浙江省公立寄宿學校2025屆高一下數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題含解析

浙江省公立寄宿學校2025屆高一下數(shù)學期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在中，若，則此三角形為（）三角形．A．等腰 B．直角 C．等腰直角 D．等腰或直角2．已知函數(shù)的最小正周期為，將該函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到的圖象對應的函數(shù)為偶函數(shù)，則的圖象（）A．關于點對稱 B．關于直線對稱C．關于點對稱 D．關于直線對稱3．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步并不難，次日腳痛減一半，六朝才得至其關，欲問每朝行里數(shù)，請公仔細算相還”.其意思為：“有一個人走378里路，第1天健步行走，從第2天起，因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程為（）A．48里 B．24里 C．12里 D．6里4．已知是常數(shù)，那么“”是“等式對任意恒成立”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．中，下列結論：①若，則，②，③，④若是銳角三角形，則，其中正確的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．46．在中，若，則是（）A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．如圖，隨機地在圖中撒一把豆子，則豆子落到陰影部分的概率是（）A．12 B．34 C．18．如果直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)（）A．不存在與垂直的直線 B．存在一條與垂直的直線C．存在無數(shù)條與垂直的直線 D．任意一條都與垂直9．在中，角所對的邊分別為，若，，，則等于（）A．4 B． C． D．10．是等差數(shù)列的前n項和，如果，那么的值是()A．12 B．24 C．36 D．48二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，，若與共線，則實數(shù)________．12．某單位有200名職工，現(xiàn)要從中抽取40名職工作樣本，用系統(tǒng)抽樣法，將全體職工隨機按1－200編號，并按編號順序平均分為40組（1－5號，6－10號…，196－200號）.若第5組抽出的號碼為22，則第8組抽出的號碼應是13．已知圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐的側面積為_____．14．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式______．15．若存在實數(shù)使得關于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是____.16．三棱錐P﹣ABC的底面ABC是等腰三角形，AC＝BC＝2，AB＝2，側面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，則該三棱錐的外接球表面積為_____．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d≠0，且a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項．(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式；(2)設cn=an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Sn．18．如圖，在正方體中，是的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面.19．設二次函數(shù).（1）若對任意實數(shù)，恒成立，求實數(shù)x的取值范圍；（2）若存在，使得成立，求實數(shù)m的取值范圍.20．已知數(shù)列的前項和為．（Ⅰ）當時，求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）當時，令，求數(shù)列的前項和．21．已知△ABC中，A（1，﹣4），B（6，6），C（﹣2，0）．求（1）過點A且平行于BC邊的直線的方程；（2）BC邊的中線所在直線的方程．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由條件結合正弦定理即可得到，由此可得三角形的形狀．【詳解】由于在中，有，根據(jù)正弦定理可得；所以此三角形為直角三角形；、故答案選B【點睛】本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題．2、A【解析】

由周期求出，按圖象平移寫出函數(shù)解析式，再由偶函數(shù)性質求出，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質判斷．【詳解】由題意，平移得函數(shù)式為，其為偶函數(shù)，∴，由于，∴．，，．∴是對稱中心．故選：A.【點睛】本題考查求三角函數(shù)的解析式，考查三角函數(shù)的對稱性的奇偶性．掌握三角函數(shù)圖象變換是基礎，掌握三角函數(shù)的性質是解題關鍵．3、C【解析】記每天走的路程里數(shù)為{an}，由題意知{an}是公比的等比數(shù)列，由S6=378，得=378，解得：a1=192，∴=12（里）．故選C．4、B【解析】

由輔助角公式結合條件得出、的值，由結合同角三角函數(shù)得出、的值，于此可得出結論.【詳解】由可得或，由輔助角公式，其中，.因此，“”是“等式對任意恒成立”的必要非充分條件，故選B.【點睛】本題考查必要不充分條件的判斷，考查同角三角函數(shù)的基本關系以及輔助角公式的應用，考查推理能力，屬于中等題.5、C【解析】

根據(jù)正弦定理與誘導公式，以及正弦函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】①在中，因為，所以，所以，故①正確；②，故②正確；③，故③錯誤；④若是銳角三角形，則，均為銳角，因為正弦函數(shù)在上單調遞增，所以，故④正確；故選C【點睛】本題主要考查命題真假的判定，熟記正弦定理，誘導公式等即可，屬于?？碱}型.6、A【解析】

首先根據(jù)降冪公式把等式右邊降冪你，再根據(jù)把換成與的關系，進一步化簡即可．【詳解】，，,選A.【點睛】本題主要考查了二倍角，兩角和與差的余弦等，需熟記兩角和與差的正弦余弦等相關公式，以及特殊三角函數(shù)的值是解決本題的關鍵，屬于基礎題．7、D【解析】

求出陰影部分的面積，然后與圓面積作比值即得．【詳解】圓被8等分，其中陰影部分有3分，因此所求概率為P=3故選D．【點睛】本題考查幾何概型，屬于基礎題．8、C【解析】

因為直線l與平面不垂直，必然會有一條直線與其垂直，而所有與該直線平行直線也與其垂直，因此選C9、B【解析】

根據(jù)正弦定理，代入數(shù)據(jù)即可?！驹斀狻坑烧叶ɡ?，得：，即，即：解得：選B?！军c睛】此題考查正弦定理：，代入數(shù)據(jù)即可，屬于基礎題目。10、B【解析】

由等差數(shù)列的性質：若m+n=p+q,則即可得.【詳解】故選B【點睛】本題考查等比數(shù)列前n項和的求解和性質的應用，是基礎題型，解題中要注意認真審題，注意下標的變化規(guī)律，合理地進行等價轉化.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

根據(jù)平面向量的共線定理與坐標表示，列方程求出x的值．【詳解】向量（3，﹣1），（x，2），若與共線，則3×2﹣（﹣1）?x＝0，解得x＝﹣1．故答案為﹣1．【點睛】本題考查了平面向量的共線定理與坐標表示的應用問題，是基礎題．12、1【解析】試題分析：因為將全體職工隨機按1～200編號，并按編號順序平均分為40組，由分組可知，抽號的間隔為5，因為第5組抽出的號碼為22，所以第6組抽出的號碼為27，第7組抽出的號碼為32，第8組抽出的號碼為1．考點：系統(tǒng)抽樣．點評：本題考查系統(tǒng)抽樣，在系統(tǒng)抽樣過程中得到的樣本號碼是最規(guī)則的一組編號．13、【解析】

由已知求得母線長，代入圓錐側面積公式求解．【詳解】由已知可得r=1，h=，則圓錐的母線長l=,∴圓錐的側面積S=πrl=2π．故答案為：2π．【點睛】本題考查圓錐側面積的求法,側面積公式S=πrl.14、【解析】

通過變形可知，累乘計算即得結論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，利用累乘法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．15、【解析】

先求得的取值范圍，將題目所給不等式轉化為含的絕對值不等式，對分成三種情況，結合絕對值不等式的解法和不等式恒成立的思想，求得的取值范圍.【詳解】由于，故可化簡得恒成立.當時，顯然成立.當時，可得，，可得且，可得，即，解得.當時，可得，可得且，可得，即，解得.綜上所述，的取值范圍是.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)的值域，考查含有絕對值不等式恒成立問題，考查存在性問題的求解策略，考查函數(shù)的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于難題.16、【解析】

求出的外接圓半徑，的外接圓半徑，求出外接球的半徑，即可求出該三棱錐的外接球的表面積．【詳解】由題意，設的外心為，的外心為，則的外接圓半徑，在中，因為，由余弦定理可得，所以，所以的外接圓半徑，在等邊中，由，所以，所以，設球心為，球的半徑為，則，又由面，面，則，所以該三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三棱錐的外接球的表面積的求解，其中解答中熟練應用空間幾何體的結構特征，確定球的半徑是解答的關鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）bn=3n－1；（2）Sn=(n－1)·3n+1【解析】

(1)由a1，a2，a5是等比數(shù)列{bn}的前三項得，a22=a1·a5?(a1+d)2=a1·(a1+4d)··?a12+2a1d+d2=a12+4a1d?d2=2a1d，又d≠0，所以d=2a1=2，從而an=a1+(n－1)d=2n－1，則b1=a1=1，b2=a2=3，則等比數(shù)列{bn}的公比q=3，從而bn=3n－1(2)由(1)得，cn=an·bn=(2n－1)·3n－1，則Sn=1·1+3·3+5·32+7·33+…+(2n－1)·3n－1①3Sn=1·3+3·32+5·33+…+(2n－3)·3n－1+(2n－1)·3n②①－②得，－2Sn=1·1+2·3+2·32+2·33+…+2·3n－1－(2n－1)·3n=1+2×－(2n－1)·3n=－2(n－1)·3n－2··則Sn=(n－1)·3n+1．18、（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：（1）設，連接，因為O,E分別為AC,中點，所以（2）平面，所以平面平面考點：線面平行垂直的判定點評：平面內(nèi)一直線與平面外一直線平行，則線面平行；直線垂直于平面內(nèi)兩相交直線則直線垂直于平面，進而得到兩面垂直19、（1）（2）【解析】

（1）是關于m的一次函數(shù)，計算得到答案.（2）易知，討論和兩種情況計算得到答案.【詳解】（1）對任意實數(shù)，恒成立，即對任意實數(shù)恒成立，是關于m的一次函數(shù)，，解得或，所以實數(shù)x的取值范圍是.（2）存在，使得成立，即，顯然.（i）當時，要使成立，即需成立，即需成立.，(當且僅當時等號成立)，，.（ii）當時，要使成立，即需成立，即需成立，，（當且僅當時等號成立），.綜上得實數(shù)m的取值范圍是.【點睛】本題考查了恒成立問題和存在性問題，意在考查學生的綜合應用能力.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）利用的方法，進行求解即可（Ⅱ）仍然使用的方法，先求出，然后代入，并化簡得，然后利用裂項求和，求出數(shù)列的前項和【詳解】解：（Ⅰ）數(shù)列的前項和為①．當時，，當時，②，①﹣②得：，（首相不符合通項），所以：（Ⅱ）當時，①，當時，②，①﹣②得：，所以：令，所以：，則：【點睛】本題考查求數(shù)列通項的求法的應用，以及利用裂項求和法進行求和，屬于基礎題21、（1）3x﹣4y﹣19＝1（2）7x﹣