湖南省湘鋼一中2025屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

湖南省湘鋼一中2025屆數(shù)學高一下期末學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．根據(jù)下面莖葉圖提供了甲、乙兩組數(shù)據(jù)，可以求出甲、乙的中位數(shù)分別為（）A．24和29 B．26和29 C．26和32 D．31和292．在區(qū)間內(nèi)任取一個實數(shù)，則此數(shù)大于2的概率為（）A． B． C． D．3．不論為何值，直線恒過定點A． B． C． D．4．已知直線與圓相切，則的值是()A．1 B． C． D．5．中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還.”其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地”.則該人最后一天走的路程為（）.A．24里 B．12里 C．6里. D．3里6．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，若向量，則把有序數(shù)對叫做向量在坐標系中的坐標.假設(shè)在坐標系中的坐標為，則（)A． B． C． D．7．已知a，b，c，d∈R，則下列不等式中恒成立的是（）A．若a＞b，c＞d，則ac＞bd B．若a＞b，則C．若a＞b＞0，則（a﹣b）c＞0 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c8．在平面直角坐標系中，圓：，圓：，點，動點，分別在圓和圓上，且，為線段的中點，則的最小值為A．1 B．2 C．3 D．49．已知函數(shù),若存在，且，使成立，則以下對實數(shù)的推述正確的是（）A． B． C． D．10．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是－1，則實數(shù)（）A．1 B．－1 C．2 D．－2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在中，，，面積為，則________．12．已知數(shù)列滿足，，則______．13．某校老年、中年和青年教師的人數(shù)分別為90，180，160，采用分層抽樣的方法調(diào)查教師的身體狀況，在抽取的樣本中，青年教師有32人，則抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為_____14．已知，則的最小值為_______．15．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則________.16．抽樣調(diào)查某地區(qū)名教師的年齡和學歷狀況，情況如下餅圖：則估計該地區(qū)歲以下具有研究生學歷的教師百分比為_______．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，，均為銳角，且.（1）求的值；（2）若，求的值.18．（1）若對任意的，總有成立，求常數(shù)的值；（2）在數(shù)列中，，求通項；（3）在（2）的條件下，設(shè)，從數(shù)列中依次取出第項，第項，第項，按原來的順序組成新數(shù)列，其中試問是否存在正整數(shù)，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．如圖，在以、、、、、為頂點的五面體中，面是等腰梯形，，面是矩形，平面平面，，.（1）求證：平面平面；（2）若三棱錐的體積為，求的值.20．本題共3個小題，第1小題滿分3分，第2小題滿分6分，第3小題滿分9分.已知數(shù)列滿足.（1）若，求的取值范圍；（2）若是公比為等比數(shù)列，，求的取值范圍；（3）若成等差數(shù)列，且，求正整數(shù)的最大值，以及取最大值時相應數(shù)列的公差.21．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，（）．（Ⅰ）求的值，并求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：（）．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)莖葉圖，將兩組數(shù)據(jù)按大小順序排列，因為是12個數(shù)，所以中位數(shù)即為中間兩數(shù)的平均數(shù).【詳解】從莖葉圖知都有12個數(shù)，所以中位數(shù)為中間兩個數(shù)的平均數(shù)甲中間兩個數(shù)為25，27，所以中位數(shù)是26乙中間兩個數(shù)為28，30，所以中位數(shù)是29故選：B【點睛】本題主要考查了莖葉圖和中位數(shù)，平均數(shù)，還考查了數(shù)據(jù)處理的能力，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

根據(jù)幾何概型長度型直接求解即可.【詳解】根據(jù)幾何概型可知，所求概率為：本題正確選項：【點睛】本題考查幾何概型概率問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】

根據(jù)直線方程分離參數(shù)，再由直線過定點的條件可得方程組，解方程組進而可得m的值．【詳解】恒過定點，恒過定點，由解得即直線恒過定點.【點睛】本題考查含有參數(shù)的直線過定點問題，過定點是解題關(guān)鍵．4、D【解析】

利用直線與圓相切的條件列方程求解.【詳解】因為直線與圓相切，所以，，，故選D.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，通常利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系進行判斷，考查運算能力，屬于基本題.5、C【解析】

由題意可知，每天走的路程里數(shù)構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，由求得首項，再由等比數(shù)列的通項公式求得該人最后一天走的路程．【詳解】解：記每天走的路程里數(shù)為，可知是公比的等比數(shù)列，由，得，解得：，，故選C．【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查了等比數(shù)列的前項和，是基礎(chǔ)的計算題．6、D【解析】

可得.【詳解】向量，則．故選：．【點睛】本題主要考查了向量模的運算和向量的數(shù)量積的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．7、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷．【詳解】當時，A不成立；當時，B不成立；當時，C不成立；由不等式的性質(zhì)知D成立．故選D．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)中，不等式兩邊乘以同一個正數(shù)，不等式號方向不變，兩邊乘以同一個負數(shù)，不等式號方向改變，這個性質(zhì)容易出現(xiàn)錯誤：一是不區(qū)分所乘數(shù)的正負，二是不區(qū)分是否為1．8、A【解析】

由得，根據(jù)向量的運算和兩點間的距離公式，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關(guān)系，即可求解的最小值，得到答案．【詳解】設(shè)，，，由得，即，由題意可知，MN為Rt△AMB斜邊上的中線，所以,則又由，則，可得，化簡得，∴點的軌跡是以為圓心、半徑等于的圓C3，∵M在圓C3內(nèi)，∴MN的最小值即是半徑減去M到圓心的距離，即，故選A．【點睛】本題主要考查了圓的方程及性質(zhì)的應用，以及點圓的最值問題，其中解答中根據(jù)圓的性質(zhì)，求得點的軌跡方程，再利用點與圓的位置關(guān)系求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．9、A【解析】

先根據(jù)的圖象性質(zhì)，推得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再依據(jù)條件分析求解．【詳解】解：是把的圖象中軸下方的部分對稱到軸上方，函數(shù)在上遞減；在上遞增．函數(shù)的圖象可由的圖象向右平移1個單位而得，在，上遞減，在，上遞增，若存在，，，，使成立，故選：．【點睛】本題考查單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)、反正切函數(shù)的圖象性質(zhì)及函數(shù)的圖象的平移．圖象可由的圖象向左、向右平移個單位得到，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

由投影的定義計算．【詳解】由題意，解得．故選：A．【點睛】本題考查向量數(shù)量積的幾何意義，掌握向量投影的定義是解題關(guān)鍵．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由已知利用三角形面積公式可求c，進而利用余弦定理可求a的值，根據(jù)正弦定理即可計算求解.【詳解】，，面積為,解得，由余弦定理可得：，所以,故答案為：【點睛】本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題.12、1023【解析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義以及前項和公式即可．【詳解】因為所以，所以為首先為1公比為2的等比數(shù)列，所以【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的前項和：屬于基礎(chǔ)題．13、【解析】

根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系，即可得到答案。【詳解】設(shè)抽取的樣本中老年教師的人數(shù)為，學校所有的中老年教師人數(shù)為270人由分層抽樣的定義可知：，解得：故答案為【點睛】本題考查分層抽樣，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題。14、【解析】

運用基本不等式求出結(jié)果.【詳解】因為，所以，，所以，所以最小值為【點睛】本題考查了基本不等式的運用求最小值，需要滿足一正二定三相等.15、【解析】

根據(jù)奇偶性，先計算，再計算【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以.因為當時，所以.故答案為【點睛】本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)，屬于?？碱}型.16、【解析】

根據(jù)餅狀圖中的歲以下本科學歷人數(shù)和占比可求得歲以下教師總?cè)藬?shù)，從而可得其中的具有研究生學歷的教師人數(shù)，進而得到所求的百分比.【詳解】由歲以下本科學歷人數(shù)和占比可知，歲以下教師總?cè)藬?shù)為：人歲以下有研究生學歷的教師人數(shù)為：人歲以下有研究生學歷的教師的百分比為：本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查利用餅狀圖計算總體中的數(shù)據(jù)分布和頻率分布的問題，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)計算表達出,再根據(jù),兩邊平方求化簡即可求得.(2)根據(jù),再利用余弦的差角公式展開后分別計算求解即可.【詳解】（1）由題意,得,,,,.（2）,,均為銳角,仍為銳角,,,.【點睛】本題主要考查了根據(jù)向量的數(shù)量積列出關(guān)于三角函數(shù)的等式,再利用三角函數(shù)中的和差角以及湊角求解的方法.屬于中檔題.18、(1)(2)(3)存在,,或【解析】

由題設(shè)得恒成立，所以，由和知，，且，由此能推導出假設(shè)存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，由，，又得，于是，由此能推導出存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，，或，．【詳解】由題設(shè)得，即恒成立，所以，由題設(shè)又由得，，且，即是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以即為所求．假設(shè)存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，由知，顯然，又得，，即是以為首項，為公比的等比數(shù)列．于是，由得，m，，所以或15，當時，，；當時，，；綜上，存在正整數(shù)m，r滿足題設(shè)，，或，【點睛】本題主要考查了數(shù)列中參數(shù)的求法、等差數(shù)列的通項公式和以極限為載體考查數(shù)列性質(zhì)的綜合運用，屬于難題．19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得出平面，可得出，再推導出，利用線面垂直的判定定理得出平面，然后利用面面垂直的判定定理可得出平面平面；（2）推導出平面，計算出的面積，然后利用錐體體積公式可求得三棱錐的體積，進而得解.【詳解】（1）因為四邊形是矩形，故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又面，所以，在等腰梯形中，，，因，故，，即，又，故平面，平面，所以平面平面；（2）的面積為，，平面，所以，平面，，故.【點睛】本題考查面面垂直的證明，同時也考查了利用三棱錐體積求參數(shù)，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.20、（1）；（2）；（3）的最大值為1999，此時公差為.【解析】

（1）依題意：，又將已知代入求出x的范圍；（2）先求出通項：，由求出，對q分類討論求出Sn分別代入不等式Sn≤Sn+1≤3Sn，得到關(guān)于q的不等式組，解不等式組求出q的范圍．（3）依題意得到關(guān)于k的不等式，得出k的最大值，并得出k取最大值時a1，a2，…ak的公差．【詳解】（1）依題意：，∴；又∴3≤x≤27，綜上可得：3≤x≤6（2）由已知得，，，∴，當q＝1時，Sn＝n，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，成立．當1＜q≤3時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴不等式∵q＞1，故3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0恒成立，而對于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，又當1≤q≤2，q﹣3＜0，∴qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，∴1＜q≤2，當時，，Sn≤Sn+1≤3Sn，即，∴此不等式即，3q﹣1＞0，q﹣3＜0，3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0∴時，不等式恒成立，∴q的取值范圍為：．（3）設(shè)a1，a2，…ak的公差為d．由，且a1＝1，得即當n＝1時，d≤2；當n＝2，3，…，k﹣1時，由，得d，所以d，所以1000＝k，即k2﹣2000k+1000≤0，得k≤1999所以k的最大值為1999，k＝1999時，a1，a2，…ak的公差為．【點睛】本題