江蘇省南京市九中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題含解析

江蘇省南京市九中2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末聯(lián)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知一組正數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)與方差分別為（）A． B． C． D．2．空氣質(zhì)量指數(shù)是反映空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，指數(shù)值越小，表明空氣質(zhì)量越好，其對應(yīng)關(guān)系如表：指數(shù)值0～5051～100101～150151～200201～300空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染如圖是某市10月1日-20日指數(shù)變化趨勢：下列敘述錯誤的是（）A．這20天中指數(shù)值的中位數(shù)略高于100B．這20天中的中度污染及以上的天數(shù)占C．該市10月的前半個月的空氣質(zhì)量越來越好D．總體來說，該市10月上旬的空氣質(zhì)量比中旬的空氣質(zhì)量好3．已知A(2,4)與B(3,3)關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為()．A．x＋y＝0 B．x－y＝0C．x－y＋1＝0 D．x＋y－6＝04．過點(diǎn)的直線的斜率為，則等于（）A． B．10 C．2 D．45．已知數(shù)列的前項(xiàng)為和，且，則（）A．5 B． C． D．96．一只小狗在圖所示的方磚上走來走去，最終停在涂色方磚的概率為（）A． B． C． D．7．若函數(shù)在處取最小值，則等于（）A．3 B． C． D．48．若正實(shí)數(shù)，滿足，且恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．9．集合，，則=()A． B． C． D．10．如圖，B是AC上一點(diǎn)，分別以AB,BC,AC為直徑作半圓，從B作BD⊥AC，與半圓相交于D，AC=6，BD=22A．29 B．13 C．4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域?yàn)開____________．12．函數(shù)，的值域是_____．13．已知圓截直線所得線段的長度是，則圓M與圓的位置關(guān)系是_________．14．對于0≤m≤4的任意m，不等式x2＋mx>4x＋m－3恒成立，則x的取值范圍是________________．15．若首項(xiàng)為，公比為（）的等比數(shù)列滿足，則的取值范圍是________.16．一個扇形的圓心角是2弧度，半徑是4，則此扇形的面積是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)奇偶性；（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；（3）比較與的大小.18．如圖，在三棱柱中，、分別是棱，的中點(diǎn)，求證：（1）平面；（2）平面平面．19．如圖，在四邊形中，.（1）若為等邊三角形，且是的中點(diǎn)，求.（2）若，，求.20．如圖，在三棱錐中，底面ABC，D是PC的中點(diǎn)，已知，，，，求：（1）三棱錐的體積；（2）異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小.21．已知直線經(jīng)過點(diǎn)，且與軸正半軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).（1）若點(diǎn)到直線的距離為4，求直線的方程；（2）求面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

根據(jù)平均數(shù)的性質(zhì)和方差的性質(zhì)即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)平均數(shù)的線性性質(zhì)，以及方差的性質(zhì)：將一組數(shù)據(jù)每個數(shù)擴(kuò)大2倍，且加1，則平均數(shù)也是同樣的變化，方差變?yōu)樵瓉淼?倍，故變換后數(shù)據(jù)的平均數(shù)為：；方差為4.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查平均數(shù)和方差的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.2、C【解析】

根據(jù)所給圖象，結(jié)合中位數(shù)的定義、指數(shù)與污染程度的關(guān)系以及古典概型概率公式，對四個選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對，因?yàn)榈?0天與第11天指數(shù)值都略高100，所以中位數(shù)略高于100，正確；對，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占，正確；對，由圖知，前半個月中，前4天的空氣質(zhì)量越來越好，后11天該市的空氣質(zhì)量越來越差，錯誤；對，由圖知，10月上旬大部分指數(shù)在100以下，10月中旬大部分指數(shù)在100以上，所以正確，故選C.【點(diǎn)睛】與實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合的題型也是高考命題的動向，這類問題的特點(diǎn)是通過現(xiàn)實(shí)生活的事例考查書本知識，解決這類問題的關(guān)鍵是耐心讀題、仔細(xì)理解題，只有吃透題意，才能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答.3、C【解析】試題分析：兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱，則,點(diǎn)與的中點(diǎn)在直線上，,那么直線的斜率等于，中點(diǎn)坐標(biāo)為，即中點(diǎn)坐標(biāo)為，,整理得：,故選C.考點(diǎn)：求直線方程4、B【解析】

直接應(yīng)用斜率公式，解方程即可求出的值.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)的直線的斜率為，所以有，故本題選B.【點(diǎn)睛】本題考查了直線斜率公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.5、D【解析】

先根據(jù)已知求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求解.【詳解】當(dāng)時，，可得；當(dāng)且時，，得，故數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為2.所以所以.故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查項(xiàng)和公式求數(shù)列通項(xiàng)，考查等比數(shù)列的通項(xiàng)的求法，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】

方磚上共分為九個全等的正方形，涂色方磚為其中的兩塊，由幾何概型的概率公式可計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】由圖形可知，方磚上共分為九個全等的正方形，涂色方磚為其中的兩塊，由幾何概型的概率公式可知，小狗最終停在涂色方磚的概率為，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用幾何概型概率公式計(jì)算事件的概率，解題時要理解事件的基本類型，正確選擇古典概型和幾何概型概率公式進(jìn)行計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】

將函數(shù)的解析式配湊為，再利用基本不等式求出該函數(shù)的最小值，利用等號成立得出相應(yīng)的值，可得出的值.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式等號成立的條件，利用基本不等式要對代數(shù)式進(jìn)行配湊，注意“一正、二定、三相等”這三個條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.8、B【解析】

根據(jù)，結(jié)合基本不等式可求得，從而得到關(guān)于的不等式，解不等式求得結(jié)果.【詳解】由題意知：，，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），解得：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值問題，關(guān)鍵是配湊出符合基本不等式的形式，從而求得最值.9、C【解析】

根據(jù)交集定義直接求解可得結(jié)果.【詳解】根據(jù)交集定義知：故選：【點(diǎn)睛】本題考查集合運(yùn)算中的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

求得陰影部分的面積和最大的半圓的面積，再根據(jù)面積型幾何概型的概率計(jì)算公式求解.【詳解】連接AD,CD，可知△ACD是直角三角形，又BD⊥AC，所以BDAB=x(0<x<6)，則有8=x(6-x)，得x=2，所以AB=2,?BC=4，由此可得圖中陰影部分的面積等于π×3【點(diǎn)睛】本題考查了與面積有關(guān)的幾何概型的概率的求法，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用面積表示，用面積比計(jì)算概率.涉及了初中學(xué)習(xí)的射影定理，也可通過證明相似，求解各線段的長.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】函數(shù)的定義域?yàn)楣蚀鸢笧?2、【解析】

首先根據(jù)的范圍求出的范圍，從而求出值域?！驹斀狻慨?dāng)時，，由于反余弦函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，且所以值域?yàn)楣蚀鸢笧椋海军c(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法：首先求出內(nèi)函數(shù)的值域再求外函數(shù)的值域。屬于基礎(chǔ)題。13、相交【解析】

根據(jù)直線與圓相交的弦長公式，求出的值，結(jié)合兩圓的位置關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則圓心為，半徑，圓心到直線的距離，圓截直線所得線段的長度是，即，，則圓心為，半徑，圓的圓心為，半徑，則，，，，即兩個圓相交．故答案為：相交．【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓相交的應(yīng)用，以及兩圓位置關(guān)系的判斷，根據(jù)相交弦長公式求出的值是解決本題的關(guān)鍵．14、(－∞，－1)∪(3，＋∞)【解析】不等式可化為m(x－1)＋x2－4x＋3>0在0≤m≤4時恒成立．令f(m)＝m(x－1)＋x2－4x＋3.則??即x<－1或x>3.故答案為(－∞，－1)∪(3，＋∞)15、【解析】

由題意可得且，即且，，化簡可得由不等式的性質(zhì)可得的取值范圍.【詳解】解：，故有且，化簡可得且即故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列極限以及不等式的性質(zhì)，屬于中檔題.16、16【解析】

利用公式直接計(jì)算即可.【詳解】扇形的面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查扇形的面積，注意扇形的面積公式有兩個：，其中為扇形的半徑，為圓心角的弧度數(shù)，為扇形的弧長，可根據(jù)題設(shè)條件合理選擇一個，本題屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）是偶函數(shù)（2）見解析（3）【解析】

（1）由奇偶函數(shù)的定義判斷；（2）由單調(diào)性的定義證明；（3）由于函數(shù)為偶函數(shù)，因此只要比較與的大小，因此先確定與的大小，這就得到分類標(biāo)準(zhǔn)．【詳解】（1）是偶函數(shù)（2）當(dāng)時，是增函數(shù)；當(dāng)時，是減函數(shù)；先證明當(dāng)時，是增函數(shù)證明：任取，且，則，且，，即：當(dāng)時，是增函數(shù)∵是偶函數(shù)，∴當(dāng)時，是減函數(shù).（3）要比較與的大小，∵是偶函數(shù)，∴只要比較與大小即可.當(dāng)時，即時，∵當(dāng)時，是增函數(shù)，∴當(dāng)時，即當(dāng)時，∵當(dāng)時，是增函數(shù)，∴【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，掌握奇偶性與單調(diào)性的定義是解題基礎(chǔ)．18、（1）見證明；（2）見證明【解析】

（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，證明，再由線面平行的判定可得平面；（2）由為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，證得四邊形為平行四邊形，得到，進(jìn)一步得到平面．再由平面，結(jié)合面面平行的判定可得平面平面．【詳解】證明：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連結(jié)，∵四邊形為平行四邊形，∴為中點(diǎn)，又是的中點(diǎn)，∴是三角形的中位線，則，又∵平面，平面，∴平面；（2）∵為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴且，則四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面．又平面，，且平面，平面，∴平面平面．【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面，平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，是中檔題．19、（1）（2）【解析】

（1）先由題意，結(jié)合平面向量基本定理，用表示出，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算，即可得出結(jié)果；（2）先由向量數(shù)量積的運(yùn)算，求出，再由，結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.【詳解】解：（1）為等邊三角形，且，又是中點(diǎn)，又（2）由題意：，，，又【點(diǎn)睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，熟記平面向量基本定理，以及向量數(shù)量積的運(yùn)算法則即可，屬于常考題型.20、（1），（2）【解析】

（1）先求出，然后由底面ABC得，即可算出答案（2）取的中點(diǎn)，可得是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角），然后在中，用余弦定理即可算出【詳解】（1）因?yàn)?，，所以因?yàn)榈酌鍭BC，所以（2）如圖，取的中點(diǎn),連接，則所以是異面直線BC與AD所成的角（或其補(bǔ)角）在中，所以由余弦定理得所以異面直線BC與AD所成的角的余弦值大小為【點(diǎn)睛】求異面直線所成的角是將直線平移轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，要注意