湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東六校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題含解析

湖南省瀏陽一中、株洲二中等湘東六校2025屆數(shù)學(xué)高一下期末達(dá)標(biāo)檢測試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（）A． B． C． D．2．從集合中隨機抽取一個數(shù)，從集合中隨機抽取一個數(shù)，則向量與向量垂直的概率為()A． B． C． D．3．等差數(shù)列an的公差d<0，且a12=a212，則數(shù)列aA．9 B．10 C．10和11 D．11和124．已知，其中，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．5．如圖所示是正方體的平面展開圖，在這個正方體中CN與BM所成角為（）A．30° B．45° C．60° D．90°6．若，是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則7．四棱錐中，平面，底面是正方形，且，則直線與平面所成角為（）A． B． C． D．8．等比數(shù)列中，，，則公比等于（）A．2 B．3 C． D．9．在平行四邊形ABCD中，若，則必有（）A． B．或C．ABCD是矩形 D．ABCD是正方形10．下列各角中與角終邊相同的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某校選修“營養(yǎng)與衛(wèi)生”課程的學(xué)生中，高一年級有30名，高二年級有40名．現(xiàn)用分層抽樣的方法從這70名學(xué)生中抽取一個樣本，已知在高二年級的學(xué)生中抽取了8名，則在該校高一年級的學(xué)生中應(yīng)抽取的人數(shù)為________．12．若點與關(guān)于直線對稱，則的傾斜角為_______13．已知在數(shù)列中，，，則數(shù)列的通項公式______．14．為了研究問題方便,有時將余弦定理寫成:,利用這個結(jié)構(gòu)解決如下問題:若三個正實數(shù)，滿足,，，則_______.15．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定兩點，，動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），則的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅尼斯圓”，該圓的半徑為__________．16．已知直線分別與x軸、y軸交于A，B兩點，則等于________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)．（I）求的最小正周期；（II）求在上的最大值與最小值．18．已知圓：和點，，，.(1)若點是圓上任意一點，求；(2)過圓上任意一點與點的直線，交圓于另一點,連接，，求證：.19．已知.（1）若三點共線，求實數(shù)的值；（2）證明：對任意實數(shù)，恒有成立.20．某運動愛好者對自己的步行運動距離（單位：千米）和步行運動時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到如下的統(tǒng)計資料：如果與存在線性相關(guān)關(guān)系，（1）求線性回歸方程（精確到0.01）；（2）將分鐘的時間數(shù)據(jù)稱為有效運動數(shù)據(jù)，現(xiàn)從這6個時間數(shù)據(jù)中任取3個，求抽取的3個數(shù)據(jù)恰有兩個為有效運動數(shù)據(jù)的概率．參考數(shù)據(jù)：，參考公式：，．21．設(shè)為正項數(shù)列的前項和，且滿足．（1）求證：為等差數(shù)列；（2）令，，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】對于選項A,因為，所以，所以即，所以選項A錯誤；對于選項B，，所以，選項B錯誤；對于選項C，，當(dāng)時，，當(dāng)，，故選項C錯誤；對于選項D，，所以，又，所以，所以，選D.2、B【解析】

通過向量垂直的條件即可判斷基本事件的個數(shù)，從而求得概率.【詳解】基本事件總數(shù)為，當(dāng)時，，滿足的基本事件有，，，共3個，故所求概率為，故選B.【點睛】本題主要考查古典概型，計算滿足條件的基本事件個數(shù)是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的分析能力.3、C【解析】

利用等差數(shù)列性質(zhì)得到a11=0，再判斷S10【詳解】等差數(shù)列an的公差d<0，且a根據(jù)正負(fù)關(guān)系：S10或S故答案選C【點睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，Sn的最大值，將Sn的最大值轉(zhuǎn)化為4、D【解析】

求出函數(shù)，令，，根據(jù)不等式求解，即可得到可能的取值.【詳解】由題：，其中，令，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，則有解，解得：當(dāng)當(dāng)當(dāng)結(jié)合四個選項可以分析，實數(shù)的取值可能是.故選：D【點睛】此題考查根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)的取值范圍，需要熟練掌握三角函數(shù)的圖像性質(zhì)，求出函數(shù)零點再討論其所在區(qū)間列不等式求解.5、C【解析】

把展開圖再還原成正方體如圖所示:由于BE和CN平行且相等，故∠EBM(或其補角)為所求.再由△BEM是等邊三角形，可得∠EBM=60°,從而得出結(jié)論.【詳解】把展開圖再還原成正方體如圖所示:由于BE和CN平行且相等，故異面直線CN與BM所成的角就是BE和BM所成的角，故∠EBM(或其補角)為所求,再由BEM是等邊三角形，可得∠EBM=60,故選：C【點睛】本題主要考查了求異面直線所成的角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.6、C【解析】

A中平面，可能垂直也可能平行或斜交，B中平面，可能平行也可能相交，C中成立，D中平面，可能平行也可能相交.【詳解】A中若，，，平面，可能垂直也可能平行或斜交；B中若，，，平面，可能平行也可能相交；同理C中若，，則，分別是平面，的法線，必有；D中若，，，平面，可能平行也可能相交.故選C項.【點睛】本題考查空間中直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，屬于簡單題.7、A【解析】

連接交于點，連接，證明平面，進而可得到即是直線與平面所成角，根據(jù)題中數(shù)據(jù)即可求出結(jié)果.【詳解】連接交于點，因為平面，底面是正方形，所以，，因此平面；故平面；連接，則即是直線與平面所成角，又因，所以，.所以，所以.故選A【點睛】本題主要考查線面角的求法，在幾何體中作出線面角，即可求解，屬于常考題型.8、A【解析】

由題意利用等比數(shù)列的通項公式，求出公比的值．【詳解】解：等比數(shù)列中，，，，則公比，故選：．【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解析】

由，化簡可得，得到,又由四邊形為平行四邊形，即可得到答案.【詳解】由，則，即，化簡可得，所以，即,又由四邊形為平行四邊形，所以該四邊形為矩形，故選C.【點睛】本題主要考查了向量的基本運算，以及向量的垂直關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中熟記向量的基本運算，以及向量的垂直的判定是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】

寫出與終邊相同的角，取值得答案．【詳解】解：與終邊相同的角為，，取，得，與終邊相同．故選：D．【點睛】本題考查終邊相同角的表示法，屬于基礎(chǔ)題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、6【解析】

利用分層抽樣的定義求解.【詳解】設(shè)從高一年級的學(xué)生中抽取x名，由分層抽樣的知識可知，解得x＝6.故答案為6.【點睛】本題主要考查分層抽樣，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理能力.12、【解析】

根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱，可知與垂直，利用斜率乘積為可求得，根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系可求得傾斜角.【詳解】由題意知：，即：又本題正確結(jié)果：【點睛】本題考查直線傾斜角的求解，關(guān)鍵是能夠根據(jù)兩點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)求得所求直線的斜率，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求得結(jié)果.13、【解析】

通過變形可知，累乘計算即得結(jié)論．【詳解】∵（n+1）an＝nan+1，∴，∴，，…，，累乘得：，又∵a1＝1，∴an＝n，故答案為：an＝n．【點睛】本題考查數(shù)列的通項公式的求法，利用累乘法是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．14、【解析】

設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，利用余弦定理得出的三邊長，由此計算出的面積，再利用可得出的值.【詳解】設(shè)的角、、的對邊分別為、、，在內(nèi)取點，使得，設(shè)，，，由余弦定理得，，同理可得，，，則，的面積為，另一方面，解得，故答案為.【點睛】本題考查余弦定理的應(yīng)用，問題的關(guān)鍵在于將題中的等式轉(zhuǎn)化為余弦定理，并轉(zhuǎn)化為三角形的面積來進行計算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中等題.15、【解析】

設(shè)，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），可得，化簡整理可得.【詳解】設(shè)，由動點滿足（其中和是正常數(shù)，且），所以，化簡得，即，所以該圓半徑故該圓的半徑為.【點睛】本題考查圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式和兩點距離公式，難點主要在于計算.16、5【解析】

分別求得A，B的坐標(biāo)，再用兩點間的距離公式求解.【詳解】根據(jù)題意令得所以令得所以所以故答案為：5【點睛】本題主要考查點坐標(biāo)的求法和兩點間的距離公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）；（II）3，.【解析】

（I）利用降次公式和輔助角公式化簡解析式，由此求得的最小正周期.（II）根據(jù)函數(shù)的解析式，以及的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)值域的求法，求得在區(qū)間上的最大值與最小值.【詳解】（I）的最小正周期．（Ⅱ），．【點睛】本小題主要考查降次公式和輔助角公式，考查三角函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求法，屬于中檔題.18、(1)2(2)見證明【解析】

（1）設(shè)點的坐標(biāo)為，得出，利用兩點間的距離公式以及將關(guān)系式代入可求出的值；（2）對直線的斜率是否存在分類討論。①直線的斜率不存在時，由點、的對稱性證明結(jié)論；②直線的斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè)點、，將直線的方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，通過計算直線和的斜率之和為零來證明結(jié)論成立?！驹斀狻浚?）證明：設(shè)，因為點是圓上任意一點，所以，所以，（2）①當(dāng)直線的傾斜角為時，因為點、關(guān)于軸對稱，所以.②當(dāng)直線的傾斜角不等于時，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為.設(shè)、，則，.，，.【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系問題，考查兩點間的距離公式、韋達(dá)定理在直線與圓的綜合問題的處理，本題的關(guān)鍵在于將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為斜率之間的關(guān)系來處理，另外，利用韋達(dá)定理求解直線與圓的綜合問題時，其基本步驟如下：（1）設(shè)直線的方程以及直線與圓的兩交點坐標(biāo)、；（2）將直線方程與圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理；（3）將問題對象利用代數(shù)式或等式表示，并進行化簡；（4）將韋達(dá)定理代入（3）中的代數(shù)式或等式進行化簡計算。19、(1)-3；(2)證明見解析.【解析】分析：（1）由題意可得，結(jié)合三點共線的充分必要條件可得.（2）由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算法則可得，則恒有成立.詳解：（1），∵三點共線，∴，∴.（2），∴，∴恒有成立.點睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積的運算法則，二次函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20、（1）（2）【解析】

（1）先計算所給數(shù)據(jù)距離、時間的平均值，，利用公式求，再利用回歸方程求.（2）由（1）計算的個數(shù)，先求從6個中任取3個數(shù)據(jù)的總的取法，再計算抽取的3個數(shù)據(jù)恰有兩個為有效運動數(shù)據(jù)的取法，利用古典概型概率計算公式可得所求.【詳解】解：（1）依題意得，所以又因為，故線性回歸方程為．（2）將的6個值，代入（1）中回歸方程可知，前3個小于30，后3個大于30，所以滿足分鐘的有效運動數(shù)據(jù)的共有3個，設(shè)3個有效運動數(shù)據(jù)為，另3個不是有效運動數(shù)據(jù)為，則從6個數(shù)據(jù)中任取3個共有20種情況（或一一列舉），其中，抽取的3個數(shù)據(jù)恰有兩個為有效運動數(shù)據(jù)的有9種情況，即，，所以從這6個時間數(shù)據(jù)中任取3個，抽取的3個數(shù)據(jù)恰有兩