境溫度之上的溫度部分，我們獲取以用在水溫的表示：θ讓我們假定系統(tǒng)有一些額定工作電流Iopθ無論什么電流加到容器里，將總是有水溫的提高。對恒定電流I下的最終水溫由下式給出：θ等式A5是一次微分方程且具有等效電路：由電流電源提供的RC電路。在熱過程中供給給水的能量相當于供應RC電路的電流電源。在熱過程中的溫度相當于加在RC電路中的電容器上的電壓。在兩個系統(tǒng)之間的等效值顯示在圖A2中。當由電流階梯函數(shù)提供時，溫度或電壓時間反應顯示在同一個圖中。相當?shù)臅r間-電流曲線如果水溫必須不超過最高溫度θmaxθ為解決t而給出時間-電流等式：t=讓我們定義電流Imax為加熱電阻在隨著時間趨于無限長時而使水不達到最大溫度的最大電流。最大電流必須正如下式一樣滿足等式A10θ或：Ia）負載電流b）等效RC電路圖A2在熱系統(tǒng)和平行RC電路之間的等效性在等式A15中，我們最后已經(jīng)把達到熱點溫度的時間表達為電流的函數(shù)。等式A15也是非同尋常的，因為我們已經(jīng)移掉了所有溫度常數(shù)并用最大電流Imax基于等式A11和A15，對熱過程的等效電路可以如圖A2所顯示的RC電路來展現(xiàn)。a）最大臨界值作為溫度的函數(shù)b）最大臨界值作為最大電流的函數(shù)圖A3熱過程的等效RC電路應該注意到方程式A15無解，除非：I>任何小于Imax的電流將提升水溫到根據(jù)等式A7給出的穩(wěn)態(tài)溫度。該溫度將通過圖A2(b)在等式A15中，根據(jù)環(huán)境溫度或等于零的初始電流隱含地表達出到達最高溫度所用的時間。讓我們假定我們想找到一個當穩(wěn)態(tài)電流是運轉(zhuǎn)電流Iop時的到達熱點溫度所用的時間的表達式。在等式A17中，到達最高溫度所用的時間從環(huán)境溫度（或加載的電流為零值）開始算。隨著更新版本的公式對于一些電流I從運轉(zhuǎn)電流（或溫度）到達最高溫度所用的時間，等于對同樣的電流從環(huán)境溫度到達最高溫度所用的時間減去對同樣的電流從環(huán)境溫度到達運轉(zhuǎn)溫度所用的時間。我們可以從等式A9來計算θopθ對于一個電流I從環(huán)境溫度到達運轉(zhuǎn)溫度top所用的時間可以用公式A8θ從如下我們得到topt用其值代替θopt=最后，下面公式提供從運轉(zhuǎn)電流或溫度開始的時間：t=這個后面的表達式提供了對于一個電流I在從運轉(zhuǎn)電流或運轉(zhuǎn)溫度開始到達到熱點溫度所用的時間。對運轉(zhuǎn)電流進行標準化，我們最后得到：t=其中SF或負載系數(shù)，被定義為最大電流與運轉(zhuǎn)電流的比率：SF由等式A22表示的熱過程的等效RC電路顯示在圖A4中。請注意，除了電流按單位表達之外，在圖A4中的模型與在圖A3中的模型是同一的。在等式