立足本源 善用“學習遷移”提高學生數(shù)學素養(yǎng)-“反比例函數(shù)”案例分析 論文

立足本源善用“學習遷移”提高學生數(shù)學素養(yǎng)——“反比例函數(shù)”案例分析摘要：“學習遷移”就是學生在學習過程中，把以前學習的知識或解決問題的能力，自覺地遷移應用到新知識的學習中，這種能力的形成，可以實現(xiàn)知識與技能的融會貫通，從而提高數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生解決問題的能力。而每一個數(shù)學概念的產(chǎn)生、發(fā)展都有深厚的數(shù)學內涵，尋找概念產(chǎn)生的本源引導其生成新的概念是教學的重要任務。反比例函數(shù)的產(chǎn)生既是現(xiàn)實生活的需要，也是函數(shù)與方程體系發(fā)展的需要。一次函數(shù)與反比例函數(shù)都是函數(shù)的一種，存在一定的共性，運用知識的遷移進行反比例函數(shù)有關內容的教學，既符合學生的認知基礎，又能凸顯函數(shù)學習的本質規(guī)律。關鍵詞：學習遷移；反比例函數(shù)；一次函數(shù)；數(shù)學素養(yǎng)研究背景：何為“學習遷移”？遷移，在心理學中是指一種學習對另一種學習的影響，而“學習遷移”就是學生在學習過程中，把以前學習的知識或解決問題的能力，自覺地遷移應用到新知識的學習中，這種能力的形成，可以實現(xiàn)知識與技能的融會貫通，從而提高數(shù)學素養(yǎng)，培養(yǎng)學生解決問題的能力。美國心理學家ML比格所言：學生的學習實效大多是依賴于他們所學得的知識，是由遷移的知識內容數(shù)量和質量確定的。本文以《反比例函數(shù)》為例，探究如何讓“有效遷移”進入初中數(shù)學教學課堂。學情分析：立足根本是什么？“反比例函數(shù)”是函數(shù)的一種，本節(jié)課程教學立足的根本是函數(shù)，一次函數(shù)是已學過的知識點，應作為遷移的根基。但函數(shù)的學習是數(shù)學教學的難點，八年級學生對函數(shù)認識以靜態(tài)思維為主，對兩個變量關系認識不夠，所以教學設計一定是要從以前學過的函數(shù)即一次函數(shù)入手。教材地位分析：遷移到哪里去？《反比例函數(shù)》是蘇教版初中數(shù)學八年級下冊第11章的教學內容，本節(jié)課是章節(jié)起始課，也是后續(xù)研究反比例函數(shù)圖像、性質及應用的基礎，所以對于研究反比例函數(shù)的概念、模型以及后續(xù)研究內容等都需要清晰的展示，而這正是“一次函數(shù)”研究過的內容，所以通過“一次函數(shù)”遷移到“反比例函數(shù)”是可行的。教學過程分析：該怎樣遷移？1、教學目標設定（1）理解反比例函數(shù)的概念。（2）能根據(jù)實際問題中的條件確定反比例函數(shù)的表達式。（3）能判斷一個給定函數(shù)是否為反比例函數(shù)。（4）通過探索現(xiàn)實生活中數(shù)量間的反比例關系，體會和認識反比例函數(shù)是刻畫現(xiàn)實世界中特定數(shù)量關系的一種數(shù)學模型；進一步理解常量和變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點。2、教學設計片段及設計意圖環(huán)節(jié)1知識回顧--立足本源正值春暖花開，為了美化我們校園環(huán)境，學校計劃將教學樓前的長方形停車場改建為一個花園，在測量過程中發(fā)現(xiàn)，停車場的寬為20米，你能完成下面的表格嗎？長（m）……x面積S（m2）生1：不能，還需要知道長方形的長為多少米。師：當長為30m時，面積是多少？生1：當長為30米時，面積為600平方米。師：當長為40m時，面積又是多少？生2：當長為40米時，面積為800平方米。師：當長為50m時，面積又是多少？生3：當長為50m時，面積為1000平方米。師：這樣的數(shù)據(jù)，我們可以取多少組？生：無數(shù)組。師：能否說出這組數(shù)據(jù)的變化規(guī)律？（預設答案是：面積隨著長方形長的變化而變化）師：在變化過程中，有不變的嗎？（預設：長方形寬是不變的，或者面積與長比值是定值）生4：面積與長的比等于20。師：如果兩個量的比值一定，那這兩個量之間成什么關系呢？生5：正比例關系。師：如果我們用x表示長方形的長，用s表示長方形的面積，你能寫出s與x之間的變化關系式嗎？生6：能，可以寫成s=20x師：s與x之間是函數(shù)關系嗎？生7：是函數(shù)關系。師：你能對函數(shù)概念做一個簡要的描述嗎？生7：有兩個變量，當其中一個變量變化時，另一個變量有唯一的值與它相對應。師：這兩個變量可以如何表示？生：可以用字母x和y表示，當變量x變化時，y也隨之變化，當x取某一值時，y有唯一的值與之對應。師：對于剛才提到的正比例函數(shù)，它有一般的表達式嗎？生8：它的一般形式是y=kx(k≠0)。設計意圖：函數(shù)及一次函數(shù)的概念對于初中學生來說既是重點又是難點，從身邊的實例出發(fā)，引導學生回顧正比例關系、函數(shù)以及正比例函數(shù)的概念，作為本節(jié)課知識遷移的本源，讓學生有效遷移，研究反比例函數(shù)相關知識。環(huán)節(jié)2知識遷移--概念生成師：在實際的規(guī)劃設計中，要求花園的面積為1200平方米，請你幫助完成下面的表格。長（m）……x寬y（m）師：仿照剛才的探究活動，你能說出這組數(shù)據(jù)變化規(guī)律嗎？生：長方形的長逐漸增大，而長方形的寬卻在逐漸減小。師：為什么會出現(xiàn)這樣現(xiàn)象？生10：乘積等于1200，它們是一個定值。師：在小學里，我們知道，當兩個量的乘積一定，這兩個量成什么關系呢？生11：反比例關系。師：如果我們用x表示花園的長，用y表示花園的寬，你能寫出y與x之間的關系式嗎？生12：xy=1200。師：y與x之間是函數(shù)關系嗎？為什么？生13：是函數(shù)關系，理由：有兩個變量x、y，y隨著x的變化而變化，且給定x的一個值，有唯一y值與之相對應。師：如果它們之間是函數(shù)關系，那么通常我們都應當書寫成什么形式？生：書寫成。師：既然同學們認為它滿足函數(shù)的定義，那它是正比例函數(shù)嗎？生：不是。師：如果不是正比例函數(shù)，那它應當是什么函數(shù)？師：其實像這種具有反比例關系的函數(shù)就是我們今天要研究的反比例函數(shù)。（引出課題）設計意圖：通過改變常量，觀察反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的相同點與不同點，理解常量與變量的辨證關系和反映在函數(shù)概念中的運動變化觀點，同時也體會反比例函數(shù)的研究方法與正比例函數(shù)研究方法的相似點，為以后研究二次函數(shù)及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)奠定基礎，這就是研究知識遷移的優(yōu)勢，也是研究函數(shù)的通性通法，體現(xiàn)了從一般到特殊的歸納類比思想。在花園的建設過程中，我們還遇到很多實際問題，請你用表達式表示下列問題中兩個變量之間的關系：（1）大花園里計劃建一個360m2的玫瑰園，完成該項目的天數(shù)y（天）隨日完成量x（m2）的變化而變化；（2）學校計劃出資800元購買玫瑰苗，玫瑰苗單價x元，購買玫瑰花的數(shù)量w（棵）隨單價x（元/棵）的變化而變化；（3）在玫瑰園的旁邊，建一個容積為80m3的水池，向池內注水，注滿水池所需時間t（min）隨注水速度v（m3/min）的變化而變化。師：請你觀察這些函數(shù)表達式，仿照正比例函數(shù)，設計一個“一般形式”來表示反比例函數(shù)。生14：。師：仿照正比例函數(shù)定義，請給反比例函數(shù)下個定義。生15：形如的函數(shù)叫做反比例函數(shù)，其中x是自變量，y是x的函數(shù)，k是比例系數(shù)。設計意圖：從實際問題入手，建立反比例函數(shù)模型，其實這就是一個抽象、建模的過程。此環(huán)節(jié)通過三個實際問題，為數(shù)學思想的生長提供了一種直觀的想象，讓原本抽象的函數(shù)思想與方法具體化，為后續(xù)學力提升提供思維鋪墊，提高新知識與舊知識契合的效度，引導學生完成由舊知識到新知識的遷移。環(huán)節(jié)3概念辨析--由理解向表達遷移例1下列關系式中，y是x的反比例函數(shù)有哪些？說明理由。通過剛才的判斷，你能總結出反比例函數(shù)都有哪些表現(xiàn)形式？生16：（1）分式形式：；積的形式：；負指數(shù)的形式：。師：請以小組為單位，合作交流一下，“兩個量成反比例關系”與“反比例函數(shù)”有什么區(qū)別？設計意圖：初中數(shù)學核心素養(yǎng)要求學生能夠用數(shù)學語言表達世界，本環(huán)節(jié)設計的目的一方面是有效盤點新知識，能判斷一個給定函數(shù)是否是反比例函數(shù)，并說明理由；另一方面可以延伸思考，“成反比例關系”與“反比例函數(shù)”之間的區(qū)別與聯(lián)系，既呼應“成正比例關系”與“正比例函數(shù)”的關系，又讓新的知識從感性思維上升到理性思維，完成知識的有效遷移，實現(xiàn)知識遷移的正態(tài)分布。五、教學回顧反思：善用“學習遷移”提高數(shù)學素養(yǎng)學生是認知的主體，是教學的主體，是課堂的主角，教學中所有問題的設置都應遵循學生的認知規(guī)律，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，主動遷移，進一步學會學習，學會欣賞，學會自我探索、合作探究。本節(jié)課是反比例函數(shù)的第一課時，主要目的是讓學生理解反比例函數(shù)的概念，“怎樣理解”成為本節(jié)課的難點，于是引導學生尋找新知識的本源，通過回顧正比例關系、正比例函數(shù)以及一次函數(shù)，喚起學生對相關知識的記憶，通過在同一背景下具體情境的設計，讓學生主動參與到新知識的探究過程中。尋找到知識的本源，讓學生從已有知識出發(fā)，透過現(xiàn)實生活中所遇到的問題，通過師生互動、生生互動、小組合作等形式，讓學生深切體驗了反比例函數(shù)概念的生成過程，整個過程符合維果斯基提出的“最近發(fā)展區(qū)”，在流暢的課堂中，提高了學生探究、解決問題的能力。學習遷移教學就是尋找學生的“最近發(fā)展區(qū)”，知識生長的本源是學生現(xiàn)有的知識水平，在此基礎通過合理的情境設置、問題驅動、推理建模架構課堂知識體系，通過思考的過程提升數(shù)學核心素養(yǎng)，發(fā)現(xiàn)知識所承載的數(shù)學思想，舉一反三，觸類旁通，使數(shù)學課堂生機盎然，讓學生成為真正的問題解決者。通過本節(jié)課的學習，希望學生思考的幾個問題：一是首先要明確每個概念的生成都要去尋找知識的本源，將知識點連成線，形成自己的知識結構，有利于知識的存儲與提??；二是通過歸納所學知識，提煉學習方法，運用知識遷移，讓數(shù)學學習成為一件