2025屆蒙古北京八中烏蘭察布分校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

2025屆蒙古北京八中烏蘭察布分校高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，，，，則B等于（）A．或 B． C． D．以上答案都不對2．在中，，是邊上的一點(diǎn)，，若為銳角，的面積為20，則（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)（其中），對任意實(shí)數(shù)a，在區(qū)間上要使函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，則k值為（）A．2或3 B．4或3 C．5或6 D．8或74．若都是正數(shù)，則的最小值為().A．5 B．7 C．9 D．135．已知兩個正數(shù)a，b滿足，則的最小值是(

)A．2 B．3 C．4 D．56．甲、乙兩名選手參加歌手大賽時，5名評委打的分?jǐn)?shù)用如圖所示的莖葉圖表示，s1，s2分別表示甲、乙選手分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差，則s1與s2的關(guān)系是()．A．s1＞s2 B．s1＝s2 C．s1＜s2 D．不確定7．從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，記“至少有一件次品”為事件，則的對立事件是（）A．至多有一件次品 B．兩件全是正品 C．兩件全是次品 D．至多有一件正品8．《萊因德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，書中有一道這樣的題目：把100個面包分給五個人，使每個人所得成等差數(shù)列，最大的三份之和的是最小的兩份之和，則最小的一份的量是()A． B． C． D．9．?dāng)?shù)列的通項公式為，若數(shù)列單調(diào)遞增，則的取值范圍為A． B． C． D．10．下列命題中正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．甲船在島的正南處，，甲船以每小時的速度向正北方向航行，同時乙船自出發(fā)以每小時的速度向北偏東的方向駛?cè)?，甲、乙兩船相距最近的距離是_____.12．如圖，為內(nèi)一點(diǎn)，且，延長交于點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為_______.13．走時精確的鐘表，中午時，分針與時針重合于表面上的位置，則當(dāng)下一次分針與時針重合時，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于_______.14．已知向量a=(2,-4)，b=(-3,-4)，則向量a與15．若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為________．16．若，則______，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四棱錐中，，且，，，點(diǎn)在上，且．（1）求證：平面⊥平面；（2）求證：直線∥平面．18．已知兩點(diǎn)，.（1）求直線AB的方程；（2）直線l經(jīng)過，且傾斜角為，求直線l與AB的交點(diǎn)坐標(biāo).19．在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，且.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.20．在中，角的對邊分別是，已知，，.(1)求的值；(2)若角為銳角，求的值及的面積.21．某廠家擬在2020年舉行促銷活動，經(jīng)調(diào)查測算，某產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬件與年促銷費(fèi)用萬元，滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動，則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件，已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元，每生產(chǎn)1萬件，該產(chǎn)品需要再投入16萬元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金）.（1）將2020年該產(chǎn)品的利潤（萬元）表示為年促銷費(fèi)用（萬元）的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時，廠家的利潤最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】試題分析：由正弦定理得，得，結(jié)合得，故選C．考點(diǎn)：正弦定理.2、C【解析】

先利用面積公式計算出，計算出，運(yùn)用余弦定理計算出，利用正弦定理計算出，在中運(yùn)用正弦定理求解出．【詳解】解：由的面積公式可知，，可得，為銳角，可得在中，，即有，由可得，由可知．故選．【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理與余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查方程思想，屬于中檔題．3、A【解析】

根據(jù)題意先表示出函數(shù)的周期，然后根據(jù)函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，得到周期的范圍，從而得到關(guān)于的不等式，從而得到的范圍，結(jié)合，得到答案.【詳解】函數(shù)，所以可得，因為在區(qū)間上，函數(shù)值出現(xiàn)的次數(shù)不少于4次且不多于8次，所以得即與的圖像在區(qū)間上的交點(diǎn)個數(shù)大于等于4，小于等于8，而與的圖像在一個周期內(nèi)有2個，所以，即解得，又因，所以得或者，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)周期性求參數(shù)的值，函數(shù)與方程，屬于中檔題.4、C【解析】

把式子展開，合并同類項，運(yùn)用基本不等式，可以求出的最小值.【詳解】因為都是正數(shù)，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、D【解析】

根據(jù)題意，分析可得，對其變形可得，由基本不等式分析可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，正數(shù)，滿足，則；即的最小值是；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握基本不等式應(yīng)用的條件．6、C【解析】

先求均值，再根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式求標(biāo)準(zhǔn)差，最后比較大小.【詳解】乙選手分?jǐn)?shù)的平均數(shù)分別為所以標(biāo)準(zhǔn)差分別為因此s1＜s2，選C.【點(diǎn)睛】本題考查標(biāo)準(zhǔn)差，考查基本求解能力.7、B【解析】

根據(jù)對立事件的概念，選出正確選項.【詳解】從四件正品、兩件次品中隨機(jī)取出兩件，“至少有一件次品”的對立事件為兩件全是正品.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查對立事件的理解，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

由題意可得中間部分的為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為，可得到和的方程，即可求解.【詳解】由題意可得中間的那份為20個面包，設(shè)最小的一份為，公差為，由題意可得，解得，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用，其中根據(jù)題意設(shè)最小的一份為，公差為，列出關(guān)于和的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】

數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化簡解出即可得出．【詳解】數(shù)列{an}單調(diào)遞增?an+1＞an，可得：n+1+＞n+，化為：a＜n1+n．∴a＜1．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．10、D【解析】

根據(jù)向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義即可判斷．【詳解】，，，，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的加減法的幾何意義以及向量數(shù)乘的定義的應(yīng)用．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)條件畫出示意圖，在三角形中利用余弦定理求解相距的距離，利用二次函數(shù)對稱軸及可求解出最值.【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時兩船相距最近，甲、乙分別行至，，如圖所示，可知，，，．當(dāng)小時時甲、乙兩船相距最近，最近距離為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，難度較易.關(guān)鍵是通過題意將示意圖畫出來，然后將待求量用未知數(shù)表示，最后利用函數(shù)思想求最值.12、【解析】

由，得，可得出，再利用、、三點(diǎn)共線的向量結(jié)論得出，可解出實(shí)數(shù)的值.【詳解】由，得，可得出，由于、、三點(diǎn)共線，，解得，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查三點(diǎn)共線問題的處理，解題的關(guān)鍵就是利用三點(diǎn)共線的向量等價條件的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解的能力，屬于中等題.13、.【解析】

設(shè)時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)為，可知分針轉(zhuǎn)過的角為，于此得出，由此可計算出的值，從而可得出時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值的值.【詳解】設(shè)時針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由分針的角速度是時針角速度的倍，知分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)的絕對值為，由題意可知，，解得，因此，時針轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)的絕對值等于，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查弧度制的應(yīng)用，主要是要弄清楚時針與分針旋轉(zhuǎn)的角之間的等量關(guān)系，考查分析問題和計算能力，屬于中等題.14、5【解析】

先求出a?b，再求【詳解】由題得a所以向量a與b夾角的余弦值為cosα=故答案為5【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查向量的夾角的計算，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)求兩個向量的夾角一般有兩種方法,方法一：cos<a,b>=a·bab,方法二：設(shè)a=(x1,y15、【解析】

由題意可得=≥2=2，由不等式的性質(zhì)變形可得．【詳解】∵正實(shí)數(shù)a，b滿足，∴=≥2=2，∴ab≥2當(dāng)且僅當(dāng)=即a=且b=2時取等號．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，涉及不等式的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．16、【解析】

對極限表達(dá)式進(jìn)行整理，得到，由此作出判斷，即可得出參數(shù)的值.【詳解】因為所以，解得：.故答案為：；【點(diǎn)睛】本題主要考查由極限值求參數(shù)的問題，熟記極限運(yùn)算法則即可，屬于?？碱}型.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）通過邊長關(guān)系可知，所以，又，所以平面，所以平面平面．（2）連接交與點(diǎn)，連接，易得∽，所以，所以直線平面．，【詳解】（1）因為，，所以，所以又，且，平面，平面所以平面又平面所以平面平面（2）連接交與點(diǎn)，連接在四邊形中，，∽，所以又，即所以又直線平面，直線平面所以直線平面【點(diǎn)睛】（1）證明面面垂直：先正線面垂直，線又屬于另一個面，即可證明面面垂直．（2）證明線面平行，在面內(nèi)找一個線與已知直線平行即可.18、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)，得到斜率，再由點(diǎn)斜式得到直線方程；（2）根據(jù)的傾斜角和過點(diǎn)，得到的方程，再與直線聯(lián)立，得到交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）因為點(diǎn)，，所以，所以方程為，整理得；（2）因為直線l經(jīng)過，且傾斜角為，所以直線的斜率為，所以的方程為，整理得，所以直線與直線的交點(diǎn)為，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)斜式求直線方程，求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，屬于簡單題.19、（1）（2）【解析】

(1)由正弦定理以及兩角差的余弦公式得到，由特殊角的三角函數(shù)值得到結(jié)果；（2）結(jié)合余弦定理和面積公式得到結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理得，∵，∴，即，∴又∵，∴.（2）∵∴.∴，∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運(yùn)用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.20、(1)；(2)，.【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意和正弦定理求出a的值；

（2）由二倍角的余弦公式變形求出，由的范圍和平方關(guān)系求出，由余弦定理列出方程求出的值，代入三角形的面積公式求出的面積．試題解析：(1)因為，，由正弦定理，得.(2)因為，且，所以，.由余弦定理，得，解得或(舍)，所以.21、（1）；（2）廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬元時,廠家的利潤最大,為21萬元.【解析】

（1）由