天津市薊州區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

天津市薊州區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一下期末教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知，函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則可能的值為（）A． B． C． D．2．已知，則的值為（）A． B． C． D．23．等差數(shù)列{an}中，若S1=1A．2019 B．1 C．1009 D．10104．在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，公比.若，，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則當(dāng)取最大值時(shí)，n的值為（）A．8 B．9 C．8或9 D．175．一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地?cái)嚮煸谝黄?，從中任意取出一個(gè)，則取出的小正方體兩面涂有油漆的概率是()A．127 B．29 C．46．在正方體中，點(diǎn)是四邊形的中心，關(guān)于直線，下列說(shuō)法正確的是（）A． B．C．平面 D．平面7．已知在中，，則的形狀是A．銳角三角形 B．鈍角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形8．已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A． B． C． D．9．在中，角的對(duì)邊分別為，若，則的最小值是（）A．5 B．8 C．7 D．610．設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，且，，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．與均為的最大值二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．當(dāng)函數(shù)取得最大值時(shí)，=__________．12．計(jì)算：__________.13．?dāng)?shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當(dāng)時(shí)，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為_(kāi)_______.14．已知，則的值為_(kāi)____________15．已知，若，則______.16．若過(guò)點(diǎn)作圓的切線，則直線的方程為_(kāi)______________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．等差數(shù)列中，，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的值．18．已知，，，求：的值.19．某校從高一年級(jí)的一次月考成績(jī)中隨機(jī)抽取了50名學(xué)生的成績(jī)（滿分100分，且抽取的學(xué)生成績(jī)都在內(nèi)），按成績(jī)分為，，，，五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）用分層抽樣的方法從月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取6人，求分別抽取月考成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的學(xué)生多少人；（2）在（1）的前提下，從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，求月考成績(jī)?cè)趦?nèi)至少有1名學(xué)生被抽到的概率.20．從全校參加科技知識(shí)競(jìng)賽初賽的學(xué)生試卷中，抽取一個(gè)樣本，考察競(jìng)賽的成績(jī)分布.將樣本分成5組，繪成頻率分布直方圖（如圖），圖中從左到右各小組的小長(zhǎng)方形的高之比是，最后一組的頻數(shù)是6.請(qǐng)結(jié)合頻率分布直方圖提供的信息，解答下列問(wèn)題：（1）樣本的容量是多少?（2）求樣本中成績(jī)?cè)诜值膶W(xué)生人數(shù)；（3）從樣本中成績(jī)?cè)?0.5分以上的同學(xué)中隨機(jī)地抽取2人參加決賽，求最高分甲被抽到的概率.21．已知，，求的值．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

直接利用三角函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用求出結(jié)果.【詳解】解：由函數(shù)，存在常數(shù)，使得為偶函數(shù)，則，由于函數(shù)為偶函數(shù)，故，所以，當(dāng)時(shí)，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

根據(jù)兩角和的正切公式，結(jié)合，可以求出的值，用同角的三角函數(shù)的關(guān)系式中的平方和關(guān)系把等式變成分子、分母的齊次式形式，最后代入求值即可.【詳解】..故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了同角的三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，考查了二倍角的正弦公式，考查了兩角和的正切公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.3、D【解析】

由等差數(shù)列{an}中，S1=1，S【詳解】∵等差數(shù)列{an}中，S∴S即15=5+10d，解得d=1，∴S故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量的求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．4、C【解析】∵為等比數(shù)列，公比為，且∴∴，則∴∴∴，∴數(shù)列是以4為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列∴數(shù)列的前項(xiàng)和為令當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)或9時(shí)，取最大值.故選C點(diǎn)睛：（1）在解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路：一是利用基本量將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為一元問(wèn)題；二是利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差數(shù)列、等比數(shù)列問(wèn)題的快捷方便的工具；（2）求等差數(shù)列的前項(xiàng)和最值的兩種方法：①函數(shù)法：利用等差數(shù)列前項(xiàng)和的函數(shù)表達(dá)式，通過(guò)配方或借助圖象求二次函數(shù)最值的方法求解；②鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最大值為；當(dāng)時(shí)，滿足的項(xiàng)數(shù)使得取得最小值為.5、C【解析】

先求出基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個(gè)小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個(gè)小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個(gè)兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個(gè)，由此能求出在27個(gè)小正方體中，任取一個(gè)其兩面涂有油漆的概率．【詳解】∵一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成27個(gè)大小相同的小正方體，∴基本事件總數(shù)n＝27，在得到的27個(gè)小正方體中，若其兩面涂有油漆，則這個(gè)小正方體必在原正方體的某一條棱上，且原正方體的一條棱上只有一個(gè)兩面涂有油漆的小正方體，則兩面涂有油漆的小正方體共有12個(gè)，則在27個(gè)小正方體中，任取一個(gè)其兩面涂有油漆的概率P=1227=故選：C【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、正方體性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6、C【解析】

設(shè)，證明出，可判斷出選項(xiàng)A、C的正誤；由為等腰三角形結(jié)合可判斷出B選項(xiàng)的正誤；證明平面可判斷出D選項(xiàng)的正誤.【詳解】如下圖所示，設(shè)，則為的中點(diǎn)，在正方體中，，則四邊形為平行四邊形，.易知點(diǎn)、分別為、的中點(diǎn)，，則四邊形為平行四邊形，則，由于過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，則A選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；，平面，平面，平面，C選項(xiàng)中的命題正確；易知，則為等腰三角形，且為底，所以，與不垂直，由于，則與不垂直，B選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤；四邊形為正方形，則，在正方體中，平面，平面，，，平面，平面，，同理可證，且，平面，則與平面不垂直，D選項(xiàng)中的命題錯(cuò)誤.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查線線、線面關(guān)系的判斷，解題時(shí)應(yīng)充分利用線面平行與垂直等判定定理證明線面平行、線面垂直，考查推理能力，屬于中等題.7、D【解析】

利用正弦定理可將已知中的等號(hào)兩邊的“邊”轉(zhuǎn)化為它所對(duì)角的正弦，再利用余弦定理化簡(jiǎn)即得該三角形的形狀．【詳解】根據(jù)正弦定理，原式可變形為：所以整理得．故選．【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】

首先根據(jù)題意求出，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求出的值.【詳解】，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦函數(shù)的定義，屬于簡(jiǎn)單題.9、D【解析】

先化簡(jiǎn)條件中的等式，利用余弦定理整理得到等式，然后根據(jù)等式利用基本不等式求解最小值.【詳解】由，得，化簡(jiǎn)整理得，，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理在邊角化簡(jiǎn)中的應(yīng)用，難度一般.對(duì)于利用基本不等求最值的時(shí)候，一定要注意取到等號(hào)的條件.10、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合，，分析出錯(cuò)誤結(jié)論.【詳解】由于，，所以，，，所以，與均為的最大值.而，所以，所以C選項(xiàng)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查分析與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

利用輔助角將函數(shù)利用兩角差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，求得函數(shù)取得最大值時(shí)的與的關(guān)系，從而求得，，可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其中，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，此時(shí)，∴，，∴故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正弦公式的逆用，著重考查輔助角公式的應(yīng)用與正弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.12、0【解析】

直接利用數(shù)列極限的運(yùn)算法則，分子分母同時(shí)除以，然后求解極限可得答案.【詳解】解：，故答案為：0.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列極限的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的考查.13、【解析】

直接利用分組法和分類討論思想求出數(shù)列的和.【詳解】數(shù)列滿足：（且為常數(shù)），，當(dāng)時(shí)，則，所以（常數(shù)），故，所以數(shù)列的前項(xiàng)為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.從項(xiàng)開(kāi)始，由于，所以奇數(shù)項(xiàng)為、偶數(shù)項(xiàng)為，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了由遞推關(guān)系式求數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，需熟記公式，同時(shí)也考查了分類討論的思想，屬于中檔題.14、【解析】

利用和差化積公式將兩式化簡(jiǎn)，然后兩式相除得到的值，再利用二倍角公式即可求出．【詳解】由得，，，兩式相除得，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查和差化積公式以及二倍角公式的應(yīng)用．15、【解析】

由條件利用正切函數(shù)的單調(diào)性直接求出的值．【詳解】解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，若，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正切函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎(chǔ)題．16、或【解析】

討論斜率不存在時(shí)是否有切線，當(dāng)斜率存在時(shí)，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離等于半徑求出斜率【詳解】圓即①當(dāng)斜率不存在時(shí)，為圓的切線②當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為即，解得此時(shí)切線方程為，即綜上所述，則直線的方程為或【點(diǎn)睛】本題主要考查了過(guò)圓外一點(diǎn)求切線方程，在求解過(guò)程中先討論斜率不存在的情況，然后討論斜率存在的情況，利用點(diǎn)到直線距離公式求出結(jié)果，較為基礎(chǔ)。三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為．由已知得，解得．所以．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．所以．考點(diǎn)：1、等差數(shù)列通項(xiàng)公式；2、分組求和法．18、【解析】

求出和的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出和的值，然后利用兩角差的余弦公式可求出的值.【詳解】，則，且，，，，，，，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用兩角差的余弦公式求值，解題的關(guān)鍵就是利用已知角來(lái)表示所求角，考查計(jì)算能力，屬于中等題.19、（1）有4人，有2人；（2）【解析】

（1）由頻率分布直方圖，求出成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的頻率的比值，再按比例抽取即可；（2）由古典概型的概率的求法，先求出從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的所有不同取法，再求出被抽到的學(xué)生至少有1名月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的不同取法，再求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以，則月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人；月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生有人，則成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)的頻率的比值為，故用分層抽樣的方法從月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取4人，從月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取2人.（2）由（1）可知，被抽取的6人中有4人的月考成績(jī)?cè)趦?nèi)，分別記為，，，；有2人的月考成績(jī)?cè)趦?nèi)，分別記為，.則從這6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生的情況為，，，，，，，，，，，，，，，共15種；被抽到的學(xué)生至少有1名月考成績(jī)?cè)趦?nèi)的情況為，，，，，，，，，共9種.故月考成績(jī)內(nèi)至少有1名學(xué)生被抽到的概率為.【點(diǎn)睛】本題考查了分層抽樣，重點(diǎn)考查了古典概型概率的求法，屬中檔題.20、（1）48；（2）30；（3）【解析】

（1）設(shè)樣本容量為，列方程求解即可；（2）根據(jù)比例列式求解即可；（3）根據(jù)比例得成績(jī)?cè)?0.5分以上的同學(xué)有6人，抽取2人參加決賽，列舉出總的基本事件個(gè)數(shù)，然后列舉出最高分甲被抽到的基本事件個(gè)數(shù)，根據(jù)概率公式可得結(jié)果