江西省南昌市第一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

江西省南昌市第一中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．在ΔABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若A=π3，B=π4，A．23 B．2 C．3 D．2．經(jīng)過原點(diǎn)且傾斜角為的直線被圓C:截得的弦長是，則圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于（）A． B． C． D．3．古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30，該女子所需的天數(shù)至少為（）A．7 B．8 C．9 D．104．在中，，則等于（）A． B． C． D．5．過點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線的直線方程為A． B． C． D．6．過點(diǎn)作圓的切線,且直線與平行，則與間的距離是（）A． B． C． D．7．已知，，，若不等式恒成立，則t的最大值為（）A．4 B．6 C．8 D．98．若，則三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．9．若滿足約束條件，則的最小值是（）A．0 B． C． D．310．若，且，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某單位共有200名職工參加了50公里徒步活動(dòng)，其中青年職工與老年職工的人數(shù)比為，中年職工有24人，現(xiàn)采取分層抽樣的方法抽取50人參加對本次活動(dòng)滿意度的調(diào)查，那么應(yīng)抽取老年職工的人數(shù)為________人.12．設(shè)向量滿足，，，．若，則的最大值是________．13．方程的解集是___________14．已知一組數(shù)據(jù)6，7，8，8，9，10，則該組數(shù)據(jù)的方差是____.15．已知向量（1，x2），（﹣2，y2﹣2），若向量，共線，則xy的最大值為_____．16．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．等差數(shù)列中，公差，，.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．在平面直角坐標(biāo)系下，已知圓O：，直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且.（1）求直線l的方程；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)D滿足，點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段上，且存在常數(shù)使得，求點(diǎn)N到直線l距離的最小值.19．已知向量．(1)求與的夾角的余弦值；(2)若向量與垂直，求的值．20．直線的方程為.(1)若在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求的值；(2)若不經(jīng)過第二象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在數(shù)列中，，其前項(xiàng)和為，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】

利用正弦定理asinA=【詳解】在ΔABC中，由正弦定理得asinA=故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理求邊，要記得正弦定理所適用的基本類型，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。2、A【解析】

由已知利用垂徑定理求得，得到圓的半徑，畫出圖形，由扇形面積減去三角形面積求解．【詳解】解：直線方程為，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為．圓心到直線的距離．則，解得．圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1．如圖，，則，．，，圓在軸下方部分與軸圍成的圖形的面積等于．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查扇形面積的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．3、B【解析】試題分析：設(shè)該女子第一天織布尺，則，解得，所以前天織布的尺數(shù)為，由，得，解得的最小值為，故選B．考點(diǎn)：等比數(shù)列的應(yīng)用．4、D【解析】

先根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算出的值，然后再根據(jù)同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系即可求解出的值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所?故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)形式下向量的夾角計(jì)算，難度較易.注意：的夾角并不是，而應(yīng)是的補(bǔ)角.5、D【解析】過點(diǎn)A(3，3)且垂直于直線的直線斜率為，代入過的點(diǎn)得到.故答案為D.6、D【解析】由題意知點(diǎn)在圓C上，圓心坐標(biāo)為，所以，故切線的斜率為，所以切線方程為，即．因?yàn)橹本€l與直線平行，所以，解得，所以直線的方程是－4x＋3y－8＝0，即4x－3y＋8＝0.所以直線與直線l間的距離為．選D．7、C【解析】

因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ灾磺蟮玫淖钚≈导纯?，結(jié)合，用“1”的代換求其最小值.【詳解】因?yàn)?，，，若不等式恒成立，令y=，當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)，取等號(hào)所以所以故t的最大值為1．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式恒成立和基本不等式求最值，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較，b，c的大小即可．【詳解】＝log50.2＜0，b＝20.5＞1，0＜c＝0.52＜1，則，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．9、A【解析】可行域?yàn)橐粋€(gè)三角形及其內(nèi)部,其中，所以直線過點(diǎn)時(shí)取最小值，選B.10、A【解析】

將代數(shù)式與相乘，展開式利用基本不等式求出的最小值，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問題以及一元二次不等式的解法，對于不等式恒成立問題，常轉(zhuǎn)化為最值來處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、4【解析】

直接利用分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.【詳解】青年職工與老年職工的人數(shù)比為，中年職工有24人，故老年職工為，故應(yīng)抽取老年職工的人數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣的相關(guān)計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.12、【解析】

令，計(jì)算出模的最大值即可，當(dāng)與同向時(shí)的模最大．【詳解】令，則，因?yàn)椋援?dāng)，，因此當(dāng)與同向時(shí)的模最大，【點(diǎn)睛】本題主要考查了向量模的計(jì)算，以及二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值．整體換元的思想，屬于較的難題，在解二次函數(shù)的問題時(shí)往往結(jié)合圖像、開口、對稱軸等進(jìn)行分析．13、或【解析】

方程的根等價(jià)于或，分別求兩個(gè)三角方程的根可得答案.【詳解】方程或，所以或，所以或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查三角方程的求解，求解時(shí)可利用單位圓中的三角函數(shù)線，注意終邊相同角的表示，考查運(yùn)算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用.14、.【解析】

由題意首先求得平均數(shù)，然后求解方差即可.【詳解】由題意，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以該組數(shù)據(jù)的方差是.【點(diǎn)睛】本題主要考查方差的計(jì)算公式，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

由題意利用兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，可得，再利用基本不等式，求得的最大值．【詳解】向量，，若向量，共線，則，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，取等號(hào)．故的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩個(gè)向量共線的性質(zhì)，考查兩個(gè)向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算和基本不等式，屬于基礎(chǔ)題．16、【解析】

設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,再根據(jù)中點(diǎn)在直線上,且與直線垂直求解即可.【詳解】設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為,則中點(diǎn)為,則在直線上,故①.又與直線垂直有②,聯(lián)立①②可得.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)坐標(biāo),屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】

（1）由和可列出方程組，解出和，即得通項(xiàng)公式；（2）將（1）中所得通項(xiàng)公式代入，列項(xiàng)，用裂項(xiàng)相消法求的前n項(xiàng)和．【詳解】解：（1）因?yàn)椋?，所以因?yàn)?，所以故的通?xiàng)公式為.（2）因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查求等差數(shù)列通項(xiàng)公式和用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和，是典型考題．18、（1）；（2）.【解析】

（1）等價(jià)于圓心O到直線l的距離，再由點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）先設(shè)點(diǎn)，再結(jié)合題意可得點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】解：（1）∵圓O：，圓心，半徑，∵直線l：（）與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且，∴圓心O到直線l的距離，又，，解得，∴直線l的方程為；（2）∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是圓O與x軸的左、右兩個(gè)交點(diǎn)，，∴，，設(shè)，，則，，，，，即.又∵點(diǎn)N在線段上，即，共線，，，∵點(diǎn)M是圓O上任意一點(diǎn)，，∴將m，n代入上式，可得，即.則點(diǎn)N在以為圓心，半徑為的圓R上.圓心R到直線l：的距離，又，故點(diǎn)N到直線l：距離的最小值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，重點(diǎn)考查了點(diǎn)的軌跡方程的求法，屬中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）分別求出，，，再代入公式求余弦值；（2）由向量互相垂直，得到數(shù)量積為0，從而構(gòu)造出關(guān)于的方程，再求的值.【詳解】(1)，，，∴.(2)．若，則，解得.【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積公式的應(yīng)用及兩向量垂直求參數(shù)的值，考查基本的運(yùn)算求解能力.20、(1)0或2；(2).【解析】

（1）當(dāng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可求得滿足題意；當(dāng)不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，可根據(jù)直線截距式，利用截距相等構(gòu)造方程求得結(jié)果；（2）當(dāng)時(shí)，可得直線不經(jīng)過第二象限；當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可知斜率為正，且在軸截距小于等于零，從而構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，，解得：，滿足題意當(dāng)不過坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，即時(shí)若，即時(shí)，，不符合題意若，即時(shí)，方程可整理為：，解得：綜上所述：或（2）當(dāng)，即時(shí)，，不經(jīng)過第二象限，滿足題意當(dāng)，即時(shí)，方程可整理為：，解得：綜上所述：的取值范圍為：【點(diǎn)睛】本題考查直線方程的應(yīng)用，涉及到直線截距式方程、由圖象確定參數(shù)范